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定比点差法与截距点差法 【知识拓展】 1.定比分点公式 若AP＝λPB，则称点P 为AB 的定比分点，若λ＞0，点P 在线段AB 上，此时点 P 称为内分点；若λ＜0，点P 在线段AB 的延长线上，此时称点P 为外分点. 若满足AP＝λPB，则必有OP＝OA＋OB. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则点P 坐标为(，). 2.截距(对偶)点差法 (1)横截距点差法(定点在x 轴上) 过定点M(m，0)的直线与椭圆＋＝1(a＞b＞0)相交于A，B 两点，设A(x1，y1)， B(x2，y2)，则x 横截距＝m＝，横截距对偶式x1y2＋x2y1＝＝. (2)纵截距点差法(定点在y 轴上) 过定点N(0，n)的直线与椭圆＋＝1(a＞b＞0)相交于A，B 两点，设A(x1，y1)， B(x2，y2)，则y 纵截距＝n＝，纵截距对偶式x1y2＋x2y1＝＝. 对于以上公式的证明，以(1)中公式为例，2 中公式同理可得，对于双曲线有相同 结论. [证明如下：由A，B，M 三点共线， 设AM＝λMB，则yM＝＝0， 则λ＝－，xM＝， 将λ＝－代入上式， 即x 横截距＝m＝成立. 又 两式相减得＝y－y，故x1y2＋x2y1＝.] 【类型突破】 类型一 定比点差法 例1 已知椭圆＋＝1 的左、右焦点分别为F1，F2，A，B，P 是椭圆上的三个动点， 且PF1＝λF1A，PF2＝μF2B，若λ＝2，求μ 的值. 解 设P(x0，y0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)， F1(－c，0)，F2(c，0)， 由PF1＝λF1A，得 即 由PF2＝μF2B，得 即 又点P 和A 均是椭圆上的点，从而 即 由①－③得＋＝1－λ2， ∵y0＋λy1＝0， ∴＝a2， 又x0＋λx1＝－c(1＋λ)， ∴x0－λx1＝－(1－λ)， ∴两式相加得2x0＝λ－， 同理可得2x0＝－μ＋， ∴(λ＋μ)＝2·， ∴(λ＋μ)＝2·＝10，∴μ＝8. 规律方法 定比点差法是点差法的延伸，无论是椭圆、双曲线还是抛物线中，若 遇到定比分点问题，都可以考虑使用定比点差法解题. 训练1 (2024·杭州质检改编)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，过右焦点F 且斜率为k(k>0)的直线与C 相交于A，B 两点，若AF＝3FB，求k. 解 由e＝，可设椭圆为＋y2＝m2(m>0)， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，F(m，0)， 由AF＝3FB，∴ 即 又 即 由①－③得＋(y1＋3y2)·(y1－3y2)＝－8m2， 又x1＋3x2＝4m， ∴x1－3x2＝－m， ∴x1＝m， ∴A. 又F(m，0)，k>0，∴k＝. 类型二 截距点差法 例2 (2024·徐州质检改编)已知椭圆E：＋y2＝1，直线l：y＝k(x＋1)(k>0)与E 交 于不同的两点M，N，设点P(1，0)，直线PM，PN 与E 分别交于点C，D.判断 直线CD 是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由. 解 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4). 由截距点差法得 ∴同理有 由于直线MN 过点(－1，0)， 故有x1y2－x2y1＝y1－y2， ∴×－×＝－， ∴x3y4－x4y3＝(y4－y3)， ∴直线CD 恒过定点. 规律方法 1.运用截距点差法的关键在于正确写出对偶式，进而写出两端点坐标； 2.分清直线所过的定点在x 轴上还是y 轴上. 训练2 已知椭圆C：＋＝1，分别过椭圆的左、右顶点A1，A2 作直线A1M， A2N，与椭圆C 分别相交于点M，N(M，N 分别在x 轴的上方与下方)，与y 轴分 别相交于点P，Q，若直线MN 恒过定点H(1，0)，且|OP|＝λ|OQ|，求λ 的值. 解 由题意得A1(－3，0)，A2(3，0)， 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，P(0，m)，Q(0，n)(m>0，n<0). 由M，H，N 三点共线得＝. 变形得x1y2－x2y1＝y2－y1，① 由截距点差法得 x1y2＋x2y1＝＝ ＝9(y2＋y1)，② 联立①②，解得 又知kA1M＝＝，kA2N＝－＝， ∴－＝＝＝， ∴λ＝＝－＝. 【精准强化练】 1.已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率e＝，焦距为2，直线l 与椭圆C 交于A，B 两点. (1)求椭圆C 的标准方程； (2)若直线l 过椭圆的右焦点F，且|AF|＝2|FB|，求直线l 的方程. 解 (1)设椭圆的焦距为2c，则2c＝2，所以c＝1， 又离心率为e＝＝＝， 则a＝，所以b2＝a2－1＝2， 则椭圆C 的方程为＋＝1. (2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)， |AF|＝2|FB|，所以F， 所以 因为 两式相减整理得x1－2x2＝－3， 由解得x1＝0， 则y1＝±，即A(0，±)， 因为直线l 过A，F 两点， 所以直线l 的方程为x±y－＝0. 2.(2024·青岛段测改编)已知椭圆C：x2＋3y2＝3.过点D(1，0)且不过点E(2，1)的 直线与椭圆C 交于A，B 两点，直线AE 与直线x＝3 交于点M.试判断直线BM 与 直线DE 的位置关系，并说明理由. 解 由题意不妨设AD＝λDB，A(x1，y1)，B(x2，y2). ∵D(1，0)， ∴ 又∴ 作差法得(x1－λx2)(x1＋λx2)＋3(y1－λy2)(y1＋λy2)＝3－3λ2， ∴(x1－λx2)＋3(y1－λy2)＝3(1－λ). 将＝1，＝0 代入上式， ∴x1－λx2＝3(1－λ). 又x1＋λx2＝1＋λ，解得x1＝2－λ. ∵AE＝(2－x1，1－y1)， EM＝(1，yM－1)，且A，E，M 三点共线. 不妨设AE＝μEM，则有μ＝2－x1＝λ. 由得DE 是△AMB 的等比分线，故DE∥MB， 即直线BM 与直线DE 是平行关系.
