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专题21.30 用一元二次方程解决几何问题（分层练习）（基础练）
一、单选题
1．已知三角形两边长分别为4和7，第三边的长是方程 的根，则第三边的长为（ ）
A．6 B．11 C．6或11 D．7
2．如果关于x的二次方程 有两个相等的实数根，那么以正数a，b，c为边长
的三角形是（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．任意三角形
3．已知a、b、c是三角形三边的长，则关于x的一元二次方程 的实数根的情况
是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根；
C．没有实数根 D．无法确定
4．定义：如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一半，那么称三角形为“智慧三角形”．如
图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA＝3，OC＝4，点M(2，0)，在边AB存在点P，
使得 CMP为“智慧三角形”，则点P的坐标为（ ）
△
A．(3，1)或(3，3) B．(3， )或(3，3)
C．(3， )或(3，1) D．(3， )或(3，1)或(3，3)
5．“鹿鸣•博约”课程兴趣小组准备利用学校仓库旁的一块矩形空地，开僻一个面积为130平方米的
花园，打算一面利用仓库墙面，三面利用长为33米的旧围栏．如图，设矩形的一边长为 米，则下
列方程中符合题意的是（ ）A． B．
C． D．
6．如图，在矩形 中， ， ，点 是 上一个动点，把 沿 向矩形内部折
叠，当点A的对应点 恰好落在 的平分线上时， 的长为（ ）
A． 或 B．4或 C． 或 D． 或
7．若菱形对角线的长是方程 的根，则菱形的面积等于（ ）
A．15 B． C．8 D．4
8．如图，已知四边形ABCD是菱形，菱形的两边AB、BC的长是关于x的一元二次方程
的两个实数根，则m的值为（ ）
A．－1 B．1 C．－2 D．2
9．已知菱形ABCD的边长为5，两条对角线交于O点，且OA、OB的长分别是关于 的方程的根，则 等于( )
A． B． C． D．
10．伊斯兰数学家塔比·伊本·库拉（Thabit ibn Qurra，830-890）在其著作《以几何方法证明代数问
题》中讨论了二次方程的几何解法．例如：可以用如图来解关于 的方程 ，其中
为长方形， 为正方形，且 ， ，则方程 的其中一个正根为（
）
A． 的长 B． 的长 C． 的长 D． 的长
11．我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全
等的直角三角形．如图所示，若AF＝5，CE＝12，则该三角形的面积为（ ）
A．60 B．65 C．120 D．130
12．如图，在一块长方形草地上修建两条互相垂直且宽度相同的平行四边形通道，其中∠KHB＝60°，
已知AB＝20米，BC＝30米．四块草地总面积为503m2，设GH为x米．则可列方程为（ ）
A．（20﹣2x）（30﹣3x）＝503 B．（20﹣ x）（30﹣ x）＝503C．20x+30x﹣x2＝97 D．20x+30x﹣ ＝97
二、填空题
13．已知 ABC 的一边长为 10，另两边长分别是方程 x2 14 x 48 0 的两个根若用一圆形纸
片将此三△角形完全覆盖，则该圆形纸片的最小半径是 ．
14．如图， cm，OC是一条射线， ，一只蚂蚁由A点以1cm/s速度向B点爬
行，同时另一只蚂蚁由O点以2cm/s的速度沿OC方向爬行，则 秒钟后，两只蚂蚁所处位置
与O点组成的三角形面积为100 ．
