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专题11 二次函数中的等腰三角形
类型一 在坐标轴上找点成等腰
1．如图，二次函数 的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点C．
(1)求点A、B、C的坐标；
(2)若点P在x轴上，且△PBC为等腰三角形，请求出所有符合条件的点P的坐标．
(1)
解：令
解得 ，
∴A ， B
令 ，得 ，
∴C
∴点A的坐标为 ，点B的坐标为 ，点C的坐标为 ．
(2)解：设P点的坐标为
∵ ，
∴ ， ，
当△PBC是等腰三角形时，分三种情况求解：
①当 时，由题意可得
解得
∴P的坐标为 ；
②当 时，由题意可得
解得 或
∴P的坐标为 或 ；
③当 时，由题意可得
解得 或 （不合题意，舍去）
∴P的坐标为 ；
综上所述，P点的坐标为 或 或 或 ．
【点睛】
本题考查了二次函数与坐标轴的交点坐标，对称的性质，二次函数与周长的综合，二次函数与特殊三角形
的综合等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
2．如图，已知二次函数 的图象与 轴的两个交点为A（4，0）与点C，与y轴交于点B．
（1）求此二次函数关系式和点C的坐标；
（2）在 轴上是否存在点P，使得△PAB是等腰三角形？若存在，请你直接写出点P的坐标；若不存在，
请说明理由．解：（1）∵二次函数 的图象与 轴的一个交点为 ，
∴ ，解得 ，
∴此二次函数关系式为： ，
当 时， 解得 ，
∴点 的坐标为 ．
（2）存在，设点P的坐标为（x，0），
由题意得：AB2=42+32=25，AP2=（x-4）2，BP2=x2+9，
①当AB=AP时，则25=（x-4）2，解得x=9或-1，
∴P(9，0)或P（﹣1,0）；
②当AB=BP时，同理可得x=4（舍去）或-4，
∴P（﹣4,0）
③当AP=BP时，如图所示
∵OP=x，∴AP=BP=4－x
在Rt△OBP中，
∴
∴x=∴P（ ，0）
综上点P的坐标为（9，0）或（-1，0）或（-4，0）或（ ，0）．
【点睛】
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到等腰三角形的性质、面积的计算等，其中（3），要注意分类求
解，避免遗漏．
3．如图所示，关于 的二次函数 的图象与 轴交于点 和点 ，与 轴交于点 ，
抛物线的对称轴与 轴交于点 ．
（1）求二次函数的表达式；
（2）在 轴上是否存在一点 ，使 为等腰三角形？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理
由；解：（1）把 和 代入 ，
解得： ， ，
二次函数的表达式为： ．
（2）令 ，则 ，解得： 或 ，
，
，
点 在 轴上，当 为等腰三角形时分三种情况进行讨论：如图1，
①当 时， ，
或
， ；
②当 时， ，
；
③当 时， ，此时 与 重合，
；
综上所述，点 的坐标为： 或 或 或 ．
4．如图，已知二次函数 的图像与 轴的一个交点为 ，与 轴的交点为 ，过
的直线为 ．
(1)求二次函数 的解析式及点 的坐标；
(2)在两坐标轴上是否存在点 ，使得 是以 为底边的等腰三角形？若存在，求出 的坐标；若不
存在，说明理由．
【答案】(1) ，
(2)存在，点P的坐标为 或
【解析】
【分析】
（1）根据待定系数法，可得函数解析式，根据自变量为零，可得B点坐标
（2）根据线段垂直平分线上的点到线段两点间的距离相等，可得点P在线段的垂直平分线上，利用两点
间距离公式求解即可
(1)
解：将 代入 ，得
解得c=3∴二次函数 的解析式为
∵点 是二次函数与 轴的交点
所以点 的横坐标为0
将x=0带入解析式中，求得y=3
所以点 的坐标为
(2)
存在，满足题意的点P，使得 是以 为底边的等腰三角形.当使得 是以 为底边的等腰三
角形，点P在线段AB的垂直平分线上
①当点P在y轴上时，PA=PB
设
∵ ，
∴
解得
此时
②当点P在x轴上时，PA=PB
设
∵ ，
∴
解得
此时
综上所述： ， ，使得 是以 为底边的等腰三角形
