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解析几何中的同构技巧
【知识拓展】
1.数学中的同构式是指变量不同，但结构相同的两个表达式.解析几何中，常有一
些点、直线、方程具有相同的特征，将这些“形”的共性坐标化.根据式子结构
的相似性，对其进行代数变形的统一构造处理，就是同构.
2.解析几何中的同构主要有：(1)点、直线的同构，(2)方程的同构.
3.同构的关键在于发现代数式子结构的相似性.
【类型突破】
类型一 一次式同构
例1 如图，设点P(x0，y0)在直线x＝m(y≠±m，0<m<1)上，过点P 作双曲线x2－
y2＝1 的两条切线PA，PB，切点为A，B，求证：直线AB 过某一个定点.
证明 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，PA 的斜率为k，
则PA：y－y1＝k(x－x1)，
联立消去y 可得
x2－[kx＋(－kx1＋y1)]2＝1，
整理可得(1－k2)x2－2k(y1－kx1)x－(y1－kx1)2－1＝0，
∵PA 与双曲线相切，
∴Δ＝4k2(y1－kx1)2＋4(1－k2)(y1－kx1)2＋4(1－k2)＝0，
∴4(y1－kx1)2＋4(1－k2)＝0，
∴k2x－2kx1y1＋y＋1－k2＝0，
即(x－1)k2－2kx1y1＋(y＋1)＝0.
又x－y＝1，
∴x－1＝y，y＋1＝x，
代入可得yk2－2x1y1k＋x＝0，
即(y1k－x1)2＝0，即k＝，
∴PA：y－y1＝(x－x1)，
∴y1y＝x1x－1，
同理，切线PB 的方程为y2y＝x2x－1.
∵P(m，y0)在切线PA，PB 上，
∴有
∴A，B 满足直线方程y0y＝mx－1，是两点唯一确定的一条直线，
∴AB：y0y＝mx－1，
∴当时，无论y0为何值，等式均成立；
∴点恒在直线AB 上，故无论P 在何处，AB 恒过定点.
规律方法 点A(x1，y1)，B(x2，y2)满足方程则直线AB 的方程为Ax＋By＋C＝0.
训练1 (2024·金华调研改编)已知抛物线C：x2＝4y(p>0)，与圆M：x2＋(y＋4)2＝
1.若点P 在圆M 上，PA，PB 是C 的两条切线，A，B 是切点，求△PAB 面积的最
大值.
解 抛物线C 的方程为x2＝4y，即y＝，
对该函数求导得y′＝.
设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，
则直线PA 的方程为y－y1＝(x－x1)，
即y＝－y1，即x1x－2y1－2y＝0.
同理，可知直线PB 的方程为x2x－2y2－2y＝0.
由于点P 为这两条直线的公共点，
则
所以点A，B 的坐标满足方程x0x－2y－2y0＝0，
所以直线AB 的方程为x0x－2y－2y0＝0.
联立
可得x2－2x0x＋4y0＝0，
则x1＋x2＝2x0，x1x2＝4y0，
所以|AB|＝·＝·
＝，
点P 到直线AB 的距离为d＝，
所以S△PAB＝|AB|·d
＝·
＝(x－4y0).
因为x－4y0＝1－(y0＋4)2－4y0＝－y－12y0－15＝－(y0＋6)2＋21，
－5≤y0≤－3，
所以当y0＝－5 时，△PAB 的面积取最大值×20＝20.
类型二 二次同构
例2 (2024·安阳模拟)已知集合Q＝{(x，y)|0<ax2－by2<1(a>0，b>0)}，双曲线C
上的所有点构成集合P＝{(x，y)|ax2－by2＝1(a>0，b>0)}，坐标平面内任意点
N(x0，y0)，直线l：ax0x－by0y＝1 称为点N 关于双曲线C 的“相关直线”.
(1)若N∈P，判断直线l 与双曲线C 的位置关系，并说明理由；
(2)若直线l 与双曲线C 的一支有2 个交点，求证：N∈Q；
(3)若点N∈Q，点M 在直线l 上，直线MN 交双曲线C 于A，B，求证：＝.
(1)解 直线l 与双曲线C 相切.理由如下：
联立方程组
∴(aby－a2x)x2＋2ax0x－1－by＝0，①
∵N∈P，
∴ax－by＝1，即ax－1＝by，
代入①得，－ax2＋2ax0x－ax＝0，
∴Δ＝4a2x－4a2x＝0，
∴直线l 与双曲线C 相切.
(2)证明 由(1)知(aby－a2x)x2＋2ax0x－1－by＝0.
∵直线l 与双曲线C 的一支有2 个交点，
则
而Δ＝4a2x－4a(by－ax)(－1－by)＝4aby(1＋by－ax)>0，
∴ax－by<1.
