专题21.2一元二次方程与三角形边长问题（强化）（解析版）_初中数学人教版_9上-初中数学人教版_07专项讲练

专题 21.2 一元二次方程与三角形边长问题 【例题精讲】 【例1】已知关于 的方程 ． （1）求证：无论 为何值，方程总有实数根； （2）若等腰三角形一腰长为5，另外两边长度为该方程的两根，求等腰三角形的周长． 【解答】（1）证明：△ ， ，即△ ， 无论 取任何实数值，方程总有实数根； （2）解： 等腰三角形一腰长为5， 另外一边长度为5， 方程 一个根为5， ， 解得 ， 方程为 ， ， 解得 ， ， 故 的周长 ． 【题组训练】 1．已知 ， ，4是等腰三角形的三边长，且 ， 是关于 的方程 的两 个实数根，则 的值是A． B． C． 或 D． 或 【解答】解：①当腰长为4时，把 代入原方程得 ， ， 原方程变为： ， 解得 ， ， 能构成三角形； ②当底边为4时，那么 的方程 的两根是相等的， △ ， ， 方程变为 ， 方程的两根相等为 ， 能构成三角形； 综上， 的值是2或3， 故选： ． 2．等腰三角形的一边长为4，另外两边的长是关于 的方程 的两个实数根， 则该等腰三角形的周长是 A．14 B．14或15 C．4或6 D．24或25 【解答】解：设底边为 ， 分为两种情况：①当腰长是4时，则 ， 解得： ， 即此时底边为6， ②底边为4， ， 解得 ，所以该等腰三角形的周长是14． 故选： ． 3．若等腰三角形的一条边长为5，另外两条边的长为一元二次方程 的两个根， 则 的值为 A．10 B． C．10或 D． 【解答】解：当5为腰长时，将 代入原方程得 ， 解得： ， 原方程为 ， ， ， 长度为2，5，5的三条边能围成三角形， 符合题意； 当5为底边长时，△ ， 解得： ， 原方程为 ， ， 长度为 ， ，5的三条边能围成三角形， 符合题意； 综上， 的值为10或 ， 故选： ． 4．等腰三角形三边长分别为 、 、2，且 、 是关于 的一元二次方程 的两根，则 的值为 A．15 B．24 C．15或24 D．22或24【解答】解：当2为底边长时，则 ， ， ． ，5，2能围成三角形， ， 解得： ； 当2为腰长时， 、 中有一个为2，则另一个为8， ，2，2不能围成三角形， 此种情况不存在． 故选： ． 5．已知 、 、4分别是等腰三角形（非等边三角形）三边的长，且 、 是关于 的一元 二次方程 的两个根，则 的值等于 A．7 B．7或6 C．6或 D．6 【解答】解： 、 、4分别是等腰三角形（非等边三角形）三边的长， 当 或 时，即 ， 方程为 ， 解得： ， 当 时，即△ ， 解得： ， 综上所述， 的值等于6或7， 故选： ． 6．等腰三角形的一边长是4，方程 的两个根是三角形的两边长，则 为 A．7 B．8 C．4 D．7或8 【解答】解： 一个等腰三角形的一边长为4，另两边长是方程 的两个根， ①当腰长为4时，把 代入原方程得 ， ，原方程变为： ， 设方程的另一个根为 ， 则 ， ， 能构成三角形； ②当底边为4时，那么 的方程 的两根是相等的， △ ， ， 方程变为 ， 方程的两根相等为 ， 能构成三角形． 综上， 的值是7或8， 故选： ． 7．等腰三角形边长分别为 ， ，2，且 ， 是关于 的一元二次方程 的两个根，则 的值为 A．6 B．6或7 C．7或8 D．7 【解答】解： 三角形是等腰三角形， ① ，或 ；② 两种情况， ①当 ，或 时， ， 是关于 的一元二次方程 的两个根， ， 把 代入 得， ， 解得： ， 当 ，方程的两根是2和4，而2，4，2不能组成三角形，故 不合题意， ②当 时，方程 有两个相等的实数根， △ 解得： ． 故选： ． 8．已知等腰三角形 的边长分别是 ， ，4，且 ， 是关于 的方程 的两根，则 的值为 A．7 B．8 C．9 D．7或8 【解答】解：①当 时， ， 是关于 的方程 的两根， △ ， 解得， ， 关于 的方程为 ， 解得： ， ， ， ，4为边能组成三角形； ② 或 时， 是关于 的方程 的根， ， 解得： ， 关于 的方程为 ， 解得： ， ， ， ， ，4为边能组成三角形； 综上所述： 的值为7或8．故选： ． 