15．已知直角三角形纸片的两条直角边长分别为m和3（ ），过锐角顶点把该纸片剪成两个三角
形，若这两个三角形都为等腰三角形，则m的值为 ．
16．三角形两边长分别是3和4，第三边长是 的一个实数根，则该三角形的面积是
．
17．若 为 的三边，且关于x的一元二次方程 有两个
相等的实数根，则这个三角形是 三角形．
18．已知关于x的方程 的两根是一个矩形两条邻边的长，那么当k＝ 时，
矩形的对角线长为 ．
19．已知一元二次方程 的两个实数根分别为 ，且 的值为菱形 的棱长，
则菱形 的周长为 ．
20．菱形 的一条对角线长为6，边 的长是关于 的方程 的一个根，则菱形
的面积为 .21．如图，直线 与x轴、y轴分别交于A，B两点，C是OB的中点，D是AB上一点，
四边形OEDC是菱形，则△OAE的面积为 ．
22．伊斯兰数学家塔比 伊本 库拉 在其著作《以几何方法证明代数问题》
中讨论了二次方程的几何解法．例如：可以用如图来解关于 的方程 ，其中 为
长方形， 为正方形，且 ， ，则几何图形中的某条线段就是方程
的一个正根，则这个方程的正根是线段
23．如图，点G是正方 边AB上一点，以 为边作正方形 ，延长 交 于点H，当
矩 形 与正方形 面积相等时，则 ．
24．若平行四边形 的对角线 、 的长，分别为一元二次方程 两根，则平行
四边形 为 ．
三、解答题25．已知：设三角形 的三边a，b，c为方程 有两个相等的实数根，且a，
b，c满足
(1)求证： 是等边三角形．
(2)若a，b为方程 的两根，求k的值．
26．已知平行四边形 的两边 、 的长是关于 的方程 的两个实数根．
（1）求证：无论 取何值，方程总有两个实数根；
（2）当 为何值时，四边形 是菱形？求出这时菱形的边长．
27．（1）如图，在平面直角坐标系 中，菱形 的顶点C在x轴的正半轴上．若点A的坐标是
，求点B的坐标．
（2）关于x的方程 有实数根，求实数a满足的条件．28．已知□ABCD的两边AB、BC的长是关于x的一元二次方程方程 的两个实数根．
（1）试说明：无论m取何值，原方程总有两个实数根；
（2）当m为何值时，□ABCD是菱形？求出这时菱形的边长；
（3）若AB﹦2，求BC的长．
参考答案
1．A
【分析】利用因式分解法求出方程的解得到x的值，经检验即可得到第三边长．
解：方程 ，分解因式得： ，
解得： 或 ，
当 时，三边长为4，6，7，符合题意；
当 时，三边长为4，7，11，不合题意舍去，
则第三边长为6．
故选A．
【点拨】考查了解一元二次方程-因式分解法，以及三角形的三边关系，熟练掌握运算法则是解本题的
关键．
2．C
【分析】先把方程化为一般式，再根据根的判别式的意义得到 ，整理得
，则可根据勾股定理的逆定理可判断三角形的形状．
解：方程化为 ，
根据题意得 ，
所以 ，
所以以正数a，b，c为边长的三角形为直角三角形．
故选：C．
【点拨】本题考查了一元二次方程 的根的判别式 与根的关系，熟练掌
握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．当 时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当
时，一元二次方程有两个相等的实数根；当 时，一元二次方程没有实数根．也考查了勾股定理的逆定
理．
3．C
【分析】根据三角形的三边关系可知 ，可知一元二次方程根的情况．
解： ，
∵a、b、c是三角形三边的长，
∴ ，
∴ ，
∴原方程没有实数根，故选：C．
【点拨】本题考查了一元二次方程根的判别式，三角形的三边关系，熟练掌握根的判别式与根的情况
的关系是解题的关键．
4．D
【分析】由题意可知，“智慧三角形”是直角三角形，∠CPM＝90°或∠CMP＝90°，设P（3，a），
