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第21章 一元二次方程（培优卷）
一．选择题（每小题3分，共24分）
1.关于x的方程 是一元二次方程，则它的一次项系数是( )
A．－1 B．1 C．3 D．3或－1
【答案】B
【解析】解：由题意得：m2-2m-1=2，m-3≠0，
解得m=-1或m=3．
m=3不符合题意，舍去，
所以它的一次项系数-m=1．
故选B．
2.若关于x的方程(k-1)x2＋4x＋1＝0有实数根，则k的取值范围是( )
A．k≤5 B．k<5，且k≠1 C．k≤5，且k≠1 D．k>5
【答案】A
【解析】当K-1=0时，即k=1时，方程4x＋1＝0有实数.
当k-1≠0时，即k≠1时，方程 有实数根，
∴ 解得：k≤5且k≠1．
综上k≤5
故选：A．
3.已知 是关于 的一元二次方程 的两个不相等的实根，且满足 ，则
的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】 是关于 的一元二次方程 的两个不相等的实根，
所以 ，且∆= 2-4 >0
又 ，所以， = ；
解得m=3,m =2,
1 2
当m=2时，∆=0，不合题意
故m=3
故选B
4.如果三角形的两边长分别是方程x2﹣8x+15=0的两个根，那么连接这个三角形三边的中点，得到的三角
形的周长可能是
A．5.5 B．5 C．4.5 D．4
【答案】A
【解析】解方程x2﹣8x+15=0得：x=3，x=5，
1 2
∴根据三角形三边关系，第三边c的范围是：2＜c＜8．
∴三角形的周长l的范围是：10＜l＜16．
∴根据三角形中位线定理，连接这个三角形三边的中点，得到的三角形的周长m的范围是：5＜m＜8．
∴满足条件的只有A．
故选A．
5.已知关于x的一元二次方程mx2﹣nx＝p（m≠0）的两个根为x＝3，x＝5，则方程m（2x+5）2﹣n
1 2
（2x+5）﹣p＝0的根为（ ）
A．x＝3，x＝5 B．x＝﹣1，x＝0
1 2 1 2
C．x＝﹣2，x＝0 D．x＝11，x＝15
1 2 1 2
【答案】B
【解析】解：∵关于x的一元二次方程mx2﹣nx＝p（m≠0）的两个根为x＝3，x＝5，
1 2
∴方程m（2x+5）2﹣n（2x+5）﹣p＝0中2x+5＝3或2x+5＝5，
解得：x＝﹣1或x＝0，
即x＝﹣1，x＝0，
1 2
故选：B．
6.若关于x的方程x2+(m+1)x+m2＝0的两个实数根互为倒数，则m的值是（ ）
A．﹣1 B．1或﹣1 C．1 D．2
【答案】C
【解析】由题意可知：△＝（m+1）2﹣4m2＝﹣3m2+2m+1，
由题意可知：m2＝1，
∴m＝±1，
当m＝1时，△＝﹣3+2+1＝0，当m＝﹣1时，△＝﹣3﹣2+1＝﹣4＜0，不满足题意，
故选：C．
7.某商场在销售一种糖果时发现，如果以20元/kg的单价销售，则每天可售出100kg，如果销售单价每增加
0.5元，则第天销售量会减少2kg.该商场为使每天的销售额达到1800元，销售单价应为多少？设销售单价
应为x元/kg，依题意可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】解：设销售单价应为x元/kg,则销售量为（ ）kg，依题意得：
依题意得：
故选:C
8.如果关于 的一元二次方程 有下列说法：①若 ，则 ；②若方
程两根为-1和2，则 ；③若方程 有两个不相等的实根，则方程 必有两个
不相等的实根；④若 ，则方程有两个不相等的实根，其中结论正确的是有（ ）
个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解析】解：①若 ，方程 有一根为1，又 ，则 ，正确；
②由两根关系可知， ，整理得： ，正确；
③若方程 有两个不相等的实根，则 ，可知 ，故方程 必有两个不
相等的实根，正确；
④由 ， ，所以④正确．
故选 ．
二．填空题（每小题2分，共16分）9.已知方程 的一根为 ，则方程的另一根为_______．
【答案】
【解析】解：设方程的另一个根为c，
∵ ，
∴ ．
故答案为 ．
10.若一个一元二次方程的两个根分别是Rt△ABC的两条直角边长，且S =3，请写出一个符合题意的一
△ABC
元二次方程_______．
【答案】x2－5x+6=0（答案不唯一）
【解析】当直角边长分别为2、3时，根据一元二次方程根与系数的关系得一元二次方程x2－5x+6=0；
当直角边长分别为1、6时，根据一元二次方程根与系数的关系得一元二次方程x2－7x+6=0；
…（答案不唯一）．
