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专题 13.1 将军饮马模型
【典例1】古希腊有一个著名的“将军饮马问题”，大致内容如下：古希腊一位将军，每天都要巡查河岸
同侧的两个军营A，B．他总是先去A营，再到河边饮马，之后，再巡查B营．他时常想，怎么走，才能使
他每天走的路程之和最短呢？
大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题．
如图2，作B关于直线l的对称点B′，连结AB′与直线l交于点C，点C就是所求的位置．
证明：如图3，在直线l上另取任一点C′，连结AC′，BC′，B′C′，
∵直线l是点B，B′的对称轴，点C，C′在l上，
∴CB＝ ，C′B＝ ，
∴AC+CB＝AC+CB′＝ ．
在△AC′B′，
∵AB′＜AC′+C′B′，
∴AC+CB＜AC′+C′B′即AC+CB最小．
本问题实际上是利用轴对称变换的思想，把 A，B在直线同侧的问题转化为在直线的两侧，从而可利用
“两点之间线段最短”，即“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决（其中C在AB′与l的交点上，
即A，C，B′三点共线）．本问题可归纳为“求定直线上一动点与直线外两定点的距离和的最小值”的问题
的数学模型．
拓展应用：如图4，等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，BD平分∠ABC交AC于D，点P是BD上一个动点，
点M是BC上一个动点，请在图5中画出PC+PM的值最小时P的位置．（可用三角尺）【思路点拨】
利用轴对称的性质和三角形的三边关系可得；拓展应用中，在 BA上截取BC'＝BC，连接CC'，可证得C、
C'关于BD对称，将两条线段的和最小问题转化为垂线段最短来解决．
【解题过程】
证明：如图3，在直线l上另取任一点C′，连结AC′，BC，B′C′，
∵直线l是点B，B′的对称轴，点C，C′在l上，
∴CB＝CB'，C′B＝C'B'，
∴AC+CB＝AC+CB′＝AB'．
在△AC′B′，
∵AB′＜AC′+C′B′，
∴AC+CB＜AC′+C′B′即AC+CB最小．
故答案为：CB'，C'B'，AB'；
拓展应用：如图，在BA上截取BC'＝BC，连接CC'，过C'作C'M⊥BC于点M，交BD于点P，在BD上另
取一点P'，连接P'C'，在BC上取点M'，连接P'M'，
∵BC＝BC'，BD平分∠CBC'，∴BD垂直平分CC'，
∴PC＝PC'，P'C＝P'C'，
∴PC+PM＝PC'+PM＝C'M，
∵C'P'+P'M'＞C'M，
∴PC+PM＜P'C+P'M'，
∴点P即为所求．
1．（2021秋•海丰县期末）如图，OE为∠AOB的角平分线，∠AOB＝30°，OB＝6，点P，C分别为射线
OE，OB上的动点，则PC+PB的最小值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【思路点拨】
过点B作BD⊥OA交于D点，交OE于点P，过点P作PC⊥OB交于C点，此时PC+PB的值最小，求出BD
的长即可．
【解题过程】
解：过点B作BD⊥OA交于D点，交OE于点P，过点P作PC⊥OB交于C点，
∵OE为∠AOB的角平分线，
∴DP＝CP，
∴PB+PC＝PD+PB＝BD，此时PC+PB的值最小，
∵∠AOB＝30°，OB＝6，
∴BD＝3，
故选：A．2．（2021秋•天津期末）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线DE交BC于点D，垂足为E，M为DE上
任意一点，BA＝3，AC＝4，BC＝6，则△AMC周长的最小值为（ ）
A．7 B．6 C．9 D．10
【思路点拨】
连接BM，依据DE是AB的垂直平分线，可得AM＝BM，进而得到当B，M，C在同一直线上时，AM+CM