9．已知 、 、3分别是等腰三角形（非等边三角形）三边的长，且 、 是关于 的一 元二次方程 的两个根，则 的值等于 A．1 B． C．1或2 D．1或 【解答】解：①当 、 为腰时， ， 、 是关于 的一元二次方程 的两个根， 方程有两个相等的实数根， △ ， 解得： ； ②当 和3（或 和 是腰时， ， 三角形不是等边三角形， 此时方程有两个不相等的实数根， 、 是关于 的一元二次方程 的两个根， 把 代入方程得 ， 解得： ； 所以 或2， 故选： ． 10．已知关于 的一元二次方程 ，其中 、 、 分别为 三边的长． ①如果 是方程的根，则 是等腰三角形； ②如果方程有两个相等的实数根，则 是等边三角形； ③如果 是等边三角形，则这个一元二次方程的根为 和2． 其中正确的是 A．① B．①③ C．①② D．②③ 【解答】解：① 是方程的根， ，， ， ， 是等腰三角形． ② 是直角三角形，理由如下： 方程有两个相等的实数根， ， ， ， 是直角三角形； ③ 是等边三角形， 可整理为： ， ， 解得： ， ． 故其中正确的是①． 故选： ． 11．若等腰三角形三边的长分别是 ， ，3，且 ， 是关于 的一元二次方程 的两个根，则满足上述条件的 的值有 A．1个 B．2个 C．3个 D．3个以上 【解答】解：当 时，关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根， △ ， ， 将 代入原方程得 ， 解得： ，， ， ，2，3能组成三角形， 符合题意； 当 时， 是关于 的一元二次方程 的一个实数根， ， ， 将 代入原方程得 ， 解得： ， ， ， ， ，3，3能组成三角形， 符合题意． 综上， 的值为4或3， 即满足上述条件的 的值有2个． 故选： ． 12．已知， ， ，5分别是等腰三角形三边的长，且 ， 是关于 的一元二次方程 的两个根，则 的值等于 A．12 B． C．12或 D．12或13 【解答】解：当 时， 根据题意得△ ， 解得 ， 此时方程为 ， 解得 ，符合题意； 当 或 ， 把 代入方程 得 ， 解得 ， 此时方程为 ，解得 ， 或 ， ，符合题意， 综上所述， 的值为12或13． 故选： ． 13．已知关于 的方程 ． （1）求证：无论 为何值，方程总有实数根； （2）若等腰三角形一腰长为5，另外两边长度为该方程的两根，求等腰三角形的周长． 【解答】（1）证明：△ ， ，即△ ， 无论 取任何实数值，方程总有实数根； （2）解： 等腰三角形一腰长为5， 另外一边长度为5， 方程 一个根为5， ， 解得 ， 方程为 ， ， 解得 ， ， 故 的周长 ． 14．已知关于 一元二次方程 ． （1）求证：无论 取任何实数值，方程总有实数根； （2）当 时，方程的两实数根是等腰三角形的两边，试求等腰三角形的周长． 【解答】（1）证明： △ ， 无论 何值，原方程总有实数根；（2）解：当 时，方程化为 ， ， 或 ， ， ， 当等腰三角形腰长为1，底边长为3时， ，不符合三角形三边的关系，舍去； 当等腰三角形腰长为3，底边为1，它的周长为 ． 15．已知关于 的方程 ． （1）求证：无论 取何值，方程总有实数根； （2）若等腰三角形 的底边长3，另两边长 恰好是这个方程的两根，求此三角形的周长． 【解答】（1）证明： △ ， 无论 取何值，方程总有实数根； （2）解： 等腰三角形的底边长3， 另两边长即为等腰三角形的腰长， 另两边长恰好是这个方程的两根， 该方程有两个相等的实数根， △ ， 解得 ， 将 代入方程，得 ， 解得： ． 此时 三边为3，2，2； 所以周长为 ． 16．已知 ， 是关于 的一元二次方程 的两实数根． （1）若方程有两个相等实数根，求 的值； （2）已知等腰 的一边长为7，若 ， 恰好是 另外两边的边长，求这个三角 形的周长．【解答】解：（1）根据题意得△ ，解得 ； （2）当腰长为7时，则 是一元二次方程 的一个解， 把 代入方程得 ， 整理得 ，解得 ， ， 当 时， ，解得 ，而 ，故舍去； 当 时， ，解得 ，则三角形周长为 ； 当 7 为等腰三角形的底边时，则 ，所以 ，方程化为 ，解得 ，则 ，故舍去， 综上所述， 的值是4，这个三角形的周长为17． 