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专题 07 二次函数中的几何存在性问题
类型一、特殊三角形问题
例1．如图，抛物线 与 轴交于 ， 两点，与 轴交于点 ．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)若点 是线段 上一动点，过点 的直线 平行于 轴并交抛物线于点 ，当线段 取得最大值时，
在 轴上是否存在这样的点 ，使得以点 、 、 为顶点的三角形是以 为腰的等腰三角形？若存在，
请求出所有点 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1) ；(2) ，或 ，或
【解析】(1)解：∵抛物线 经过点， ， ，∴ ，解得 ，
∴抛物线的解析式为 ．
(2)存在点P，以EB为腰的等腰三角形△EBP，理由如下：
当 时， ，∴ ，
设直线AC的解析式为 ，∴ ，解得 ，∴ ；
设 ，则 ，
∴ ，∴当 时，EF取得最大值，最大值为： ，此时 ，
又∵ ，∴ ．
当 时，∵ ，点 在 轴上，∴点P的坐标为 或 ；
当 时， 关于直线 对称，∴点P的坐标为 ；
综上所述， ，或 ，或 ．
例2.如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴相交于点A、B（点A在点B的左侧），与y
轴相交于点C，连接 ．
(1)求线段AC的长；
(2)若点Р为该抛物线对称轴上的一个动点，当 时，求点P的坐标；
(3)若点M为该抛物线上的一个动点，当 为直角三角形时，求点M的坐标．
【答案】(1) ；(2)
(3) 或 或 或
【解析】(1) 与x轴交点：令y=0，解得 ，即A（-1，0），B（3，0），
与y轴交点：令x=0，解得y=-3，即C（0，-3），∴AO=1,CO=3,∴ ;
(2)抛物线 的对称轴为：x=1，设P（1，t），
∴ ， ，∴
∴t=-1，∴P（1，-1）；
(3)设点M（m,m2-2m-3）， ，
，
,
①当 时， ，
解得， （舍）， ，∴M（1，-4）；
②当 时， ，
解得， ， （舍），∴M（-2，5）；
③当 时， ，
解得， ，∴M 或 ；
综上所述：满足条件的M为 或 或 或 ．
例3.如图，抛物线 交x轴于 ， 两点，交y轴于点C，点D是抛物线上位于
直线BC上方的一个动点．(1)求抛物线的解析式；
(2)连接AC，BD，若 ，求点D的坐标；
(3)在（2）的条件下，将抛物线沿着射线AD平移m个单位，平移后A、D的对应点分别为M、N，在x轴
上是否存在点P，使得 是等腰直角三角形？若存在，请求出m的值：若不存在，请说明理由．
【答案】(1) ；(2) ；(3)存在， 或 或 时， 是等腰直角三角形
【解析】(1)解：∵抛物线 交x轴于 ， 两点，
∴抛物线的解析式为： ；
(2)解：当x＝0时，y＝3，∵∠ACO+∠DBA=90°，∠ACO+∠CAB=90°，
∴∠ABD＝∠CAB，∴ ．
设点D的坐标为 ，
如图，过点D作DE⊥x轴于点E，则 ， ，
∴ ，解得x＝3．∴ ．(3)解：设直线AD的解析式为：y＝kx+n，把点A，D的坐标代入得， ，解得： ，
∴直线AD的解析式为： ，
∵MN＝AD＝5，∴ ．
①如图，若MN＝MP＝5，则∠PMN＝90°，
，∴ ，即 ．
②如图，若NM＝NP＝5，则∠MNP＝90°，
，∴ ，∴ ．即 ．
③如图，若PM＝NP，则∠NPM＝90°，过点P作PQ⊥AN于点Q，则 ，
，∴ ，∴ ．即 ．
综上所述， 或 或 时， 是等腰直角三角形．【变式训练1】如图，二次函数 的图象经过点A（ 1，0），B（3，0），与y轴交于点C．
(1)求二次函数的解析式；
(2)第一象限内的二次函数 图象上有一动点P，x轴正半轴上有一点D，且OD=2，当
S PCD=3时，求出点P的坐标；
(3△)若点M在第一象限内二次函数图象上，是否存在以CD为直角边的 ，若存在，求出点M的坐
标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1) ；(2)P（ ， ），P（2，3）；
1 2
(3)存在点M其坐标为 或
