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专题 11 整式的乘法与因式分解压轴题真题分类-高分必刷题（解析
版）
专题简介：本份资料包含《整式的乘法与因式分解》这一章中五种种类型的常考压轴题，所选题目源自
各
名校期中、期末试题中的典型考题，具体包含的题型有：幂的运算的压轴题、整式乘法的压轴题、与平
方差公式完全平方公式相关的的压轴题、配方法的压轴题、因式分解的压轴题。适合于培训机构的老师
给学生作复习培训时使用或者学生冲刺高分刷题时使用。
题型一：幂的运算的压轴题
1．（2021春•岳麓区）定义：如果2m＝n（m，n为正数），那么我们把m叫做n的D数，记作m＝D
（n）．
（1）根据D数的定义，填空：D（2）＝ ，D（16）＝ ．
（2）D数有如下运算性质：D（s•t）＝D（s）+D（t），D（ ）＝D（q）﹣D（p），其中q＞p．
根据运算性质，计算：
①若D（a）＝1，求D（a3）；
②若已知D（3）＝2a﹣b，D（5）＝a+c，试求D（15），D（ ），D（108），D（ ）的值（用
a、b、c表示）．
【解答】解：（1）∵21＝2，∴D（2）＝1，∵24＝16，∴D（16）＝4，故答案为：1；4．
（2）①∵21＝a，∴a＝2．∴23＝23．∴D（a3）＝3．
②D（15）＝D（3×5），＝D（3）+D（5）＝（2a﹣b）+（a+c）＝3a﹣b+c，
＝（a+c）﹣（2a﹣b）＝﹣a+b+c．
D（108）＝D（3×3×3×2×2）＝D（3）+D（3）+D（3）+D（2）+D（2）
＝3×D（3）+2×D（2）＝3×（2a﹣b）+2×1＝6a﹣3b+2．
＝D（3×3×3）﹣D（5×2×2）
＝D（3）+D（3）+D（3）﹣[D（5）+D（2）+D（2）]＝3×D（3）﹣[D（5）+2D（2）]
＝3×（2a﹣b）﹣[a+c+2×1]＝6a﹣3b﹣a﹣c﹣2＝5a﹣3b﹣c﹣2．
2．阅读材料：如果一个数的平方等于﹣1，记为i2＝﹣1，这个数i叫做虚数单位，那么形如a+bi（a，b为实数）的数就叫做复数，a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部．它有如下特点：
①它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似．例如计算：
（2+i）+（3﹣4i）＝（2+3）+（1﹣4）i＝5﹣3i；（3+i）i＝3i+i2＝3i﹣1．
②若他们的实部和虚部分别相等，则称这两个复数相等；若它们的实部相等，虚部互为相反数，则称
这两个复数共轭，如1+2i的共轭复数为1﹣2i．
根据材料回答：
（1）填空：i3＝ ，i4＝ ；
（2）求（2+i）2的共轭复数；
（3）已知（a+i）（b+i）＝1+3i，求a2+b2（i2+i3+i4…+i2020）的值．
【解答】解：（1）∵i2＝﹣1，∴i3＝i2•i＝﹣1•i＝﹣i，i4＝i2•i2＝﹣1×（﹣1）＝1；
故答案为：﹣i，1．
（2）（2+i）2＝i2+4i+4＝﹣1+4i+4＝3+4i，故（2+i）2的共轭复数是3﹣4i；
（3）∵（a+i）（b+i）＝ab﹣1+（a+b）i＝1+3i，
∴ab﹣1＝1，a+b＝3，解得a＝1，b＝2或a＝2，b＝1，
当a＝1，b＝2时，a2+b2（i2+i3+i4…+i2020）＝1+4（﹣1﹣i+1+i…+1+i﹣1﹣i+1）＝1﹣4i；
当a＝2，b＝1时，a2+b2（i2+i3+i4…+i2020）＝4+1（﹣1﹣i+1+i…+1+i﹣1﹣i+1）＝4﹣i．
故a2+b2（i2+i3+i4…+i2020）的值为4﹣i或者1﹣4i．
3．（雨花区校级月考）规定两数a，b之间的一种运算，记作（a，b），如果ac＝b，则（a，b）＝c．我
们叫（a，b）为“雅对”．
例如：因为23＝8，所以 （2，8）＝3．我们还可以利用“雅对”定义说明等式 （3，3）+（3，5）＝
