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抛物线中的阿基米德三角形 【知识拓展】 设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，直线l 与抛物线交于A，B 两点，过A，B 两点分 别作抛物线切线，切线相交于点C.由抛物线的弦AB，与过弦AB 的端点的两条 切线围成的△ABC 称为阿基米德三角形(线段AB 常称为阿基米德三角形的底边， C 称为顶点).阿基米德三角形的常见性质如下： (1)阿基米德三角形底边上的中线平行于抛物线的对称轴. (2)若阿基米德三角形的底边即弦AB 过抛物线内定点P(x0，y0)，则另一顶点C 的 轨迹为直线y0y＝p(x＋x0). (3)若阿基米德三角形的底边过焦点，则顶点C 的轨迹为准线，且CA⊥CB， CF⊥AB(F 为抛物线的焦点)，阿基米德三角形的面积的最小值为p2. (4)若直线l 与抛物线没有公共点，以l 上的点为顶点的阿基米德三角形的底边过 定点. (5)底边长为a 的阿基米德三角形的面积的最大值为. (6)点C 的坐标为(推论：阿基米德三角形的顶点C 的纵坐标与弦AB 的中点M 的 纵坐标相同，顶点C 的横坐标与弦AB 与x 轴交点D 的横坐标互为相反数). 【类型突破】 类型一 定点问题 例1 已知曲线C：y＝，D 为直线y＝－上的动点，过D 作C 的两条切线，切点 分别为A，B.证明：直线AB 过定点. 证明 设D，A(x1，y1)，则x＝2y1. 由于y′＝x，所以切线DA 的斜率为x1，故＝x1， 整理得2tx1－2y1＋1＝0. 设B(x2，y2)，同理可得2tx2－2y2＋1＝0. 故直线AB 的方程为2tx－2y＋1＝0. 所以直线AB 过定点. 规律方法 1.抛物线的切线方程可用解析法(Δ＝0)求解，但用导数更方便. 2.阿基米德三角形的顶点C 与底边AB 所在直线是极点极线. 训练1 (2024·武汉模拟改编)记曲线C 的方程为x2＝4y.设D 为直线y＝－2 上的动 点，过D 作C 的两条切线，切点分别是E，F.证明：直线EF 过定点. 证明 设D(t，－2)，E(x1，y1)，F(x2，y2)， 由y＝x2，得y′＝， 则kDE＝， 则直线DE 的方程为y－y1＝(x－x1)， 即y－y1＝x－， 将x＝4y1代入上式， 得x1x－2y1－2y＝0， 所以直线DE 的方程为x1x－2y1－2y＝0， 同理可得直线DF 的方程为x2x－2y2－2y＝0. 因为D(t，－2)在直线DE 上， 所以tx1－2y1＋4＝0， 又D(t，－2)在直线DF 上， 所以tx2－2y2＋4＝0， 则点E，F 的坐标都满足tx－2y＋4＝0， 所以直线EF 的方程为tx－2y＋4＝0，故直线EF 过定点(0，2). 类型二 轨迹问题 例2 如图，抛物线E：y2＝2px(p>0)与圆O：x2＋y2＝8 相交于A，B 两点，且点A 的横坐标为2.过劣弧AB上动点P(x0，y0)作圆O 的切线交抛物线E 于C，D 两点， 分别以C，D 为切点作抛物线E 的切线l1，l2，l1与l2相交于点M. (1)求p 的值； (2)求动点M 的轨迹方程. 解 (1)由点A 的横坐标为2，可得点A 的坐标为(2，2)，代入y2＝2px， 解得p＝1. (2)设C，D，y1≠0，y2≠0. 切线l1：y－y1＝k. 代入y2＝2x 得ky2－2y＋2y1－ky＝0， 由Δ＝0 解得k＝， ∴l1方程为y＝x＋， 同理l2方程为y＝x＋， 联立解得 ∵CD 的方程为x0x＋y0y＝8，其中x0，y0满足x＋y＝8，x0∈[2，2]， 联立得x0y2＋2y0y－16＝0， 则 代入可知M(x，y)满足 代入x＋y＝8 得－y2＝1， 考虑到x0∈[2，2]，知x∈[－4，－2]. ∴动点M 的轨迹方程为－y2＝1，x∈[－4，－2]. 规律方法 1.切点弦变化引起切线交点的变化是常见的轨迹问题. 2.寻找切点弦运动的因素与切线交点之间的关系后，常用代入法. 