【点睛】此题考察了二次函数的相关知识点，（1）利用待定系数法求函数解析式；（2）抛物线和坐标轴的交点，
勾股定理，等腰三角形的性质，熟练运用相关知识点是解题关键
类型二 在对称轴上找点成等腰
5．如图，直线y＝﹣ x+2与x轴交于点B，与y轴交于点C，已知二次函数的图象经过点B、C和点A(﹣
1，0)．
（1）求B、C两点的坐标；
（2）求该二次函数的解析式；
（3）若抛物线的对称轴与x轴交于点D，则在抛物线的对称轴上是否存在一点N，使 NCD为等腰三角形？
若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）B(4，0)，C(0，2)；（2） ；（3）存在，
【解析】
【分析】
（1）令直线y＝ x+2的x＝0，y＝0，求出对应的y和x的值，得到点C、B的坐标；
（2）用待定系数法设二次函数解析式，代入点A、B、C的坐标求出解析式；
（3）利用“两圆一中垂”找到对应的等腰三角形，结合勾股定理和等腰三角形的性质求点P的坐标．
【详解】
（1）对直线y＝ x+2，当x＝0时，y＝2；y＝0时，x＝4，
∴B（4，0），C（0，2）．
（2）设二次函数为y＝a（x﹣m）（x﹣n）（a≠0），∵二次函数图象经过B（4，0），A（﹣1，0），
∴y＝a（x﹣4）（x+1），
把点C（0，2）代入y＝a（x﹣4）（x+1）得：
a（0﹣4）（0+1）＝2，
解得：a＝ ，
∴y＝ （x﹣4）（x+1）＝ x2+ x+2．
（3）存在，理由如下：
∵二次函数图象经过B（4，0），A（﹣1，0），
∴对称轴为直线x＝ ，
∴D（ ，0），
∵C（0，2），
∴CD＝ ，
①如图1，当DC＝DN时，DN＝ ，
∴N （ ， ），N （ ，﹣ ），
1 2
②如图2，当CD＝CN 时，过点C作CH⊥DN 于点H，
3 3∵CD＝CN ，CH⊥DN ，
3 3
∴DH＝N H，
3
∵C（0，2），
∴DH＝2，
∴N H＝2，
3
∴N D＝4，
3
∴N （ ，4），
3
③如图3，当N C＝DN 时，过点C作CE⊥DN 于点E，
4 4 4
设DN ＝t，则EN ＝2﹣t，CE＝ ，
4 4
由勾股定理可知，（2﹣t）2+（ ）2＝t2，
解得t＝ ．
∴N （ ， ），
4综上所述：存在 ，使△NCD是等腰三角形．
【点睛】
本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，直线与坐标轴的交点，等腰三角形的性质，用到了分类讨论
思想．
6．如图，直线 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，已知二次函数的图象经过点 ， 和点
．
(1)求 ， 两点的坐标．
(2)求该二次函数的解析式．
(3)若抛物线的对称轴与 轴的交点为点 ，则在抛物线的对称轴上是否存在点 ，使 是以 为腰
的等腰三角形？如果存在，直接写出点 的坐标；如果不存在，请说明理由．
【答案】(1) ，
(2)
(3)存在 ， ， ，使 是以 为腰的等腰三角形
【解析】
【分析】
（1）令直线 的x=0，y=0，求出对应的y和x的值，得到点C、B的坐标；
（2）用待定系数法设二次函数解析式，代入点A、B、C的坐标求出解析式；
（3）利用“两圆一中垂”找到对应的等腰三角形，结合勾股定理和等腰三角形的性质求点P的坐标．
(1)解：对直线 ，当 时， ， 时， ，
， ．
(2)
解：设二次函数为 ，
二次函数图象经过 ， ，
，
把点 代入 得：
，
解得： ，
．
(3)
解： 二次函数图象经过 ， ，
对称轴为 ，
，
，
，
如图 ，当 时，，
， ，
如图 ，当 时，过点 作 于点 ，
， ，
，
，
，
，
，
，
综上所述：存在 ， ， ，使 是以 为腰的等腰三角形．
【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点、二次函数的解析式、等腰三角形的性质、勾股定理，解题的关键是
用一般式或者两点式结合待定系数法求解，求点P的坐标的时候要学会用“两圆一中垂”找到P点，注意
这里只要用“两圆”即可．
7．如图，抛物线y=ax2-bx-3与x轴交于点A、C，交y轴于点B，OB=OC=3OA．