则AP＝a，BP＝4−a；分两种情况：①若∠CPM＝90°，②若∠CMP＝90°，根据勾股定理分别求出CP2、
MP2、CM2，并根据图形列出关于a的方程，解得a的值，则可得答案．
解：由题意可知，“智慧三角形”是直角三角形，∠CPM＝90°或∠CMP＝90°，
∴设P（3，a），则AP＝a，BP＝4−a；
①若∠CPM＝90°，在Rt△BCP中，由勾股定理得：
CP2＝BP2＋BC2＝（4−a）2＋9，
在Rt△MPA中，由勾股定理得：
MP2＝MA2＋AP2＝1＋a2，
在Rt△MPC中，由勾股定理得：
CM2＝MP2＋CP2＝1＋a2＋（4−a）2＋9＝2a2−8a＋26，
又∵CM2＝OM2＋OC2＝4＋16＝20，
∴2a2−8a＋26＝20，
∴（a−3）（a−1）＝0，
解得：a＝3或a＝1，
∴P（3，3）或（3，1）；
②若∠CMP＝90°，在Rt△BCP中，由勾股定理得：
CP2＝BP2＋BC2＝（4−a）2＋9，
在Rt△MPA中，由勾股定理得：
MP2＝MA2＋AP2＝1＋a2，
∵CM2＝OM2＋OC2＝20，
在Rt△MCP中，由勾股定理得：CM2＋MP2＝CP2，
∴20＋1＋a2＝（4−a）2＋9，
解得：a＝ ．
∴P（3， ）．
综上，P（3， ）或（3，1）或（3，3）．
故选：D．
【点拨】本题考查了矩形的性质及勾股定理在几何图形坐标计算中的应用，数形结合、分类讨论并根
据题意正确地列式是解题的关键．
5．C
【分析】根据各边之间的关系，可得出平行于墙的一边长为 米，结合矩形花园的面积为130
平方米，即可得出关于 的一元二次方程，即可得到答案．
解：∵旧围栏的总长度为33米，且垂直于墙的一边长为 米，
∴平行于墙的一边长为 米，
根据题意得： ，
故选：C．
【点拨】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题
的关键．
6．D
【分析】过点 作 于点M．由题意易证 为等腰直角三角形，即得出 ，
．设 ，则 ．在 中，由勾股定理可得出关于x的等式，解出
x的值，即为 的长，进而即得出 的长．
解：如图，过点 作 于点M．∵点A的对应点 恰落在 的平分线上，且 ，
∴ 为等腰直角三角形，
∴可设 ，则 ．
又由折叠的性质知 ．
∵在 中， ，
∴ ，
解得： ，
∴ 或 ．
∵ 为等腰直角三角形，
∴ ，
∴ 或 ．
故选D．
【点拨】本题考查矩形的性质，角平分线的定义，等腰直角三角形的判定和性质，折叠的性质，勾股
定理，解一元二次方程等知识．正确作出辅助线构造直角三角形是解题关键．
7．B
【分析】利用因式分解法求得方程的两根，进而根据菱形面积等于两条对角线的积的一半求解即可．
解： ，
，
则 或 ，
解得 ， ，
菱形的面积等于 ，
故选： B．【点拨】综合考查了菱形的性质及解一元二次方程；得到菱形的对角线长是解决本题的突破点；用到
的知识点为：因式分解法解一元二次方程；菱形面积等于两条对角线的积的一半．
8．B
【分析】根据题意，令一元二次方程的根的判别式 ，构建方程，解方程即可．
解：根据题意，该一元二次方程有两个相等的实数根，
∴ ，
即 ，
解得 ．
故选：B．
【点拨】本题主要考查了菱形的性质、一元二次方程的根的判别式、解一元二次方程等知识，解题关
键是熟练掌握相关基本知识，用转化的思想思考问题．
9．A
【分析】由题意可知：菱形ABCD的边长是5，则 ，则再根据根与系数的关系可得：
；代入 中，得到关于m的方程后，求得m的值．
解：由直角三角形的三边关系可得：
又有根与系数的关系可得：
∴
整理得：
解得：m=−3或5.
又∵ ,
∴ 解得
∴ .
故选:A.【点拨】考查一元二次方程根与系数的关系以及菱形的性质，注意掌握勾股定理在解题中的应用.
