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专题 21.2 一元二次方程与三角形边长问题
【例题精讲】
【例1】已知关于 的方程 ．
（1）求证：无论 为何值，方程总有实数根；
（2）若等腰三角形一腰长为5，另外两边长度为该方程的两根，求等腰三角形的周长．
【题组训练】
一．选择题
1．已知 ， ，4是等腰三角形的三边长，且 ， 是关于 的方程 的两
个实数根，则 的值是
A． B． C． 或 D． 或
2．等腰三角形的一边长为4，另外两边的长是关于 的方程 的两个实数根，
则该等腰三角形的周长是
A．14 B．14或15 C．4或6 D．24或25
3．若等腰三角形的一条边长为5，另外两条边的长为一元二次方程 的两个根，
则 的值为
A．10 B． C．10或 D．
4．等腰三角形三边长分别为 、 、2，且 、 是关于 的一元二次方程的两根，则 的值为
A．15 B．24 C．15或24 D．22或24
5．已知 、 、4分别是等腰三角形（非等边三角形）三边的长，且 、 是关于 的一元
二次方程 的两个根，则 的值等于
A．7 B．7或6 C．6或 D．6
6．等腰三角形的一边长是4，方程 的两个根是三角形的两边长，则 为
A．7 B．8 C．4 D．7或8
7．等腰三角形边长分别为 ， ，2，且 ， 是关于 的一元二次方程
的两个根，则 的值为
A．6 B．6或7 C．7或8 D．7
8．已知等腰三角形 的边长分别是 ， ，4，且 ， 是关于 的方程
的两根，则 的值为
A．7 B．8 C．9 D．7或8
9．已知 、 、3分别是等腰三角形（非等边三角形）三边的长，且 、 是关于 的一
元二次方程 的两个根，则 的值等于
A．1 B． C．1或2 D．1或
10．已知关于 的一元二次方程 ，其中 、 、 分别为
三边的长．
①如果 是方程的根，则 是等腰三角形；
②如果方程有两个相等的实数根，则 是等边三角形；
③如果 是等边三角形，则这个一元二次方程的根为 和2．
其中正确的是A．① B．①③ C．①② D．②③
11．若等腰三角形三边的长分别是 ， ，3，且 ， 是关于 的一元二次方程
的两个根，则满足上述条件的 的值有
A．1个 B．2个 C．3个 D．3个以上
12．已知， ， ，5分别是等腰三角形三边的长，且 ， 是关于 的一元二次方程
的两个根，则 的值等于
A．12 B． C．12或 D．12或13
二．解答题
13．已知关于 的方程 ．
（1）求证：无论 为何值，方程总有实数根；
（2）若等腰三角形一腰长为5，另外两边长度为该方程的两根，求等腰三角形的周长．14．已知关于 一元二次方程 ．
（1）求证：无论 取任何实数值，方程总有实数根；
（2）当 时，方程的两实数根是等腰三角形的两边，试求等腰三角形的周长．
15．已知关于 的方程 ．
（1）求证：无论 取何值，方程总有实数根；
（2）若等腰三角形 的底边长3，另两边长 恰好是这个方程的两根，求此三角形的周长．
16．已知 ， 是关于 的一元二次方程 的两实数根．
（1）若方程有两个相等实数根，求 的值；
（2）已知等腰 的一边长为7，若 ， 恰好是 另外两边的边长，求这个三角
形的周长．17 ． 在 等 腰 中 ， 三 边 分 别 是 、 、 ， 其 中 ， 若 关 于 的 方 程
有两个相等的实数根，求三角形的周长．
18．关于 的方程
（1）求证：方程恒有两个不相等的实数根；
（2）若此方程的一个根为1，求 的值；
（3）求出以此方程两根为直角边的直角三角形的周长．
19．已知一元二次方程 ．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）若 的两边 、 的长是这个方程的两个实数根，第三边 的长为4，当
是等腰三角形时，求 的值．20．已知 的两边 ， 的长是关于 的一元二次方程 的
两个根，第三边 的长是10．
（1）求证：无论 取何值，此方程总有两个不相等的实数根．
（2）当 为何值时； 为等腰三角形？并求 的周长．
（3）当 为何值时， 是以 为斜边的直角三角形？
21．已知关于 的一元二次方程 ，其中 、 、 分别为
三边的长．
（1）如果 是方程的根，试判断 的形状，并说明理由；
（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断 的形状，并说明理由；
（3）如果 是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．22．已知关于 的一元二次方程 ．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）若 的两边 ， 的长是这个方程的两个实数根．第三边 的长为5，当
是等腰三角形时，求 的值．
23．已知关于 的一元二次方程 ，其中 ， ， 分别为
三边的长．
（1）如果 是方程的根，试判断 的形状，并说明理由；
（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断 的形状，并说明理由；
（3）如果 是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．24．关于 的一元二次方程 ，其中 、 、 分别为 三边
的长．
（1）如果方程有两个相等的实数根，试判断 的形状，并说明理由；
（2）如果 是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．
25．已知：关于 的一元二次方程 ．
（1）已知 是方程的一个根，求 的值；
（2）以这个方程的两个实数根作为 中 、 的边长，当 时，
是等腰三角形，求此时 的值．26．已知关于 的一元二次方程 ，其中 、 、 分别为
三边的长．
（1）如果 是方程的根，试判断 的形状，并说明理由；
（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断 的形状，并说明理由；
（3）如果 是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．
27．已知 ， 是关于 的一元二次方程 的两实数根．
（1）若 ，求 的值；
（2）已知等腰 的一边长为7，若 ， 恰好是 另外两边的边长，求这个三角
形的周长．28．已知关于 的方程
（1）求证：无论 取何值，这个方程总有实数根；
（2）若等腰三角形 的一边长 ，另两边 、 恰好是这个方程的两个根，求
的周长．
29．已知关于 的方程 ．
（1）求证：方程恒有两个不相等的实数根；
（2）若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根，并求以此两根为边长的直角三角形
的周长．30．已知关于 的一元二次方程 ．
（1）判断这个一元二次方程的根的情况；
（2）若等腰三角形的一边长为3，另两条边的长恰好是这个方程的两个根，求这个等腰三
角形的周长及面积．
