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专题28 一次函数与等腰直角三角形结合
1．如图，在平面直角坐标系中，点 ，点 ，点 是直线 上一点，且
，则点 的坐标为______．
【答案】
【分析】将线段 绕点 逆时针旋转 得到线段 ，根据全等三角形的性质易得到 ，
取 的中点 ，直线 与直线 的交点即为点 求出直线 的解析式，利用方程
组确定交点 坐标即可．
【详解】解：将线段 绕点 逆时针旋转 得到线段 ，过点B作y轴的垂线与分别过点A，
作x轴的垂线，交于点M和点N， 交x轴于点E，MN与y轴交于点C，如下图．
∴ ，
∴ ，
由旋转的性质可知， ， ，
∴ ，∴ ，
∴ (AAS)，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
取 的中点 ，
直线 与直线 的交点即为点 ，
设直线 的解析式为 ，
把B、K坐标代入得 ，
解得 ，
∴直线 的解析式为 ，
将直线 与直线 联立组成方程组 ，
解得 ，
点 坐标为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查一次函数图象上的点的特征，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，待定系数法求一次函数解析式等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊三角形
解决问题．
2．如图，已知点 在直线 ： 上， 和 ： 的图像交于点 ，且点 的横
坐标为 ．
(1)直接写出 、 的值；
(2)若点 是直线 上一点，且 ，求出点 的坐标．
【答案】(1) ，
(2)点 的坐标为
【分析】（1）根据题意，把点 代入 ，点 的横坐标为 代入 ，即可求解；
（2）过 作 交 于 ，过 作 轴，过 作 于 ，过 作 于
，可证 是等腰直角三角形，从而证明 ，设 ，可得点 坐
标 ，由此即可求解．
【详解】（1）解：将点 的坐标代入 中，得 ，
∴ ，
∴直线 的解析式为 ，
将 代入 中，解得： ，
∴点 的坐标为 ，将点 的坐标代入 中，则 ，解得： ，
综上所述： ， ．（2）解：过 作 交 于 ，过 作 轴，过 作 于 ，过 作
于 ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ， ，
设 ，
∵ ，
∴ ， ， ， ，
∴点 坐标 ，
把 代入 中，得 ，解得： ，
∴点 的坐标为 ．
【点睛】本题主要考查一次函数图形的性质，掌握一次函数的图形在平面直角坐标系中的特点是
解题的关键．3．如图1，在平面直角坐标系中，直线 ： 过点 和 ， 与 互相垂直，且
相交于点 ，D为x轴上一动点．
(1)求直线 与直线 的函数表达式；
(2)如图2，当D在x轴负半轴上运动时，若 的面积为8，求D点的坐标；
(3)如图3，直线 上有一动点P．若 ，请直接写出P点坐标．
【答案】(1)直线 的函数表达式为： ；直线 的函数表达式为：
(2)
(3) 或
【分析】（1）根据待定系数法求直线 的函数表达式，根据点 在 上，求出点 的坐标，
根据待定系数法求直线 的函数表达式即可；
（2）设 ，根据 ，即可求出答案；
（3）设出点 的坐标，根据条件可知为 等腰直角三角形，根据 ，列出方程解出即
可．
【详解】（1）解： 直线 与过点 和 ，
，解得 ，
直线 的函数表达式为： ，
与 互相垂直，且相交于点 ，
，
，
设直线 的函数表达式为 ，
，解得 ，
直线 的函数表达式为： ；
（2）解：设 ，
、 ， ，
，
，
点的坐标为 ；
（3）解：设点 的坐标为 ，
，
等腰直角三角形，
，即 ，
， ，
， ，
，
，
解得 或 ，或 ．
【点睛】本题是一次函数的综合题，考查了待定系数法求函数解析式，三角形面积，等腰三角形
的性质，利用数形结合是解题的关键．
4．如图，在平面直角坐标系中，一次函数 的图象经过 ， ，D三点，
点D在x轴上方，点C在x轴正半轴上，且 ，连接 ，已知 ．
(1)求直线 的表达式；
(2)求点D的坐标；
(3)在线段 上分别取点M，N，使得 轴，在x轴上取一点P，连接
