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2024-2025 学年高二数学上学期第一次月考卷
参考答案
第一部分（选择题 共45分）
一、单项选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一个
选项是符合题目要求的．
1 2 3 4 5 6 7 8 9
B D A B C D A C D
第二部分（非选择题 共105分）
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分．
10．0或5
11．
12．
13．
14． 42
15．①③
三、解答题：本题共5小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16．（14分）
【解析】（1）直线 的斜率： ，
故过点 且与 平行的直线方程斜率 .
且 故直线方程为： ，即 .（7分）
（2）过点 且在 轴和 轴上截距相等的直线方程,
1
学学学科科科网网网（（（北北北京京京）））股股股份份份有有有限限限公公公司司司当截距为0时, 直线过原点，直线方程为： ，即 ；
当截距不为0时,由截距相等可设直线方程为： ，
代入 得 ，
故直线方程为 即 .
综上得：直线方程为 或 ．（14分）
17．（15分）
【解析】（1）因为底面 为直角梯形， ，所以 ，
因为 ， 是线段 的中点，所以 ，（1分）
又因为 ， ，且 ，
所以四边形 是矩形，同时 ，（2分）
因为 平面 ，且 平面 ，所以 ，
因为 ， ， 平面 ， 平面 ， ，
所以 平面 ，且 平面 ，所以 ，（5分）
因为点 是线段 的中点，且 ，所以 ，
因为 ， ， 平面 ， 平面 ， ，
所以 平面 .（7分）
（2）
因为 平面 ，且 ，所以直线 两两垂直，
2
学学学科科科网网网（（（北北北京京京）））股股股份份份有有有限限限公公公司司司如图所示，分别以直线 为 轴，建立空间直角坐标系 ，
且 ，
则 ，（9分）
由上问 平面 ，则向量 是平面 的一个法向量，且 ，
设向量 是平面 的法向量，且 ，
则 ，即 ，不妨取 ，（12分）
令向量 与向量 的夹角为 ，
所以 ，
设平面 与平面 的夹角为 ， ，
所以平面 与平面 夹角的正弦值为： .（15分）
18．（15分）
【解析】（1）联立 得交点 ，
由直线 与直线 垂直，则可设直线 的方程为 ，
又直线 过点 ，代入得 ，则 ，
所以直线 的方程为 ；（8分）
（2）法一：由题意可得直线 与直线 平行，
则可设直线 方程为： ，
3
学学学科科科网网网（（（北北北京京京）））股股股份份份有有有限限限公公公司司司由直线 与直线 关于点 对称，得 到两条直线的距离相等，
即 ，得 （舍）或 ，所以直线 的方程为 .（15
分）
法二：设直线 上任意一点 ，则点 关于点 对称的点为 ，
且点 在直线 上，得 ，
化简得直线 的方程为 .（15分）
19．（15分）
【解析】（1）直角梯形 中，
由相似可得， ，
因为 ， ，可得 ， ，
故可得 ， ，
由 ，则由勾股定理逆定理得， ，即 ，
，
翻折后可得， ， ，
又因为 ， 在平面 内，
故 平面 ．（5分）
（2）因为点 为边 的中点，
所以 ，又 ，
所以 ，
因为 平面 ，所以平面 平面 ，
所以点P到平面ABC的距离，即为点P到BM的距离，设为h，
4
学学学科科科网网网（（（北北北京京京）））股股股份份份有有有限限限公公公司司司因为 为定值，
当h最大时，三棱锥 的体积最大，
而 ，则 ，
当h=1时， .（10分）
（3）由（2）得，当三棱锥 的体积最大时，
点P到平面ABC的距离为 ，即 平面 ．
故 ， ，
又因为 ，
故 ， ， 两两垂直．
故可以 为原点，直线 分别为 轴建立空间直角坐标系，
由题可得， ，
则 ， ， ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，令 ，得 ，
5
学学学科科科网网网（（（北北北京京京）））股股股份份份有有有限限限公公公司司司设直线 与平面 所成角为 ，则 ，
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 ．（15分）
20．（16分）
【解析】（1）证明：如图，以 为原点建立空间直角坐标系，
则 ， ， ， ，
， ，即 ， ，
∵ ，∴ ，所以无论 取何值， .（5分）
（2）∵ 是平面ABC的一个法向量.
∴ ，
∴当 时， 取得最大值，此时 ， ， .（10分）
（3）假设存在， ，因为 ，（12分）
6
学学学科科科网网网（（（北北北京京京）））股股股份份份有有有限限限公公公司司司设 是平面 的一个法向量.
则 ，解得 ，令 ，得 ， ，
∴ ，∴ ，（14分）
化简得 ，解得 ，
∴存在点 使得平面 与平面 所成的二面角正弦值为 ，此时点 的位置满足
.（16分）
7
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