等腰三角形问题
—阶方法突破练
1.如图，点A，B在正方形网格的格点上，请在所给的网格中确定格点C，使得. △ABC是以AB 为腰的等腰
三角形.
2.如图，在平面直角坐标系中，直线 y=x+1l 与x轴交于点B,A(2,3)在直线上，在x轴上有一点C，使得
△ABC是以 AB 为底的等腰三角形，求点 C 的坐标.
2 4
3.如图，已知抛物线 y= x2− x−2与x轴交于A，B两点，与y轴交于点 C,连接AC,点 P 是y轴上一点,
3 3
若. △PAC是等腰三角形，求点 P的坐标.二阶 设问进阶练
例 如图，直线. y=x+3与x轴交于点A，与y轴交于点 C，抛物线 y=−x²−2x+3与x轴交于A，B两点，
与y轴交于点 C.
(1)如图①，连接BC，在y轴上存在一点 D，使得 △BCD是以BC 为底的等腰三角形，求点 D 的坐标；
(2)如图②，在抛物线上是否存在点E，使 △EAC是以 AC 为底的等腰三角形?若存在，求出点E的坐标；若不
存在，请说明理由；
(3)如图③,连接 BC,在直线 AC 上是否存在点 F,使 △BCF是以 BC 为腰的等腰三角形?若存在，求出点 F的坐
标；若不存在，请说明理由；(4)如图④，若抛物线的顶点为H，连接AH，在x轴上是否存在一点 K，使 △AHK是等腰三角形?若存在，求
出点K的坐标；若不存在，请说明理由；
(5)如图⑤，在抛物线的对称轴上是否存在点 G，使 △ACG是等腰三角形?若存在，求出点G的坐标；若不存
在，请说明理由.三阶综合强化练
1.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 y=x²+4x−1与直线l： y=x−1交于A,B两点.
(1)求A,B两点的坐标;
(2)若点M是直线AB下方抛物线上一动点(不与A，B重合)，过点M作y轴的平行线，交直线AB于点N，设
点 M的横坐标为m，用含m的式子表示出MN的长，并求出 MN的范围；
(3)(y轴上的动点)在y轴是否存在一点C，使得 △ABC是等腰三角形?若存在，请求出点 C的坐标；若不存
在，请说明理由.
作图区 答题区1
2.如图，抛物线 y= x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，直线 BC的解析式为 y= x−6.点P
2
是x轴上的一个动点，过点P作直线. PE⊥x轴交直线 BC 于点 E，交抛物线于点 F.
(1)求抛物线的解析式；
(2)创新题·探究角的数量关系 若点 P在线段OB上运动(且不与点 O重合)，当 AE= 2√10时，请你猜想.
∠AEP与 ∠ACO的数量关系，并说明理由；
(3)(x轴上的动点)是否存在点 P，使得 △CEF是等腰三角形?若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明
理由.
作图区 答题区
备用图②
3.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线 y=ax²+bx+c(a≠0)与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧),
与y轴交于点 C(0,3),且 OB=3OA=3√3.
(1)求抛物线的解析式；
DE
(2)点 D为直线BC上方抛物线上一点，连接AD，与 BC交于点E，求 的最大值；
AE
(3)(对称轴上的动点)若点M为抛物线的对称轴上一动点，是否存在点 M，使得. △BCM为等腰三角形?若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由.
作图区 答题区考向1 等腰三角形问题
一阶 方法突破练
1.解：格点 C的位置如解图所示.
2. 解:∵直线y=x+1 与x轴交于点B,A(2,3),
∴B(-1,0),∠ABO=45°,∴AB=3 √2,
当AB 为底边时，如解图，作线段 第2题解图AB的垂直平分线交x轴于点 C，连接AC，
∴AC=BC=3,
∴△ABC 为等腰直角三角形，
∴ C(2,0).
2 4
3. 解:∵抛物线 y= x2− x−2与x轴交于 A,B两点,与y轴交于点 C，
3 3
∴A(3,0),B(-1,0),C(0,-2),
∴OA=3,OC=2,AC= √13.