是否存在点M，使得 为等腰直角三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理
由．
【答案】(1)线段 的表达式
(2)点D的坐标为
(3)存在，点M的坐标为 或
【分析】（1）利用待定系数法求直线 的解析式；
（2）根据三角形面积公式得到D到 的距离等于B点到 的距离的2倍，即D点的纵坐标为
4，然后利用直线 的解析式计算函数值为4所对应的自变量的值，从而得到D点坐标．
（3）先求出直线 的表达式,再求出点N的坐标为 ，分情况讨论即可.【详解】（1）解：将点 代入 ，得 解得
线段 的表达式
（2）已知 ，且点C在x轴正半轴上，
∴点 ，
设点D的坐标为 ，如解图①，过点D作x轴的垂线交x轴于点H，则
即 ，解得 ，
∴点D的坐标为
（3）存在，点M的坐标为 或 ，设直线 的表达式为
将点 代入 ，得 ，解得
直线 的表达式 ．
已知点M在线段 上，设点M的坐标为 ，则 ，
轴，且点N在 上
∴将 代入 ，得， ，解得 ．
点N的坐标为
分三种情况讨论：①如解图②，当M为直角顶点时，点P的坐标为
，
解得： ，
点M的坐标为
②如解图③，当N为直角顶点时，点M的坐标与①中情况相同；
③如解图④，当P为直角顶点时， ，过点P作 轴，交MN于点Q，
易得点Q为MN的中点，且 ，点Q的坐标为 ，
，
，
解得 ，
∴点M的坐标为综上所述，点M的坐标为 或
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：求一次函数 ,则需要两组x,y的值．也
考查了一次函数的性质，解题关键是分情况进行讨论．
5．【探索发现】如图1，等腰直角三角形 中， ， ，直线 经过点 ，
过 作 于点 ．过 作 于点 ，则 ，我们称这种全等模型为“
型全等”．（不需要证明）
【迁移应用】已知：直线 的图象与 轴、 轴分别交于 、 两点．
(1)如图2，当 时，在第一象限构造等腰直角 ， ；
①直接写出 ______， ______；
②点 的坐标______；
(2)如图3，当 的取值变化，点 随之在 轴负半轴上运动时，在 轴左侧过点 作 ，并
且 ，连接 ，问 的面积是否发生变化?（填“变”或“不变”），若不变，其值
为______；若变，请说明理由；(3)【拓展应用】如图4，当 时，直线 与 轴交于点 ，点 、 分别是直线
和直线 上的动点，点 在 轴上的坐标为 ，当 是以 为斜边的等腰直角三角
形时，点 的坐标是______．
【答案】(1)① ， ；②
(2)不变， 的面积为定值 ，理由见解析
(3)点 的坐标为 或
【分析】（1）)①若 ，则直线 与 轴， 轴分别交于 ， ， ， 两点，
即可求解；
②作 于 ，则 ．由全等三角形的性质得 ， ，即可
求解；
（2）由点 随之在 轴负半轴上运动时，可知 ，过点 作 于 ，则
．由全等三角形的性质得 ，根据三角形的面积公式即可求解；
（3）过点 作 轴于 ，过点 作 于 ，证明 ．分两种情况，由全等
三角形的性质得 ， ，可得点 的坐标，将点 的坐标代入 求得 的
值，即可求解．
【详解】（1）解：①若 ，则直线 为直线 ，当 时， ，
, ，
当 时， ，
, ，
， ，
故答案为： ， ；
②作 于 ，
，
，
又 是以 为直角顶点的等腰直角三角形，
， ，
，
，
，
， ，
，
点 的坐标为 ；
（2）当 变化时， 的面积是定值， ，理由如下：
当 变化时，点 随之在 轴负半轴上运动时，
，
过点 作 于 ，，
，
，
，
，
，
又 ，
．
，
，
变化时， 的面积是定值， ；
（3）当 时，过点 作 轴于 ，过点 作 于 ，
，
，
，
，，
又 ，
．
， ，
，
点 的坐标为 ， ，
，
直线 ，
将点 的坐标代入 得， ，
解得： ，
点 的坐标为 ；
当 时，过点 作 轴于 ，过点 作 于 ，
，
，
，
，
，
又 ，．
， ，
，
点 的坐标为 ，
，
直线 ，
将点 的坐标代入 得， ，
解得： ，
点 的坐标为 ．
综上，点 的坐标为 或 ．
【点睛】本题是一次函数综合题，主要考查了一次函数的图像及性质，坐标与图形，等腰直角三
