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专题27 一次函数与等腰三角形结合
1．已知一次函数y=kx+b 和y=kx+b 图象如图所示，直线y 与直线y 交于A点（0，3），直线
1 1 1 2 2 2 1 2
y、y 分别与x轴交于B、C两点．
1 2
(1)求函数 y、y 的解析式．
1 2
(2)求△ABC的面积．
(3)已知点P在x轴上，且满足△ACP是等腰三角形，请直接写出P点的坐标．
【答案】(1) ，
(2)3
(3) 或 或 或
【分析】（1）把点的坐标代入函数解析式即可得到函数y 和y 的函数关系式；
1 2
（2）根据三角形的面积公式计算即可得△ABC的面积；
（3）根据勾股定理得到 ，分类讨论：①当 时，根据等腰三角形的性质得
到P（−3，0）；②当AC＝CP＝ 时，根据等腰三角形的性质得到P ，③当AP＝
1 2PC＝3时，P在AC的垂直平分线上，由线段垂直平分线的性质即可得到结论．
【详解】（1）解：把A（0，3），C（3，0）代入y＝kx＋b 得 ，
2 2 2
解得： ，
故函数y 的函数关系式y＝−x＋3；
2 2
把A（0，3），B（1，0）代入y＝kx＋b 得 ，
1 1 1
解得： ，
故y 的函数关系式为：y＝−3x＋3．
1 1
（2）解： ，
．
（3）解：∵OA＝OC＝3，
∴ ，
①当 时， ，
∴P（−3，0）；
1
②当 时， ，
∴P ；
2
③当 时，P在AC的垂直平分线上，
∴P与O重合，
∴P（0，0），
3
④当 时， ，
∴P ；
4综上所述：P点坐标为： 或 或 或 ．
【点睛】本题考查了两直线相交的问题，三角形的面积，求交点坐标，待定系数法求解析式，认
真审题，弄清题意是解题的关键．解第（3）问时需要进行分类讨论．
2．如图，一次函数 的图象与x轴和y轴分别交于点 和点B，正比例函数 的
图象与一次函数 的图象交于点 ．
(1)求直线AB的解析式；
(2)求OD的长；
(3)设P是x轴上一动点，若使 是等腰三角形，请直接写出符合条件的点P的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3) ， 或 或 或【分析】（1）由解析式 求得 的坐标，然后根据待定系数法即可求得直线 的解析式；
（2）过点 作 轴于点 ，利用勾股定理即可求解；
（3）根据 轴上点的坐标特点设出 点的坐标，再根据两点间的距离公式解答即可．
【详解】（1）∵点 在正比例函数 的图象上
∴
∴
依题意得：
解得：
∴直线AB的解析式为：
（2）过点D作 轴于点C．
则 ，
依勾股定理得：
∴
（3）在 中，令 ，解得 ，
，
，
设 点坐标为 ，当 时， ，
，解得 ，
点 的坐标为 ， ；
当 时， ，
，解得 或 ，
点 的坐标为 或 ；
当 时， ，
，解得 （与点 重合，舍去）或 ，
点 的坐标为 ；
综上， 点坐标为 ， 或 或 或 ．
【点睛】本题是一次函数的综合题，考查待定系数法求函数解析式、勾股定理及两点间的距离公
式，等腰三角形的性质，在解（3）时要注意分类讨论，不要漏解．
3．如图，直线 与x轴、y轴分别相交于点C、B，与直线 相交于点A．
(1)求A点坐标；
(2)在直线 上是否存在点Q，使 的面积等于6？若存在，请求出Q点的坐标，若不
存在，请说明理由．
(3)如果在y轴上存在一点P，使得 为等腰三角形，求P点的坐标．
【答案】(1)(2,3)
(2)存在，Q点坐标为： 、(3)存在，P点坐标为： 、 、 、
【分析】（1）联立两直线的解析式，解二元一次方程组即可求解；
（2）先求出B、C两点的坐标，进而求出 ， ，分类讨论：当Q点在射线AB上时，有：
，根据 ，可得 ，此时Q点坐标可求；当Q点在射
线AC上时，有： ，根据 ，可得 ，此时Q点坐标可
求；
（3）利用勾股定理求出OA，在分类讨论：当OA=OP时，可得 ，即此时P点坐标可求；
当AO=AP时， ，根据A点坐标为：(2,3)，可得
，进而可得 ，即此时P点坐标可求；
当AP=OP时，即有 ，根据勾股定理可得 ， ，则有
，即此时P点坐标可求．
(1)
联立 ，解得： ，
即A点坐标为：(2,3)；
(2)
存在，
∵直线 与坐标轴的交点C、B，