10．B
【分析】设正方形 的边长为 ，则 ，根据 ，可得
，所以 ，进而可得 是方程 的其中一个正根．
解：设正方形 的边长为 ，
则 ，
，
，
，
则方程 的其中一个正根为 ．
故选：B．
【点拨】本题考查了一元二次方程，数学常识，正方形的性质，解决本题的关键是理解一元二次方程
定义．
11．A
【分析】设小正方形的边长为x，则AB=5+x，BC=12+x，由全等三角形的性质可求AC得长，由勾股定
理可求解小正方形的边长，进而可求解．
解：设小正方形的边长为x，
∵AF=5，CE=12，
∴AB=5+x，BC=12+x，
∵△AFM≌△ADM，△CDM≌△CEM，
∴AD=AF=5，CD=CE=12，
∴AC=AD+CD=5+12=17，
在Rt△ABC中，AC2=AB2+BC2，∴172=（5+x）2+（12+x）2，
解得x=3(负值已舍)，
∴AB=8，BC=15，
∴△ABC的面积为： ×8×15=60，
故选：A．
【点拨】本题主要考查了勾股定理，解一元二次方程，利用勾股定理求解小正方形的边长是解题的关
键．
12．D
【分析】设GH为x米，根据矩形和平行四边形的面积公式，即可得出关于x的一元二次方程．
解：过H作HM⊥LG于M，
∵∠KHB＝60°，LG//KH，
∴∠HGM＝∠KHB＝60°，
∵∠HMG＝90°，
∴HM＝ x，
∵长方形的面积＝20×30＝600（cm）2，四块草地总面积为503m2，
∴通道的面积为：20x+30x﹣ ＝600－503，即20x+30x﹣ ＝97
故选：D．
【点拨】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，求出重合部分的边长，找准等量关系，正确列
出一元二次方程是解题的关键．
13．5【分析】求出方程的解，根据勾股定理的逆定理得出三角形ABC是直角三角形，根据已知得出圆形正
好是 ABC的外接圆，即可求出答案．
△
解：解方程x2-14x+48=0得：x =6，x =8，
1 2
即 ABC的三边长为AC=6，BC=8，AB=10，
∵A△C2+BC2=62+82=100，AB2=100，
∴AB2=AC2+BC2，
∴∠C=90°
∵若用一圆形纸片将此三角形完全覆盖，
则该圆形纸片正好是 ABC的外接圆，
△
∴△ABC的外接圆的半径是 AB=5，
故答案为5．
【点拨】本题考查勾股定理的逆定理，三角形的外接圆与外心，解一元二次方程的应用．
14．10或
【分析】可以分两种情况进行讨论：（1）当蚂蚁在 上运动；（2）当蚂蚁在 上运动．根据三角
形的面积公式即可列方程求解．
解：有两种情况：
（1）如图1，当蚂蚁在 上运动时，
设x s后两只蚂蚁与O点组成的三角形面积为100 ，
由题意，得 ，
整理，得 ，
解得 ；（2）如图2，当蚂蚁在 上运动时，
设x秒钟后，两只蚂蚁与O点组成的三角形面积为100 ，
由题意，得 ，
整理，得 ，
解得 ， （舍去）．
答：10s或 s后，两蚂蚁与O点组成的三角形的面积均为100 ．
故答案为：10或 ．
【点拨】本题考查了一元二次方程的应用．分两种情况进行讨论是难点．
15． /
【分析】如图，根据等腰三角形的性质和勾股定理可得 ，整理即可解答．
解：由题意可得如图，
，
解得： （负根舍去），
故答案为 ．【点拨】本题主要考查等腰三角形的性质、勾股定理及一元二次方程的解法，熟练掌握等腰三角形的
性质、勾股定理及一元二次方程的解法是解题的关键．
16．
【分析】先解一元二次方程得到三角形的第三边长，再构建图形，如图，过 作 于 利用
勾股定理求解三角形的高即可得到答案.