角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握一次函数的图像及性质，构造全等三角形解题
是关键．
二、解答题(共0分)
6．如图，平面直角坐标系中，直线 交y轴于点 ，交x轴于点B．直线
交AB于点D，交x轴于点E，P是直线 上一动点，且在点D的上方，设 ．
(1)求直线 的解析式；
(2)当 时，在第一象限内找一点C，使 为等腰直角三角形，求点C的坐标．【答案】(1)
(2) 或 或
【分析】（1）把A的坐标代入直线 的解析式，即可；
（2）过点A作 ，垂足为M，求得 的长，再由 和 可求出
点P的坐标，然后分三种情况讨论：若 ，过点C作 于点N；若
，过点C作 轴于点F；若 ，即可求解．
【详解】（1）解：∵ 经过 ，
∴ ，
∴直线 的解析式是 ；
（2）解：当 时， ，解得 ，
∴点 ．
∴ ，
过点A作 ，垂足为M，则有 ，
∵ 时， ，P在点D的上方，
∴ ，
∴ ；∵ ，
∴ ，解得 ，
∴点 ．
根据题意得： ， ，
∴ ，
∴ ．
若 ，过点C作 于点N，如图，
∵ ，
∴ ．
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
若 ，如图，过点C作 轴于点F．
∵ ，
∴ ．又∵ ，
∴ ．
∴ ，
∴ ，
∴ ；
若 ，如图，
∴ ，
∵
∴ ，
∴ ，
∴ ；
∴点C的坐标是 或 或 ．
【点睛】本题主要考查了一次函数的几何应用，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判
定和性质，利用数形结合思想和分类讨论思想解答是解题的关键．
7．如图，在平面直角坐标系 中，直线 交x轴于点 ，与y轴交于点 ，且a，p
满足 ．(1)求直线 的解析式；
(2)如图1，直线 与x轴交于点N，点M在x轴上方且在直线 上，若 的面积等于
6，请求出点M的坐标；
(3)如图2，已知点 ，若点B为射线 上一动点，连接 ，在坐标轴上是否存在点Q，使
是以 为底边，点Q为直角顶点的等腰直角三角形，若存在，请直接写出点Q坐标；若
不存在，请说明理由．
【答案】(1)直线AP的解析式为
(2)
(3)Q的坐标为 或 或 ，理由见解析
【分析】（1）由非负数的性质求出 ，得到 ，由待定系数法求出直线
的解析式即可；
（2）过 作 交x轴于D，连接 ，由三角形面积关系得到 ，进而得到
，待定系数法求出直线 的解析式，即可得到点M的坐标；
（3）设 ，分三种情况分别求解点Q的坐标即可．【详解】（1）解：∵ ，
解得 ，
∴ ，
设直线 的解析式为 ，
∴ ，解得 ，
∴直线AP的解析式为 ；
（2）过 作 交x轴于D，连接 ，
∵ ， 的面积等于6，
∴ 的面积等于6，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ，
设直线 的解析式为 ，则 ，
∴ ，
∴直线 的解析式为 ，
令 ，得 ，∴ ；
（3）Q的坐标为 或 或 ．
理由如下：
设 ，
①当点Q在x轴负半轴时，过B作 轴于E，如图，
∴ ，
∵ 是以 为底边的等腰直角三角形，
∴ ， ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
②当Q在y轴正半轴上时，过C作 轴于F，过B作 轴于G，如图，∴ ， ，
∵ 是以 为底边的等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 即 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
③当Q在y轴正半轴上时，过点C作 轴于F，过B作 轴于T，如图，
∴ ， ，同②可证 ，
∴ ， ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
综上，Q的坐标为 或 或 ．
【点睛】此题是一次函数和几何综合题，考查了待定系数法、全等三角形的判定和性质、等腰直
角三角形的性质等知识，通过作辅助线构造全等三角形是解题的关键．
8．如图，直线 过点 ．
(1)求直线 的解析式；
(2)如图2，点M，点N分别为x轴，y轴上一动点，求 的最小值及此时点M的坐标；
(3)如图3，在（2）问的条件下，过点B作 垂直于y轴，点P为直线AB上一动点，点Q为直线
