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2022-2023 学年人教版数学九年级上册压轴题专题精选汇编
专题 02 解一元二次方程
考试时间：120分钟 试卷满分：100分
姓名：__________ 班级：__________考号：__________
题号 一 二 三 总分
得分
评卷人 得 分
一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）
1．（2分）（2022八下·淮北期末）若实数a，b，c满足 ，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2分）（2022八下·柯桥期末）方程（x－2）2 = 4（x-2）（ ）
A．4 B．－2 C．4或－6 D．6或2
3．（2分）（2022·贵港）若 是一元二次方程 的一个根，则方程的另一个根及m
的值分别是（ ）
A．0，-2 B．0，0 C．-2，-2 D．-2，0
4．（2分）（2022·仙桃）若关于x的一元二次方程 有两个实数根 ， ，
且 ，则 （ ）
A．2或6 B．2或8 C．2 D．6
5．（2分）（2022·雅安）若关于x的一元二次方程x2+6x+c＝0配方后得到方程（x+3）2＝2c，则c的值
为（ ）
A．﹣3 B．0 C．3 D．9
6．（2分）（2022九下·泉州开学考）已知x，y为实数，且满足 ，记的最大值为M，最小值为m，则 （ ）.
A． B． C． D．
7．（2分）（2021七下·娄底期中）无论a，b为何值代数式a2+b2+6b+11﹣2a的值总是（ ）
A．非负数 B．0 C．正数 D．负数
8．（2分）（2020八上·越秀期末）若 ， ， 是 的三边长，且
，则 的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．等腰直角三角形
C．等边三角形 D．不能确定
9．（2分）（2019九上·涪城月考）若点 是抛物线 上的点,则 的
最小值是（ ）
A． B． C． D．
10．（2分）（2022·海陵模拟）已知3x﹣y＝3a2﹣6a+9，x+y＝a2+6a﹣10，当实数a变化时，x与y的大
小关系是（ ）
A．x＞y B．x＝y
C．x＜y D．x＞y、x＝y、x＜y都有可能
评卷人 得 分
二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）
11．（2分）（2022·福建）已知抛物线 与x轴交于A，B两点，抛物线 与
x轴交于C，D两点，其中n＞0，若AD＝2BC，则n的值为 .
12．（2分）（2022·绥化）设 与 为一元二次方程 的两根，则 的值为
．
13．（2分）（2022·四川）已知实数a、b满足a－b2＝4，则代数式a2－3b2＋a－14的最小值是
．14．（2分）（2022八下·嵊州期中）已知方程 ，则 的值为
．
15．（2分）（2020七上·重庆月考）已知实数 ， 满足 ，则代数式
的最小值等于 .
16．（2分）已知（x﹣2016）2+（x﹣2018）2=80，则（x﹣2017）2= ．
17．（2分）设x，y为实数，代数式5x2+4y2﹣8xy+2x+4的最小值为 ．
18．（2分）（2022·柳江模拟）一元二次方程 的解是 .
19．（2分）（2022·泗洪模拟）已知x＝﹣2时，二次三项式x2﹣2mx+4的值等于﹣4，当x＝
时，这个二次三项式的值等于﹣1.
20．（2分）（2022·南通模拟）已知代数式 可以利用完全平方公式变形为 ，
进而可知 的最小值是 4.依此方法，代数式 的最小值是 .
评卷人 得 分
三．解答题（共8小题，满分60分）
21．（6分）（2022八下·惠山期末）解方程：
（1）（3分） ； （2）（3分） .
22．（4分）（2022·建湖模拟）先化简，再求值： ，其中 .23．（5分）（2022八下·长沙竞赛）已知关于x的方程 只有一个实数根，求实
数a的值.
24．（5分）（2022八下·金华月考）有一边为3的等腰三角形，它的两边长是方程x2﹣4x+k＝0的两根，
求这个三角形的周长.
25．（5分）若a为一元二次方程x2- x=-4的较大的个根，b为一元二次方程（y-4）2=18的较小的
一个根，求a-b的值.
