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专题11 二次函数中的等腰三角形
类型一 在坐标轴上找点成等腰
1．如图，二次函数 的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点C．
(1)求点A、B、C的坐标；
(2)若点P在x轴上，且△PBC为等腰三角形，请求出所有符合条件的点P的坐标．
2．如图，已知二次函数 的图象与 轴的两个交点为A（4，0）与点C，与y轴交于点B．
（1）求此二次函数关系式和点C的坐标；
（2）在 轴上是否存在点P，使得△PAB是等腰三角形？若存在，请你直接写出点P的坐标；若不存在，
请说明理由．3．如图所示，关于 的二次函数 的图象与 轴交于点 和点 ，与 轴交于点 ，
抛物线的对称轴与 轴交于点 ．
（1）求二次函数的表达式；
（2）在 轴上是否存在一点 ，使 为等腰三角形？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理
由；
4．如图，已知二次函数 的图像与 轴的一个交点为 ，与 轴的交点为 ，过
的直线为 ．(1)求二次函数 的解析式及点 的坐标；
(2)在两坐标轴上是否存在点 ，使得 是以 为底边的等腰三角形？若存在，求出 的坐标；若不
存在，说明理由．
类型二 在对称轴上找点成等腰
5．如图，直线y＝﹣ x+2与x轴交于点B，与y轴交于点C，已知二次函数的图象经过点B、C和点A(﹣
1，0)．
（1）求B、C两点的坐标；
（2）求该二次函数的解析式；
（3）若抛物线的对称轴与x轴交于点D，则在抛物线的对称轴上是否存在一点N，使 NCD为等腰三角形？
若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由．
6．如图，直线 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，已知二次函数的图象经过点 ， 和点
．
(1)求 ， 两点的坐标．(2)求该二次函数的解析式．
(3)若抛物线的对称轴与 轴的交点为点 ，则在抛物线的对称轴上是否存在点 ，使 是以 为腰
的等腰三角形？如果存在，直接写出点 的坐标；如果不存在，请说明理由．
7．如图，抛物线y=ax2-bx-3与x轴交于点A、C，交y轴于点B，OB=OC=3OA．
(1)求抛物线的解析式及对称轴方程；
(2)如图，连接AB，点M是对称轴上一点且在第四象限，若△AMB是以∠MBA为底角的等腰三角形，求点
M的坐标；
类型三 在抛物线上或已知直线上找点成等腰
8．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+3的图象交x轴于点A（1，0），B（3，0），交y轴于点C．
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)直线x＝m分别交直线BC和抛物线于点M，N，当 BMN是等腰三角形时，直接写出m的值．
△
9．如图，已知二次函数 的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴
交于点C，且OB=OC=3，顶点为M．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）探索：线段BM上是否存在点P，使 PMC为等腰三角形？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，
请说明理由．10．如图，已知二次函数y＝ax2＋bx＋3的图象与x轴交于点A（﹣1，0）、B（4，0），与y轴交于点
C．
（1）二次函数的表达式为 ；
（2）点M在直线BC上，当△ABM为等腰三角形时，求点M的坐标；
11．如图，已知二次函数 的图象与 轴交于点 ，与 轴交于 、 两点，其对称轴与
轴交于点 ．
（1）点 的坐标为___________，点 的坐标为___________；
（2）连接 ，在线段 上是否存在点 ，使得 为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由；
类型四 综合探究
12．如图，二次函数 图象的顶点为D，其图象与x轴的交点A、B的横坐标分别为 ，
与y轴负半轴交于点C．
若 是等腰直角三角形，求a的值．
探究：是否存在a，使得 是等腰三角形？若存在，求出符合条件的a的值；不存在，说明理由．
13．综合与探究
如图，抛物线 与x轴交于A，B两点，且点A在点B的左侧，与y轴交于点C．
(1)求点A，B和C的坐标；
(2)点P从点B出发沿 以1个单位长度/秒的速度向终点C运动，同时，点Q从点O出发以相同的速度沿
x轴的正半轴向终点B运动，一点到达，两点同时停止运动．连接 ，当 是等腰三角形时，请直接
写出运动的时间．