的最小值为BC的长，依据AC＝4，BC＝6，即可得到△AMC周长的最小值．
【解题过程】
解：如图所示，连接BM，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴AM＝BM，
∴AM+CM＝BM+CM，
当B，M，C在同一直线上时，AM+CM的最小值为BC的长，
又∵AC＝4，BC＝6，
∴△AMC周长的最小值＝6+4＝10，
故选：D．
3．（2020秋•自贡期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝6，面积是24；AC的中垂线分别交AB，AC
的边于E，F；若点D是BC边的中点，点M是线段EF上的一动点，则△CDM周长的最小值为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11【思路点拨】
连接AM，由垂直平分线的性质可得AM＝CM，所以△CDM周长的最小值为AD+CD的长，分别求出AD、
CD的长即可求解．
【解题过程】
解：连接AM，
∵EF是AC的垂直平分线，
∴AM＝CM，
∴△CDM周长＝CM+DM+CD＝AM+MD+CD≥AD+CD，
∴△CDM周长的最小值为AD+CD的长，
∵D是BC的中点，AB＝AC，
∴AD⊥BC，
∵BC＝6，△ABC的面积是24，
∴AD＝8，
∵BC＝6，D是BC的中点，
∴CD＝3，
∴AD+CD＝8+3＝11，
∴△CDM周长的最小值为11，
故选：D．
4．（2021秋•官渡区期末）如图，已知点D、E分别是等边三角形ABC中BC、AB边的中点，AD＝6，点
F是线段AD上的动点，则BF+EF的最小值为（ ）
A．3 B．6 C．9 D．12【思路点拨】
连接CE交AD于点F，连接BF，此时BF+EF的值最小，最小值为CE．
【解题过程】
解：连接CE交AD于点F，连接BF，
∵△ABC是等边三角形，
∴BF＝CF，
∴BF+EF＝CF+EF＝CE，
此时BF+EF的值最小，最小值为CE，
∵D、E分别是△ABC中BC、AB边的中点，
∴AD＝CE，
∵AD＝6，
∴CE＝6，
∴BF+EF的最小值为6，
故选：B．
5．（2021秋•龙口市期末）如图，钝角三角形△ABC的面积是20，最长边BC＝10，CD平分∠ACB，点
P，Q分别是CD，AC上的动点，则AP+PQ的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【思路点拨】
作A点关于CD的对称点A'，过A'作AQ⊥AC交CD于P点，交AC于Q点，此时AP+PQ的值最小，由题
意可得A'C边上的高与A'Q相等，再由三角形的面积求出BC边上的高即为所求．
【解题过程】
解：作A点关于CD的对称点A'，过A'作AQ⊥AC交CD于P点，交AC于Q点，∴AP＝A'P，
∴AP+PQ＝A'P+PQ＝A'Q，
此时AP+PQ的值最小，
∵CD平分∠ACB，
∴AC＝A'C，
∴A'C边上的高与A'Q相等，
∵△ABC的面积是20，BC＝10，
∴BC边上的高是4，
∴A'Q＝4，
∴AP+PQ的值最小为4，
故选：C．
6．（2021秋•河东区期末）如图，△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，AD＝BC，P为直线BC上方的一个动
1
点，△PBC的面积等于△ABC的面积的 ，则当PB+PC最小时，∠PBC的度数为（ ）
2
A．30° B．45° C．60° D．90°
【思路点拨】
由题意可知作B点关于该垂直平分线的对称点B'，连接B'C，交垂直平分线于P点，此时PB+PC最小，证
明△BCB'是等腰直角三角形，即可求∠PBC．
【解题过程】
1
解：∵△PBC的面积等于△ABC的面积的 ，
2
∴P点在AD的垂直平分线上，作B点关于该垂直平分线的对称点B'，连接B'C，交垂直平分线于P点，