（3，15）成立．证明如下：
设 （3，3）＝m，（3，5）＝n，则3m＝3，3n＝5，
故3m⋅3n＝3m+n＝3×5＝15，
则 （3，15）＝m+n，
即 （3，3）+（3，5）＝（3，15）．
（1）根据上述规定，填空：（2，4）＝ ； （5，1）＝ ； （3，27）＝ ．
（2）计算 （5，2）+（5，7）＝ ，并说明理由．
（3）利用“雅对”定义证明：（2n，3n）＝（2，3），对于任意自然数n都成立．
【解答】解：（1）∵22＝4，∴（2，4）＝2；∵50＝1，∴（5，1）＝0；∵33＝27，
∴（3，27）＝3；故答案为：2，0，3；
（2）设（5，2）＝x，（5，7）＝y，则5x＝2，5y＝7，∴5x+y＝5x•5y＝14，
∴（5，14）＝x+y，∴（5，2）+（5，7）＝（5，14），故答案为：（5，14）；（3）设（2n，3n）＝x，则（2n）x＝3n，即（2x）n＝3n，所以2x＝3，即（2，3）＝x，
所以（2n，3n）＝（2，3）．
题型二：整式乘法的压轴题
4．（2021•天心区开学）对于任意四个有理数 a，b，c，d，可以组成两个有理数对（a，b）与（c，
d）．我们规定：（a，b） （c，d）＝bc﹣ad．例如：（1，2） （3，4）＝2×3﹣1×4＝2．
根据上述规定解决下列问题⊙： ⊙
（1）有理数对（3，﹣5） （4，﹣2）＝ ；
（2）当满足等式（﹣2，3⊙x﹣1） （k，x+k）＝5+k的x是整数时，求正整数k的值；
（3）若（s+2t，2s+t） （x，﹣y⊙）＝2t﹣s对于任意有理数s，t均成立，求x+y的值．
【解答】解：（1）根据⊙题意得，原式＝﹣20+6＝﹣14，故答案为：﹣14．
（2）∵等式（﹣2，3x﹣1） （k，x+k）＝5+k，且x为整数，∴（3x﹣1）k﹣（﹣2）（x+k）＝
5+k， ⊙
∴（3k+2）x＝5，∴x＝ ，∵x是整数，∴3k+2＝±1或±5，∵k是正整数，∴k＝1．
（3）∵（s+2t，2s+t） （x，﹣y）＝2t﹣s，∴（2s+t）x﹣（s+2t）（﹣y）＝2t﹣s，
去括号，合并后（2x+y⊙+1）s+（x+2y﹣2）t＝0，∵上式对于任意有理数s，t均成立，
∴2x+y＝﹣1①，x+2y＝2②，∴（①+②）÷3得：x+y＝ ．
5．（2020秋•开福区月考）好学的小东同学，在学习多项式乘以多项式时发现：（ x+4）（2x+5）（3x
﹣6）的结果是一个多项式，并且最高次项为： x•2x•3x＝3x3，常数项为：4×5×（﹣6）＝﹣120，那
么一次项是多少呢？要解决这个问题，就是要确定该一次项的系数．根据尝试和总结她发现：一次项
系数就是： ×5×（﹣6）+2×4×（﹣6）+3×4×5＝﹣3，即一次项为﹣3x．
请你认真领会小东同学解决问题的思路、方法，仔细分析上面等式的结构特征，结合自己对多项式乘
法法则的理解，解决以下问题．
（1）计算（x+2）（3x+1）（5x﹣3）所得多项式的一次项系数为 ．
（2）若计算（x2+x+1）（x2﹣3x+a）（2x﹣1）所得多项式不含一次项，求a的值．
（3）若（x+1）2021＝a x2021+a x2020+a x2019+…+a x+a ，则a ＝ ．
0 1 2 2020 2021 2020
【解答】解：（1）由题意得：一次项系数为：1×1×（﹣3）+2×3×（﹣3）+2×1×5＝﹣11；故答案为﹣11．
（2）∵不含一次项，∴一次项系数为0，即1×a×（﹣1）+1×（﹣3）×（﹣1）+1×a×2＝0，
解得a＝﹣3，∴a＝﹣3．
（3）∵（x+1）2021是2021个（x+1）相乘，
∵几个多项式相乘的积的一次项系数为每个多项式中一次项系数与另外的多项式的常数项的积之和
∴它的展开式的一次项系数为2021个 ＝1的和，
∴它的展开式的一次项系数为2021．∴a ＝2021．
2020
故答案为：2021．
6．（2014秋•雨花区校级月考）你能求（x﹣1）（x99+x98+x97+…+x+1）的值吗？