26．（9分）（2022七下·苏州期中）利用我们学过的完全平方公式与不等式知识能解决方程或代数式的
一些问题，阅读下列两则材料：
材料一：已知m2-2mn+2n2-8n+16=0，求m、n的值.
解：∵m2-2mn+2n2-8n+16=0，
∴（m2-2mn+n2）+（n2-8n+16）=0，
∴（m-n）2+（n-4）2=0，
∵（m-n）2≥0，（n-4）2≥0
∴（m-n）2=0，（n-4）2=0
∴m=n=4.
材料二：探索代数式x2+4x+2与-x2+2x+3是否存在最大值或最小值？
①x2+4x+2=（x2+4x+4）-2=（x+2）2-2，∵（x+2）2≥0，∴x2+4x+2=（x+2）2-2≥-2.
∴代数式x2+4x+2有最小值-2；②-x2+2x+3=-（x2-2x+1）+4=-（x-1）2+4，∵-（x-1）2≤0，∴-x2+2x+3=-（x-1）2+4≤4.
∴代数式-x2+2x+3有最大值4.
学习方法并完成下列问题：
（1）（1分）代数式x2-6x+3的最小值为 ；
（2）（4分）如图，在紧靠围墙的空地上，利用围墙及一段长为100米的木栅栏围成一个长方形花圃，
为了设计一个尽可能大的花圃，设长方形垂直于围墙的一边长度为x米，则花圃的最大面积是多少？
（3）（4分）已知△ABC的三条边的长度分别为a，b，c，且a2+b2+74=10a+14b，且c为正整数，求
△ABC周长的最小值.
27．（14分）（2021九上·隆昌期中）（阅读材料）把形如ax2+bx+c的二次三项式（或其一部分）经过
适当变形配成完全平方式的方法叫配方法，配方法在因式分解、证明恒等式、利用a2≥0求代数式最值等
问题中都有广泛应用.
例如：利用配方法将x2﹣6x+8变形为a（x+m）2+n的形式，并把二次三项式分解因式.
配方：x2﹣6x+8
＝x2﹣6x+32﹣32+8
＝（x﹣3）2﹣1
分解因式：x2﹣6x+8
＝（x﹣3）2﹣1
＝（x﹣3+1）（x﹣3﹣1）
＝（x﹣2）（x﹣4）
（解决问题）根据以上材料，解答下列问题：
（1）（3分）利用配方法将多项式x2﹣4x﹣5化成a（x+m）2+n的形式.
（2）（3分）利用配方法把二次三项式x2﹣2x﹣35分解因式.
（3）（4分）若a、b、c分别是 ABC的三边，且a2+2b2+3c2﹣2ab﹣2b﹣6c+4＝0，试判断 ABC的
形状，并说明理由.
（4）（4分）求证：无论x，y取任何实数，代数式x2+y2+4x﹣6y+15的值恒为正数.28．（12分）（2022八下·济南期末）利用完全平方公式（a+b）2＝a2+2ab+b2和（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2的
特点可以解决很多数学问题．下面给出两个例子：
例1．分解因式：
x2+2x﹣3＝x2+2x+1﹣4
＝（x+1）2﹣4
＝（x+1+2）（x+1﹣2）
＝（x+3）（x﹣1）
例2．求代数式2x2﹣4x﹣6的最小值：
2x2﹣4x﹣6＝2（x2﹣2x）﹣6
＝2（x2﹣2x+1﹣1）﹣6
＝2[（x﹣1）2﹣1]﹣6
＝2（x﹣1）2﹣8
又∵2（x﹣1）2≥0
∴当x＝1时，代数式2x2﹣4x﹣6有最小值，最小值是﹣8．
仔细阅读上面例题，模仿解决下列问题：
（1）（4分）分解因式：m2﹣6m﹣7；
（2）（4分）当x、y为何值时，多项式2x2+y2﹣8x+6y+20有最小值？并求出这个最小值；
（3）（4分）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足a2+b2＝8a+6b﹣25，求△ABC周长的最
大值．
