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专题 15 韦达化和非对称韦达的处理
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题型01 韦达化处理...................................................................................................................................................1
题型02 非对称韦达...................................................................................................................................................4
题型 01 韦达化处理
【解题规律·提分快招】
一、常见韦达化处理
倘若定点 ，在椭圆上的动点 ，那么：
（1） ，此时已经凑出韦达定理的形式，就无需再解点，可
直接代入韦达定理求解.
（2） ,这里对交叉项 的处理可进一步代入直线
方程： ，化简可得：
（*），再代入韦达定理.注意，这一步代入很重
要，（*）式是一个非常简洁的结构，易于操作.
（3） .
（4）面积计算
1
①一般方法：
S=
2
|AB|d
（其中
|AB|
为弦长，d为顶点到直线AB的距离）
1 |kx−y +m|
√1+k2√(x +x ) 2 −4x x 0 0
=
2 1 2 1 1 √1+k2
（直线为斜截式y=kx+m）
1
√ (x +x ) 2 −4x x |kx −y +m|
2 1 2 1 1 0 0
=②特殊方法：拆分法,可以将三角形沿着 轴或者 轴拆分成两个三角形，不过在拆分的时候给定的顶点一
般在 轴或者 轴上，此时，便于找到两个三角形的底边长.
注意直线代换中直线反设法的应用，即设
注：
【典例训练】
一、解答题
1．（2024·江西上饶·一模）已知双曲线 的焦点 与抛物线 的焦点重合，
且双曲线 的离心率为 .
(1)求双曲线 的方程；
(2)若过点 的直线 与双曲线 交于 两点， 的面积为 ，求直线 的方程.
2．（2024·河北石家庄·二模）已知 为平面上一个动点， 到定直线 的距离与到定点 距离的
比等于 ，记动点 的轨迹为曲线 ．
(1)求曲线 的方程；
(2)过点 的直线 与曲线 交于 ， 两点，在 轴上是否存在点 ，使得 为定值？若存在，求出
该定值；若不存在，请说明理由．
3．（2024·黑龙江齐齐哈尔·三模）已知双曲线 的实轴长为2，设 为 的右焦点，
为 的左顶点，过 的直线交 于A，B两点，当直线AB斜率不存在时， 的面积为9．
(1)求 的方程；
(2)当直线AB斜率存在且不为0时，连接TA，TB分别交直线 于P，Q两点，设 为线段PQ的中点，
记直线AB，FM的斜率分别为 ，证明： 为定值．
4．（2025·河北邯郸·二模）已知 为圆 上一点，F (1,0)，线段 的垂直平分
2
线交半径 于点 ，记动点 的轨迹为曲线 ，双曲线 的一条渐近线被圆 所截得的弦长
为 .(1)求曲线 的标准方程；
(2)过 上一点 作斜率为 的直线 ，交双曲线 于 、 两点，且 恰好为线段 的中点，求出点
的坐标；
(3)若直线 与曲线 交于 、 两点，求 面积的取值范围.
5．（2025·江西新余·一模）平面直角坐标系中，点 与定点 的距离和它到定直线 的距离
之比是常数 .
(1)求点 的轨迹方程；
(2)若不过点 的直线 交曲线 于P，Q两点；
①若以P，Q为直径的圆过点 ，证明：直线 过定点；
②在①条件下，作 为垂足.是否存在定点 ，使得 为定值？若存在，求点 的坐标；若不
存在，说明理由.
6．（2024·全国·模拟预测）在平面直角坐标系中，点 在双曲线 上，渐近
线方程为 .
(1)求双曲线 的方程；
(2)过点 作直线 与双曲线 交于 两点，在 轴上是否存在一定点 ，使得直线 与 的斜
率之和为定值？若存在，请求出点 的坐标及定值；若不存在，请说明理由.
7．（2024·吉林长春·一模）已知 为抛物线 的焦点， 为坐标原点，过焦点 作一条
直线 交 于A，B两点，点 在 的准线 上，且直线MF的斜率为 的面积为1.
(1)求抛物线 的方程；
(2)试问在 上是否存在定点 ，使得直线NA与NB的斜率之和等于直线NF斜率的平方？若存在，求出点
的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)过焦点 且与 轴垂直的直线 与抛物线 交于P，Q两点，求证：直线AP与BQ的交点在一条定直线
上.
8．（2025·广东惠州·模拟预测）已知椭圆 的长轴长为 ，离心率为 .
(1)求椭圆 的方程；(2)已知椭圆 上点 处的切线方程是 .在直线 上任取一点 引
椭圆 的两条切线，切点分别是 、 .
求证：直线 恒过定点 ；
①是否存在实数 ，使得 ，若存在，求出 的值，若不存在，说明理由.
②
题型 02 非对称韦达
【解题规律·提分快招】
1、在一元二次方程 中，若 ，设它的两个根分别为 ，则有根与系数关系：
，借此我们往往能够利用韦达定理来快速处理 之类的结构。
2、但在有些问题时，我们会遇到涉及 的不同系数的代数式的应算，比如求 或
之类的结构，就相对较难地转化到应用韦达定理来处理了．特别是在圆锥曲线问题中，我们联立
直线和圆锥曲线方程，消去 或 ，也得到一个一元二次方程，我们就会面临着同样的困难，我们把这种
形如 或 之类中 的系数不对等的情况，这些式子是非对称结
构，称为“非对称韦达”．
【典例训练】
一、解答题
1．（2024·浙江绍兴·三模）设双曲线C： （ ， ）的一条渐近线为 ，焦点到
渐近线的距离为1． ， 分别为双曲线 的左、右顶点，直线 过点 交双曲线于点 ， ，记直
线 ， 的斜率为 ， ．
(1)求双曲线 的方程；
(2)求证 为定值．
2．（2024·四川成都·模拟预测）在平面直角坐标系中，椭圆 的方程是 .