∴当x=0时，y=7，即B点作标为(0,7)，
当y=0时，x= ，即C点坐标为( ,0)，∴OB=7，OC= ，
∵A点坐标为：(2,3)，
∴ ， ，
当Q点在射线AB上时，如图，
有：
∵ ， ，
∴ ，解得 ，
∴根据Q点在直线 ，可得 ，
即此时Q点坐标为： ，
当Q点在射线AC上时，如图，
有： ，∵ ， ，
∴ ，解得 ，
∴根据Q点在直线 ，可得 ，
即此时Q点坐标为： ，
综上：Q点坐标为： 、 ；
(3)
存在，
∵A点坐标为：(2,3)，
∴ ，
分类讨论：
当OA=OP时，△OAP是等腰三角形，
即 ，
∵P点在y轴上，
∴ ，
∴ ，
即此时P点坐标为： 、 ；
当AO=AP时，△OAP是等腰三角形，
即 ，
∵A点坐标为：(2,3)，
∴ ，
∵P点在y轴上，
∴ ，
∴解得： ，（ 舍去），即此时P点坐标为： ；
当AP=OP时，△OAP是等腰三角形，
∵AP=OP，
∴ ，
∵P点在y轴上，
∴ ， ，
∴ ，
解得： ，
此时P点坐标为： ．
综上所述：P点坐标为： 、 、 、 ．
【点睛】本题考查了求解两直线交点坐标、已知坐标系中三角形面积求点坐标、等腰三角形的性
质、勾股定理等知识，利用勾股定理求出坐标系两点之间的距离是解答本题的关键．解答本题要
注重分类讨论的思想．
4．如图直线 与 轴、 轴分别交于点 、 ，与直线 交于点 ．
(1)求点 的坐标；
(2)如果在 轴上存在一点 ，使 是以 为底边的等腰三角形，则点 的坐标是________；
(3)点 在线段 上，使 的面积等于6，求点 的坐标．
【答案】(1)A ；(2) ；
(3)Q ，
【分析】（1）联立方程组，即可求得；
（2）设 点坐标是 ，根据勾股定理列出方程，解方程即可求得；
（3）作 轴于点 ，则 ，根据 列出关于 的方程解方程求得即
可．
（1）
联立方程组得： ，
解得： ，
点坐标是 ；
（2）
设 点坐标是 ，
是以 为底边的等腰三角形，
，
，
解得 ，
点坐标是 ，
故答案为： ；
（3）
直线 与 轴、 轴分别交于点 、 ，
， ， ，
，设点 的坐标是 ，
作 轴于点 ，如图，
则 ，
，
，即 ，
，
把 代入 ，得 ，
的坐标是 ， ．
【点睛】本题是一次函数的综合题，考查了交点的求法，等腰三角形的性质，三角形面积的求法
等，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
5．如图，一次函数的图象经过点A（4，0）和点D（2，1.5），与y轴交于点B，将 AOB沿直线
CD对折，使点A与点B重合，直线CD与x轴交于点C，与AB交于点D． △
(1)求一次函数解析式；
(2)求DC的长；
(3)点P是x轴上一动点，若 PAB是等腰三角形，直接写出点P的坐标．
△【答案】(1)y= x+3
(2)DC的长为
(3)P点坐标为（ ，0）或（−1，0）或（9，0）或（−4，0）．
【分析】（1）用待定系数法求解即可；
（2）设点C的坐标为（c，0），可得OC＝c，BC＝AC＝4−c，在Rt BOC中，用勾股定理列方程
求出c的值，再用两点间距离公式求解即可； △
（3）求出AB＝5，然后分PA＝PB，PA＝AB和PB＝AB三种情形分别求解即可解决问题．
【详解】（1）解：设一次函数的解析式为y＝kx＋b，
∵点A（4，0），D（2，1.5）在一次函数图象上，
∴ ，解得： ，
∴一次函数的解析式为 ；
（2）由（1）知，一次函数的解析式为 ，
令x＝0，则y＝3，
∴B（0，3），
∴OB＝3，
由折叠知，BC＝AC，
设点C的坐标为（c，0），
∴OC＝c，BC＝AC＝4−c，
在Rt BOC中，根据勾股定理得， ，
△
∴ ，
∴c＝ ，
∴C（ ，0），
∵D（2，1.5），∴DC＝ ；
（3）∵A（4，0），B（0，3），
∴AB＝ ，
当PA＝PB时，点P与点C重合，此时P（ ，0）；
当PA＝AB＝5时，∵A（4，0），
∴P（−1，0）或（9，0）；
当PB＝AB时，可得PO＝AO＝4，
∴P（−4，0），
综上所述，若 PAB是等腰三角形，P点坐标为（ ，0）或（−1，0）或（9，0）或（−4，0）．
△
【点睛】此题是一次函数的综合题，主要考查了待定系数法，勾股定理，翻折的性质，等腰三角