训练2 已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)是抛物线C：x2＝2y 上的不同两点，过A，B 分别作抛物线C 的切线，两条切线交于点P(x0，y0). (1)求证：x0是x1与x2的等差中项； (2)若直线AB 过定点M(0，1)，求证：原点O 是△PAB 的垂心； (3)在(2)的条件下，求△PAB 的重心G 的轨迹方程. (1)证明 对x2＝2y 求导得y′＝x， ∴直线PA：y＝x1(x－x1)＋y1， 即y＝x1x－. 同理，直线PB：y＝x2x－， 解得 ∴x0是x1与x2的等差中项. (2)证明 设直线AB：y＝kx＋1，代入x2＝2y 整理得x2－2kx－2＝0. ∴得 ∴kOP＝＝－，即AB⊥OP； kAP＝x1，kOB＝＝x2， ∴kAPkOB＝x1x2＝－1， ∴AP⊥OB，同理BP⊥OA， ∴原点O 是△PAB 的垂心. (3)解 设△PAB 的重心G(x，y)， 则x＝(x1＋x2＋x0)＝k， y＝(y1＋y2＋y0)＝(x＋x)－ ＝(x1＋x2)2－＝k2＋. ∵k∈R，∴点G 的轨迹方程为y＝x2＋. 类型三 面积问题 例3 (2024·南京模拟)已知点A(－4，4)，B(4，4)，直线AM 与BM 相交于点M， 且直线AM 的斜率与直线BM 的斜率之差为－2，点M 的轨迹为曲线C. (1)求曲线C 的轨迹方程； (2)Q 为直线y＝－1 上的动点，过Q 作曲线C 的切线，切点分别为D，E，求 △QDE 的面积S 的最小值. 解 (1)设M(x，y)，由题意可得－＝－2，化为x2＝4y. ∴曲线C 的轨迹方程为x2＝4y 且(x≠±4). (2)设Q(m，－1)，切线方程为y＋1＝k(x－m)， 联立 化为x2－4kx＋4(km＋1)＝0， 由于直线与抛物线相切可得Δ＝0， 即k2－km－1＝0. ∴x2－4kx＋4k2＝0，解得x＝2k. 可得切点(2k，k2)，由k2－km－1＝0. ∴k1＋k2＝m，k1·k2＝－1，∴切线QD⊥QE. ∴△QDE 为直角三角形，S＝|QD|·|QE|. 令切点(2k，k2)到Q 的距离为d，则d2＝(2k－m)2＋(k2＋1)2＝4(k2－km)＋m2＋(km ＋2)2＝4(k2－km)＋m2＋k2m2＋4km＋4 ＝(4＋m2)(k2＋1)， ∴|QD|＝， |QE|＝， ∴S＝(4＋m2) ＝(4＋m2)≥4， 当m＝0 时，即Q(0，－1)时，△QDE 的面积S 取得最小值4. 规律方法 关于阿基米德三角面积的性质在选择题、填空题中可直接运用，在解 答题中不能直接使用，但能帮助预先得出结果. 训练3 已知抛物线C：x2＝4y，过抛物线外一点N 作抛物线C 的两条切线，A， B 是切点. (1)若点N 的纵坐标为－2，求证：直线AB 恒过定点； (2)若|AB|＝m(m>0)，求△ABN 面积的最大值(结果用m 表示). (1)证明 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，N(x0，y0)， 由y＝x2得y′＝x， 则直线NA 的方程为y－y1＝(x－x1)， 即2(y－y1)＝x1x－4y1， 即x1x＝2(y＋y1)， 同理，直线NB 的方程为x2x＝2(y＋y2). 又直线NA 与直线NB 都过N(x0，y0)， 则x1x0＝2(y0＋y1)， x2x0＝2(y0＋y2)， 从而A(x1，y1)，B(x2，y2)均在直线x0x＝2(y0＋y)上， 故直线AB 的方程为x0x＝2(y0＋y). 又y0＝－2， 故直线AB 的方程为2(y－2)＝x0(x－0)， 故直线AB 过定点(0，2). (2)解 联立 得x2－2x0x＋4y0＝0， Δ＝4x－16y0>0， 则x1＋x2＝2x0，x1x2＝4y0， 则|AB|＝|x1－x2|＝·＝＝m， 于是，x－4y0＝， 又点N 到直线AB 的距离d＝＝， 所以S△ABN＝·d·|AB|＝··m＝·≤(当x0＝0 时取等号). 则△ABN 面积的最大值为. 【精准强化练】 一、单选题 1.