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专题13.1 等腰（直角）三角形中的分类讨论问题 专项讲练
1、等腰三角形中的分类讨论：
【解题技巧】凡是涉及等腰三角形边、角、周长、面积等问题，优先考虑分类讨论，再利用等腰三角形的
性质与三角形三边关系解题即可。
1.无图需分类讨论
①已知边长度无法确定是底边还是腰时要分类讨论；②已知角度数无法确定是顶角还是底角时要分类讨论；
③遇高线需分高在△内和△外两类讨论；④中线把等腰△周长分成两部分需分类讨论。
2.“两定一动”等腰三角形存在性问题：（常见于与坐标系综合出题，后续会专题进行讲解）
即：如图：已知A，B两点是定点，找一点 C 构成等腰 △ABC
方法：两圆一线
具体图解：①当 AB=AC 时，以点A为圆心， AB 长为半径作⊙A，点 C 在⊙A上（B， C 除外）
②当 AB=BC 时，以点B为圆心， AB 长为半径作⊙B，点 C 在⊙B上（A，E除外）
③当 AC=BC 时，作 AB 的中垂线，点 C 在该中垂线上（D除外）
例1．（2022·上虞市实验中学初二月考）在如图所示的三角形中，∠A＝30°，点P和点Q分别是边AC
和BC上的两个动点，分别连接BP和PQ，把△ABC分割成三个三角形△ABP，△BPQ，△PQC，若分割
成的这三个三角形都是等腰三角形，则∠C有可能的值有________个．
变式1．（2022·河南·驻马店市第二初级中学八年级期末）如图，已知 中， ，
在直线BC或射线AC取一点P，使得 是等腰三角形，则符合条件的点P有（ ）A．2个 B．4个 C．5个 D．7个
变式2．（2022·河北·秦皇岛市第七中学八年级期末）如图，点A、B在直线l的同侧，点C在直线l上，且
是等腰三角形．符合条件的点C有（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
例2．（2022·山东·周村二中八年级期中）在同一平面内，若点P与△ABC三个顶点中的任意两个顶点连
接形成的三角形都是等腰三角形，则称点P是△ABC的巧妙点．
（1）如图，求作△ABC的巧妙点P（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．
（2）如图，在△ABC中，∠A＝80°，AB＝AC，若点P是△ABC的巧妙点，则符合条件的点P一共有几个？
请直接写出每种情况下∠BPC的度数．
（3）等边三角形的巧妙点的个数有（ ）
A．2个 B．6个 C．10个 D．12个
变式3．（2022·全国·八年级专题练习）已知：如图，线段 和射线 有公共端点 ．求作：点 ，使点 在射线 上，且 为等腰三角形．（利用无刻度的直尺和圆规作出所有符合条件
的点 ，不写作法，保留作图痕迹）
例3．（2022·江西宜春·八年级期末）规定：在直角三角形中，如果直角边是斜边的一半，那么它所对的锐
角为30°．等腰三角形ABC中， 于点D，若 ，则 底角的度数为______．
变式4．（2021·重庆市荣昌初级中学八年级期中）如图1，一副直角三角板△ABC和△DEF，
∠BAC=∠EDF=90°，∠B=45°，∠F=30°，点B、D、C、F在同一直线上，点A在DE上．如图2，△ABC
固定不动，将△EDF绕点D逆时针旋转α（0°＜α＜135°）得△E′DF'，当直线E′F′与直线AC、BC所围成的
三角形为等腰三角形时，α的大小为___．
2、直角三角形中的分类讨论：
【解题技巧】
1.无图需分类讨论——经典运用：已知边长度无法确定是直角边还是斜边时要分类讨论。
2.“两定一动”直角三角形存在性问题：（常见于与坐标系综合出题，后续会专题进行讲解）
如图：已知A，B两点是定点，找一点 C 构成 Rt△ABC
即：方法：两线一圆
具体图解：①当 ∠BAC=90° 时，过点A作 AB 的垂线，点 C 在该垂线上（A除外）
②当 ∠ABC=90° 时，过点B作 AB 的垂线，点 C 在该垂线上（B除外）
③当 ∠ACB=90° 时，以 AB 为直径作圆，点 C 在该圆上（A，B除外）
例1．（2022·重庆市·八年级课时练习）如图，在 中， ， ， ， ．
是 边上的一个动点，点 与点 关于直线 对称，当 为直角三角形时， 的长为________．
变式1．（2021·江苏兴化·八年级期中）在Rt ABC中，∠BAC=90°，点D、E在边BC所在的直线上，且
AB=DB，AC=EC，则∠DAE的度数为_______△_．
变式2.（2022·广东广州·八年级阶段练习）在 中，若过顶点 的一条直线把这个三角形分割成两个三
角形，其中一个为等腰三角形，另一个为直角三角形，则称这条直线为 的关于点 的二分割线．例
如：如图 ，在 中， ， ，若过顶点 的一条直线 交 于点 ，且