形的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
6．已知一次函数 和 图像如图所示，直线 与直线 交于 点 ，直线
、 分别与 轴交于 、 两点．
(1)求函数 、 的解析式．
(2)求 的面积．
(3)已知点 在 轴上，且满足 是等腰三角形，请直接写出 点的坐标．
【答案】(1) ，(2)3
(3) 点坐标为： 或 ， 或 或 ，
【分析】（1）把点的坐标代入函数解析式即可得到函数 和 的函数关系式；
（2）根据三角形的面积公式计算即可 的面积；
（3）根据勾股定理得到 ，分类讨论：①当 时，根据等腰三角形的性质得
到 ，②当 时，根据等腰三角形的性质得到 ， 或 ， ．③
当 时， 在 的垂直平分线上，由线段垂直平分线的性质即可得到结论．
（1）
由图象得： ， ，
把 ， 代入 得
解得： ．
故函数 的函数关系式 ，
把 ， 代入 得 ，
解得： ．
故 的函数关系式为： ；
（2）
；
（3）
，
，①当 时，
，
；
②当 时，
或 ，
， 或 ， ；
③当 时， 在 的垂直平分线上，，
与 重合，
，
综上所述： 点坐标为： 或 ， 或 或 ， ．
【点睛】本题是一次函数综合题，考查了两直线相交的问题，三角形的面积，求交点坐标，待定
系数法求解析式，等腰三角形的性质，认真审题，弄清题意是解题的关键．解第（3）问时需要进
行分类讨论．
7．如图，在平面直角坐标系中，直线 与x轴，y轴分别交于点A，点B．
(1)求点A和点B的坐标；
(2)若点P在x轴上，且 ，求点P的坐标．
(3)在y轴是否存在点M，使三角形 是等腰三角形，若存在，请直接写出点M坐标，若不存在，
请说明理由．
【答案】(1)A ;B
(2) 或
(3)存在, M坐标为 和
【分析】（1）分别代入y＝0，x＝0，求出与之对应的x，y值，进而可得出点A，B的坐标；
（2）设点P的坐标为 ，由三角形的面积公式结合 ，可得出 ，进而可得
出点P的坐标；
（3）由OA，OB的长可求出AB的长，分AB＝AM，BA＝BM，MA＝MB三种情况，利用等腰三角
形的性质可求出点M的坐标．(1)
∵当 时， ，解得： ，
∴点A的坐标为 ；
∵当 时， ，
∴点B的坐标为 ．
(2)
设点P的坐标为 ，
∵ ，
∴
∴ ，
∴点P的坐标为 或 ．
(3)
∵OB＝4，OA＝2，
∴AB＝ ．
分三种情况考虑（如图所示）：
①当AB＝AM时，OM＝OB＝4，
∴点M 的坐标为（0，−4）；
1②当BA＝BM时，BM＝2 ，
∴点M 的坐标为（0，4＋2 ），点M 的坐标为（0，4−2 ）；
2 3
③当MA＝MB时，设OM＝a，则BM＝AM＝4−a，
∴AM2＝OM2＋OA2，即（4−a）2＝a2＋22，
∴a＝ ，
∴点M 的坐标为（0， ）．
4
综上所述：在y轴上存在点M，使三角形MAB是等腰三角形，点M坐标为
和（0， ）．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、三角形的面积、勾股定理以及等腰三角形的
性质，解题的关键是：（1）利用一次函数图象上点的坐标特征，求出点A，B的坐标；（2）利用
两三角形面积间的关系，找出OP的长；（3）分AB＝AM，BA＝BM，MA＝MB三种情况，利用
等腰三角形的性质求出点M的坐标．
8．如图，一次函数 的图象与x轴交于点 ，与y轴交于点 ，与正比例的函数
的图象交于点C．
(1)求一次函数的解析式及点C的坐标；
(2)请结合图象直接写出不等式组 的解集；
(3)在x轴上是否存在一点P，使 是等腰三角形，若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，
请说明理由．
【答案】(1)一次函数的解析式为 ，点C的坐标
(2)
(3)存在，P点的坐标为 或 或 或【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）由图象即可求解；
（3）分① ② ② 三种情况解答即可．
【详解】（1）∵一次函数 的图象与x轴交于点 ，与y轴交于点 ，
∴ ，
解得： ，
∴一次函数的解析式为 ，
∵与函数 的图象交于点C，
∴ ，
∴ ，
当 时， ，
∴点C的坐标 ；