过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F 作抛物线的弦，与抛物线交于A，B 两点，分别 过A，B 两点作抛物线的切线l1，l2相交于点P，△PAB 又常被称作阿基米德三角 形.△PAB 的面积S 的最小值为( ) A. B. C.p2 D.p2 答案 C 解析 由过焦点的阿基米德三角形的性质知，△PAB 的面积S 的最小值为p2. 2.(2024·北京海淀区模拟)阿基米德(公元前287 年—公元前212 年)是古希腊伟大 的物理学家、数学家和天文学家.他研究抛物线的求积法，得出一个著名的阿基 米德定理，并享有“数学之神”的称号.抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所 围成的三角形被称为“阿基米德三角形”.如图，在抛物线x2＝2py(p>0)上有两 个不同的点A(x1，y1)，B(x2，y2)，以A，B 为切点的抛物线的切线PA，PB 相交于 P.给出如下结论，其中正确的为( ) ①若弦AB 过焦点，则△ABP 为直角三角形且∠APB＝90°； ②点P 的坐标是； ③△PAB 的边AB 所在的直线方程为(x1＋x2)x－2py－x1x2＝0； ④△PAB 的边AB 上的中线与y 轴平行(或重合). A.②③④ B.①② C.①②③ D.①③④ 答案 D 解析 由阿基米德三角形的性质知，①④均正确，②错误； 对于③，由题意设A，B， 且x1≠x2，由x2＝2py，得y＝， 则直线AB 的斜率为k＝＝＝， 故直线AB 的方程为y－＝(x－x1)， 化简得(x1＋x2)x－2py－x1x2＝0，故③正确， 故选D. 3.(2024·厦门质检)抛物线上任意两点A，B 处的切线交于点P，称△PAB 为“阿 基米德三角形”，当线段AB 经过抛物线的焦点F 时，△PAB 具有以下特征： ①P 点必在抛物线的准线上；②PF⊥AB.若经过抛物线y2＝4x 的焦点的一条弦为 AB，“阿基米德三角形”为△PAB，且点P 的纵坐标为4，则直线AB 的方程为( ) A.x－2y－1＝0 B.2x＋y－2＝0 C.x＋2y－1＝0 D.2x－y－2＝0 答案 A 解析 设抛物线的焦点为F，由题意可知，抛物线y2＝4x 的焦点坐标为F(1， 0)，准线方程为x＝－1， 因为△PAB 为“阿基米德三角形”，且线段AB 经过抛物线y2＝4x 的焦点， 所以点P 必在抛物线的准线上，所以点P(－1，4)， 所以直线PF 的斜率为＝－2. 又因为PF⊥AB，所以直线AB 的斜率为， 所以直线AB 的方程为y－0＝(x－1)，即x－2y－1＝0，故选A. 4.已知抛物线C：y2＝2x 和点P，过C 的焦点F 且斜率为k 的直线l 与抛物线C 交 于A，B 两点，若PA·PB＝0，则k＝( ) A.1 B. C. D.－ 答案 A 解析 由题意，F，点P 在抛物线的准线上，且PA⊥PB， 所以△PAB 是阿基米德三角形，从而PF⊥AB，直线PF 的斜率kPF＝＝－1， 故直线AB 的斜率为1. 5.已知点M(1，0)，从抛物线x2＝4y 的准线l 上一点P 引抛物线的两条切线PA， PB，且A，B 为切点，则点M 到直线AB 的距离的最大值是( ) A. B. C.2 D.3 答案 A 解析 抛物线x2＝4y 的准线为y＝－1， 则切线弦AB 恒过定点(0，1)， 所以点M 到直线AB 的距离的最大值d＝＝. 6.(2024·济南调研)设抛物线C：y2＝6x 的焦点为F，过F 的直线交C 于A，B 两点， 分别以A，B 为切点作C 的切线l1，l2，若l1与l2交于点P，且满足|PF|＝2，则| AB|＝( ) A.5 B.6 C.7 D.8 答案 D 解析 因为弦AB 过焦点，故点P 在准线上，从而△APB 为直角三角形且 PF⊥AB，设过点P 的准线与x 轴的交点为T，则|FT|＝3， 进而可知∠PFO＝30°， 又∵∠PFB＝90°， 故θ＝∠AFx＝180°－(∠PFO＋∠PFB)＝60°， 由焦点弦公式可得|AB|＝＝＝8. 