11.电影《长津湖》于2021年9月30日在中国大陆上映，某地第一天票房约2亿元，以后每天票房按相同
的增长率增长，三天后票房收入累计达7亿元，若把增长率记作x，则方程可以列为
．
【答案】
【解析】解：∵某地第一天票房约2亿元，且以后每天票房的增长率为x，
∴第二天票房约2（1+x）亿元，第三天票房约2（1+x）2亿元，
依题意得：2+2（1+x）+2（1+x）2＝7．
故答案为：2+2（1+x）+2（1+x）2＝7．
12.若关于 的方程 有三个根，且这三个根恰好可以作为一个三角形的三条边的
长，则 的取值范围是________.
【答案】3＜m≤4
【解析】解：∵关于x的方程（x-2）（x2-4x+m）=0有三个根，
∴①x-2=0，解得x=2；
1
②x2-4x+m=0，∴△=16-4m≥0，即m≤4，
∴x=2+ ，x=2-
2 3又∵这三个根恰好可以作为一个三角形的三条边的长，且最长边为x，
2
∴x+x＞x；解得3＜m≤4，
1 3 2
∴m的取值范围是3＜m≤4．
故答案为3＜m≤4
13.为增强学生身体素质，提高学生足球运动竞技水平，我市开展“市长杯”足球比赛，赛制为单循环形式
（每两队之间赛一场）．现计划安排21场比赛，应邀请多少个球队参赛？设邀请x个球队参赛，根据题意，
可列方程为 ．
【答案】 x（x﹣1）=21
【解析】有x个队，每个队都要赛（x﹣1）场，但两队之间只有一场比赛，由题意得：
x（x﹣1）=21，
故答案为 x（x﹣1）=21．
14.若关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则点 在第____象
限．
【答案】四．
【解析】∵关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，
∴ ，
解得： 且 ．
∴ ， ，
∴点 在第四象限．
故答案为四．
15.已知实数a，b满足等式a2﹣2a﹣1＝0，b2﹣2b﹣1＝0，则 的值是_____．
【答案】﹣2或2 ﹣2或﹣2 ﹣2
【解析】解：因为实数a，b满足等式a2﹣2a﹣1＝0，b2﹣2b﹣1＝0，
①当a＝b＝1+ 或1﹣ 时，原式＝ ＝2 ﹣2或﹣2 ﹣2；
②当a≠b时，可以把a，b看作是方程x2﹣2x﹣1＝0的两个根．由根与系数的关系，得a+b＝2，ab＝﹣1．
则原式＝﹣2．
故答案为：﹣2或2 ﹣2或﹣2 ﹣2．
16.如图，等边△ABC中，D在射线BA上，以CD为一边，向右上方作等边△EDC．若BC、CD的长为方
程x2﹣15x+7m＝0的两根，当m取符合题意的最大整数时，则不同位置的D点共有 个
【答案】3
【解析】解：由题意，得225﹣28m≥0，解得：m≤ ．
∵m为最大的整数，∴m＝8．
∴x2﹣15x+56＝0，∴x＝7，x＝8．
1 2
当BC＝7时，CD＝8，
∴点D在BA的延长线上，如图1．
当BC＝8时，CD＝7，
∴点D在线段BA上，有两种情况，如图2，在D和D′的位置．
∴综上所述，不同D点的位置有3个．
故答案为：3
三．解答题（共60分）
17.（6分）解方程：（1） ； （2） ．
【答案】（1） ；（2）方程没有实数根
【解析】解：（1） ，，
，
，
；
（2） ，
，
，
原方程没有实数根．
18.（8分）已知关于x的一元二次方程
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）若△ABC的两边AB、AC的长是方程的两个实数根，第三边BC的长为5．当△ABC是等腰三角形时，
求k的值
【答案】（1）详见解析；（2） 或
【解析】（1）证明：∵△=（2k+1）2-4（k2+k）=1＞0，
∴方程有两个不相等的实数根；
（2）解：一元二次方程x2-（2k+1）x+k2+k=0的解为x= ，
即x=k，x=k+1，
1 2
∵k＜k+1，
∴AB≠AC．
当AB=k，AC=k+1，且AB=BC时，△ABC是等腰三角形，则k=5；
当AB=k，AC=k+1，且AC=BC时，△ABC是等腰三角形，则k+1=5，解得k=4，
所以k的值为5或4．
19.（8分）山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100
千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售可增加20千克，若该专卖店销售这种
核桃要想平均每天获利2240元，请回答：
（1）每千克核桃应降价多少元？（2）在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？
【答案】（1）4元或6元；（2）九折.