遇到这样的问题，我们可以先思考一下，从简单的情形入手．分别计算下列各式的值：
（1）（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1；
（2）（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1；
（3）（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1；
…
由此我们可以得到：
（x﹣1）（x99+x98+x97+…+x+1）＝ ；
请你利用上面的结论，完成下面两题的计算：
（1）299+298+297+…+2+1；
（2）（﹣2）50+（﹣2）49+（﹣2）48+…+（﹣2）+1．
【解答】解：根据题意：（1）（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1；
（2）（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1；
（3）（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1，故（x﹣1）（x99+x98+x97+…+x+1）＝x100﹣1，故答案为：x100﹣
1；
根据以上分析：
（1）299+298+297+…+2+1＝（2﹣1）（299+298+297+…+2+1）＝2100﹣1；
（2）（﹣2）50+（﹣2）49+（﹣2）48+…（﹣2）+1＝﹣ （﹣2﹣1）[（﹣2）50+（﹣2）49+（﹣2）
48+…（﹣2）+1]＝﹣ （﹣251﹣1）＝ ．题型三：与平方差公式、完全平方公式相关的的压轴题
7．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．
如：4＝22﹣02，12＝42﹣22，20＝62﹣42，因此4，12，20这三个数都是神秘数．
（1）28是神秘数吗？为什么？
（2）设两个连续偶数为2k+2和2k（其中k取非负整数），由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍
数吗？为什么？
（3）①若长方形相邻两边长为两个连续偶数，试说明其周长一定为神秘数．
②在①的条件下，面积是否为神秘数？为什么？
【解答】解：（1）∵28＝82﹣62，∴28是神秘数；2014不是神秘数，神秘数必须是4的倍数；
（2）两个连续偶数构造的“神秘数”是4的倍数，∵（2k+2）2﹣（2k）2＝8k+4＝4（2k+1），
∴神秘数是4的倍数；
（3）①设长方形相邻两边长分别为2n+2和2n，（n为正整数），则其周长为：
2[（2n+2）+2n]＝8n+4，∵（2n+2）2﹣（2n）2＝8n+4，
∴此长方形的周长＝（2n+2）2﹣（2n）2，即此长方形的周长等于两个连续偶数的平方差，
∴该长方形的周长一定为神秘数；
②该长方形的面积不为“神秘数”，理由如下：
长方形的面积为：（2n+2）•2n＝4n（n+1），设两个连续的偶数为2k+2和2k，（k为非负整数），
假设此长方形的面积为“神秘数”，则4n（n+1）＝（2k+2）2﹣（2k）2，即4n（n+1）＝8k+4，
∴n（n+1）＝2k+1，∵n为正整数，∴n（n+1）必为偶数，而2k+1为奇数，
∴n（n+1）＝2k+1不成立，∴假设此长方形的面积为“神秘数”不正确，
故该长方形的面积不为“神秘数”．
8．一个正整数m能写成m＝（a﹣b）（a+b）（a、b均为正整数，且a≠b），则称m为“美满数”，
a、b为m的一个完美变形，在m的所有完美变形中，若a2+b2最大，则称a、b为m的最佳完美变形，
此时F（m）＝a2+b2．例如：12＝（4+2）（4﹣2），12为“完美数”，4和2为12的一个完美变形，
32＝（9+7）（9﹣7）＝（6+2）（6﹣2），因为92+72＞62+22，所以9和7是32的最佳完美变形，所