上一动点，若 是以 为腰的等腰直角三角形，直接写出所有满足条件的点Q坐标．
【答案】(1)
(2) ，(3) ， ，
【分析】（1）利用待定系数法将 代入 求解即可；
（2）作A点关于x轴的对称点 ，作B关于y轴的对称点 ，连接 ，根据
两点之间线段最短得到当且仅当 四点共线时取最小值，然后根据勾股定理求解即可；
（3）根据就，分情况讨论，分别令 ， ，然后利用三角形全等，和点Ｐ在直线
上，求出点P的坐标，从而求出点Q的坐标．
【详解】（1）将 代入直线AB解析式得：
解得： ，
∴ ；
（2）作A点关于x轴的对称点 ，作B关于y轴的对称点 ，连接
∴
当且仅当 四点共线时取最小值，
最小值 ，
∵
∴直线 解析式为 ，令 ，解得
∴ ，
∴ 的最小值为 ，此时M点坐标为 ；（3）①当 时，点P在x轴上方时，过点P坐 轴于点C，作 轴于点D，如
图所示，
在 和 中，
∴
∴点P的横坐标为 ，代入直线 的解析式，
∴点 ，
∴点 ；
②当 时，点 在x轴下方时，过点 作 轴于点 ，作 轴于点 ，如
图所示，同理可证，
∴ ，
∴点P的横坐标为5，代入直线 的解析式，
∴ ，
∴点 ；
③当 时，过点 作 于点E，过点 作 于点F，如图所示，
同理可证，
∴ ，
设点 的坐标为 ，则点 的横坐标为
，点 的纵坐标为 ，
将点 的横坐标代入直线 的解析式．
，解得 ，∴点 ．
综上所述，点Q坐标为 ， ， ．
【点睛】此题考查了一次函数和三角形结合综合题，动点问题，等腰三角形的性质，勾股定理，
全等三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
9．如图，在平面直角坐标系中，直线 为 与x，y轴分别交于A，B两点，点C在y
轴的负半轴上，若将 沿直线 折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点D处．
(1)点A坐标是 ，点B的坐标是 ． 的长是 ．
(2)求点C的坐标．
(3)若点M是y轴上一动点，若 ，直接写出点M坐标．
(4)在第一象限内是否存在一点P，使 为等腰直角三角形，若存在，直接写出点P坐标，若不
存在，说明理由．
【答案】(1) ，5
(2)
(3) 或
(4)存在，点P的坐标为 或 或
【分析】（1）利用一次函数解析式直接求出其图象与x轴和y轴的交点坐标，即为A，B的坐标，
再根据两点的距离公式即可求出 的长；（2）由折叠知 ，从而可求出 ．设 ，则 ．在
中，利用勾股定理可列出关于x的等式，解出x，即可求出C点坐标；
（3）由三角形面积公式可求出 ．设 ，则 ，从而得出关于t的
方程，解出t即可得出M点坐标；
（4）分类讨论：①当 ， 时，过点P作 轴于点G．易证
，得出 ， ，从而得出 ；②
当 ， 时，过点P作 轴于点H．由①同理可求出 ；③当
， 时，过点P作 轴于点M， 轴于点N．易证
，得出 ， ．即可设 ，得出 ，解出a，
即得出P点坐标．
【详解】（1）对于 ，令 ，则 ，
解得： ，
∴ ．
令 ，则 ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ，5；
（2）由折叠知： ，
∴ ．
设 ，则 ．
∵在 中， ,
∴ ，
解得： ，
∴ ，
∴ ；（3）∵ ， ，
∴ ．
设 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得： 或20，
∴ 或 ；
（4）分类讨论：①当 ， 时，如图，过点P作 轴于点G．
∴ ， ，
∴ ．
即在 和 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
②当 ， 时，如图，过点P作 轴于点H．由①同理可证 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
③当 ， 时，如图，过点P作 轴于点M， 轴于点N．
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
又∵ ， ，
∴ ，
∴ ， ．
∴可设 ，
∴ ， ，∴ ，
解得： ．
∴ ；