（2）由图象得： 即一次函数 的图象在正比例的函数 的图象的下方，并
在x轴的上方，
∵一次函数的解析式为 ，C点的坐标 ，点 ，
∴不等式组 的解集为 ；
（3）设 ，
∵ ， ，
∴ ，
，
，
要使 是等腰三角形，①当OC＝PC时，
∴ ，
，
解得 或 ，
当 时与O点重合（舍去），
∴ ，
∴ ；
②当 时，
∴ ，
∴ ，
∴ 或 ，
∴ 或 ；
③当 时，
∴ ，
∴ ，
解得 ，
∴ ．
综上所述，存在，P点的坐标为 或 或 或 ．
【点睛】本次是一次函数的综合题，考查一次函数的性质、利用图象求不等式组的解集，等腰三
角形的性质等，熟练掌握一次函数的性质，等腰三角形的性质等是解题的关键．
9．如图，把矩形 放入平面直角坐标系 中，使 、 分别落在x、y轴的正半轴上，
对角线 所在直线解析式为 ，将矩形 沿着 折叠，使点A落在边 上的点
D处．(1)求点E的坐标；
(2)在y轴上是否存在点P，使 为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，
请说明理由．
【答案】(1) ；
(2)点P的坐标为 或 或 或 ．
【分析】（1）由直线解析式求出点A，C的坐标，设 ，则由折叠的性质可知
，求出 ， ，在 中，由勾股定理得：
，即 ，解得 ，即 ；
（2） 为等腰三角形，分情况讨论：①当 时，②当 时，③当 时，
分别建立方程求解即可．
【详解】（1）解：∵对角线 所在直线解析式为 ，
∴令 ，得 ，令 ，得 ，
∴ ， ， ，
设 ，则由折叠的性质可知 ，
在 中， ， ，
∴ ，
∴ ，
在 中，由勾股定理得： ，即 ，解得 ，
∴ ；（2）解：设 ，
∵ ， ，
∴ ， ， ，
∵ 为等腰三角形，
∴分情况讨论：
①当 时，即 ，解得： 或 ，
∴ 或 ；
②当 时，即 ，解得： ，
∴ ，
③当 时，即 ，解得： 或 （于点D重合，故舍去），
∴ ，
综合以上可得，点P的坐标为 或 或 或 ．
【点睛】本题主要考查一次函数与几何综合，掌握一次函数及其应用，等腰三角形与直角三角形
的性质，勾股定理，折叠的性质是解题的关键．
10．如图，已知一次函数 的图象与 轴、 轴分别交于点A， ，点 在 轴上（ 不
与原点重合），并且使以点A， ， 为顶点的三角形是等腰三角形，则 的坐标为______ ．
【答案】 、 或
【分析】根据题意，可以求得点A和点 的坐标，再根据勾股定理，可以得到 的长，然后利用
分类讨论的方法可以求得点 的坐标．
【详解】解： 一次函数 ，当 时， ，当 时， ，
点A的坐标为 ，点 的坐标为 ，
， ，
，
当点 在点 上方时，此时 ，
点 的坐标为 ；
当点 在点 的下方时，此时 ，
点 的坐标为 ；
当 时，点 在 轴的负半轴上时，此时点 的坐标为 ；由上可得，点 的坐标为 、 或 ，
故答案为： 、 或 ．
【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征、等腰三角形的性质，解答本题的关键是明确题
意，利用数形结合的思想解答．
二、解答题(共0分)
11．如图1，在平面直角坐标系中，一次函数 的图象与x轴，y轴分别交于点A，点C，
过点A作 轴，垂足为点A，过点C作 轴，垂足为点C，两条垂线相交于点B．
(1)填空：线段 的长为___________；
(2)折叠图1中的 ，使点A与点C重合，再将折叠后的图形展开，折痕 交 于点D，交
于点E，连接 ，如图2．
①求线段 的长___________．
②在y轴上，是否存在点P，使得 为以 为腰的等腰三角形？若存在，请求出符合条件的
所有点Р的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)①线段 的长为5；② 或 或
【分析】（1）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点A，C的坐标，利用矩形的性质及勾股
定理，可得出 的长；
（2）①设 ，则 ，在 中，利用勾股定理可求出a的值，进而可
得出线段 的长；②设点P的坐标为 ，利用两点间的距离公式可求出 的值，分 及
二种情况，可得出关于t的一元一次方程，解之即可得出t的值，进而可得出点P的坐标．
【详解】（1）当 时， ，
∴点C的坐标为 ；