由对称性可知，B'P＝BP，
∴BP+PC＝B'P+PC＝B'C，此时PB+PC最小，
∵AD＝BB'，AD＝BC，
∴BB'＝BC，
∴△BCB'是等腰直角三角形，
∴∠B'CB＝∠B'＝45°，
∴∠B'BP＝45°，
∴∠PBC＝45°，
故选：B．
7．（2021秋•大连期末）如图，∠ABC＝30°，点D是它内部一点，BD＝m，点E，F分别是BA，BC上的
两个动点，则△DEF周长的最小值为（ ）
A．0.5m B．m C．1.5m D．2m
【思路点拨】
作D点关于AB的对称点G，作D点关于BC的对称点H，连接GH交AB于点E，交BC于点F，连接
GB，BH，此时△DEF的周长最小，最小值为GH，证明△GBH是等边三角形，即可求解．
【解题过程】
解：作D点关于AB的对称点G，作D点关于BC的对称点H，连接GH交AB于点E，交BC于点F，连
接GB，BH，由对称性可知，GE＝ED，DF＝FH，BG＝BD＝BH，
∴ED+DF+EF＝GE+EF+FH＝GH，
此时△DEF的周长最小，最小值为GH，
∵∠GBA＝∠ABD，∠DBC＝∠CBH，
∴∠GBH＝2∠ABC，
∵∠ABC＝30°，
∴∠GBH＝60°，
∴△GBH是等边三角形，
∴GH＝BD，
∵BD＝m，
∴△DEF周长的最小值为m，
故选：B．
8．（2021秋•丛台区校级期末）如图，四边形ABCD中，∠BAD＝130°，∠B＝∠D＝90°，在BC，CD上
分别找一点M，N，使△AMN的周长最小时，则∠ANM+∠AMN的度数为（ ）
A．80° B．90° C．100° D．130°
【思路点拨】
作A点关于CD的对称点F，作A点关于BC的对称点E，连接EF交CD于N，交BC于M，连接AM、
AN，此时△AMN 的周长有最小值，由对称性求出∠BAM+∠FAN＝50°，则有∠MAN＝80°，即可求∠ANM+∠AMN＝180°﹣∠MAN＝100°．
【解题过程】
解：作A点关于CD的对称点F，作A点关于BC的对称点E，连接EF交CD于N，交BC于M，连接
AM、AN，
∵∠B＝∠D＝90°，
∴AN＝NF，AM＝EM，
∴△AMN的周长＝AM+AN+MN＝NF+MN+EM＝EF，此时△AMN的周长有最小值，
∵∠FAN＝∠F，∠E＝∠EAM，
∴∠E+∠F＝180°﹣∠BAD，
∵∠BAD＝130°，
∴∠E+∠F＝50°，
∴∠BAM+∠FAN＝50°，
∴∠MAN＝130°﹣50°＝80°，
∴∠ANM+∠AMN＝180°﹣∠MAN＝100°，
故选：C．
9．（2021秋•罗庄区期末）如图，△ABC中，∠A＝30°，BC＝3，△ABC的面积9．点D、E、F分别是三
边AB、BC、CA上的动点，则△DEF周长的最小值为（ ）A．5 B．6 C．8 D．10
【思路点拨】
作E点关于AB的对称点G，作E点关于AC的对称点H，连接GH，交AB于D点，交AC于F点，连接
AG，AH，AE，当AE⊥BC时，GH最短，此时△DEF的周长最小，最小值为AE的长．
【解题过程】
解：作E点关于AB的对称点G，作E点关于AC的对称点H，连接GH，交AB于D点，交AC于F点，连
接AG，AH，AE，
由对称性可知GD＝DE，EF＝FH，AG＝AE＝AH，
∴△DEF的周长＝DE+DF+EF＝GD+DF+FH＝GH，
∵∠GAD＝∠DAE，∠EAC＝∠HAC，
∴∠GAH＝2∠BAC，
∵∠BAC＝30°，
∴∠GAH＝60°，
∴GH＝AE，
∴当AE⊥BC时，GH最短，
此时△DEF的周长最小，∵BC＝3，△ABC的面积9，
∴AE＝6，
∴△DEF的周长最小值为6，
故选：B．
10．（2021秋•思明区校级期中）如图，等边△ABC中，BD⊥AC于D，QD＝15，点P、Q分别为AB、AD
上的两个定点且BP＝AQ＝20，在BD上有一动点E使PE+QE最短，则PE+QE的最小值为（ ）
