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专题12 二次函数中的等腰直角三角形
类型一 构造弦图求解
1．如图，在平面直角坐标系xOy中， ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°， ， ，二次函
数 的图象经过C点，求二次函数的解析式．
2．如图，点 是y轴正半轴上的点，点A的坐标为 ，以AC为边作等腰直角三角形ABC，其中，
， ，以点B为顶点的抛物线经过点A且和x轴交于另一点D，交y轴于点E．
（1）点B的坐标为_____________；
（2）求抛物线的函数表达式；
（3）在第一象限的抛物线上是否存在点P，使得 ？若存在求点P的坐标，不存在则说明理由．
类型二 已知两定点确定第三点
3．如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=a（x+1）（x﹣3）的图象与x轴交于A，B两点（点A在
点B的左侧），与y轴交于C点，顶点M的纵坐标为－4．
（1）直接写出点A的坐标 ，点B的坐标 ；
（2）求出二次函数的解析式；
（3）如图，在平面直角坐标系xOy中找一点D，使得△ACD是以AC为斜边的等腰直角三角形，试求出点
D的坐标；
4．在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+2的图象与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴
交于点C．
（1）求这个二次函数的关系解析式；
（2）在平面直角坐标系中，是否存在点Q，使△BCQ是以BC为腰的等腰直角三角形？若存在，直接写出
点Q的坐标；若不存在，说明理由；
5．如图，在平面直角坐标系 中，抛物线 与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），
与y轴交于点C， ，顶点为D，对称轴交x轴于点E．
（1）求抛物线的解析式、对称轴及顶点D的坐标．
（2）在y轴上是否存在点M，使得 是等腰直角三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）直线AC下方的抛物线上有一动点P，直线AC上有一动点Q，若以点P、C、Q为顶点的三角形是等
腰直角三角形，求出点Q的坐标．
（4）点P在x轴上方的抛物线上，点Q在y轴正半轴上，当 是以AQ为斜边的等腰直角三角形时，
求出符合条件的点P的坐标．
6．在平面直角坐标系 中，二次函数 的图像与 轴交于点A，B（点B在点A的左侧），与 轴交于点C，过动点H（0, ）作平行于 轴的直线，直线与二次函数 的图
像相交于点D，E．
(1)写出点A,点B的坐标；
直线上是否存在一点F，使得△ACF是等腰直角三角形？若存在，求 的值；若不存在，请说明理由．
7．已知抛物线 经过点 ，与x轴的另一个交点为C，点A在线段 上，过
点A作 轴于点B．
（1）求抛物线的解析式；
（2）以 为边在其左侧作等腰直角三角形 ，问点D能否落在抛物线上，若能，求出点D的坐标，
若不能，请说明理由．
8．如图，二次函数的图象与 轴交于点 ，顶点为 ，对称轴 与 轴交于点 ，点 是二次
函数图象上一动点， 交其对称轴于点 ，点 关于点 成中心对称，连接 ．（1）求该二次函数的解析式；
（2）若点 在二次函数图象上运动，当 为等腰直角三角形时，请直接写出点 的坐标．
9．如图，已知抛物线 与 轴相交于A、B两点，与 轴相交于点C，过点A的直线 与
抛物线相交于另一点D．
(1)分别求出点A、B、C的坐标；
(2)点P为抛物线上一动点，点E为直线AD上一动点，求以点A、P、E为顶点的三角形为等腰直角三角形
时点P的坐标．
10．如图，已知点A的坐标为（－2，0），直线y＝－ x＋3与x轴，y轴分别交于点B和点C，连接
AC，顶点为D的抛物线y＝ax2＋bx＋c，过A，B，C三点．
（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）设点M是线段BC上的一动点，过点M作MN∥AB，交AC于点N．点Q从点B出发，以每秒1个单
位长度的速度沿线段BA向点A运动，运动时间为t（秒）．当以MN为直角边的△QMN是等腰直角三角形
时，直接写出此时t的取值．
11．已知：二次函数 的图象与x轴交于点A、 ，顶点为
求该二次函数的解析式；
如图，过A、C两点作直线，并将线段AC沿该直线向上平移，记点A、C分别平移到点D、E处 若点F
在这个二次函数的图象上，且 是以EF为斜边的等腰直角三角形，求点F的坐标；