当 时， ，解得： ，
∴点A的坐标为 ．
由已知可得：四边形 为矩形，
∴ ．
故答案为： ．
（2）①设 ，则 ．
在 中， ，即 ，
解得： ，
∴线段 的长为5．
②存在，设点P的坐标为 ．
∵点A的坐标为 ，点D的坐标为 ，
∴ ．
当 时， ，
解得： ，
∴点P的坐标为 或 ；
当AP＝DP时 ，
解得： ，
∴点P的坐标为 ．
综上所述：在y轴上存在点P，使得 为以 为腰的等腰三角形，点P的坐标为 或
或 ．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、矩形的性质、勾股定理、等腰三角形的性质、
两点间的距离以及解解一元一次方程，解题的关键是：（1）利用一次函数图象上点的坐标特征求出点 的坐标；（2）①通过解直角三角形，求出 的长；②分 及 二种情
况，找出关于t的一元一次方程．
12．已知四边形OABC是边长为4的正方形，分别以OA、OC所在的直线为x轴、y轴，建立如图
1所示的平面直角坐标系，直线l经过A、C两点．
(1)求直线l的函数表达式；
(2)若P是直线l上的一个动点，请直接写出当△OPA是等腰三角形时点P的坐标；
(3)如图2，若点D是OC的中点，E是直线l上的一个动点，求使OE+DE取得最小值时点E的坐标．
【答案】(1)
(2)P点坐标为（0，4）或（2，2）或 或
(3)
【分析】（1）由题意易得A，C两点坐标，设出一次函数解析式，待定系数法求函数解析式即可；
（2）设出 点坐标，分别表示出 ， ， 的长，然后根据等腰三角形两腰相等分三种情
况列方程求解即可；
（3）由题意可知点O与点B关于直线l对称，连接BD，与l的交点即为点E，求出DB的解析式
与l的解析式联立可得E的坐标．
【详解】（1）解：设直线l的函数表达式为 ，将A（4，0）和C（0，4）代入得
，解得 ，
∴直线l的函数表达式 ；
（2）解：设 点坐标为 ，则 ， ， ，
①当 ，则 ，解得 ， （舍去），
∴ 点坐标为 ；
②当 ，则 ，解得 ， ，
∴ 点坐标为 或 ；
③当 ，则 ，解得 ，
∴ 点坐标为 ；
综上所述， 点坐标为 或 或 或 ；
（3）解：由题意知O与B关于直线l对称，如图连接DB，交AC于点E，则点E为所求，此时
OE+DE取得最小值，
设DB所在直线为 ，将点D（0，2）、B（4，4）代入得 ，
解得 ，
∴直线DB为 ，联立方程组： ，
解得 ，
∴点E的坐标为 ．
【点睛】本题考查了一次函数的应用；解题的关键在于对等腰三角形腰的不同情况的讨论，考查
了学生对一次函数与几何图形的综合运用的能力，要求学生能对平面图形中的最短距离求解时巧
妙地运用线段之间的转化．
13．一次函数 的图像经过点 ，并与直线 相交于点 ，与 轴相交于点 ，
其中点 的横坐标为 ．
(1)求点 的坐标和 ， 的值；
(2)点 为直线 上一动点，当点 运动到何位置时， 的面积等于 ？请求出点 的
坐标；
(3)在 轴上是否存在点 ，使 是等腰三角形？若存在，请直接写出点 的坐标；若不存在，
请说明理由．
【答案】(1) ，
(2) 或 ；
(3)存在，P的坐标为 或 或 或【分析】（1）一次函数 的图像与 相交于点 ，点 的横坐标为 ，则点 ，
将点 、 的坐标代入一次函数表达式，即可求解；
（2）设点 ，则 的面积： ，进行计算即可；
（3）设点 ，根据题意得 ， ， ，分情况
讨论：①当 时 ，②当 时， ，③当 时，
，分别求解即可．
【详解】（1）解：一次函数 的图像与 相交于点 ，点 的横坐标为 ．
则点B的纵坐标为： ，
即点B的坐标为： ，
将点 、 的坐标代入一次函数表达式 中，
，
解得： ， ；
（2）解：设点 ，
则 的面积： ，
解得： 或 ，
即点 或 ；
（3）解：设点 ，
∵点A、 的坐标分别为： 、 ，∴ ， ， ，
①当 时 ，
解得： 或 ；
②当 时， ，
（舍去）或 ；
③当 时， ，
解得： ；
综上点 的坐标为： 或 或 或 ．
【点睛】本题考查的是一次函数综合运用，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，解题关键是理
解题意，掌握这些知识点．
14．如图，直线 交x轴和y轴于点A和点C，点B的坐标为 ，作出直线 .