A．35 B．40 C．50 D．60
【思路点拨】
作点Q关于BD的对称点Q′，连接PQ′交BD于E，连接QE，此时PE+EQ的值最小．最小值PE+PQ＝
PE+EQ′＝PQ′．
【解题过程】
解：∵△ABC是等边三角形，
∴BA＝BC，
∵BD⊥AC，AQ＝20，QD＝15，
∴AD＝DC＝AQ+QD＝35，
作点Q关于BD的对称点Q′，连接PQ′交BD于E，连接QE，此时PE+EQ的值最小．最小值PE+QE＝
PE+EQ′＝PQ′，
∵AQ＝20，AD＝DC＝35，
∴QD＝DQ′＝15，
∴CQ′＝BP＝20，
∴AP＝AQ′＝50，
∵∠A＝60°，∴△APQ′是等边三角形，
∴PQ′＝PA＝50，
∴PE+QE的最小值为50．
故选：C．
11．（2021秋•海淀区校级期末）如图，边长为a的等边△ABC中，BF是AC上中线且BF＝b，点D在BF
上，连接AD，在AD的右侧作等边△ADE，连接EF，则△AEF周长的最小值是（ ）
1 2 1 1 3
A． a+ b B． a+b C．a+ b D． a
2 3 2 2 2
【思路点拨】
首先证明点E在射线CE上运动（∠ACE＝30°），作点A关于直线CE的对称点M，连接FM交CE 于
E′，此时AE′+FE′的值最小．
【解题过程】
解：如图，∵△ABC，△ADE都是等边三角形，
∴AB＝AC＝a，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝∠ABC＝60°，
∴∠BAD＝∠CAE，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠ABD＝∠ACE，
1
∵AF＝CF= a，BF＝b，
2
∴∠ABD＝∠CBD＝∠ACE＝30°，BF⊥AC，
∴点E在射线CE上运动（∠ACE＝30°），
作点A关于直线CE的对称点M，连接FM交CE 于E′，此时AE′+FE′的值最小，
∵CA＝CM，∠ACM＝60°，∴△ACM是等边三角形，
∴AM＝AC，
∵BF⊥AC，
∴FM＝BF＝b，
1
∴△AEF周长的最小值＝AF+FE′+AE′＝AF+FM= a+b，
2
故选：B．
12．（2021秋•同安区期末）为贯彻国家城乡建设一体化和要致富先修路的理念．某市决定修建道路和一
座桥，方便张庄A和李厝B的群众出行到河岸a．张庄A和李厝B位于一条河流的同一侧，河的两岸是平
行的直线．经测量，张庄A和李厝B到河岸b的距离分别为AC＝p（m）、BD＝q（m），且CD＝（p+q）
m，如图所示．现要求：建造的桥长要最短，然后考虑两村庄到河流另一侧桥头的路程之和最短，则这座
桥建造的位置是 到 AC 的距离为 p （ m ）处 ．（河岸边上的点到河对岸的距离都相等）
【思路点拨】
作B点关于直线b的对称点B'，连接AB'交b于点P，此时P点到A与B的距离和最短．
【解题过程】
解：作B点关于直线b的对称点B'，连接AB'交b于点P，
∴BP＝B'P，
∴AP+BP＝AP+B'P≥AB'，此时P点到A与B的距离和最短，
过B'作B'M∥CD，延长AC与B'M交于点M，
∴B'M＝CD，
∵AC＝p（m）、BD＝q（m），CD＝（p+q）m，
∴AM＝（p+q）m，
∴∠CAP＝45°，∴AC＝CP，
∴P点与C点的距离是p（m），
故答案为：到AC的距离为p（m）处．
13．（2021秋•吉林期末）如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝7．MN为BC边上的垂直平分线，若点D在
直线MN上，连接AD，BD，则△ABD周长的最小值为 1 2 ．
【思路点拨】
MN与AC的交点为D，AD+BD的值最小，即△ABD的周长最小值为AB+AC的长．
【解题过程】
解：MN与AC的交点为D，
∵MN是BC边上的垂直平分线，
∴AD＝CD，
∴AD+BD＝AD+CD＝AC，
此时AD+BD的值最小，