∵点P 在y轴上,
设点 P 的坐标为(0,m),
则 PC=|m+2|,PA=√m2+9,
如解图,①当PA=CA时,以点A 为圆心,AC 长为半径画弧交y轴于点 P₁，此时点A在CP的垂直平分线上,
∴OP₁=OC=2,∴P₁(0,2);
②当. PC=CA=√13时，以点 C为圆心，AC长为半径画弧,交y轴于点 P₂,P₃,
∴|m+2|=√13,即 m+2=±√13,
解得 m=√13−2或 m=−2−√13,
∴P (0,√13−2),P (0,−2−√13);
2 3
③当PC=PA时,作线段AC的垂直平分线交y轴于点 P₄，
5
∴|m+2|=√m2+9,即 (m+2)²= m²+9,解得 m= ,
4
5
∴P₄(0, ).
4
( 5)
综上所述,点P的坐标为(0,2)或(0, √13−2)或(0, −2−√13)或 0, .
4二阶 设问进阶练
例 解:(1)∵直线y=x+3与x轴交于点A,与y轴交于点C,∴A(-3,0),C(0,3),
∵ 抛物线 y=−x²−2x+3与x轴交于点B，
∴B(1,0),
如解图①，当△BCD 是以 BC 为底的等腰三角形，作 BC 的垂直平分线交y轴于点 D,则有 BD=CD,
∵ 点 D 是y轴上的点,
∴设D(0,d),. ∴BD²=d²+1,
∵CD²=(3−d)²,BD=CD,
4
∴BD²=CD²,即 d²+1=(3−d)²,解得 d= ,
3
( 4)
∴ 点D 的坐标为 0, ;
3
(2)存在.
如解图②,过点 O 作直线 OP⊥AC 于点 P,交抛物线于点 E₁,E₂,则点 E₁,E₂即为所求.
∵OA=OC=3,
∴OP 是线段AC 的垂直平分线，
∴AP=CP,E₁A=E₁C,E₂A=E₂C.
( 3 3)
∵A(-3,0),C(0,3),∴ P − , ,
2 2
∴直线OP 的解析式为y=-x,
{ y=−x
,
联立
y=−x2−2x+3
{ 1−√13 { 1+√13
x= x=
2 2
, ,
解得
1+√13 1−√13
y= y=
2 2
(−1−√13 1+√13) (−1+√13) 1−√13
∴点E的坐标为 , 或 );
2 2 2 2
(3)存在.
①当BC=BF时,如解图③,以点 B 为圆心,BC长为半径画弧,交直线AC于点 F₁,设F₁(f,f+3),由题意可得，
BC2=10,BF2=(f −1) 2+(f +3) 2= 2f ²+4f +10,
1
∵BC=BF ,∴BC2=BF2,
1 1
∴10=2f ²+4f +10,解得.f₁=0(舍去),. f ₂=−2.∴F₁(-2,1);
②当BC=CF时,如解图③,以点C为圆心，CB 长为半径画弧,交直线AC于点 F₂,F₃,设F(m,m+3),
由题意可得 CF²=m²+(m+3−3)²=2m²,BC²=10,
∵CF=BC,∴CF²=BC²,∴2m²=10,解得 m=−√5或 m=√5.
∴F (−√5,−√5+3),F (√5,√5+3).
2 3
综上所述,点F 的坐标为(-2,1)或( (−√5,−√5+3)或 (√5,√5+3);
(4)存在.
∵ 抛物线的解析式为 y=−x²−2x+3=−(x+1)²+4,
∴H(-1,4),
∵A(-3,0),∴AH=2 √5,
①如解图④,当AH为△AHK 的底时,作AH 的垂直平分线K₁L交x轴于点 K₁,交 AH 于点 L,
∴L(-2,2),
设直线AH 的解析式为y=kx+b,将A,H两点坐标代入,得y=2x+6,
∵K₁L⊥AH,
1
∴设直线 K₁L的解析式为
y=− x+c,
2
将L(-2,2)代入得c=1,
1
∴ 直线 K₁L 的解析式为
y=− x+1,
2
∴令y=0,得x=2,∴K₁(2,0);
②如解图④,当 AH 为△AHK 的腰时,以点 A 为圆心,AH为半径画弧,与x轴交于点 K₂,K₃,
此时 AH=AK =AK =2√5,
2 3
∴K (2√5−3,0),K (−3−2√5,0);
2 3
同理，以点 H为圆心，AH为半径画弧，与x轴交于点 K₄,此时 K₄ 与点 B 重合,即K₄(1,0).