(1)求点A的坐标，并求出直线 的解析式；
(2)在x轴上是否存在一点M，使 是以 为腰的等腰三角形，若存在请求出点M的坐标；
若不存在请说明理由；
(3)点P为线段 上一动点,当 时，求点P的坐标．
【答案】(1)点 ， ；
(2)存在， ，
(3)P【分析】（1）先根据直线 可得点 ，点 ，然后运用待定系数法求得直线
的解析式的解析式即可；
（2）设点M的坐标为 ，由勾股定理可求得 的长，然后再分 和 两种情
况解答即可；
（3）如图，当点P在线段 上时，设 与 交于点H，再证 可得
，进而得到点H坐标 ；然后用待定系数法求得直线 解析式，最后与直线
联立即可解答．
【详解】（1）解：∵直线 交x轴和y轴于点A和点C
∴点 ，点 ，
设直线 的解析式为 ，
由题意可得： ， 解得： ，
∴直线 的解析式为 ．
（2）解：设点M的坐标为
在 中
由勾股定理得
当 时， ，解得：
∴
当 时，由于 轴
∴
∴
综上：在x轴上存在点M，使 是以 为腰的等腰三角形 ，．
（3）解：如图，当点P在线段 上时，设 与 交于点H，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴点H坐标为 ，
设直线 解析式 ，
由题意可得 ，解得： ，
∴直线 解析式为 ，
联立方程组得： ，解得： ，
∴点P ．
【点睛】本题属于一次函数与几何的综合题，主要考查了运用待定系数法求函数解析式、勾股定
理、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、直线的交点等知识点，灵活运用相关知识点
成为解答本题的关键．
15．如图1，平面直角坐标系中，一次函数 图象分别交x轴、y轴于点A、B，一次函数
的图象经过点B，并与x轴交于点C，点P是直线 上的一个动点．(1)求点A、点B的坐标；
(2)如图2，过点P作x轴的垂线，交直线BC于点Q，垂足为点H．试探究直线 上是否存在点
P，使 ？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
(3)试探究x轴上是否存在点M，使以A，B，M为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，直接写出
点M的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)存在， 或
(3)存在，M点坐标为 或 或 或
【分析】（1）根据一次函数图象上点在坐标轴上的特点，求出A、B点坐标即可；
（2）先确定直线 的解析式，再设P ，则 ，根据题意得到 求
出t的值即可求点P的坐标；
（3）设M ，分别求出 根据等腰三角形的边的关系，分
三种情况讨论即可求解．
【详解】（1）解：（1）令 则
令 则（2）存在点P，使 理由如下：
将 代入 可得
令 则
设P ，则
解得 或
或
（3）存在点M，使以A，B，M为顶点的三角形是等腰三角形，理由如下：
设
∴
当 时， ，
解得 或 （舍），
当 时，
解得 或 ，
∴ 或 ；当 时，
解得 ，
∴ ；
综上所述：M点坐标为 或 或 或 ．
【点睛】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，等腰三角形的性质，
分类讨论是解题的关键．
16．如图，一次函数y＝kx+b的图象与x轴和y轴分别交于点A（6，0）和B（0，2 ），动点C
在x轴上运动（不与点O、点A重合），连接BC．
(1)若点C为（3，0），则 ABC的面积为 ；
(2)若点C（x，0）在线段O△A上运动（不与点O、点A重合），求 ABC面积y关于x的函数解析
式，并写出自变量x的取值范围； △
(3)在x轴上是否存在点C，使 ABC为等腰三角形？若存在请直接写出点C的坐标；若不存在，请
说明理由． △