17 ． 在 等 腰 中 ， 三 边 分 别 是 、 、 ， 其 中 ， 若 关 于 的 方 程 有两个相等的实数根，求三角形的周长． 【解答】解： 关于 的方程 有两个相等的实数根， △ ，即 ； 解得 ， （舍去）； ①当 为底， 为腰时，则 ，构不成三角形，此种情况不成立； ②当 为底， 为腰时，则 ，能够构成三角形； 此时 的周长为： ． 答：三角形的周长是12． 18．关于 的方程 （1）求证：方程恒有两个不相等的实数根； （2）若此方程的一个根为1，求 的值；（3）求出以此方程两根为直角边的直角三角形的周长． 【解答】（1）证明： △ ， 在实数范围内， 无论取何值， ，即△ ， 关于 的方程 恒有两个不相等的实数根； （2）解：根据题意，得 ， 解得 ； （3）解：方程的另一根为： ； 由勾股定理得斜边的长度为： ； 该直角三角形的周长为 ． 19．已知一元二次方程 ． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）若 的两边 、 的长是这个方程的两个实数根，第三边 的长为4，当 是等腰三角形时，求 的值． 【解答】（1）证明： △ ， 无论 为何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）解： △ ， ， 、 中有一个数为4． 当 时，原方程为： ， 即 ，解得： ， ．当 时，原方程为 ， ， ． 、4、4能围成等腰三角形， 符合题意； 当 时，原方程为 ，解得： ， ． 、5、5能围成等腰三角形， 符合题意． 综上所述： 的值为3或4． 20．已知 的两边 ， 的长是关于 的一元二次方程 的 两个根，第三边 的长是10． （1）求证：无论 取何值，此方程总有两个不相等的实数根． （2）当 为何值时； 为等腰三角形？并求 的周长． （3）当 为何值时， 是以 为斜边的直角三角形？ 【解答】（1）证明： △ ， 无论 取何值，此方程总有两个不相等的实数根； （2）解：由（1）得，无论 取何值，此方程总有两个不相等的实数根， 第三边 的长是10， 当 为等腰三角形时， 为一元二次方程的一个根， 当 时， ， 解得 或10， ①当 时，方程变为 ， 设等腰三角形的底为 ， 根据根与系数的关系， ， ， 的周长为： ； ②当 时，方程变为 ，设等腰三角形的底为 ， 根据根与系数的关系， ， 解得 ， 的周长为 ； 综上，当 时， 是等腰三角形，此时 的周长为32； 当 时， 是等腰三角形，此时 的周长为28； （3）解： ， 的长是关于 的一元二次方程 的两个根， ， ， 是以 为斜边的直角三角形，且 ， ， 即 ， 解得 或 ， 当 时， ，符合题意， 当 时， ，不合题意， 综上， 时， 是以 为斜边的直角三角形． 21．已知关于 的一元二次方程 ，其中 、 、 分别为 三边的长． （1）如果 是方程的根，试判断 的形状，并说明理由； （2）如果方程有两个相等的实数根，试判断 的形状，并说明理由； （3）如果 是等边三角形，试求这个一元二次方程的根． 【解答】解：（1） 是等腰三角形； 理由： 是方程的根， ， ， ， ，是等腰三角形； （2） 是直角三角形； 理由： 方程有两个相等的实数根， ， ， ， 是直角三角形； （3）当 是等边三角形， ，可整理为： ， ， 解得： ， ． 22．已知关于 的一元二次方程 ． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）若 的两边 ， 的长是这个方程的两个实数根．第三边 的长为5，当 是等腰三角形时，求 的值． 【解答】（1）证明： △ ， 方程有两个不相等的实数根； （2）解：一元二次方程 的解为 ，即 ， ， ，． 当 ， ，且 时， 是等腰三角形，则 ； 当 ， ，且 时， 是等腰三角形，则 ，解得 ， 综合上述， 的值为5或4． 23．已知关于 的一元二次方程 ，其中 ， ， 分别为 三边的长． （1）如果 是方程的根，试判断 的形状，并说明理由； （2）如果方程有两个相等的实数根，试判断 的形状，并说明理由； （3）如果 是等边三角形，试求这个一元二次方程的根． 