以F（32）＝130．
（1）8 （填“是”或“不是”）完美数；
10 （填“是”或“不是”）完美数；
13 （填“是”或“不是”）完美数；
（2）求F（48）；
（3）若一个两位数n的十位数字和个位数字分别为x，y（1≤x≤y≤9），n为“完美数”且x+y能被
8整除，求F（n）的最小值．【解答】解：（1）∵8＝（3﹣1）×（3+1），∴8是完美数；∵10不能写成两个正整数和与差乘积的
形式，∴10不是完美数；∵13＝（7﹣6）×（7+6），∴13是（填“是”或“不是”）完美数．
故答案为：是，不是，是；
（2）a+b，a﹣b同为奇数或同为偶数，所以48＝24×2 或 48＝12×4 或48＝8×6，
，解得： ，
∵132+112＞82+42＞72+12∴F（n）＝132+112＝290
（3）由题可知：n＝10x+y＝（a+b）（a﹣b）．∵x+y能够被8整除且1≤x≤y≤9，
∴x+y＝8或x+y＝16
①当x+y＝8时，1≤x≤y≤9，∴x＝1或2或3或4，
即n＝17或26或35或44，而26不是“完美数”
或 ，
解得： 或 ．
F（17）＝92+82＝145，F（35）＝182+172＝613，F（44）＝122+102＝244
②当x+y＝16时，1≤x≤y≤9，∴x＝7或8，
∴n＝79或88
∴ 或 或 ，
解得 或 或 ，
∴F（79）＝402+392＝3121，F（88）＝232+212＝970，
∴F（n）的最小值为145．
9．（2018秋•天心区校级期中）【知识生成】我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代
数恒等式．
例如图1可以得到（a+b）2＝a2+2ab+b2，基于此，请解答下列问题：
（1）根据图2，写出一个代数恒等式： ．
（2）利用（1）中得到的结论，解决下面的问题：若a+b+c＝10，ab+ac+bc＝35，则a2+b2+c2＝
．
（3）小明同学用图3中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张宽、长分别为a、b的长
方形纸片拼出一个面积为（2a+b）（a+2b）长方形，则x+y+z＝ ．
【知识迁移】（4）事实上，通过计算几何图形的体积也可以表示一些代数恒等式，图 4表示的是一个
边长为x的正方体挖去一个小长方体后重新拼成一个新长方体，请你根据图4中图形的变化关系，写出一个代数恒等式： ．
【解答】解：（1）由图2得：正方形的面积＝（a+b+c）2；正方形的面积＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，
∴（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，…（2分）
故答案为：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；
（2）∵（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，∵a+b+c＝10，ab+ac+bc＝35，
∴102＝a2+b2+c2+2×35，∴a2+b2+c2＝100﹣70＝30，
故答案为：30；…（4分）
（3）由题意得：（2a+b）（a+2b）＝xa2+yb2+zab，∴2a2+5ab+2b2＝xa2+yb2+zab，
∴ ，∴x+y+z＝9，
故答案为：9；…（6分）
（4）∵原几何体的体积＝x3﹣1×1•x＝x3﹣x，新几何体的体积＝（x+1）（x﹣1）x，
∴x3﹣x＝（x+1）（x﹣1）x．故答案为：x3﹣x＝（x+1）（x﹣1）x．…（8分）
声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2022/9/30 11:17:31；用户：唐老师；邮箱：15874805147；学号：37181674