∴△ABD的周长＝AB+AD+BD＝AB+AC最小，
∵AB＝5，AC＝7，
∴AB+AC＝12，
∴△ABD的周长最小值为12，
故答案为：12．
14．（2022•九龙坡区校级开学）如图，CD是△ABC的角平分线，△ABC的面积为12，BC长为6，点E，
F分别是CD，AC上的动点，则AE+EF的最小值是 4 ．【思路点拨】
作A关于CD的对称点H，由CD是△ABC的角平分线，得到点H一定在BC上，过H作HF⊥AC于F，交
CD于E，则此时，AE+EF的值最小，AE+EF的最小值＝HF，过A作AG⊥BC于G，根据垂直平分线的性
质和三角形的面积即可得到结论．
【解题过程】
解：作A关于CD的对称点H，
∵CD是△ABC的角平分线，
∴点H一定在BC上，
过H作HF⊥AC于F，交CD于E，
则此时，AE+EF的值最小，AE+EF的最小值＝HF，
过A作AG⊥BC于G，
∵△ABC的面积为12，BC长为6，
∴AG＝4，
∵CD垂直平分AH，
∴AC＝CH，
1 1
∴S = AC•HF= CH•AG，
△ACH 2 2
∴HF＝AG＝4，
∴AE+EF的最小值是4，
故答案为：4．
15．（2021秋•荔湾区期末）如图，已知AC平分∠BAD，CE⊥AD于点E，CB＝CD．有下列结论：
①∠ABC+∠ADC＝180°；
②AB+AD＝2AE；③∠CDB＝∠CAB；
④若∠BAD＝30°，AC＝6，M是射线AD上一点，N是射线AB上一点，则△CMN周长的最小值大于6．
其中正确结论的序号是 ①②③ ．
【思路点拨】
过点 C 作 CF⊥AB 交于点 F，证明 Rt△CDE≌Rt△DBF（HL），可得∠ABC+∠ADC＝180°；证明
Rt△AEC≌Rt△AFC（HL），则AE＝AF，所以AB+AD＝2AB+2BF
＝2AF＝2AE；由∠BDC＝∠CBD，结合三角形外角∠DBF＝∠ADB+2∠CAB，可得∠ADB+2∠CAB＝
∠DBC+∠DBC+∠ADB，即可证明∠CAB＝∠DBC；作C点关于AD的对称点G，作C点关于AB的对称点
H，连接GH交AD于点M，交AB于点N，连接CM、CN、AG、AH，当G、M、N、H四点共线时，
△CMN周长最小，可证△AGH是等边三角形，GH＝AC＝6，所以△CMN周长的最小值为6．
【解题过程】
解：过点C作CF⊥AB交于点F，
∵AC平分∠BAD，CE⊥AD，
∴CF＝CE，
∵CB＝CD，
∴Rt△CDE≌Rt△DBF（HL），
∴DE＝BF，∠CBF＝∠CDE，
∵∠ABC+∠CBF＝180°，
∴∠ABC+∠ADC＝180°；
故①正确；
∵CD＝CF，∠AEC＝∠AFC＝90°，
∴Rt△AEC≌Rt△AFC（HL），
∴AE＝AF，
∴AB+AD
＝AB+AE+ED
＝AB+AF+BF＝AB+AB+BF+BF
＝2AB+2BF
＝2AF
＝2AE；
故②正确；
∵CD＝BC，
∴∠BDC＝∠CBD，
∵∠DBF＝∠ADB+2∠CAB，
∠CBF＝∠CDE＝∠BDC+∠ADB，
∴∠ADB+2∠CAB＝∠DBC+∠DBC+∠ADB，
∴∠CAB＝∠DBC；
故③正确；
作C点关于AD的对称点G，作C点关于AB的对称点H，连接GH交AD于点M，交AB于点N，连接
CM、CN、AG、AH，
∵CM＝GM，CN＝HN，
∴CM+CN+MN＝GM+CH+MN≥GH，
∴当G、M、N、H四点共线时，△CMN周长最小，
∵∠BAD＝30°，
∴∠GAH＝60°，
∵AG＝AC＝AH，
∴△AGH是等边三角形，
∴GH＝AC，
∵AC＝6，
∴GH＝6，∴△CMN周长的最小值为6；
故④不正确；
故答案为：①②③．
16．（2020秋•津南区期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD是高．
（1）若AB＝8，则AD的长为 2 ；
（2）若M，N分别是CA，CB上的动点，点E在斜边AB上，请在图中画出点M，N，使DM+MN+NE最