【解析】(1)解：由题意，将A（ 1，0），B（3，0）代入得： ，解得 ，
抛物线表达式为： ；
（2）如图1，连接OP，设 ，∵C在y轴上，∴ ，
∴ ，
，
= = ，
，当 时，即 ．解得 ， ． ∴当 时， ；
当 时， ，∴P（ ， ），P（2，3）
1 2
(3)存在．设 ，如图2，当∠MCD=90°时，过点M做MN⊥ 轴于点N，
则∠MNC=∠COD=90°，
∵∠MCN=∠CDO，∴△MNC∽△COD，
∴ ，即 ，解得 （舍），
∴ ．如图3，当∠MDC=90°时，过点M做MN⊥ 轴于点N，则∠MND=∠COD=90°，
∵∠MDN=∠DCO，∴△MND∽△DOC，
∴ ，即 ，
解得 ， ．
综上所述，存在点M其坐标为：点 或 ．
【变式训练2】如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+4x+c与直线AB相交于点A(0，1)和点B(3，
4)．(1)求该抛物线的解析式；
(2)设C为直线AB上方的抛物线上一点，连接AC，BC，以AC，BC为邻边作平行四边形ACBP，求四边形
ACBP面积的最大值；
(3)将该抛物线向左平移2个单位长度得到抛物线y=ax2+bx+c（a≠0），平移后的抛物线与原抛物线相交于
1 1 1 1
点D，是否存在点E使得 ADE是以AD为腰的等腰直角三角形？若存在，直接写出点E的坐标；若不存
在，请说明理由． △
【答案】(1) ；(2) ；(3)存在，E（4，3）或（-2，5）或（-3，2）或（3，0）．
【解析】(1)解：将点A、B的坐标代入抛物线表达式得 ．解得： ．
∴抛物线的表达式为 ；
(2)解：设直线AB的表达式为： ，将点A、B的坐标代入得：
． 解得： ． 故直线AB的表达式为： ．
过点C作 轴的平行线交AB于点H．如图．设点C（ ， ），则H（ ， +1）．
∵四边形ACBP是平行四边形，
． ∵-
3<0，∴四边形ACBP的最大值为 ；
(3)解：∵抛物线y=-（x-2）2+5，
∴将抛物线向左平移2个单位后得到的抛物线为：y=-x2+5，联立 ，解得 ，
∴D（1，4），
①如图2，当DA=DE，∠EDA=90°，E在AD右侧时，过D作x轴平行线交y轴于N，过E作y轴平行线，
两线交于F点，
∵∠DAN+∠NDA=∠NDA+∠EDF=90°，∴∠DAN=∠EDF，
又∠DNA=∠EFD=90°，DA=DE，∴△DNA≌△EFD（AAS），
∴DN=EF=1，AN=DF=3，
∴E（4，3），
②当DA=DE，∠EDA=90°，E在AD左侧，
同理可得，E（-2，5），
③当AD=AE，∠DAE=90°，E在AD左侧时，
同理可得，E（-3，2），
④当AD=AE，∠DAE=90°，E在AD右侧时，同理可得，E（3，0），
综上所述，E（4，3）或（-2，5）或（-3，2）或（3，0）．
类型二、特殊四边形问题
例1．在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴交于点 ， （点 在点 的左侧），与 轴交
于点 ，且点 的坐标为 ．
(1)求点 的坐标；
(2)如图1，若点 是第二象限内抛物线上一动点，求点 到直线 距离的最大值；
(3)如图2，若点 是抛物线上一点，点 是抛物线对称轴上一点，是否存在点 使以 ， ， ， 为
顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1) ；(2) 最大为 ；(3)存在， 的坐标为 或（3，-16）或
【解析】(1)（1）∵点 在抛物线 的图象上，∴
∴ ，∴点 的坐标为 ；
(2)过 作 于点 ，过点 作 轴交 于点 ，如图：∵ ， ∴ ，∴ 是等腰直角三角形，∴ ，
∵ 轴，∴ ，∴ 是等腰直角三角形，∴ ，
∴当 最大时， 最大，设直线 解析式为 ，
将 代入得 ，∴ ，∴直线 解析式为 ，
设 ， ，则 ，
∴ ，
∵ ，∴当 时， 最大为 ，
∴此时 最大为 ，即点 到直线 的距离值最大；
(3)存在．∵ ，∴抛物线的对称轴为直线 ，
设点N的坐标为（-2，m），点M的坐标为（x， ）
分三种情况：①当AC为平行四边形ANMC的边时，如图，
∵A（-5，0），C（0，5），∴ ，即 ，解得，x=3.