【解答】解：（1） 是等腰三角形； 理由：把 代入方程得 ，则 ，所以 为等腰三角形； （2） 为直角三角形； 理由：根据题意得△ ，即 ，所以 为直角三角形； （3） 为等边三角形， ， 方程化为 ，解得 ， ． 24．关于 的一元二次方程 ，其中 、 、 分别为 三边 的长． （1）如果方程有两个相等的实数根，试判断 的形状，并说明理由； （2）如果 是等边三角形，试求这个一元二次方程的根． 【解答】解：（1） 方程有两个相等的实数根， ， ， ， 是直角三角形； （2） 当 是等边三角形，， ， ， ， ． 25．已知：关于 的一元二次方程 ． （1）已知 是方程的一个根，求 的值； （2）以这个方程的两个实数根作为 中 、 的边长，当 时， 是等腰三角形，求此时 的值． 【解答】解：（1） 是方程的一个根， ， 或 ； （2） △ ， ， ， 、 的长是这个方程的两个实数根， ， ． ， 是等腰三角形， 当 时，有 ， ； 当 时，有 ， ，综上所述，当 或 时， 是等腰三角形． 26．已知关于 的一元二次方程 ，其中 、 、 分别为 三边的长． （1）如果 是方程的根，试判断 的形状，并说明理由； （2）如果方程有两个相等的实数根，试判断 的形状，并说明理由； （3）如果 是等边三角形，试求这个一元二次方程的根． 【解答】解：（1） 是等腰三角形， 理由：当 时， ， ， 是等腰三角形， （2） 是直角三角形， 理由： 方程有两个相等的实数根， △ ， ， 是直角三角形； （3） 是等边三角形， ， 原方程可化为： ， 即： ， ， ， ， 即：这个一元二次方程的根为 ， ．27．已知 ， 是关于 的一元二次方程 的两实数根． （1）若 ，求 的值； （2）已知等腰 的一边长为7，若 ， 恰好是 另外两边的边长，求这个三角 形的周长． 【解答】解：（1）根据题意得△ ，解得 ， ， ， ，即 ， ， 整理得 ，解得 ， ， 而 ， 的值为6； （2）当腰长为7时，则 是一元二次方程 的一个解， 把 代入方程得 ， 整理得 ，解得 ， ， 当 时， ，解得 ，而 ，故舍去； 当 时， ，解得 ，则三角形周长为 ； 当 7 为等腰三角形的底边时，则 ，所以 ，方程化为 ，解得 ，则 ，故舍去， 所以这个三角形的周长为17．28．已知关于 的方程 （1）求证：无论 取何值，这个方程总有实数根； （2）若等腰三角形 的一边长 ，另两边 、 恰好是这个方程的两个根，求 的周长． 【解答】（1）证明：△ ， ， ，即△ ， 无论 取何值，这个方程总有实数根； （2）解：当 时，△ ，解得 ，方程化为 ，解得 ，而 ，故舍去； 当 或 时，把 代入方程得 ，解得 ，方 程化为 ，解得 ， ，即 ， 或 ， ， 所以 的周长 ． 29．已知关于 的方程 ． （1）求证：方程恒有两个不相等的实数根； （2）若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根，并求以此两根为边长的直角三角形 的周长． 【解答】（1）证明： △ ， 在实数范围内， 无论取何值， ，即△ ， 关于 的方程 恒有两个不相等的实数根；（2）解：根据题意，得 ， 解得， ， 则方程的另一根为： ； ①当该直角三角形的两直角边是1、3时，由勾股定理得斜边的长度为： ； 该直角三角形的周长为 ； ②当该直角三角形的直角边和斜边分别是1、3时，由勾股定理得该直角三角形的另一直角 边为 ；则该直角三角形的周长为 ． 30．已知关于 的一元二次方程 ． （1）判断这个一元二次方程的根的情况； （2）若等腰三角形的一边长为3，另两条边的长恰好是这个方程的两个根，求这个等腰三 角形的周长及面积． 【解答】解：（1） △ ， 该方程有两个实数根； （2）①当3为底边长时，△ ， ， 此时原方程为 ， 解得： ． 、2、3能组成三角形， 三角形的周长为 ，三角形的面积为 ； ②当3为腰长时，将 代入原方程，得： ， 解得： ，此时原方程为 ， 解得： ， ． 、3、3能组成三角形， 三角形的周长为 ，三角形的面积为 ． 综上所述：等腰三角形的周长为7或8，面积为 或 ．