小（不写作法，保留作图痕迹）．
【思路点拨】
1 1
（1）利用30°角所对的直角边等于斜边的一半可知AC= AB＝4，AD= AC＝2；
2 2
（2）作点D关于AC的对称点，点E关于BC的对称点E'，连接D'E'交AC、BC于M、N两点．
【解题过程】
解：（1）在Rt△ABC中，∵∠B＝30°，
1
∴AC= AB＝4，∠A＝60°，
2
在Rt△ACD中，∵∠ACD＝30°，
1
∴AD= AC＝2，
2
故答案为：2；
（2）如图，作点D关于AC的对称点，点E关于BC的对称点E'，
连接D'E'交AC、BC于M、N两点．
17．（2021秋•平山县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，EF垂直平分AC，交AC于点E，交AB于点F，M是直线EF上的动点．
（1）当MD⊥BC时．
①若ME＝1，则点M到AB的距离为 1 ；
②若∠CMD＝30°，CD＝3，求△BCM的周长；
（2）若BC＝8，且△ABC的面积为40，则△CDM的周长的最小值为 1 4 ．
【思路点拨】
（1）①由题意可知A、M、D共线，则AD是△ABC的对称轴，由对称性即可求解；
②由题意可知MB＝MC，MD平分∠BMC，可判断△BCM是等边三角形，再求解即可；
（2）连接AD交EF于点M，此时△CMD的值最小，最小值为AD+CD．
【解题过程】
解：（1）①∵MD⊥BC，AB＝AC，D是BC的中点，
∴A、M、D共线，
∴AD是△ABC的对称轴，
∵ME＝1，
∴点M到AB的距离为1，
故答案为：1；
②∵D是BC的中点，MD⊥BC，
∴MB＝MC，
∴MD平分∠BMC，
∴∠BMC＝2∠CMD＝60°，
∴△BCM是等边三角形，
∴BC＝BM＝MC，
∵D是BC的中点，
∴BC＝2CD＝6，
∴BM＝MC＝BC＝6，∴△BCM的周长为BC+BM+MC＝18；
（2）连接AD交EF于点M，
∵EF是AC的垂直平分线，
∴AM＝CM，
∴CM+MD＝AM+MD＝AD，
此时△CMD的值最小，最小值为AD+CD，
∵BC＝8，△ABC的面积为40，
∴AD＝10，
∵D是BC的中点，
∴CD＝4，
∴AD+CD＝14，
∴△CMD的周长最小值为14，
故答案为：14．
18．（2021秋•双辽市期末）如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点E，若△ABC为等边三角形，
AD⊥AB，AD＝DC＝4．
（1）求证：BD垂直平分AC；
（2）求BE的长；
（3）若点F为BC的中点，请在BD上找出一点P，使PC+PF取得最小值；PC+PF的最小值为 6 （直
接写出结果）．【思路点拨】
（1）先证明△ABD≌△CBD（SSS），再证明△ADE≌△CDE（SAS），即可求证；
（2）求出∠DAE＝∠ABE＝30°，利用直角三角形30°角所对直角边等于斜边的一半即可求解；
（3）连接AF交BD于点P，连接PC，PC+PF的最小值为AF，求出AF即可．
【解题过程】
解：（1）∵AB＝BC，AD＝CD，BD＝BD，
∴△ABD≌△CBD（SSS），
∴∠ADB＝∠CDB，
∵AD＝EC，∠ADB＝∠CDB，DE＝DE，
∴△ADE≌△CDE（SAS），
∴AE＝ED，∠AED＝∠DEC＝90°，
∴BD垂直平分AC；
（2）∵DB⊥AC，
∴BE平分∠ABC，
∵∠ABC＝∠BAC＝60°，
∴∠ABD＝30°，
∵∠BAD＝90°，
∴∠DAE＝30°，
∵AD＝4，
∴BD＝8，DE＝2，
∴BE＝6；
（3）连接AF交BD于点P，连接PC，∵BD是AC的垂直平分线，
∴A、C关于BD对称，
∴AP＝PC，
∴PC+PF＝AP+PF≥AF，
∴PC+PF的最小值为AF，
∵F是BC的中点，
∴AF⊥BC，
∵BE＝6，
∴AF＝6，
故答案为：6．