综上可知，存在一点P，使 为等腰直角三角形，点P的坐标为 或 或 ．
【点睛】本题考查一次函数与坐标轴的交点，坐标与图形，折叠的性质，勾股定理，三角形全等
的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，综合性强，较难．利用数形结合和分类讨论的思
想是解题关键．
10．如图，直线 与x轴交于点 ，与y轴交于点 ，P是x轴上的动点．
(1)求k的值．
(2)连结PB，当 时，求OP的长．
(3)过点P作AB的平行线，交y轴于点M，点Q在直线 上．是否存在点Q，使得 是等
腰直角三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1) ；
(2)OP=1；
(3)存在， 点坐标为： 或 或 ．
【分析】（1）根据待定系数法得出解析式解答即可；
（2）设P（m，0），根据勾股定理得出方程解答即可；
（3）设Q（2，t），分下列情况：①当 PMQ是等腰直角三角形，∠MPQ=90°时，如图1；②当
PMQ是等腰直角三角形，∠PMQ=90°△时，如图2；③当 PMQ是等腰直角三角形，∠PQM=90°
△时，如图3；④当 PMQ是等腰直角三角形，∠PQM=90°△时，如图4；分别利用全等三角形的判定
△和性质列出方程即可得到结论．
【详解】（1）将 ， 代入 得：
，
解得： ，
的值是 ；
（2）设 ，
， ，
， ， ，
，
，即 ，
解得 ，
；
；
（3）存在， 点坐标为： 或 或 ．
过点Q作平行于 轴的直线，点 在直线 上，设直线 交 轴于点 ，
设 ，
， ，
直线 的解析式为： ，
设点 的坐标为 ，
过点 作 的平行线，交 轴于点 ，
直线 的解析式为： ，
， ， ，
①当 是等腰直角三角形， 时，如图1，则 ，
，
，
，
，
，
，
， ，
，
，
联立方程组得 ，
解得： ，
；
②当 是等腰直角三角形， 时，如图2，则 ，
①，
过点 作 直线 ，垂足为 ，
则 ， ，
，
，
，
，
， ，
， ，
，
，
，
，
，
；
③当 是等腰直角三角形， 时，如图3，则 ，
过点 作 轴于点 ，
则 ，
轴，
，
，
，
，
，
，
；
④当 是等腰直角三角形， 时，如图4，
则 ，
过点 作 轴于点 ，
则 ，
，
，，
， ，
， ，
，
；
综上所述， 点坐标为： 或 或 ．
【点睛】此题是一次函数综合题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，两点间距离公式，勾股
定理，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握方程的思想方法及分类讨论
思想是解本题的关键．
11．如图，直线l：y＝2x﹣4与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线l 与x轴交于点D，与y轴交
1 2
于点C，BC＝6，OD＝3OC．
(1)求直线CD的解析式；
(2)点Q为直线AB上一动点，若有S QCD＝2S OCD，请求出Q点坐标；
(3)点M为直线AB上一动点，点N为△直线x轴上△一动点，是否存在以点M，N，C为顶点且以MN
为直角边的三角形是等腰直角三角形，若存在，请直接写出点M的坐标，并写出其中一个点M求
解过程，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2) 或
(3)M（2，0）或（4，4）或（ ， ），过程见详解
【分析】（1）根据直线 的解析式分别求出C、D坐标即可求CD的表达式；（2）过点Q作 交CD于点F，设Q（m，2m-4），则F（m， ），E（m，0）；得
，由S QCD＝2S OCD，即可求解；
△ △
（3）假设以点M，N，C为顶点且以MN为直角边的三角形是等腰直角三角形，设M（a，
2a-4），N（t，0），①若∠MNC=90°，过点N作平行于y轴的直线与点C与x轴的平行线交于点
I，与点M与x轴的平行线交于点H，证 ，由 ，即可求点
M；②若∠CMN=90°，过点M作平行于x轴的直线分别交y轴于点J，与过点N平行于y轴的直线
交于点K，证 ，解 ，即可；
【详解】（1）解：将x=0代入y=2x-4中得，y=-4，
