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对数均值不等式 【知识拓展】 1.对数均值不等式简介 设b>a>0，则a<<<<<b，其中叫做对数平均数，叫做算术平均数，叫做几何平 均数，叫做调和平均数，我们把不等式<<称之为对数均值不等式. 2.对数均值不等式的证明 证明 不妨设a＞b＞0(0＜a＜b 时同理可得) 首先，由＜等价于ln a－ln b＜，即ln ＜. 令x＝＞1，只要证ln x2＜， 即证2xln x－x2＋1＜0. 令f(x)＝2xln x－x2＋1(x＞1)， 则f′(x)＝2ln x＋2－2x，f″(x)＝－2＜0，f′(x)在(1，＋∞)单调递减， f′(x)＜f′(1)＝0， f(x)在(1，＋∞)单调递减，即f(x)＜f(1)＝0. 故＜. 其次，＜等价于 ln a－ln b＞，即ln ＞. 令x＝＞1，只要证ln x＞， 即证(x＋1)ln x－2x＋2＞0. 设g(x)＝(x＋1)ln x－2x＋2(x＞1)， 同理可证g(x)在(1，＋∞)单调递增， 有g(x)＞g(1)＝0. 故＜. 【类型突破】 类型一 极值点偏移与对数均值不等式 例1 已知函数f(x)＝ln x－ax＋1(a∈R)，设x1，x2是函数f(x)的两个零点，证明： x1＋x2＋2eln a>0. 证明 ∵x1，x2是f(x)的两个零点， ∴ 由①②得a＝＝ ＝＝>， ∴x1＋x2>， 要证x1＋x2＋2eln a>0，只需证x1＋x2>≥－2eln a， 即只需证－aln a≤，令g(x)＝－xln x(x>0)，g′(x)＝－ln x－1， 显然x∈时，g′(x)>0，g(x)递增； x∈时，g′(x)<0，g(x)递减， ∴g(x)max＝g＝， ∴g(x)≤，∴－aln a≤，原不等式得证. 规律方法 利用对数均值不等式解题的一般步骤： 步骤1：构建等量关系式； 步骤2：对等量关系式进行处理； 步骤3：恒等变形转化出对数平均数(或它的倒数)，代入对数均值不等式(根据题 目需要和放缩的方向，可以恰当选择调和平均数等其它形式)进行求解； 步骤4：根据证明的目标，从不等式a<<<<<b 中恰当选择放缩的方向和放缩的 工具. 训练1 已知函数f(x)＝ln x－x2＋ax，设f′(x)是函数f(x)的导函数，x1，x2是f(x)的 两个零点，且x1<x2，求证：f′<0. 证明 由x1，x2是f(x)的两个零点，且x1<x2， 所以 两式相减得 ln －(x－x)＋a(x2－x1)＝0， 所以a＝－＋(x1＋x2)， 因为f′(x)＝－2x＋a， 所以f′＝－(x1＋x2)＋a ＝－＝， 要证f′<0， 只需证－ln <0 即可. 由－ln <0 变形得<. 由对数均值不等式可知，上式显然成立. 类型二 直线的斜率与对数均值不等式 例2 设函数f(x)＝－3ln x＋x3＋ax2－2ax，a∈R.若x1，x2为函数f(x)的两个不等 于1 的极值点，设P(x1，f(x1))，Q(x2，f(x2))，直线PQ 的斜率为k，求证：k＋ 2<x1＋x2. 证明 可知f′(x)＝＋3x2＋2ax－2a ＝[3x2＋(2a＋3)x＋3]，其中x>0， 因为x1，x2为函数f(x)的两个不等于1 的极值点. 所以x1，x2是方程3x2＋(2a＋3)x＋3＝0 的两个不相等的正实根， 不妨设x1>x2>0，得x1＋x2＝－，x1x2＝1，① 且即a<－，② 直线PQ 的斜率k＝＝＋x＋x1x2＋x＋a(x2＋x1)－2a， 根据对数均值不等式，得ln >， 则k＝＋(x2＋x1)2－x1x2＋a(x2＋x1)－2a<＋(x2＋x1)2－x1x2＋a(x2＋x1)－2a， 令x1＋x2＝t，则－＝t，得a＝－， 由a<－，得t>2， 所以k<＋t2－1－(t－2) ＝－ ＝， 因为t>2，且－t＋单调递减， 所以k<＝t－2， 故k＋2<x1＋x2. 规律方法 与对数函数有关的直线的斜率不等式若含有多个变量，注意构造运用 对数均值不等式求解. 训练2 已知函数f(x)＝ln x－ax.若y＝f(x)的图象在x＝1 处的切线平行于x 轴，且 A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1<x2)是y＝f(x)的图象上任意两个不同的点，设直线AB 的斜 率为k，证明：－1<k<－1. 证明 由题意知 f′(x)＝－a，f′(1)＝－a＝0， 即a＝1，所以f(x)＝ln x－x. 直线AB 的斜率为 k＝＝ ＝－1. 故要证－1<k<－1， 即证<k＋1<， 只需证<<， 由对数均值不等式知 <<(证明过程略)， 又x1<x2，所以＝<， 而<， 故有<<，命题得证. 【精准强化练】 1.已知函数f(x)＝m－－ln x(x∈R)，若恰有两个零点x1，x2(x1<x2)，求证：x1＋ x2>2. 证明 ∵x1，x2是f(x)的两个零点， ∴ 得＋ln x1＝＋ln x2， 即＝ln x2－ln x1， 所以＝x1x2， 又由对数均值不等式得>， 则x1x2>，则x1x2>1， 所以x1＋x2>2>2，命题得证. 2.(2024·丽水质检节选)已知函数f(x)＝2ln x－(a＋1)x2－2ax＋1(a∈R).若函数f(x) 有两个零点x1，x2.证明：x1＋x2>2. 证明 可知f′(x)＝－， 为使f(x)存在两个零点，则极值点为x＝，故需f>0， 即2ln －(a＋1)－2a＋1>0， 则2ln(a＋1)＋<0， 令g(a)＝2ln(a＋1)＋， 而g(a)单调递增，且g(0)＝0， 故不等式2ln(a＋1)＋<0 的解为 －1<a<0， 可知 作差得2ln x1－(a＋1)x－2ax1＋1＝2ln x2－(a＋1)x－2ax2＋1， 整理得＝， 假设x1>x2，则有2a(x1－x2)<0， 得＝ <＝·，(*) 根据对数均值不等式，得<， 则(*)放缩为<， 即x1＋x2>2.