∵＝>0，
∴0<ax－by<1，∴N(x0，y0)∈Q.
(3)证明 设M(x1，y1)，A(x，y)，
设MA＝λAN，MB＝μBN.
∵N(x0，y0)∉l，
∴λ≠－1，则
代入双曲线C：ax2－by2＝1，又M 在l 上，
即ax0x1－by0y1＝1，
整理得(ax－by－1)λ2＋ax－by－1＝0，
同理得关于μ 的方程(ax－by－1)μ2＋ax－by－1＝0，
即λ，μ 是(ax－by－1)t2＋ax－by－1＝0 的两根，
∴λ＋μ＝0，∴＝.
规律方法 1.若出现两个结构相同的一元二次方程时，说明此两方程的未知数是
对应的一元二次方程的两根.
2.根据两同构方程未知数(即元)的意义，常见的二次方程同构有两点坐标同构、
两直线斜率同构、截距同构、定比分点同构等.
训练2 (2024·沈阳调研改编)已知直线l：y＝k(x－1)(k≥0)与椭圆C：＋＝1 相交
于A，B 两点，过C 上的点P 作x 轴的平行线交线段AB 于点Q，直线OP 的斜率
为k′(O 为坐标原点)，△APQ 的面积为S1，△BPQ 的面积为S2，若|AP|·S2＝|BP|
·S1，判断k·k′是否为定值？并说明理由.
解 k·k′为定值，且k·k′＝，证明如下：
由|AP|·S2＝|BP|·S1，
得＝＝＝，
因此sin∠APQ＝sin∠BPQ，
而∠APQ＋∠BPQ＝∠ABP∈(0，π)，
有∠APQ＝∠BPQ，
于是PQ 平分∠APB，直线AP，BP 的斜率kAP，kBP互为相反数，
即kAP＋kBP＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，
由
得(2k2＋1)x2－4k2x＋2k2－8＝0，
即有
而kAP＋kBP＝＋＝0，
∴＋＝0，
∴·＝，
∴x1x2＋x0x2－x1x0－x＝2y1y2＋2y0y2－2y1y0－2y，①
同理，x2x1＋x0x1－x2x0－x＝2y2y1＋2y0y1－2y2y0－2y，②
由①－②得2x0(x2－x1)＝4y0(y2－y1)，
则k·k′＝·＝.
【精准强化练】
1.如图，已知抛物线C：x2＝4y，P(1，－2)为抛物线外一点，过点P 向抛物线引
两条切线，切点分别为A，B，求直线AB 的方程.
解 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，y′＝，
故直线AP：y－y1＝(x－x1)，
化简可得AP：x1x－2y－2y1＝0，
同理可得直线BP：x2x－2y－2y2＝0，
又因为P(1，－2)在直线PA，PB 上，
所以
即A(x1，y1)，B(x2，y2)在直线x－2y＋4＝0 上，
故直线AB 的方程为x－2y＋4＝0.
2.过坐标原点O 作圆C：(x＋2)2＋y2＝3 的两条切线，设切点为P，Q，直线PQ
恰为抛物线E：y2＝2px(p>0)的准线.
(1)求抛物线E 的标准方程；
(2)设点T 是圆C 上的动点，抛物线E 上四点A，B，M，N 满足：TA＝2TM，TB
＝2TN，设AB 中点为D.
①求直线TD 的斜率；
②设△TAB 面积为S，求S 的最大值.
解 (1)设直线PQ 与x 轴交于P0.
由几何性质易得△CPP0与△COP 相似，
所以＝，则|CP|2＝|CP0|·|CO|，
即3＝·2，解得p＝1.
所以抛物线E 的标准方程为y2＝2x.
(2)设T(x0，y0)，A(x1，y1)，B(x2，y2).
①由题意，TA 中点M 在抛物线E 上，
即＝2·，
又y＝2x1，将x1＝代入，
得y－2y0y1＋4x0－y＝0，
同理，y－2y0y2＋4x0－y＝0，
所以y1，y2是y2－2y0y＋4x0－y＝0 的两根，
有
此时D 点纵坐标为＝y0，
所以直线TD 的斜率为0.
②因为＝＝＝，
所以点D，
此时S＝|TD|·|y1－y2|，
|TD|＝＝|y－2x0|，
|y1－y2|＝
＝，
所以S＝·，
又因为点T 在圆C 上，有(x0＋2)2＋y＝3，
即y＝－x－4x0－1，代入上式可得
S＝·
＝·，
由－2－≤x0≤－2＋，
所以x0＝－3 时，S 取到最大值·＝48.
所以S 的最大值为48.