(1)求抛物线的解析式及对称轴方程；
(2)如图1，连接AB，点M是对称轴上一点且在第四象限，若△AMB是以∠MBA为底角的等腰三角形，求
点M的坐标；
(1)
解：在y=ax2-bx-3中，令x=0得y=-3，
∴B（0，-3），
∴OB=3，
∵OB=OC=3OA，
∴OA=1，OC=3，
∴A（-1，0）、C（3，0），
把A（-1，0）、C（3，0）代入y=ax2-bx-3得：
，解得 ，
∴抛物线的解析式为y=x2-2x-3，
而y=x2-2x-3=（x-1）2-4，
∴对称轴方程为x=1；
(2)
解：设M（1，m），而A（-1，0）、B（0，-3），
∴MA2=4+m2，MB2=1+（m+3）2，AB2=10，△AMB是以∠MBA为底角的等腰三角形，分两种情况：
①若MA=AB，则MA2=AB2，如图：
∴4+m2=10，
解得m= 或m=- ，
∵M是对称轴上一点且在第四象限，
∴M（1， ），
②若MB=MA，则MA2=MB2，如图：
∴4+m2=1+（m+3）2，
解得m=-1，
∴M（1，-1），
综上所述，M坐标为（1， ）或（1，-1）；
类型三 在抛物线上或已知直线上找点成等腰
8．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+3的图象交x轴于点A（1，0），B（3，0），交y轴于点C．(1)求这个二次函数的表达式；
(2)直线x＝m分别交直线BC和抛物线于点M，N，当 BMN是等腰三角形时，直接写出m的值．
(1) △
将 ， 代入函数解析式，得
，
解得 ，
这个二次函数的表达式是 ；
(2)
，
， ，
当 时，① ，解得 ，
② ，解得
当 时， ，
，解得 或 （舍
当 时， ，
，解得 或 （舍 ，
当 是等腰三角形时， 的值为 ， ，1，2．【点睛】
本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是待定系数法；解（2）的关键是利用面积的和差得出二次函
数，又利用了二次函数的性质，解（3）的关键是利用等腰三角形的定义得出关于m的方程，要分类讨论，
以防遗漏．
9．如图，已知二次函数 的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴
交于点C，且OB=OC=3，顶点为M．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）探索：线段BM上是否存在点P，使 PMC为等腰三角形？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，
请说明理由．
解：（1）∵ ，
∴ ， ，
代入 中，得 ，
解得 ，
∴该二次函数的解析式为 ；
（2）线段 上存在点 ， ， ，使 为等腰三角形.理由如下：
设点 的坐标为 ，由题意可得 ， ，
，①当 时， ，
整理得 ，
解得 ， （舍去），经检验是方程的根
当 ， ，
此时 ；
②当 时， ，
整理得 ，
∵ =40，
△
∴ ，
解得 ， （舍去），经检验是方程的根
此时 ；③当 时， ，
整理得 ，
解得 ，经检验是方程的根
此时 ；
综上所述，线段 上存在点 ， ， ，
使 为等腰三角形．
【点睛】
本题考查二次函数与几何综合题型，利用待定系数法求函数解析式；求坐标系中四边形的面积，需分割三
角形与梯形来解，注意动点所在的位置决定了自变量的取值范围；等腰三角形分类考虑，可以用勾股定理，
构造方程是解题关键．
10．如图，已知二次函数y＝ax2＋bx＋3的图象与x轴交于点A（﹣1，0）、B（4，0），与y轴交于点
C．
（1）二次函数的表达式为 ；
（2）点M在直线BC上，当△ABM为等腰三角形时，求点M的坐标；解：（1）将A（﹣1，0），B（4，0）代入y＝ax2＋bx＋3得：
，
∴a＝ ，b＝ ，
∴ ，
故二次函数表达式为： ；
（2）当x＝0时，y＝3，
∴点C的坐标是（0，3），
设直线BC的表达式为：y＝kx＋c（k≠0），
将B（4，0），C（0，3）代入y＝kx＋c得：
，
∴ ，
∴直线BC的解析式为： ，
使得△ABM为等腰三角形，存在如图所示的三种情况：过点M 作MD⊥AB，
1 1