综上所述，点K的坐标为(2，0)或(2 √5-3,0)或 (−3−2√5,0)或(1,0);
(5)存在.
由题意得，抛物线 y=−x²−2x+3的对称轴是直线x=-1,∴设G(-1,n),
∴AC²=3²+3²=18,AG²=[−1−(−3)]²+n²=4+n², CG²=1²+(n−3)²=n²−6n+10.
当△ACG是等腰三角形时，分以下三种情况：
①当AG=AC时,如解图⑤,以点A为圆心,AC长为半径画弧，交对称轴于点 G₁，G₂，
∵AG²=AC²,∴4+n²=18,解得 n=±√14,
∴G (−1,√14),G (−1,−√14);
1 2
②当CA=CG时,如解图⑤,以点C 为圆心,CA长为半径画弧，交对称轴于点G₃，G₄，
∵AC²=CG²,∴18=n²−6n+10,解得 n=3±√17,
∴G (−1,3+√17),G (−1,3−√17);
3 4
③当GA=GC时，如解图⑤，作AC的垂直平分线交对称轴于点 G₅，
∵AG²=CG²,∴4+n²=n²−6n+10,解得n=1,
∴G₅(-1,1).综上所述，点 G 的坐标为( (−1,√14)或(-1, −√14)或 (−1,3+√17)或 (−1,3−√17)或(-1,1).
三阶 综合强化练
1. 解:(1)∵抛物线 y=x²+4x−1与直线l:y=x-1交于A,B 两点,
{y=x2+4x−1 { x =0 {x =−3
, 1 , 2 ,
∴联立 解得
y=x−1 y =−1 y =−4
1 2
∴A(-3,-4),B(0,-1);
(2)设点M的坐标为( (m,m²+4m−1),则点 N的坐标为(m,m-1),
3 2 9
∴MN=m−1−(m²+4m−1)=−m²−3m=−(m+ ) + ,
2 4
∵ 点M是抛物线上A，B 两点之间的一个动点(不与A,B 重合),∴-3<m<0,
3 ( 3) 2 9 9
∵−3<− <0,∴− m+ +
的最大值为 ,
2 2 4 4
9
∴ MN的取值范围为 0<MN≤ ;
4
(3)存在.
∵A(-3,-4),B(0,-1),∴AB=3 √2,
①如解图，当AB 是△ABC的底时，作线段AB 的垂直平分线,交AB 于点D,交y轴于点C₁,
( 3 5)
∴D − ,− ,
2 2
∵C₁D⊥AB,
( 3 5)
∴设直线C₁D的解析式为：:y=-x+b,将点 D − ,− 代入,得b=-4,
2 2
∴直线C₁D的解析式为：:y=-x-4,∴C₁(0,-4);
②如解图,当AB是△ABC的腰时,分别以点 A,B 为圆心,以AB长为半径作圆,交y轴于点 C₂,C₃,C₄,
∴AB=AC =BC =BC =3√2.
2 3 4
∴BC₂=6,
∴C (0,−7),C (0,3√2−1),C (0,−1−3√2),综上所述,C点坐标为(0,-4)或(0,-7)或(0, 3√2−1)或
2 3 4
(0,−1−3√2).
2. 解:(1)∵直线 BC分别与x轴,y轴交于点 B,C,∴B(6,0),C(0,-6).
1
∵抛物线
y= x2+bx+c经过点B,C,
2
∴将B，C两点坐标代入，
{18+6b+c=0 {b=−2
,
得 解得
c=−6 c=−61
∴抛物线的解析式为
y= x2−2x−6;
2
(2)∠AEP+∠ACO=90°.
1
理由：由(1)知抛物线的解析式为
y= x2−2x−6,令y=0,解得x₁=-2,x₂=6,∴A(-2,0),∴OA=2,
2
∴AC=√OA2+OC2=2√10.
∵AE=2√10,
∴AC=AE,∴∠ACE=∠AEC,
∴∠ACO+∠OCB=∠PAE+∠CBO.
∵OB=OC,∴∠OCB=∠CBO=45°,
∴∠ACO=∠PAE.
∵∠AEP+∠PAE=90°,
∴∠AEP+∠ACO=90°;
(3)存在.