，则直线 是 的关于点 的二分割线．如图 ，已知 ， 同时满足：①
为最小角；②存在关于点 的二分割线，则 的度数为______．例2．（2022·全国·八年级专题练习）如图， ，点A是 延长线上的一点， ，动点
P从点A出发沿 以 的速度移动，动点Q从点O出发沿 以 的速度移动，如果点 同时
出发，用 表示移动的时间，当 _____s时， 是等腰三角形；当 ___s时， 是直角三角
形．
变式3．（2022·广东汕头·八年级期末）如图， 是边长为 的正三角形，动点 从 向 以
匀速运动，同时动点 从 向 以 匀速运动，当点 到达点 时， 两点停止运动，设点
的运动时间为 秒，则当 __________时， 为直角三角形．
变式4．（2022·江苏镇江·八年级期中）点P，Q分别是边长为4cm的等边△ABC的边AB，BC上的动点，
点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都是1cm/s，设运动时间为t秒．
（1）连接AQ，CP交于点M，则在P，Q运动的过程中，∠CMQ变化吗？若变化，则说明理由；若不变，
则求出它的度数；（2）连接PQ．①当△BPQ为等边三角形时，t＝ 秒；
②当△BPQ为直角三角形时，t＝ 秒．（直接写出结果）课后训练
1．（2022·四川广元·八年级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB=36°，以C为原点，C所
在直线为y轴，BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系 ，在坐标轴上取一点M使△MAB 为等腰三角形，
符合条件的 M 点有（ ）
A．6个 B．7个 C．8个 D．9个
2．（2022·黑龙江哈尔滨·八年级期末）在平面直角坐标系xOy中，已知A（1，2），在y轴确定点P，使
△AOP为等腰三角形，则符合条件的点P有____个．
3．（2022·全国·八年级课时练习）如图， ，点A是 延长线上的一点， ，动点P
从点A出发沿 以 的速度移动，动点Q从点O出发沿 以 的速度移动，如果点 同时
出发，用 表示移动的时间，当 _________s时， 是等腰三角形；当 _________s时，
是直角三角形．
4．（2022·河北承德·八年级期末）如图， ， ，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度
的速度沿射线 运动，嘉琪在研究过程中发现，随着点Р运动， 形状在发生变化，设点P的运动
时间为t秒．（1）当 是直角三角形时，t的值为_________；
（2）当 是钝角三角形时，t满足的条件是____________．
5．（2022·河南郑州·八年级期末）如图，在 中， ，在直线 或 上取一
点P，使得 是等腰三角形，则符合条件的P点有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
6．（2022·全国·八年级阶段练习）如图，在 中， ， ，以C为原点，
所在直线为y轴， 所在直线为x轴建立平面直角坐标系，在坐标轴上取一点M，使 为等腰三角
形，符合条件的点M有__________个．
7．（2022·北京一七一中九年级阶段练习）如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，在直线BC上
取一点P，使得△PAB是等腰三角形，则符合条件的点P有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．（2022·上海·七年级专题练习）在平面直角坐标系xoy中，已知点A（2，﹣2），在y轴上确定点P，使
△AOP为等腰三角形，则符合条件的点P有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．（2022·湖南·长沙八年级阶段练习）如图，在 中， ， ，在坐标轴上取
点 ，使得 为等腰三角形，符合条件的点 有__________个.
10．（2022·广东中山·八年级期末）如图， 中， 厘米，如果点M从点C出发，点
N从点B出发，沿着三角形三边以4厘米/秒的速度运动，当点N第一次到达C点时，M，N两点同时停止
运动．运动时间为t（秒）．
(1)当 且 为直角三角形时，求t的值；(2)当t为何值， 为等边三角形．
11．（2022·湖北荆州·八年级期中）如图，已知等边 ABC的边长为8cm，点P以1cm/s的速度从顶点A沿
AB向B点运动，点Q同时以2cm/s的速度从顶点B沿BC向C点运动，其中一点到达终点时两点停止运动．
设它们的运动时间为t秒，连接AQ，PQ．（1）当 时，试判断AQ与BC的位置关系，并说明理由；
（2）当t为何值时， PBQ是直角三角形？