解：
如图， 中，
过 作 于
故答案为：
【点拨】本题考查的是一元二次方程的解法，等腰三角形的性质，勾股定理的应用，掌握构建直角三
角形求解三角形的高是解题的关键.
17．等腰
【分析】根据关于x的一元二次方程 有两个相等的实数根，利用一
元二次方程根的判别式进行求解可以得到 或 ，由此判定即可．
解：∵关于x的一元二次方程 有两个相等的实数根，∴ ，
∴ ，
∴ 即
解得 或 ，
∴这个三角形为等腰三角形．
故答案为：等腰．
【点拨】本题主要考查了一元二次方程根的判别式和等腰三角形的判定，解题的关键在于能够熟练掌
握一元二次方程根的判别式．
18．2．
【分析】根据根与系数的关系得出AB+BC＝k+1，AB•BC＝ k2+1，由勾股定理得出AB2+BC2＝5，得
出方程（k+1）2﹣2（ k2+1）＝5，求出方程的解即可．
解：根据根与系数的关系得：AB+BC＝k+1，AB•BC＝ k2+1，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°，
由勾股定理得：AB2+BC2＝（ ）2＝5，
（AB+BC）2﹣2AB•BC＝5，
（k+1）2﹣2（ k2+1）＝5，
k＝2，k＝﹣6，
当k＝2时，AB+BC＝K+1＝3，
当k＝﹣6时，AB+BC＝k+1＝﹣5＜0，舍去，
故答案为：2．
【点拨】本题考查了矩形的性质，勾股定理，根与系数的关系的应用，关键是得出关于k的方程．19．4
【分析】根据根系关系可以求出 的值，利用菱形的周长公式即可求解；
解： 一元二次方程 的两个实数根分别为 ，
，
的值为菱形 的棱长
菱形 的周长为4，
故答案为：4
【点拨】本题考查了根与系数的关系，菱形的性质，熟练掌握根系关系是解题的关键．
20． 或24/24或
【分析】求出已知方程的解，确定出 的长，再利用勾股定理求出对角线的长，即可求出面积．
解：方程 ，
分解因式得： ，
可得 或 ，
解得： 或 ，
当 时，另一条对角线为： ，
则菱形 的面积为 ；
当 时，另一条对角线为： ，
则菱形 的面积为 ；
故答案为： 或24．
【点拨】此题考查了解一元二次方程 因式分解法，以及菱形的性质，解题的关键是熟练掌握方程的
解法．
21． / /1.2
【分析】延长DE交x轴于点F，先求出点A（4，0），B（0，2），可得OB=2，OA=4，再根据菱形的性质，可得OE=OC=DE=1，DE∥OC，设点 ，则 ，可得 ，
再由勾股定理，即可求解．
解：如图，延长DE交x轴于点F，
当x=0时，y=2，
当y=0时，则 ，解得：x=4，
∴点A（4，0），B（0，2），
∴OB=2，OA=4，
∵C是OB的中点，
∴OC=1，
∵四边形OEDC是菱形，
∴OE=OC=DE=1，DE∥OC，
∴DF⊥x轴
设点 ，则 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，解得： 或0（舍去），
∴ ，
∴△OAE的面积为 ．故答案为：
【点拨】本题主要考查了一次函数的图象和性质，菱形的性质，熟练掌握一次函数的图象和性质，菱
形的性质是解题的关键．
22． /
【分析】设正方形 的边长为 ，则 ，根据 ，可得
，所以 ，进而可得 是方程 的其中一个正根．
解：设正方形 的边长为 ，
则 ，
，
，
，
则方程 的其中一个正根为 ．
故答案为： ．
【点拨】本题考查了一元二次方程，数学常识，正方形的性质，解决本题的关键是理解一元二次方程
定义．
23．
【分析】 ， ，根据矩形 与正方形 面积相等列出方程，然后解一元二次方程
即可．
解：设 ， ，
∵矩形 与正方形 面积相等，
∴ ，