二、多选题 7.过抛物线y2＝4x 焦点F 的直线交抛物线于A，B 两点(A 在第一象限)，M 为线段 AB 的中点.M 在抛物线的准线l 上的射影为点N，则下列说法正确的是( ) A.|AB|的最小值为4 B.NF⊥AB C.△NAB 面积的最小值为6 D.若直线AB 的斜率为，则AF＝3FB 答案 ABD 解析 当AB⊥x 轴时，|AB|的值最小为2p＝4，由抛物线中的阿基米德三角形的 性质可得NF⊥AB，△NAB 的面积的最小值为p2＝4，故A，B 正确，C 错误； 若直线AB 的斜率为，设直线AB 的倾斜角为α，则cos α＝， 此时AF＝λFB， 由焦点弦定理得|ecos α|＝， 即＝，解得λ＝3 或λ＝， 由于A 在第一象限，故λ＝3，故D 正确. 8.(2024·长沙模拟)已知抛物线Γ：x2＝2py(p>0)，过其准线上的点T(t，－1)作Γ 的两条切线，切点分别为A，B，下列说法正确的是( ) A.p＝4 B.TA⊥TB C.当t＝1 时，直线AB 的斜率为2 D.直线AB 过定点(0，1) 答案 BD 解析 因为T(t，－1)为准线上的点，所以－＝－1，解得p＝2，故A 错误； 当t＝1 时，T 点坐标为(1，－1)，则过点T 向抛物线引的两条切线，其切点弦方 程为1×x＝4×，整理得x－2y＋2＝0，其斜率为，故C 错误； 由抛物线中阿基米德三角形的性质可知TA⊥TB，直线AB 过定点(0，1)，故B， D 正确. 三、填空题 9.(2024·石家庄调研)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，过点F 的直线与C 交于A，B 两点，在A，B 两点的切线相交于点P，若|PF|＝3，则＋的最小值为 ________. 答案 解析 如图，则有PF⊥AB，PA⊥PB⇒|PF|2＝|AF|·|BF|＝9， 所以＋≥2＝＝， 当且仅当|BF|＝2|AF|时取等号. 10.已知抛物线C：x2＝4y，过点P(1，－1)作抛物线C 的两条切线，切点分别为 A 和B，则经过P，A，B 三点的圆的方程为________. 答案 (x－1)2＋＝ 解析 由题意，点P 在抛物线C 的准线上， 则PA⊥PB，PF⊥AB，且直线AB 过焦点F(0，1)， 所以经过P，A，B 三点的圆就是以AB 为直径的圆， 直线PF 的斜率为＝－2， 所以直线AB 的斜率为， 其方程为y＝x＋1，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立 消去y 整理得x2－2x－4＝0， 故x1＋x2＝2，y1＋y2＝(x1＋x2)＋2＝3， 从而AB 中点为，|AB|＝y1＋y2＋2＝5， 所以经过P，A，B 三点的圆的方程为(x－1)2＋＝. 四、解答题 11.如图，抛物线C1：x2＝4y，C2：x2＝－2py(p>0).点M(x0，y0)在抛物线C2上， 过M 作C1的切线，切点为A，B(M 为原点O 时，A，B 重合于O).当x0＝1－时， 切线MA 的斜率为－. (1)求p 的值； (2)当M 在C2上运动时，求线段AB 中点N 的轨迹方程(A，B 重合于O 时，中点 为O). 解 (1)因为抛物线C1：x2＝4y 上任意一点(x，y)的切线斜率为y′＝，且切线MA 的斜率为－，所以A 点坐标为， 故切线MA 的方程为y＝－(x＋1)＋. 因为点M(1－，y0)在切线MA 及抛物线C2上，于是y0＝－(2－)＋＝－，① y0＝－＝－.② 由①②得p＝2. (2)设N(x，y)，A，B，x1≠x2， 由N 为线段AB 中点，知x＝，③ y＝.④ 切线MA，MB 的方程为y＝(x－x1)＋，⑤ y＝(x－x2)＋，⑥ 由⑤⑥得MA，MB 的交点M(x0，y0)的坐标为x0＝，y0＝. 因为点M(x0，y0)在C2上，即x＝－4y0， 所以x1x2＝－，⑦ 由③④⑦得x2＝y，x≠0. 当x1＝x2时，A，B 重合于原点O，AB 的中点N(0，0)满足x2＝y， 因此AB 中点N 的轨迹方程为x2＝y.