19．（2021秋•台江区期末）如图，已知∠ABC＝∠ADC＝90°，BC＝CD，CA＝CE．
（1）求证：∠ACB＝∠ACD；
（2）过点E作ME∥AB，交AC的延长线于点M，过点M作MP⊥DC，交DC的延长线于点P．
①连接PE，交AM于点N，证明AM垂直平分PE；
②点O是直线AE上的动点，当MO+PO的值最小时，证明点O与点E重合．
【思路点拨】
（1）证明Rt△ABC≌Rt△ADC（HL）即可；
（2）①证明△NEC≌△NPC（SAS）即可；
②作P点关于AE的对称点P'，连接MP'交AE于点O，证明∠MP'P＝60°即可．【解题过程】
证明：（1）∵∠ABC＝∠ADC＝90°，BC＝CD，AC＝AC，
∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL），
∴∠ACB＝∠ACD；
（2）①∵Rt△ABC≌Rt△ADC，
∴∠BAC＝∠CAD，
∵CA＝CE，
∴∠CAC＝∠CED，
∵∠EBA＝90°，
∴∠BEA＝∠BAC＝∠CAE＝30°，
∵PD⊥AE，MP⊥PD，
∴AE∥MP，
∴∠PMC＝∠MAE＝30°，
∵ME∥AB，
∴∠MEB＝90°，
∴∠MEA＝120°，
∵∠MAE＝30°，
∴∠EMA＝30°，
∵CP⊥MP，CE⊥ME，
∴∠MCP＝∠MCE＝60°，
∴△NEC≌△NPC（SAS），
∴EN＝PN，
∴N是EP的中点，NC⊥PE，
∴AM垂直平分PE；
②作P点关于AE的对称点P'，连接MP'交AE于点O，∵AM垂直平分PE，
∴ME＝MP，
∵∠EMP＝60°，
∴∠MPE＝60°，
∴∠EPD＝30°，
∴∠P'＝30°，
∴∠MP'P＝60°，
∵MEP＝60°，
∴E点与O点重合．
20．（2021秋•九龙坡区期中）如图1，在△ABC中，AB＝AC，点E为边AB上一点，连接CE．
（1）如图1，以CE为边作等腰三角形DCE，DE＝DC，连接AD，且满足条件AB⊥AD，∠B＝∠ADE，
∠ACD＝3∠B，求证：DE⊥DC．
（2）如图2，∠BAC＝120°，过点A作直线AM⊥BC交BC于点M，点F为直线M上一点，BE＝AF，连接
CF，当CE+CF最小时，直接写出∠ECF的度数．
【思路点拨】
（1）由∠ACD＝3∠B，得∠OCD＝2∠B，从而∠ADC＝90°+∠B﹣2∠B＝90°﹣∠B，即可证明结论；
（2）作∠GBA＝∠BAM，且BG＝AB，连接BE，GA，CG，利用SAS证明△GBE≌△CAF，得GE＝CF，则
CE+CF＝GE+CE，当C，G，E在一条直线上时，CE+CF最短，即点E与A重合，再由△AFC是等边三角形，从而得出答案．
【解题过程】
（1）证明：设AD与BC 交于点O，
∵∠AOB＝∠COD，
∴∠B+∠BAO＝∠ADC+∠OCD，
∵AB⊥AD，
∴∠BAO＝90°，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB，
∵∠ACD＝3∠B＝∠ACB+∠OCD，
∴∠OCD＝2∠B，
∴∠ADC＝90°+∠B﹣2∠B＝90°﹣∠B，
∵∠ADE＝∠B，
∴∠EDC＝∠ADE+∠ADC＝90°，
∴DE⊥DC；
（2）解：作∠GBA＝∠BAM，且BG＝AB，连接BE，GA，CG，
∵AB＝AC，AM⊥BC，
1
∴∠BAM＝∠CAM= ∠BAC=60°，∠ACB＝∠ABC＝30°，
2∴∠GBE＝∠EAC＝60°，
∵BE＝AF，BG＝AC＝AB，
∴△GBE≌△CAF（SAS），
∴GE＝CF，
∴CE+CF＝GE+CE，
当C，G，E在一条直线上时，CE+CF最短，
∵∠GBA＝60°，AB＝BG，
∴△GBA是等边三角形，
∴∠GAB＝60°，
∵∠BAC＝120°，
∴C，G，A在一条直线上，
∴当CE+CF最小时，E与A重合，
∴BE＝AF＝AB＝AC，
∵∠FAC＝60°，
∴△AF'C是等边三角形，
∴∠ACF＝60°，
即∠ECF＝60°．