∴
∴ ，
∴解得 （负值舍去），
∴ ．
故答案为： ．【点拨】此题考查了一元二次方程的应用，正方形和矩形的性质，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
24．矩形
【分析】解方程求得AC=BD=2，从而判断平行四边形ABCD为矩形．
解：平行四边形ABCD为矩形，理由如下：
解方程x2-4x+4=0得x=x=2，
1 2
∴AC=BD=2，
∵四边形ABCD为平行四边形，且AC=BD，
∴四边形ABCD为矩形．
故答案为：矩形．
【点拨】本题考查了解一元二次方程，平行四边形的性质，矩形的判定，注意：对角线相等的平行四
边形是矩形．
25．(1)见分析；(2)1
【分析】（1）根据方程有两个相等的实数根得出 ，即 ，代入
可得 ，代入 得 ；
（2）根据题意知方程 有两个相等的实数根，据此得 ，
即 ，解之可得 或 ，代回方程求得 的值，判断是否符合题意即可．
解： 方程 有两个相等的实数根，
，即 ，
△
，
，即 ，
将 代入 得： ，
，
是等边三角形；
（2） 、 为方程 两根，且 ，
，即 ，
△
解得： 或 ，
当 时，方程为 ，解得： （舍）；当 时，方程为 ，解得： ，（符合题意）；
故 ．
【点拨】本题主要考查根的判别式和解一元二次方程的能力、等边三角形的判定，根据方程的根的情
况得出判别式的值的情况，从而得到关于 、 、 及 的等式是解题的关键．
26．（1）见分析；（2）m=1，
【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式，即可求证；
（2）根据题意可得方程有两个相等的实数根，即 ，可得到方程为 ，解出即可
求解．
解：（1）由题意得 ，
，
无论 取何值，方程总有两个实数根；
（2） 四边形 是菱形，
，
∴方程有两个相等的实数根，
∴ ，
，
方程为 ，
解得： ，
即菱形的边长为 ．
【点拨】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，菱形的性质，熟练掌握一元二次方程根的判别式，
菱形的性质是解题的关键．
27．（1） ；（2）
【分析】（1）过点A作 轴于点E，然后可得 ，进而问题可求解；（2）由题意可分当 时和当 时进行分类求解即可．
解：（1）过点A作 轴于点E，如图所示：
∵点A的坐标是 ，
∴ ，
∴ ，
∵四边形OABC为菱形，
∴ ，
∴点B的坐标为 ．
（2）由题意可分：①当 ，即 时，
关于x的方程 有实数根，
∴ ，
解得： ，
②当 时，即 ，即方程为 ，有解；
综上所述：a的取值范围为 ．
【点拨】本题主要考查菱形的性质、图形与坐标及一元二次根的判别式，熟练掌握菱形的性质、图形
与坐标及一元二次根的判别式是解题的关键．
28．（1）证明见分析；（2）m﹦1，边长为 ；（3） ．
【分析】（1）利用根的判别式求出 的符号进而得出答案；
（2）利用菱形的性质以及一元二次△方程的解法得出答案；
（3）将AB＝2代入方程解得m＝ ，进而得出x的值．
解：（1）∵关于x的方程 ， ＝m2−2m＋1＝（m−1）2，
△
∵无论m取何值（m−1）2≥0∴无论m取何值方程总有两个实数根；
（2）∵四边形ABCD是菱形
∴AB＝BC即（m−1）2＝0，即m=1，
将m＝1代入方程得：
∴x ＝x ＝ ，
1 2
即菱形的边长为 ；
（3）将AB＝2代入方程
解得：m＝ ，
将m＝ 代入方程
解得：x ＝2，x ＝ ，
1 2
即BC＝ .
【点拨】此题主要考查了一元二次方程的解法以及菱形的性质和根的判别式等知识，得出m的值是解
题关键．