(1)若直线 与椭圆 交于 两点， 为椭圆 上任意一点，直线 、 斜率分别为 、 ，求
；
(2)过椭圆 的右焦点 作直线交椭圆于 ， 两点.直线 ，作 于点 证明直线 过定点，并求出 点坐标.
3．（2024·河南新乡·一模）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，且 ．
(1)求 的渐近线方程．
(2)点 为 的左支上一点，且 ． 分别为 的左、右顶点，过点 的直线交 的右支
于 两点，其中点 在 轴上方，直线 与 交于点 ．
①求直线 的方程；
②证明：点 到直线 的距离为定值．
4．（24-25高三上·湖北·期末）已知椭圆 的左，右焦点为 ，点 是椭圆上任意一点，
的最小值是 ．
(1)求椭圆 的方程；
(2)设 为椭圆的上，下顶点， 为椭圆上异于 的两点，记直线 的斜率分别为 ，且
．
（ⅰ）证明：直线 过定点 ；
（ⅱ）设直线 与直线 交于点 ，直线 的斜率为 ，试探究 满足的关系式．
一、解答题
1．（24-25高三上·广东潮州·期末）设 为抛物线 ： 的焦点， 为 的准线与 轴的交点，且直
线 过点 ．
(1)若 与 有且仅有一个公共点，求直线 的方程；
(2)若 与 交于 ， 两点，且 ，求 的面积．
2．（24-25高三上·辽宁·期末）已知直线 经过椭圆 的右顶点 和上顶
点 ．
(1)求椭圆 的标准方程及离心率；(2)与直线 平行的直线 交 于 两点（ 均不与 的顶点重合），设直线 ， 的斜率分别
为 ，证明： 为定值．
3．（2024高三·全国·专题练习）已知双曲线 过点 ，且 到直线
的距离为 ．
(1)求双曲线 的标准方程．
(2) 的左、右焦点分别为 ，若过 的直线与 交于 两点，直线 与 交于点 ．
（ⅰ）证明：直线 过定点；
（ⅱ）当 两点均在 的左支上时，直线 与 交于点 ，直线 与直线 交于点 ，求 的
面积的最小值．
4．（24-25高三上·上海浦东新·期中）已知 和 为椭圆 上两点．
(1)求 的离心率；
(2)若过P的直线 交 于另一点 ，且 的面积为9，求 的方程；
(3)过OA中点 的动直线与椭圆 有两个交点 ， ，试判断在y轴上是否存在点T使得 ，若
存在，求出 点纵坐标的取值范围；若不存在，说明利用．
5．（24-25高三上·山东潍坊·期末）已知双曲线 的中心为坐标原点，左焦点为 ，离心率为 ，过
点 的直线 交 于 ， 两点.
(1)求 的方程；
(2)设 的左、右顶点分别为 ， ，直线 与直线 交于点 ，证明： ， ， 三点共线.
6．（24-25高三上·湖北武汉·期末）已知椭圆C： 的长轴长是短轴长的2倍，焦距为
，点A，B分别为C的左、右顶点，点P，Q为C上的两个动点，且分别位于x轴上、下两侧，
和 的面积分别为 ， ，记
(1)求椭圆C的方程；
(2)若 ，求证直线PQ过定点，并求出该点的坐标；(3)若 ，设直线AP和直线BQ的斜率分别为 ， ，求 的取值范围．
7．（24-25高三上·河北沧州·期末）平面直角坐标系中，动点 到点 的距离比它到 轴的距离多
1．
(1)求动点 的轨迹方程；
(2)若点C为 ，过 的直线l与点 的轨迹交于A，B两点（A，B与C不重合），直线 ，
与直线 交于点 ， ．证明：以 为直径的圆在 上截得的弦长为定值．
8．（24-25高三上·山东日照·期末）在平面直角坐标系中，已知定点 ，动点 满足
，记 的轨迹为曲线 .
(1)求曲线 的方程；
(2)过 作 轴的垂线与曲线 在第一象限的交点为 ，过点 的直线与曲线 相切，且与 轴交于点 .
（i）点 是曲线 上异于 的一点，且 ，求直线 的方程；
（ii）过点 且斜率不为0的直线交曲线 于 两点（ 在 的左侧），若 为线段 的中点，直线
交直线 于点 ，求证： 轴.
9．（24-25高三上·安徽铜陵·期末）设椭圆 .已知点 ， 在椭圆 上.
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)若过点 的直线 与椭圆 交于 两点（ 在 右侧），且与线段 交于点 .
（i）证明： ；
（ii）当 为 中点时，求直线 的方程.
10．（24-25高三上·甘肃武威·期末）已知 ， 分别是椭圆 的左、右顶
点，P（异于点A，B）是C上的一个动点， 面积的最大值为2．
(1)求椭圆C的方程；
(2)记直线PA，PB的斜率分别为 ， ，求 的值；
(3)直线l交椭圆C于M，N两点（异于A，B两点），直线AM，AN的斜率分别为 ， ，且
，证明：直线MN过定点．11．（24-25高三上·江苏·期末）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，焦距
为4，渐近线方程为
(1)求C的方程；
(2)过 的直线l分别交C的左、右两支于A，B两点，直线 交C于另一点P，
①若 ，求点P的坐标；
②是否存在常数 ，使得 若存在，请求出 的值；若不存在，请说明理由.
12．（24-25高三上·广西河池·期末）设抛物线 的焦点为 ，点 ，直线 交 于
， 两点，且 ．
(1)求 的标准方程；
(2)已知 ， 是抛物线上的任意两点，过点 ， 分别作 在点 ， 处的切线交于点 ，
①证明： ， ， 成等比数列；
②证明： ．