∴B（0，-4），
∵BC=6，
∴OC=2
∴C（0，2）
∵OD=3OC，
∴OD=6，
∴D（6，0），
设CD的解析式为 ，
将C、D代入得， ，
解得： ，
∴CD的解析式为： ．
（2）如图，过点Q作 交CD于点F，由题意可设Q（m，2m-4），则F（m， ），E（m，0）；
∴
∴
∵S QCD＝2S OCD，
△ △
∴ ，
∴ ，
∴ 或 ，
∴Q点的坐标为 或 ．
（3）假设以点M，N，C为顶点且以MN为直角边的三角形是等腰直角三角形，
设M（a，2a-4），N（t，0），
①当点M与点A重合，点N与点O重合，∠CNM=90°，CN=MN=2时，
此时M（2，0）；
②若∠CMN=90°，
过点M作平行于x轴的直线分别交y轴于点J，与过点N平行于y轴的直线交于点K，
∵∠CMN=90°，
∴∠CMJ+∠NMK=90°，
∵∠CMJ+∠MCJ=90°，
∴∠NMK=∠MCJ，
∵∠NMK+∠MNK=90°，
∴∠MNK=∠CMJ，∵CM=MN，
∴ ，
∴CJ=MK，JM=NK，
∴ ，
解得：a= 或4，
∴M（4，4）或（ ， ）．
【点睛】本题主要考查一次函数，三角形的全等证明，等腰直角三角形的性质，掌握相关知识并
正确做出辅助线是解题的关键．
12．模型建立：如图1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线ED经过点C，过
A作 于D，过B作 于E．
(1)求证： ；
(2)模型应用：
①已知直线 ：y＝﹣ x﹣4与y轴交于A点，将直线 绕着A点逆时针旋转45°至 ，如图2，求
的函数解析式；②如图3，矩形ABCO，O为坐标原点，B的坐标为（8，﹣6），A，C分别在坐标轴上，P是线段
BC上动点，设PC＝m，已知点D在第四象限，且是直线y＝ 上的一点，若△APD是不以
点A为直角顶点的等腰直角三角形，请求出点D的坐标．
【答案】(1)见解析
(2)①y＝﹣ x﹣4；②（4，﹣2）或（ ，﹣ ）或（ ，﹣ ）
【分析】（1）先根据△ABC为等腰直角三角形得出CB＝CA，再由AAS定理可知△ACD≌△CBE；
（2）①过点B作BC⊥AB于点B，交 于点C，过C作CD⊥x轴于D，根据∠BAC＝45°可知△ABC
为等腰直角三角形，由（1）可知△CBD≌△BAO，由全等三角形的性质得出C点坐标，利用待定系
数法求出直线 的函数解析式即可；②分三种情况考虑：如图3所示，当∠ADP＝90°时，AD＝
PD，设D点坐标为（x， 2x+6），利用三角形全等得到 ，得D点坐标；如图
4所示，当∠APD＝90°时，AP＝PD，设点P的坐标为（8， m），表示出D点坐标为（14 m，
m 8），列出关于m的方程，求出m的值，即可确定出D点坐标；如图5所示，当∠ADP＝90°
时，AD＝PD时，同理求出D的坐标．
【详解】（1）证明：∵△ABC为等腰直角三角形，
∴CB＝CA，
又∵AD⊥CD，BE⊥EC，
∴∠D＝∠E＝90°，∠ACD+∠BCE＝180°﹣90°＝90°，
又∵∠EBC+∠BCE＝90°，
∴∠ACD＝∠EBC，
在△ACD与△CBE中，
，
∴△ACD≌△EBC（AAS）；
（2）解：①过点B作BC⊥AB于点B，交 于点C，过C作CD⊥x轴于D，如图2，∵∠BAC＝45°，
∴△ABC为等腰直角三角形，
由（1）可知：△CBD≌△BAO，
∴BD＝AO，CD＝OB，
∵直线 ：y＝ x 4，
∴A（0， 4），B（ 3，0），
∴BD＝AO＝4．CD＝OB＝3，
∴OD＝4+3＝7，
∴C（ 7， 3）
设 的解析式为y＝kx+b（k≠0），
∴
∴ ，
∴ 的解析式： ；
②如图3，当∠ADP＝90°时，AD＝PD，
∵ ，
∴ ，
∴
∵点D在第四象限，且是直线y＝ 上的一点，
∴设D点坐标为（x， 2x 6），
∵B的坐标为（8，﹣6），∴
∴ ，
即
解得 ，
∴D点坐标（4， 2）；
如图4，当∠APD＝90°时，AP＝PD，同理可得 ，
过D作x轴的平行线EF，交直线OA于E，交直线BC于F，
设点P的坐标为（8， m），
则D点坐标为（14 m， m 8），
由 m 8＝ 2（14 m）+6，得m＝ ，
∴D点坐标（ ， ）；
如图5，当∠ADP＝90°时，AD＝PD时，同理可求得D点坐标（ ， ），
