直角三角形问题
一阶 方法突破练
1.如图，在正方形网格中有格点A，B，在所给网格中确定格点C，使得 △ABC是以 AB 为直角边的直角三角
形.
2.如图，在平面直角坐标系中，直线AB分别与x轴，y轴交于点A(3,0),B(0,4),点P为y轴上一点,当 △PAB为
直角三角形时，求点P的坐标.
1 3
3.如图，已知抛物线 y= x2− x−5与x轴交于A，B两点，与y轴交于点 C.若在抛物线上存在一点 P，使
2 2
得 △BCP是以 BC为直角边的直角三角形，求出点P的坐标.二阶 设问进阶练
1
例 已知抛物线L: y=− x2+x+4与 x 轴交于点 A(−2,0),B(4,0),与y轴交于点 C,顶点为D.
2
(1)如图①,若点 E 是y轴上一点,且. ∠AEB=90°,,求点 E 的坐标；
(2)如图②，连接BD，在x轴上是否存在一点G，使得 △BDG为直角三角形?若存在，求出点G的坐标；若不
存在，请说明理由；
(3)如图③，连接AC，在抛物线的对称轴上存在一点 F，使得 △ACF是以AC为直角边的直角三角形，求出
点 F的坐标；(4)如图④，点N是第一象限抛物线上的一点，连接AN，若点N到x轴的距离为d，点C关于x轴的对称点为
C',直线 BC' 上是否存在一点 H，使得. △ANH为直角三角形，且 Rt△ANH的面积为3d，若存在，请求出点H的
坐标；若不存在，请说明理由；
(设问源自2022遂宁中考)
(5)如图⑤，将抛物线向左平移2个单位，得到的新抛物线. L' 与原抛物线交于点 C.记新抛物线的顶点为M，连
接AM，在y轴上是否存在一点 Q，使得 △AMQ为直角三角形?若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理
由.综合强化练
1
1. 创新题·规律探究 如图，已知抛物线 C :y =− x2+x+2n(n为正整数)与x轴交于 Mₙ , Aₙ (ₙb ,0)两点(点
n n n
Mₙ在点 Aₙ 的左侧).
(1)抛物线y₂y₂的顶点坐标为 ；抛物线yn的顶点坐标为 ( 用含 n 的代数式表 yₙ 示);
(2)求证: Aₙ A₋ₙ₁=Aₙ ₋₁Aₙ ₋₂;
(3)若设抛物线( Cₙ 的顶点坐标为 Pₙ ,，是否存在n使得 △M₃Pₙ A是ₙ直角三角形，若存在，请求出n的值；
若不存在，请说明理由.
作图区 答题区2.如图，抛物线 y=ax²+bx+3(a≠0)与x轴交于A，B 两点(点 B 在点 A 的右侧)，与y轴交于点
C,OB=OC,抛物线的对称轴l为直线. x=1.
(1)求a,b的值;
(2)点P为抛物线的对称轴上一点，连接AC，CP，AP，当 △ACP的周长最小时，求点 P的坐标；
(3)(y轴上的动点)在(2)的条件下，在y轴上是否存在一点Q，使得以A，P，Q为顶点的三角形为直角三角形?
若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.
作图区 答题区3.如图，抛物线 y=ax²+bx+3(a≠0)与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，直线BC的解析式为
3
y=− x+3,且 AB=CB,点M是线段BC的中点,连接AC,AM.
4
(1)求抛物线的解析式；
5
(2)创新题·重叠图形面积关系 将 △ACM沿x轴向右平移 m(0<m< )个单位长度得到
2
△A'C'M',A'C',A'M分别与 BC交于点 Q,N,设 △ABC与 △A'C'M' 重叠部分的面积为S，求S
关于m的函数关系式；
27
(3)(直线上的动点)在(2)的条件下，若 S= ,试探究在直线 C'M上是否存在点 P，使得 △ACP
20
为直角三角形?若存在，求出点 P的坐标；若不存在，请说明理由.
作图区 答题区考向2 直角三角形问题
一阶 方法突破练
1.解：格点C的位置如解图所示.
2.解:设点P(0,p),分两种情况讨论:
①当AB 为直角边时，只存在点 A 为直角顶点的情况.
∵A(3,0),B(0,4),
∴AB²=3²+4²=25,AP²=3²+p²=9+p²,BP²=(4−p)².