题型四：配方法的压轴题
10．（2020秋•长沙县校级月考）阅读下面文字内容并解决问题：
对于形如x2+2ax+a2的二次三项式，可以直接用完全平方公式把它分解成（x+a）2的形式．但x2+4x﹣5
＝（x2+4x+4）﹣4﹣5＝（x+2）2﹣9＝（x+2+3）（x+2﹣3），对于二次三项式x2+4x﹣5就不能直接用完全平方公式分解了，对此，我们可以填上一项4，使它与x2+4x构成一个完全平方式、然后再减去
4，这样整个多项式的值不变，即＝（x+5）（x﹣1）．
像这样，把一个二次三项式变成含有完全平方式的方法，叫做配方法．
请用配方法来解下列问题：
（1）用配方法因式分解：x2﹣6x+5；
（2）已知：x2+y2﹣8x+12y+52＝0，求（x+y）2的值；
（3）求x2+8x+7的最小值．
【解答】解：（1）x2﹣6x+5＝x2﹣6x+9﹣9+5＝（x﹣3）2﹣4＝（x﹣3+2）（x﹣3﹣2）＝（x﹣1）（x
﹣5）．
（2）∵x2+y2﹣8x+12y+52＝x2﹣8x+16+y2+12y+36＝（x﹣4）2+（y+6）2．
又∵x2+y2﹣8x+12y+52＝0，∴（x﹣4）2+（y+6）2＝0，∵（x﹣4）2≥0，（y+6）2≥0，
∴（x﹣4）2＝0，（y+6）2＝0，解得x＝4，y＝﹣6．∴（x+y）2＝（4﹣6）2＝4．
（3）x2+8x+7＝x2+8x+16﹣16+7＝（x+4）2﹣9，∵（x+4）2≥0，∴（x+4）2﹣9≥﹣9．
∴x2+8x+7的最小值为﹣9．
11．配方法可以用来解一元二次方程，还可以用它来解决很多问题．例如：因为 3a2≥0，所以
3a2+1≥1，即：3a2+1有最小值1，此时a＝0；同样，因为﹣3（a+1）2≤0，所以﹣3（a+1）2+6≤6，
即﹣3（a+1）2+6有最大值6，此时a＝﹣1．
（1）当x＝ 时，代数式2（x﹣1）2+3有最 （填写大或小）值为 ．
（2）当x＝ 时，代数式﹣x2+4x+3有最 （填写大或小）值为 ．
（3）矩形花园的一面靠墙，另外三面的栅栏所围成的总长度是 16m，当花园与墙相邻的边长为多少时，
花园的面积最大？最大面积是多少？
【解答】解：（1）∵（x﹣1）2≥0，
∴当x＝1时，（x﹣1）2的最小值为0，
则当x＝1时，代数式﹣2（x﹣1）2+3的最大值为3；
（2）代数式﹣x2+4x+3＝﹣（x2﹣4x+4）+7＝﹣（x﹣2）2+7，
则当x＝2时，代数式﹣x2+4x+3的最大值为7；
（3）设垂直于墙的一边为xm，则平行于墙的一边为（16﹣2x）m，
∴花园的面积为x（16﹣2x）＝﹣2x2+16x＝﹣2（x2﹣8x+16）+32＝﹣2（x﹣4）2+32，
则当边长为4米时，花园面积最大为32m2．故答案为：1；大；3；2；大；7．
12．（2021秋•天心区校级月考）上数学课时，王老师在讲完乘法公式（a±b）2＝a2±2ab+b2的多种运用
后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式x2+4x+5的最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结
出如下解答方法：
解：x2+4x+5＝x2+4x+4+1＝（x+2）2+1
∵（x+2）2≥0，
∴当x＝﹣2时，（x+2）2的值最小，最小值是0，
∴（x+2）2+1≥1
∴当（x+2）2＝0时，（x+2）2+1的值最小，最小值是1，
∴x2+4x+5的最小值是1．
请你根据上述方法，解答下列各题
（1）知识再现：当x＝ 时，代数式x2﹣6x+12的最小值是 ；
（2）知识运用：若y＝﹣x2+2x﹣3，当x＝ 时，y有最 值（填“大”或“小”），这个值是
；
（3）知识拓展：若﹣x2+3x+y+5＝0，求y+x的最小值．
【解答】解：（1）∵x2﹣6x+12＝（x﹣3）2+3，∴当x＝3时，有最小值3；故答案为3，3．