综上可知满足条件的点D的坐标分别为（4， 2）或（ ， ）或（ ， ），
【点睛】本题属于一次函数综合题，主要考查了点的坐标、矩形的性质、待定系数法、等腰直角
三角形的性质以及全等三角形等相关知识的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角
形，运用全等三角形的性质进行计算，需要考虑的多种情况，解题时注意分类思想的运用．
13．如图，在平面直角坐标系中，直线y x 与x轴交于点A，且经过点B（2，a），在y轴
上有一动点P，直线BC上有一动点M，已知C（3，0）．
（1）a＝_____；
（2）若 APM是以线段AM为斜边的等腰直角三角形，则点M的坐标是 _____．
△
【答案】 3 ， 或 ， 或 ， 或 ，
【分析】（1）令x=2即可求得a的值；
（2）先求得直线BC的解析式为y=-3x+9，点A的坐标为（-2，0），过点M作MH⊥y轴于点H，
证明△MPH≌△PAO，然后设点P的坐标为（0，y），点M的坐标为（x，-3x+9），然后求得AO、
PO、PH、MH的长，进而由全等三角形的性质列出方程求得x的值，即可得到点M的坐标．
【详解】解：（1）当 时， ，
，故答案为：3．
（2）由（1）得点 的坐标为 ，
设直线 的解析式为 ，
，解得： ，
直线 的解析式为 ，
对 ，当 时， ，
点 的坐标为 ，即得 ，
过点 作 轴于点 ，则 ，
，
是以 为对角线的等腰直角三角形，
， ，
，
，
，
， ，
设 ， ，则 ， ， ，
，
解得： 或 或 或 ，
点 的坐标为 ， 或 ， 或 ， 或 ， ．
【点睛】本题考查了一次函数图像上点的坐标特征、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定
与性质，解题的关键是过点M作MH⊥y轴于点H，构造全等三角形．14．如图，在平面直角坐标系中，直线 ： 交y轴于点A，交x轴于点B（4，0），过点
E（2，0）的直线 平行于y轴，交直线 于点D，点P是直线 上一动点（异于点D），连接 、
．
(1)直线 的表达式为 ，点D的坐标为 ；
(2)设P（2，m），当点P在点D的下方时，求 的面积S的表达式（用含m的代数式表示）；
(3)当 的面积为3时，则以点B为直角顶点作等腰直角 ，请直接写出点C的坐标．
【答案】(1) ；
(2)
(3)满足条件的点C坐标为（6，2）或（2， ）或（3，2）或（5， ）
【分析】（1）利用待定系数法求出函数解析式，求出直线 的解析式，联立两个解析式，求出
点坐标即可；
（2）根据 进行求解即可；
（3）分 和 ，两种情况讨论，利用等腰直角三角形的性质，进行
求解即可．
【详解】（1）解：∵直线 ： 交x轴于点B（4，0），
∴ ．
∴ ．∴直线 ： ，
∵过点E（2，0）的直线 平行于y轴，
∴直线 ： ，
联立 ， 的解析式得： ，解得：
∴点D的坐标为（2， ），
故答案为： ；（2， ）；
（2）解：∵D（2， ），P（2，m），点P在点D的下方，
∴ ，
∴ ；
（3）解：当点 在点D的上方时， ，
此时： ；
结合（2）可知： ，
当 时，
解得： ，
∴点P（2，2），
∵E（2，0），
∴ ，
∴ ，
①如图2， 是以点B为直角顶点的等腰直角三角形，， ，
过点C作 轴于点F，
∵ ， ，
∴ ，
在 与 中，
，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∴ ；
②如图， 是以点B为直角顶点的等腰直角三角形，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴C（2， ），
∴以点B为直角顶点作等腰直角 ，点C的坐标是（6，2）或（2， ）．当 时， ，可得P（2， ），
同法可得C（3，2）或（5， ）．
综上所述，满足条件的点C坐标为（6，2）或（2， ）或（3，2）或（5， ）．
【点睛】本题考查一次函数与几何的综合应用，同时考查了，等腰三角形的性质，全等三角形的
判定和性质．正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想，进行求解，是解题的关
键．