【解析】解：（1）设每千克核桃应降价x元.
根据题意，得（60﹣x﹣40）（100+ ×20）=2240，
化简，得 x2﹣10x+24=0，
解得x=4，x=6.
1 2
答：每千克核桃应降价4元或6元.
（2）由（1）可知每千克核桃可降价4元或6元.
∵要尽可能让利于顾客，
∴每千克核桃应降价6元.
此时，售价为：60﹣6=54（元），
.
答：该店应按原售价的九折出售.
20.（8分）已知关于 的方程 有实数根．
(1)求 的取值范围；
(2)设方程的两根分别是 、 ，且 ，试求k的值．
【答案】(1) ；(2) .
【解析】(1)解：∵原方程有实数根，
∴ ，∴ ，∴ .
(2)∵ ， 是方程的两根，根据一元二次方程根与系数的关系，得：
， ，
又∵ ，∴ ，∴ ，∴ ，
解之，得： ， ．经检验，都符合原分式方程的根，
∵ ，∴ ．
21.（10分）我们知道：x2﹣6x＝(x2﹣6x+9)﹣9＝(x﹣3)2﹣9；﹣x2+10x＝﹣(x2﹣10x+25)+25＝﹣(x﹣
5)2+25，这一种方法称为配方法，利用配方法请解以下各题：
(1)按上面材料提示的方法填空：a2﹣4a＝ ＝ ．﹣a2+12a＝ ＝ ．
(2)探究：当a取不同的实数时在得到的代数式a2﹣4a的值中是否存在最小值？请说明理由．
(3)应用：如图．已知线段AB＝6，M是AB上的一个动点，设AM＝x，以AM为一边作正方形AMND，
再以MB、MN为一组邻边作长方形MBCN．问：当点M在AB上运动时，长方形MBCN的面积是否存在
最大值？若存在，请求出这个最大值；否则请说明理由．
【答案】（1） ， ；（2）当 时，代数式
存在最小值为 ；（3） 时， 最大值为
【解析】解：（1）根据题意得：a2-4a=a2-4a+4-4=（a-2）2-4；-a2+12a=-（a2-12a+36）+36=-（a-6）2+36；
故答案为a2-4a+4-4；（a-2）2-4；-（a2-12a+36）+36；-（a-6）2+36；
（2）∵a2-4a=a2-4a+4-4=（a-2）2-4≥-4，-a2+12a=-（a2-12a+36）+36=-（a-6）2+36≤36，
∴当a=2时，代数式a2-4a存在最小值为-4；
（3）根据题意得：S=x（6-x）=-x2+6x=-（x-3）2+9≤9，
则x=3时，S最大值为9．
22.（10分）阅读材料：各类方程的解法
求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为x=a的形式．求解二元一次方程组，把它转化为
一元一次方程来解；类似的，求解三元一次方程组，把它转化为解二元一次方程组．求解一元二次方程，
把它转化为两个一元一次方程来解．求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生
增根，所以解分式方程必须检验．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想 转
化，把未知转化为已知．
用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程x3+x2-2x=0，可以通过因式分
解把它转化为x(x2+x-2)=0，解方程x=0和x2+x-2=0，可得方程x3+x2-2x=0的解．（1）问题：方程x3+x2-2x=0的解是x=0,x= ， x= ；
1 2 3
（2）拓展：用“转化”思想求方程 的解；
（3）应用：如图，已知矩形草坪ABCD的长AD=8m，宽AB=3m，小华把一根长为10m的绳子的一端固
定在点B，沿草坪边沿BA，AD走到点P处，把长绳PB段拉直并固定在点P，然后沿草坪边沿PD、DC
走到点C处，把长绳剩下的一段拉直，长绳的另一端恰好落在点C．求AP的长．
【答案】(1)-2，1；（2）x=3；（3）4m.