∴ ∴点M的坐标为（3，-16）
②当AC为平行四边形AMNC的边长时，如图，方法同①可得， ，∴ ∴点M的坐标为（-7，-16）；
③当AC为对角线时，如图，
∵A（-5，0），C（0，5），
∴线段AC的中点H的坐标为 ，即H（ ）
∴ ，解得， 。∴
∴点M的坐标为（-3，8）
综上，点 的坐标为： 或（3，-16）或 ．
例2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴分别交于点 和点B，与y轴交于
点 ．(1)求抛物线的解析式及对称轴；
(2)如图，点D与点C关于对称轴对称，点P在对称轴上，若 ，求点P的坐标；
(3)点M是抛物线上一动点，点N在抛物线的对称轴上，是否存在以A、B、M、N为顶点的四边形为菱形，
若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3，对称轴为直线： ；(2)P（1，1）或（1，2）
(3)存在，N（1，-4）
【解析】(1)解：把A（﹣1，0），点C（0，3）的坐标代入y＝﹣x2+bx+c，得， ，解得 ，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3，对称轴为直线x 1．
(2)解：如图1中，连接BD，设BD的中点T，连接PT，设P（1，m）．
∵点D与点C关于对称轴对称，C（0，3），∴D（2，3），
∵B（3，0），∴T（ ， ），BD ，
∵∠BPD＝90°，DT＝TB，∴PT BD ，∴（1 ）2+（m ）2＝（ ）2，解得m＝1或2，∴P（1，1）或（1，2）．
(3)解：存在，理由如下， 抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3 ，顶点坐标为 ，对称轴为
①当 为对角线时， ，设 交 于点 ，如图，
则 ， 四边形 是菱形， ，
②当 为边时，如图，
四边形 是菱形， ，
设 ， ， ，
在抛物线 上，则 ，解得 ，， 或
， ，解得
，
是菱形， ， ，即 ，解得
与 矛盾，故不存在此情形，综上所述，当A、B、M、N为顶点的四边形为菱形， ．
例3．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于 ，与y轴交于点 ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，在直线BC上方的抛物线上有动点P，过点P作 轴，交BC于点Q，当 时，
求点P的坐标；
(3)如图2，若点D坐标为 ， 轴交直线BC于点E，将 沿直线BC平移得到 ，移动
过程中，在坐标平面内是否存在点P，使以点A，C， ，P为顶点的四边形为矩形？若存在，请直接写出
所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1) ；(2) ；(3)存在，
【解析】（1）将 代入 ， ， ， ；(2)设直线BC的解析式为 ，将 代入得 ，解得 ， ，
设 ，则 ， ，
过点Q作 轴交于点E，如图：
， ，
， ， （舍）， ；
(3)存在， ；
理由分析:∵ 点D坐标为 ，B(3,0) ，∴DB=1,
将直线BC向左平移1个单位即可得到D点运动轨迹所在的直线，
由平移得D点在平移过程中所在直线的解析式为 ；
∵当 时， ，∴ ，
∵ ，∴ ，AC的中点坐标为M ，
当AC为对角线时，如图1和图2，设D'（n，-n+2），
∵ ，∴ ，∴ ，
∴D'（1，1）或D'（-1，3），由矩形的性质可知，PD'经过点M且被M点平分，∴ ，
∴当D'（1，1）时， ，即 ，
当D'（-1，3）时， ，即 ；当AC为边时，有如下两种情况，如图3和图4，
设D'（n，-n+2），∵ （图3）， （图4），
∴ （图3），
（图4），
∴ （图3）， （图4），∴图3中， ，图4中，