（2）∵y＝﹣x2+2x﹣3＝﹣（x﹣1）2﹣2，∴当x＝1时有最大值﹣2；故答案为1，大，﹣2．
（3）∵﹣x2+3x+y+5＝0，∴x+y＝x2﹣2x﹣5＝（x﹣1）2﹣6，∵（x﹣1）2≥0，
∴（x﹣1）2﹣6≥﹣6，∴当x＝1时，y+x的最小值为﹣6．
13．（2021秋•开福区校级期中）阅读下面材料，在代数式中，我们把一个二次多项式化为一个完全平方
式与一个常数的和的方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，它不仅可以将一个
看似不能分解的多项式因式分解，还能求代数式最大值，最小值等问题．
例如：求代数式：x2﹣12x+2020的最小值
解：原式＝x2﹣12x+62﹣62+2020
＝（x﹣6）2+1984
∵（x﹣6）2≥0，
∴当x＝6时，（x﹣6）2的值最小，最小值为0，
∴（x﹣6）2+1984≥1984，
∴当（x﹣6）2＝0时，（x﹣6）2+1984的值最小，最小值为1984，
∴代数式：x2﹣12x+2020的最小值是1984．
例如：分解因式：x2﹣120x+3456
解：原式＝x2﹣2×60x+602﹣602+3456＝（x﹣60）2﹣144
＝（x﹣60）2﹣122
＝（x﹣60+12）（x﹣60﹣12）
＝（x﹣48）（x﹣72）．
（1）分解因式x2﹣46x+520；
（2）若y＝﹣x2+2x+1313，求y的最大值；
（3）当m，n为何值时，代数式m2﹣2mn﹣2m+2n2﹣4n+2030有最小值，并求出这个最小值．
【解答】解：（1）x2﹣46x+520＝x2﹣46x+232﹣9＝（x﹣23）2﹣9＝（x﹣26）（x﹣20）；
（2）y＝﹣x2+2x+1313＝﹣x2+2x﹣1+1314＝﹣（x2﹣2x+1）+1314＝﹣（x﹣1）2+1314，
∵﹣（x﹣1）2≤0，∴﹣（x﹣1）2+1314≤1314，∴y的最大值1314；
（3）m2﹣2mn﹣2m+2n2﹣4n+2030＝m2﹣2m（n+1）+（n+1）2+n2﹣6n+9+2020
＝（m﹣n﹣1）2+（n﹣3）2+2020，当m﹣n﹣1＝0，n﹣3＝0时代数式有最小值，
解得m＝4，n＝3，最小值为2020．
14．（雨花区校级月考）对于形如x2+2xa+a2这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成（x+a）2的形
式．但对于二次三项式x2+2xa﹣3a2，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式 x2+2xa﹣
3a2中先加上一项a2，使它与x2+2xa的和成为一个完全平方式，再减去a2，整个式子的值不变，于是
有：
x2+2xa﹣3a2＝（x2+2xa+a2）﹣a2﹣3a2
＝（x+a）2﹣4a2
＝（x+a）2﹣（2a）2
＝（x+3a）（x﹣a）
像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为
“配方法”，利用“配方法”，解决下列问题：
（1）分解因式：a2﹣6a+8；
（2）若x2﹣2xy+2y2﹣2y+1＝0，求xy的值．
【解答】解：（1）a2﹣6a+8＝a2﹣6a+9﹣9+8＝（a﹣3）2﹣1＝（a﹣2）（a﹣4）．
（2）∵x2﹣2xy+2y2﹣2y+1＝0，∴x2﹣2xy+y2+y2﹣2y+1＝0，（x﹣y）2+（y﹣1）2＝0，
∵（x﹣y）2，≥0，（y﹣1）2≥0，∴x﹣y＝0，y﹣1＝0，x＝y＝1，∴xy＝1．
题型五：因式分解的压轴题
15.阅读，已知 ，ab=3，求 的值。解：因为已知 ，ab=3，
所以
请你根据上述解题思路解答下列问题：
（1）已知 ， ，求 的值；
（2）已知 ， ，求 的值。
【解答】解：（1） ；
而 ，所以原式= ；
（2） 。
16．先阅读下列材料，然后回答后面问题：