【答案】(1)3
(2)y=- x+6 (0＜x＜6)；
(3)存在，点C的坐标为：（-6，0）或（6+4 ，0）或（6-4 ，0）或（2，0）．
【分析】（1）由点A（6，0）和B（0，2 ），点C为（3，0），即可求得AC与OB的长，继
而可求得 ABC的面积；
△（2）由点C（x，0）在线段OA上运动（不与点0、点A重合），即可求得AC=6-x，OB=2 ，继
而求得 ABC面积y关于x的函数解析式，写出自变量x的取值范围；
（3）分△别从AB=BC，AB=AC，AC=BC去分析求解即可求得答案．
（1）
解：∵A（6，0）和B（0，2 ），C（3，0），
∴AC=6-3=3，OB=2 ，
∴ = AC•OB= ×3×2 =3 ；
故答案为：3 ；
（2）
解：∵AC=6-x，OB=2 ，
∴ = AC•OB= ×（6-x）×2 =- x+6 ；
∵点C（x，0）在线段OA上运动（不与点O、点A重合），
∴自变量x的取值范围为：0＜x＜6；
∴y=- x+6 (0＜x＜6)；
（3）
解：如图，
①当AB=BC时，
∵OB⊥x轴，
∴OA=OC，
∴点 的坐标为：（-6，0）；
②当AB=AC时，∵AB= ，
点 （6+4 ，0），点 （6-4 ，0）；
③当AC=BC时，
设点 （x，0），
则6-x= ，
解得：x=2，
∴点 的坐标为：（2，0）；
综上可得：点C的坐标为：（-6，0）或（6+4 ，0）或（6-4 ，0）或（2，0）．
【点睛】此题考查了一次函数的性质、三角形的面积以及等腰三角形的性质．注意掌握方程思想、
分类讨论思想与数形结合思想的应用．
17．如图，在平面直角坐标系中，A（0， ），B（3，0），点P是直线AB上一动点，过点P作
x轴的垂线，垂足为M，连接OP．
(1)求直线AB的解析式，并直接写出∠ABO的度数；
(2)若 OBP是以OB为腰的等腰三角形，求所有满足条件的点P的坐标；
(3)求△OP＋PM的最小值．
【答案】(1)y＝－ x＋ ，∠ABO＝30°
(2)所有满足条件的点P的坐标为（3＋ ，－ ）或（3－ ， ）或（－ ， ）
(3)OP＋PM的最小值为【分析】（1）根据A、B两点的坐标求出OA、OB，利用勾股定理求得AB，可求得 ，设
AB直线为 ，代入A、B两点坐标，即可求解；
（2）分OB=OP，OB=PB两种情况，利用等要三角形的性质以及含30°角的直角三角形的性质即可
求解；
（3）作点M关于AB的对称点 ，设 点的轨迹为 ，由对称可得 ，则
，可得直线 与x轴的夹角为 ，可得当 时，OP＋PM的最小，根据含30°
角的直角三角形的性质求解即可．
【详解】（1）解：∵
∴ ，
∴ ，
∴ ，
设AB直线为 ，将A、B两点代入可得：
，解得 ，即 ；
（2）解：当OB=OP时，如图，过点P作x轴的垂线，垂足为M，
∵OB=3， ，
∴OB=OP=3， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ；当OB=PB时，如图，过点P作x轴的垂线，垂足为M，
则OB=PB=3，设 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴点P的坐标为 ；
同理可得点 的坐标为 ；
综上， ， ， ；
（3）解：作点M关于AB的对称点 ，如图设 点的轨迹为 ，
由对称可得 ， ，
则 ，即直线 与x轴的夹角为 ， ，
∴当 时，OP＋PM的最小，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的最小值为 ．
【点睛】本题考查了一次函数综合题，主要考查了待定系数法求解析式，等腰三角形的性质，以
及含30°角的直角三角形的性质，轴对称的性质等知识，熟练掌握等腰三角形的性质以及含30°角
的直角三角形的性质是解题的关键．