∴图3中，CD'的中点 ，图4中，AD'的中点 ；
所以图3中， ，图4中， ，
∴图3中， ，即 ，图4中， ，即 ；
综上可得：存在， ．【变式训练1】如图一所示，在平面直角坐标中，抛物线y＝ax2+2x+c经过点A(﹣1，0）、B（3，0），与
y轴交于点C，顶点为点D．在线段CB上方的抛物线上有一动点P，过点P作PE⊥BC于点E，作PF AB
交BC于点F．
(1)求抛物线和直线BC的函数表达式，
(2)当△PEF的周长为最大值时，求点P的坐标和△PEF的周长．
(3)若点G是抛物线上的一个动点，点M是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在以C、B、G、M为顶点
的四边形为平行四边形？若存在，求出点G的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)抛物线函数表达式为 ，直线BC的函数表达式为
(2)点P的坐标为 ( , )，△PEF的周长为
(3)存在，(2，3)或(-2，-5)或(4，-5)【解析】(1)解：将点A(-1,0)，B(3,0)代入 ，得： ，解得 ，
所以抛物线解析式为 ，C(0，3)
设直线BC的函数表达式 ，将B(3，0)，C(0，3)代入得： ，解得 ，
所以直线BC的函数表达式为
(2)
解：如图，设将直线BC平移到与抛物线相切时的解析式为 ，与抛物线联立得：
整理得
，解得 ，
将 代入 ，解得 ，
将 代入 得 ，
即△PEF的周长为最大值时，点P的坐标为 ( , )
将 代入 得 ，
则此时 ，因为△PEF为等腰直角三角形，
则△PEF的周长最大为
(3)答：存在．
已知B(3，0)，C(0，3)，设点Ｇ( ， )，N(1，n)，
当BC为平行四边形对角线时，根据中点公式得： ， ，则G点坐标为(2，3)；
当BC为平行四边形对角线时，同样利用中点坐标公式得： 或 ，解得 或
则G点坐标为(-2，-5)或(4，-5)
故点G坐标为(2，3)或(-2，-5)或(4，-5)
【变式训练2】如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于A、B两点，与y轴
交于点C，连接BC， ，对称轴为直线 ，点D为此抛物线的顶点．
(1)求抛物线的解析式及D点坐标；
(2)点E是第一象限内抛物线上的动点，连接BE和CE，求 面积的最大值；
(3)点P在抛物线的对称轴上，平面内存在点Q，使以点B、C、P、Q为顶点的四边形为矩形，请直接写出
点Q的坐标．
【答案】(1)解析式为 ；D（2， ）；(2)S BCE 有最大值为
△
(3)（ ）或（3，4）或（7，4）或 （ ）
【解析】(1)解：∵ ，∴又∵对称轴为 ，∴ ，将A，B代入解析式得： ，解得
∴ ；把x=2代入二次函数解析式，得 ，∴
(2)解：∵ ， ，∴直线BC的解析式为：
设 ，则00，
由抛物线 经过点 ，
∴ ，即 ，解得t=2，∴ ，
∴点D的坐标为（4，-2），
如图3-2，当DM，AN为以A、D、M、N为顶点的菱形的对角线时，设AN与DM交于点Q，
则点Q的坐标为（4，0），∴AN⊥MD，且AQ=NQ=6，∴此时N点的坐标为（10，0）；
如图3-3，设点M的坐标为（4，m），
当DM和MA为以A、D、M、N为顶点的菱形的邻边时，
则有AN∥MD，MA=MD，∴点N在直线x=-2上，
由题可得，MD=m-(-2)=m+2，MA= ，
∴ ，解得m=8，∴MD=10，∴AN=MD=10，∴点N的坐标为（-2，-10）；
如图3-4，当AD和MD为以A、D、M、N为顶点的菱形的邻边时，
同理可得点N在直线x=-2上，∴AN=AD= ，
∴点N的坐标为（-2， ）或（-2，- ）
综上所述，当点N的坐标为（10，0）或（-2，-10）或（-2， ）或（-2，- ）时，以A、D、
M、N为顶点的四边形是菱形．
