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专题06 一次函数中的二次方程
类型一 关联到面积
1．如图，一次函数y＝2x+3的图像交y轴于点A，交x轴于点B，点P在线段AB上（不与A，B重合），
过点P分别作OB和OA的垂线，垂足分别为C，D．当矩形OCPD的面积为1时，点P的坐标为（）
A． B．（1，1） C． 或（1，1） D．不存在
2．如图，已知，在直角坐标系 中，直线 与 轴、 轴分别交于点 ，点 从A点开始以
1个单位/秒的速度沿 轴向右移动，点 从 点开始以2个单位/秒的速度沿 轴向上移动，如果 两点
同时出发，经过几秒钟，能使 的面积为8个平方单位．3．如图，菱形AOBC，AO=4，∠OAC=60°．
（1）求点B，C的坐标；
（2）求直线AB的解析式；
（3）点 以 的速度在对角线 上由 向 运动，点 以 的速度在边 上由 向 运动，若
点 ， 同时开始运动，问经过多长时间使得 ．
类型二 关联到等腰三角形
4．如图，已知函数 的图象与 轴交于点 ，一次函数 的图象经过点 ，与 轴以及
的图象分别交于点 、 ，且点 的坐标为 ，（1）求 的值及一次函数 的表达式．
（2）求四边形 的面积；
（3）在 轴上找一点 ，使得以点 ， ， 为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出所有符合条件的
点 的坐标_______________．
5．已知一次函数 的图象分别与 轴， 轴交于 两点，点 ．
（1）如图1，点 与点 关于 轴对称，点 在线段 上且到两坐标轴的距离相等，连接 ，交 轴
于点 ．
①求点 的坐标；
② 与 是否全等，请说明理由；
（2）如图2，点 与点 关于 轴对称，点 在直线 上，若 是等腰三角形，直接写出点 的坐
标．
6．如图，在矩形 中，点O为坐标原点，点B的坐标为 ，点 在坐标轴上，点P在 边上，直线 ，直线 ．
（1）分别求直线 与x轴，直线 与 的交点坐标；
（2）已知点M在第一象限，且是直线 上的点，若 是等腰直角三角形，求点M的坐标；
（3）已知矩形 的顶点N在直线 上，Q是坐标平面内的点，且N点的横坐标为x，请求出x的取值
范围．
7．如图，已知一次函数 的图象分别与x轴，y轴相交于点A，B，C是直线 上一点．当
时，点C的坐标是__________．
类型三 关联到特殊四边形
8．如图1，在平面直角坐标系中，点 的坐标为 ，点 的坐标为 ．（1）求直线 的解析式；
（2）以点 为直角顶点作 ，射线 交 轴的负半轴于点 ，射线 交 轴的负半轴于点 ．
当 绕着点 旋转时， 的值是否发生变化，若不变，求出它的值；若变化，求出它的变化范
围；
（3）如图2，点 是 轴上的一个点，点 是坐标平面内一点．若 、 、 、 四点能构成菱形，请
写出满足条件的所有点 的坐标（不要解题过程）．
9．如图①，在平面直角坐标系中，直线l：y＝－ x＋6分别与x轴、y轴交于点B、C，且与直线l：y＝
1 2
x交于点A，以线段AC为边在直线l 的下方作正方形ACDE，此时点D恰好落在x轴上．
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（1）求出A，B，C三点的坐标．
（2）求直线CD的函数表达式．
（3）在（2）的条件下，点P是射线CD上的一个动点，在平面内是否存在点Q，使得以O、C、P、Q为
顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
10．如图1，在平面直角坐标系 中，一次函数 与 轴、 轴交于点 、 两点， 轴的负半轴
上一点 ， 轴的正半轴上有一点 且（1）如图1，在直线 上有一长为 的线段 （点 始终在点 的左侧），将线段 沿直线 平
移得到线段 ，使得四边形 的周长最小，请求出四边形 周长的最小值和此时点 的坐
标．
（2）如图2，过 作直线 交直线 与 点，将直线 沿直线 平移，平移后与直线 、
的交点分别是 ， ．请问，在直线 上是否存在一点 ，使 是等腰三角形？若存在，求出此时
符合条件的所有 点所对应的 的坐标；若不存在，请说明理由．