18．如图，在平面直角坐标xOy中，已知直线y＝﹣2x+2与x轴交于点B，与y轴交于点A，直线l
过原点，与AB交于点C，△OBC的面积为 ．
(1)求A、B两点的坐标．
(2)求直线l的解析式．
(3)若直线l上有一动点P（不与O重合），连接AP，PQ⊥AP，交x轴于点Q，当△AOP为等腰三
角形时，求点Q的坐标．
【答案】(1)点A、B的坐标分别为（0，2）、（1，0）
(2)y＝x
(3)点Q的坐标为（2，0）或（0，0）或（2 ﹣2，0）或（﹣2 ﹣2，0）【分析】（1）对于y＝﹣2x+2，令y＝﹣2x+2＝0，则x＝1，令x＝0，则y＝2，即可求解；
（2）由 OBC的面积＝ ＝ ，解得 ，将点C的纵坐标代入y＝﹣2x+2
△
得， ＝﹣2x+2，解得x＝ ，故点C（ ， ），即可求解；
（3）证明 PMQ≌△PNA（AAS），求出点Q（2m﹣2，0），利用 AOP为等腰三角形求出m的值，
即可求解．△ △
【详解】（1）对于y＝﹣2x+2，令y＝﹣2x+2＝0，则x＝1，
令x＝0，则y＝2，
故点A、B的坐标分别为（0，2）、（1，0）；
（2）∵△OBC的面积＝ ＝ ＝ ，解得 ，
将点C的纵坐标代入y＝﹣2x+2得， ＝﹣2x+2，解得x＝ ，
故点C（ ， ），
设直线l的表达式为y＝kx，将点C的坐标代入上式并解得k＝1，
故直线l的表达式为y＝x；
（3）设点P（m，m），过点O作x轴、y轴的垂线，垂足分别为M、N，
∵PQ⊥AP，则∠APQ＝90°，
∴∠QPM+∠MPA＝90°，
∵∠MPA+∠NPA＝90°，
∴∠MPQ＝∠NPA，
在△PMQ和△PNA中，，
∴△PMQ≌△PNA（AAS），
则MQ＝AN＝m﹣2，则OQ＝m+m﹣2＝2m﹣2，
故点Q（2m﹣2，0），
在△AOP中，点A、P、O的坐标分别为（0，2）、（m，m）、（0，0），
则 ，
当AP＝AO时，则 ，解得m＝0（舍去）或2；
当AP＝OP时，同理可得m＝1；
当AO＝PO时，同理可得m＝± ，
故m＝2或 或1，
故点Q的坐标为（2，0）或（0，0）或（2 ﹣2，0）或（﹣2 ﹣2，0）．
【点睛】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、等腰三角形的性质、三角形
全等、面积的计算等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．
19．如图所示，在平面直角坐标系中，直线 与x轴交于点B，直线 与x轴交于
点C，与y轴交于点D．
(1)直接写出点B、C的坐标：
(2)点 是直线 图象上一点，设 的面积为S，请求出S关于x的函数关系式；并
探究当点M运动到什么位置时（求出M点坐标即可）， 的面积为10，并说明理由．(3)线段CD上是否存在点P，使 为等腰三角形，如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，
请说明理由．
【答案】(1) ， ；
(2) ； 或 ；
(3)存在， 或 ， 或 ， ．
【分析】（1）在 ， 中，分别令 ，即可求点 、 的坐标；
（2）由 ，可求 ；再令 ，即可求 点的坐标；
（3）设 ，则 ， ， ，分三种情况
讨论：①当 时， ；②当 时， ， ；③当 时， ， ．
（1）
解：在 中，令 ，则 ，
，
在 中，令 ，则 ，
；
（2）
解： 点 是直线 图象上一点，
，
；
当 时， ，
解得 或 ，
或 ；
（3）
解：存在点 ，使 为等腰三角形，理由如下：设 ，
，根据两点距离公式可得： ， ，
①当 时， ，
解得 （舍 或 ，
；
②当 时， ，
解得 （舍 或 ，
， ；
③当 时， ，
解得 ，
， ；
综上所述： 点坐标为 或 ， 或 ， ．
【点睛】本题考查一次函数的综合应用，熟练掌握一次函数的图象及性质，等腰三角形的性质，
分类讨论是解题的关键．