将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法．能分组分解的多项式通常
有
四项或六项，一般的分组分解有四种形式，即“ ”分法、“ ”分法、“ ”分法及“ ”
分
法等．
如“ ”分法：
如“ ”分法：
请你仿照以上方法，探索并解决下列问题：
（1）分解因式： ；
（2）分解因式： ；
（3）分解因式： ．
【解答】解：（1） ；
（2）
；（3） ．
17．将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是因式分解中的分组分解法，一般的
分组分解法有四种形式，即“ ”分法、“ ”分法、“ ”分法及“ ”分法等．
如“ ”分法：
请你仿照以上方法，探索并解决下列问题：
（1）分解因式： ；
（2）分解因式： ；
（3）分解因式： ．
【解答】解：（1） ；
（2） ；
（3） ．
18．（2019秋•雨花区校级月考）“十字相乘法”能把二次三项式分解因式，对于形如 ax2+bxy+cy2的关
于x，y的二次三项式来说，方法的关键是把x2项系数a分解成两个因数a ，a 的积，即a＝a •a ，把
1 2 1 2
y2项系数c分解成两个因数c ，c 的积，即c＝c •c ，并使a •c +a •c 正好等于xy项的系数b，那么可
1 2 1 2 1 2 2 1
以直接写成结果：ax2+bxy+cy2＝（a x+c y）（a x+c y）．
1 1 2 2
例：分解因式：x2﹣2xy﹣8y2．
解：如图1，其中1＝1×1，﹣8＝（﹣4）×2，而﹣2＝1×2+1×（﹣4）．
∴x2﹣2xy﹣8y2＝（x﹣4y）（x+2y）
而对于形如ax2+bxy+cy2+dx+ey+f的x，y的二元二次式也可以用十字相乘法来分解，如图2，将a分解
成mn乘积作为一列，c分解成pq乘积作为第二列，f分解成jk乘积作为第三列，如果mq+np＝b，
pk+qj＝e，mk+nj＝d，即第 1，2 列、第 2，3 列和第 1，3 列都满足十字相乘规则，则原式＝
（mx+py+j）（nx+qy+k）；
例：分解因式：x2+2xy﹣3y2+3x+y+2解：如图3，其中1＝1×1，﹣3＝（﹣1）×3，2＝1×2；
而2＝1×3+1×（﹣1），1＝（﹣1）×2+3×1，3＝1×2+1×1；
∴x2+2xy﹣3y2+3x+y+2＝（x﹣y+1）（x+3y+2）
请同学们通过阅读上述材料，完成下列问题：
（1）分解因式：
①6x2﹣17xy+12y2＝
②2x2﹣xy﹣6y2+2x+17y﹣12＝
③x2﹣xy﹣6y2+2x﹣6y＝
（2）若关于x，y的二元二次式x2+7xy﹣18y2﹣5x+my﹣24可以分解成两个一次因式的积，求m的值．
【解答】解：（1）①6x2﹣17xy+12y2＝（3x﹣4y）（2x﹣3y），
②2x2﹣xy﹣6y2+2x+17y﹣12＝（x﹣2y+3）（2x+3y﹣4），
③x2﹣xy﹣6y2+2x﹣6y＝（x﹣3y）（x+2y+2），
故答案为：①（3x﹣4y）（2x﹣3y），②（x﹣2y+3）（2x+3y﹣4），③（x﹣3y）（x+2y+2），
（2）如图，
m＝3×9+（﹣8）×（﹣2）＝43
或m＝9×（﹣8）+3×（﹣2）＝﹣78．
19．阅读下列材料：分解因式的常用方法有提取公因式法、公式法，但有部分项数多于 3的多项式只单
纯用上述方法就无法分解，如 ，我们细心观察这个式子就会发现，前三项符合完全平方
公 式 ， 进 行 变 形 后 可 以 与 第 四 项 结 合 再 运 用 平 方 差 公 式 进 行 分 解 ． 过 程 如 下 ：
，这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种分组
的思想方法解决下列问题：
1．知识运用：
试用“分组分解法”分解因式： ；2．解决问题：
（1）已知 ， ， 为 的三边，且 ，试判断 的形状．
（2）已知四个实数 ， ， ， ，满足 ， ，并且 ， ， ，