设P(m,0),则 F ( m, 1 m2−2m−6 ) ,E(m,m−6), ∴EF2= [ m−6− (1 m2−2m−6 )] 2 = ( − 1 m2+3m ) 2 ,
2 2 2
CE²=m²+(m−6+6)²=2m²,
CF2=m2+ (1 m2−2m−6+6 ) 2 =m2+m2(1 m−2 ) 2 ,
2 2
当△CEF是等腰三角形时，分三种情况讨论：
①当CE=EF时,
∴CE2=EF2,∴2m2= ( − 1 m2+3m ) 2 ,
2
解得m=0(舍去)或 m=6+2√2或 m=6−2√2,
∴P(6+2√2,0)或 P(6−2√2,0);
②当CE=CF时,点C在EF的垂直平分线上,
∴y + y =2×(−6),
E F
1
∴m−6+ m2−2m−6=−12,
2
解得m=0(舍去)或m=2,
∴P(2,0);
③当CF=EF时,. ∴CF²=EF²,
∴m2+m2(1 m−2 ) 2 = ( − 1 m2+3m ) 2 ,
2 2
解得m=4或m=0(舍去).
∴P(4,0).
综上所述，点 P 的坐标为 (6+2√2,0)或 (6−2√2,0)或(2,0)或(4,0).
3. 解: (1)∵OB=3OA=3√3,∴OA=√3,
∴A(- √3,0),B(3 √3,0),
∵C(0,3),
∴ 抛物线的解析式为 y=ax²+bx+3,
∴将A，B 两点坐标代入抛物线解析式，1
{ a=−
{ 3a−√3b+3=0 3
,
得 解得
27a+3√3b+3=0 2√3
b=
3
1 2√3
∴抛物线的解析式为 y=− x2+ x+3;
3 3
(2)【思路点拨】看见求比例关系或线段比值，可考虑利用相似三角形的比例关系求解.
如解图①,过点D作DG⊥x轴于点G,交BC于点F,过点 A 作AK⊥x轴交直线 BC 于点 K,
设直线 BC的解析式为y=kx+d(k≠0),将B(3 √3,0),C(0,3)分别代入y=kx+d,
{3√3k+d=0
,
得
d=3
{ √3
k=− ,
,
解得 3
d=3
√3
∴直线 BC 的解析式为 y=− x+3,
3
∵A(−√3,0),
∴K(−√3,4),∴AK=4,
设点 D ( p,− 1 p2+ 2√3 p+3 ) ,则 F ( p,− √3 p+3 ) ,
3 3 3
1
∴DF=− p2+√3p,
3
∵DG⊥x轴,AK⊥x轴,
∴AK∥DG,△DFE∽△AKE,
1
− p2+√3p
2
DE DF 3 1 ( 3√3) 9
∴ = = =− p− + ,
AE AK 4 12 2 16
1
∵− <0,0<p<3√3,
12
3√3 DE 9
∴当 p= 时 取得最大值，最大值为 ;
2 AE 16
(3)存在，点M的坐标为 (√3,−2√6)或( √3,2 √6)或( √3,0)或( (√3,√33+3)或 (√3,−√33+3).
【解法提示】∵ 点 M 是抛物线对称轴上一点，∴ 设M( √3,m),∵B(3 √3,0),C(0,3),∴BC²=36,BM²=
12+m²,CM²=3+(3−m)²,如解图②，分三种情况：①当CM=BM时,作线段
BC 的垂直平分线,交BC于点 F，
(3√3 3) √3
交抛物线对称轴于点 M ,∴F , ,∵ 直线 BC 的解析式为 y=− x+3,∴设直线 M₁F的解析式为
1 2 2 3
y=√3x+f ,，将点 F 的坐标代入得 y=√3x-3,∴M₁( √3,0);②当BC=BM时,以点B为圆心,BC长为半径画弧，交抛物线对称轴于点M₂，M₃， ∵BC²=MB²,∴36=12+m²,解得 m =2√6,m =−2
1 2
√6,∴M (√3,2√6),M (√3,−2√6);;③当 CM=BC时，以点C 为圆心，BC长为半径画弧，交抛物线对称轴于
2 3
点 M₄,M₅,∵CM²=BC²,∴3+(3−m)²=36,解得 m =√33+3,m =−√33+3,∴M (√3,√33+3),
1 2 4
M (√3,−√33+3).综上所述，点M的坐标为( √3,0)或( √3,2 √6)或( (√3,−2√6)或 (√3,√33+3)或
5
(√3,−√33+3).