∵A（﹣1，0），B（4，0），
∴AD＝ AB＝ ，
∴OD＝ ，
设M（x，﹣ x＋3），
1
∴M（ ， ），
1
∵△ABM为等腰三角形，
∴AB＝BM＝5或AB＝BM＝5，
2 3
设M（x，﹣ x＋3），
2 1 1
∴BM＝ ＝5，
2
解得x＝8或0，
1
当x＝0时，y＝3，
1
当x＝8时，y＝﹣3，
1
∴点M为（0，3）或（8，﹣3）或（ ， ）；
11．如图，已知二次函数 的图象与 轴交于点 ，与 轴交于 、 两点，其对称轴与
轴交于点 ．（1）点 的坐标为___________，点 的坐标为___________；
（2）连接 ，在线段 上是否存在点 ，使得 为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点
的坐标；若不存在，请说明理由；
解（1） ，
当x=0时，y=-4，C（0，-4），
当y=0时， ，
整理得： ，
变形得： ，
解得 ，
∴B点坐标为（8,0）；
（2）C(0,-4),B(8,0),
设BC解析式为 ，把C、B坐标代入得，
，
解得 ，
BC解析式为 ，为等腰三角形，点E在线段BC上，设E（x, ）D(3,0)，
以DB为底边,作BD中垂线与BC交点为E，x= , ，
E ，
以BD为腰，
当BD=EB=5时BE= ，
，
， 舍去，
，
E（ ），当ED=BD=5时点E与点C重合，E（0，-4），
为等腰三角形符合条件的点 的坐标为：E（0，-4），（ ）， ；
类型四 综合探究
12．如图，二次函数 图象的顶点为D，其图象与x轴的交点A、B的横坐标分别为 ，
与y轴负半轴交于点C．
若 是等腰直角三角形，求a的值．
探究：是否存在a，使得 是等腰三角形？若存在，求出符合条件的a的值；不存在，说明理由．【答案】（1） ；（2）存在， 或 ，见解析.
【解析】
【分析】
作 于点E，根据 是等腰直角三角形，即可求得D的坐标，利用待定系数法求得函数的解
析式，从而求得a的值．
根据三边分别相等可以分三种情况：
当 时，根据勾股定理列方程： ，可得a的值；
当 时，根据勾股定理列方程： ，可得a的值；
当 时，由于 ， ，不成立．
【详解】
如图，作 于点E，
，
是等腰直角三角形，，
则D的坐标是 ．
设二次函数的解析式是 ，
把 代入得 ，
解得： ．
存在，分三种情况：
当 时，
，
在 中， ，
，
，
，
设二次函数的解析式为： ，
将 代入，
，
当 时，
，
在 中， ，
，
，则 ，
，
，当 时，
，
是AB的中点，
而 ， ，
，
不成立，
或 ．
【点睛】
本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，第1问正确根据等腰直角三角形的性质求
得D的坐标是关键，第二问根据等腰三角形的判定正确分类讨论是关键．
13．综合与探究
如图，抛物线 与x轴交于A，B两点，且点A在点B的左侧，与y轴交于点C．
(1)求点A，B和C的坐标；
(2)点P从点B出发沿 以1个单位长度/秒的速度向终点C运动，同时，点Q从点O出发以相同的速度沿
x轴的正半轴向终点B运动，一点到达，两点同时停止运动．连接 ，当 是等腰三角形时，请直接
写出运动的时间．
(1)
解：把 代入 中，得 ．
∴点C的坐标是 ．把 代入 中，得 ．
解得 ， ．
∴点A的坐标是 ，点B的坐标是 ．
∴点A的坐标是 ，点B的坐标是 ，点C的坐标是 ．
(2)2秒， 秒和 秒
解：设运动时间为t，根据题意，若要构成 ，则P、Q不与点B重合，t的取值范围为 ，
∴ ， ，
如图，过点P作 轴于点D，设点P的坐标为 ，则 ， ，
根据勾股定理，在 中，
,
，
解得 ， （不符合题意，舍去），
∴点P的坐标为 ，∵点Q的坐标为
∴ ，
∵ ， ， ，
①当 时，
即 ，
解得： ；
②当 时，
，
解得： ， （不符合题意，舍去），
③当 时，
，
解得： ， （不符合题意，舍去），
综上所述：当 是等腰三角形时，时间为2秒， 秒， 秒．
【点睛】
本题考查二次函数综合运用，包括求抛物线与x轴的坐标，一次函数的解析式，利用坐标求线段长度，等
腰三角形的性质，熟悉掌握求抛物线与x轴的交点坐标、顶点坐标以及等腰三角形的性质本题的解题关系．