，同时成立．
①当 时，求 的值；
②当 时，用含有 的代数式分别表示 ， ， （直接写出答案即可）．
【解答】解：1．知识运用原式 ；
2．解决问题
（1） ， ， ，
， ， ，即 ，所以， 是等腰三角形；
（2）①当 时， ， ， ，即 ，
当 时，则 ；把 代入 ，得 ，当 时， ，则 ，
当 时， ，则 ，综上所述： 的值为 或6；
②当 时， ， ， ， ，
同理由 ，得 ，已知 ， ，
当 ，则 ， ， ，此时 ，不合题意，
当 ，则 ， ， ，
综上所述： ， ， ．
20．（2017秋•岳麓区校级期中）先阅读下列材料，再解答下列问题：
材料：因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1
解：将“x+y”看成整体，令x+y＝A，则
原式＝A2+2A+1＝（A+1）2
再将“A”还原，得：原式＝（x+y+1）2
上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法，请你解下列问题：
（1）因式分解：9+6（x﹣y）+（x﹣y）2＝ ．
（2）因式分解：（a+b）（a+b﹣8）+16．（3）证明：若n为正整数，则式子（n+1）（n+2）（n+3）（n+4）+1的值一定是某一个整数的平方．
【解答】解：（1）将“x﹣y”看成整体，令x﹣y＝A，则原式＝A2+6A+9＝（A+3）2
再将“A”还原，得：原式＝（x﹣y+3）2，故答案为：（x﹣y+3）2；
（2）因式分解：（a+b）（a+b﹣8）+16．将“a+b”看成整体，令a+b＝A，则
原式＝A（A﹣8）+16＝A2﹣8A+16＝（A﹣4）2再将“A”还原，得：原式＝（a+b﹣4）2；
（3）证明：（n+1）（n+2）（n+3）（n+4）+1＝（n+1）（n+4）•（n+3）（n+2）+1
＝（n2+5n+4）（n2+5n+6）+1，令n2+5n＝A，则原式＝（A+4）（A+6）+1＝A2+10A+25＝（A+5）2
＝（n2+5n+5）2，∵n为正整数，∴n2+5n+5是整数，
∴式子（n+1）（n+2）（n+3）（n+4）+1的值是某一个整数的平方．
21．（2021秋•长沙县期末）方法探究：
已知二次多项式x2﹣4x﹣21，我们把x＝﹣3代入多项式，发现x2﹣4x﹣21＝0，由此可以推断多项式
中有因式（x+3）．设另一个因式为（x+k），多项式可以表示成x2﹣4x﹣21＝（x+3）（x+k），则有
x2﹣4x﹣21＝x2+（k+3）x+3k，因为对应项的系数是对应相等的，即 k+3＝﹣4，解得k＝﹣7，因此多
项式分解因式得：x2﹣4x﹣21＝（x+3）（x﹣7）．我们把以上分解因式的方法叫“试根法”．
问题解决：
（1）对于二次多项式x2﹣4，我们把x＝ 代入该式，会发现x2﹣4＝0成立；
（2）对于三次多项式x3﹣x2﹣3x+3，我们把x＝1代入多项式，发现x3﹣x2﹣3x+3＝0，由此可以推断
多项式中有因式（x﹣1），设另一个因式为（x2+ax+b），多项式可以表示成x3﹣x2﹣3x+3＝（x﹣1）
（x2+ax+b），试求出题目中a，b的值；
（3）对于多项式x3+4x2﹣3x﹣18，用“试根法”分解因式．
【解答】解：（1）当x＝±2时，x2﹣4＝0，
故答案为：±2；
（2）由题意可知x3﹣x2﹣3x+3＝（x﹣1）（x2+ax+b），
∴x3﹣x2﹣3x+3＝x3﹣（1﹣a）x2﹣（a﹣b）x﹣b，∴1﹣a＝1，b＝﹣3，∴a＝0，b＝﹣3；
（3）当x＝2时，x3+4x2﹣3x﹣18＝8+16﹣6﹣18＝0，∴多项式有因式（x﹣2），
设另一个因式为（x2+ax+b），∴x3+4x2﹣3x﹣18＝（x﹣2）（x2+ax+b），
∴x3+4x2﹣3x﹣18＝x3+（a﹣2）x2﹣（2a﹣b）x﹣2b，∴a﹣2＝4，2b＝18，∴a＝6，b＝9，
∴x3+4x2﹣3x﹣18＝（x﹣2）（x2+6x+9）＝（x﹣2）（x+3）2．