【解析】解：（1） ， ，
所以 或 或 ， ， ；
故答案为 ，1；
（2） ，
方程的两边平方，得 ，即 ，
或 ， ， ，
当 时， ，
所以 不是原方程的解．
所以方程 的解是 ；
（3）因为四边形 是矩形，
所以 ，
设 ，则
因为 ，
，两边平方，得
整理，得
两边平方并整理，得
即
所以 ．
经检验， 是方程的解．
答： 的长为 ．
23.（10分）如图，长方形ABCD中（长方形的对边平行且相等，每个角都是90°），AB＝6cm，AD＝
2cm，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以2cm/s的速度向终点B移动，点Q以1cm/s的速度向点
D移动，当有一点到达终点时，另一点也停止运动，设运动的时间为t（s），问：
（1）当t＝1s时，四边形BCQP面积是多少？
（2）当t为何值时，点P和点Q距离是3cm？
（3）当t＝ s时，以点P，Q，D为顶点的三角形是等腰三角形．（直接写出答案）
【答案】（1）5cm2；（2） ；（3） 或 或 或 ．
【解析】解：（1）如图，∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝6，AD＝BC＝2，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°．
∵CQ＝1cm，AP＝2cm，∴AB＝6﹣2＝4（cm）．∴S＝ （cm2）．
答：四边形BCQP面积是5cm2；
（2）如图1，作QE⊥AB于E，
∴∠PEQ＝90°，
∵∠B＝∠C＝90°，∴四边形BCQE是矩形，∴QE＝BC＝2cm，BE＝CQ＝t（cm）．
∵AP＝2t（cm），∴PE＝6﹣2t﹣t＝（6﹣3t）cm．
在Rt△PQE中，由勾股定理，得（6﹣3t）2+4＝9，解得：t＝ ．
如图2，作PE⊥CD于E，
∴∠PEQ＝90°．
∵∠B＝∠C＝90°，∴四边形BCQE是矩形，∴PE＝BC＝2cm，BP＝CE＝6﹣2t．
∵CQ＝t，∴QE＝t﹣（6﹣2t）＝3t﹣6
在Rt△PEQ中，由勾股定理，得（3t﹣6）2+4＝9，
解得：t＝ ．
综上所述：t＝ 或 ；
（3）如图3，当PQ＝DQ时，作QE⊥AB于E，∴∠PEQ＝90°，
∵∠B＝∠C＝90°，∴四边形BCQE是矩形，∴QE＝BC＝2cm，BE＝CQ＝t（cm）．
∵AP＝2t，∴PE＝6﹣2t﹣t＝6﹣3t．DQ＝6﹣t．
∵PQ＝DQ，∴PQ＝6﹣t．
在Rt△PQE中，由勾股定理，得（6﹣3t）2+4＝（6﹣t）2，解得：t＝ ．
如图4，当PD＝PQ时，作PE⊥DQ于E，
∴DE＝QE＝ DQ，∠PED＝90°．
∵∠A＝∠D＝90°，∴四边形APED是矩形，∴PE＝AD＝2cm．DE＝AP＝2t，
∵DQ＝6﹣t，∴DE＝ ．∴2t＝ ，
解得：t＝ ；
如图5，当PD＝QD时，
∵AP＝2t，CQ＝t，∴DQ＝6﹣t，∴PD＝6﹣t．
在Rt△APD中，由勾股定理，得
4+4t2＝（6﹣t）2，解得t＝ ，t＝ （舍去）．
1 2
综上所述：t＝ 或 或 或 ．
故答案为： 或 或 或 ．