9
根据勾股定理得 AB²+AP²=BP²,即 25+9+p²=(4−p)²,解得 p=− .
4
( 9)
∴P 0,− ;
4
②当AB 为斜边时，同理可得 AB²=AP²+BP²,即 25=9+p²+(4−p)²,
解得p=0或p=4(不符合题意,舍去),∴P(0,0).
( 9)
综上所述，点P的坐标为 0,− 或(0,0).
4
【一题多解】设点 P(0,p),分两种情况讨论：①当AB 为直角边时，如解图,过点 A 作 AP
⊥AB,∴∠OAP + ∠OPA = 90°, ∠OAP +∠OAB=90°,∴∠OPA=∠OAB,又∵∠AOB=∠AOP=90°,∴
OA⋅OA 9 ( 9)
△AOB∽△POA,∴OA/O=O⁰B,∵A(3,0),B(0,4)∴OA=3, OB=4,∴OP= = ,∴P 0,− ;
OB 4 4
( 9)
②当AB为斜边时，由解图可知，P(0，0).综上所述，点 P 的坐标为 0,− 或(0,0).
4
1 3
3. 解:∵ 抛物线 y= x2− x−5与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C,∴B(5,0),C(0,-5),如解图，分两种情
2 2
况：①当 ∠CBP₁=90°时,△BCP₁ 是以BC 为直角边的直角三角形，设直线BP₁交y轴于点 Q.
∵OB=OC,∴∠ABC=45°,
∵∠CBP₁=90°,∴∠ABP₁=45°,∴Q(0,5).
∴直线 BQ 的解析式为 y =-x+5,
{
y=−x+5
由题意得 y= 1 x2− 3 x−5 ,
2 2{x =−4 {x =5
1 , 2
解得 (不合题意，舍去)，∴P₁(-4,9).
y =9 y =0
1 2
②当 ∠BCP₂=90°时，△BCP₂是以BC为直角边的直角三角形，
∴CP₂∥BQ,直线CP₂的解析式为yy=-x-5,
{
y=−x−5
由题意得 y= 1 x2− 3 x−5 ,
2 2
{ x =1 { x =0
1 , 2
解得 (不合题意，舍去)，
y =−6 y =−5
1 2
∴P₂(1,-6).
综上所述,点P的坐标为(-4,9)或(1, -6).
二阶 设问进阶练
例 解:(1)∵A(-2,0),B(4,0),∴AB=6,设E(0,m),
∵∠AEB=90°,∴AE²+BE²=AB²,
∵AB²=36,AE²=m²+(−2)²,BE²=m²+4²,
∴m²+(−2)²+m²+4²=36,
解得 m =−2√2,m =2√2,
1 2
∴ 点 E 的坐标为 (0,2√2)或 (0,−2√2);
【一题多解】如解图①，以 AB 为直径作圆，交y轴于点 E₁,E₂,∴∠AE₁B=∠AE₂B=90°,点 E₁,E₂ 即为所求,∵
∠AE₁O + ∠E₁AO = 90°, ∠AE₁O + ∠BE₁O=90°,∴∠E₁AO=∠BE₁O,又∵ ∠AOE₁=
OA OE
∠E OB=90❑∘,∴AOE ∼E OB,∴ = 1,∵A(-2,0),B(4,0),∴OA=2,OB=4,∴OE₁=
1 1 1 OE OB
1
2√2,∴E (0,2√2);；同理可求 E (0,−2√2).综上所述,点E的坐标为(0,2 √2)或( (0,−2√2).
1 2
(2)存在.
1 1 9
∵ 抛物线 y=− x2+x+4=− (x−1) 2+ ,
2 2 2
9
∴点D的坐标为(1, ),设点G 的坐标为(e,0).
2
∴BD2=(1−4) 2+
(9) 2
=
117
,DG2=(1−e) 2+
(9) 2
,BG2=(e−4) 2,
2 4 2
要使得△BDG为直角三角形，分三种情况讨论：
①当∠BGD=90°时,即DG⊥BG,∴G(1,0);
②当∠BDG=90°时, BD²+DG²=BG², ∴ 117 +(1−e) 2+ (9) 2 =(e−4) 2,解得 e=− 23 ,即 G ( − 23 ,0 ) ;
4 2 4 4
③当∠DBG=90°时,此种情况不存在.
( 23 )
综上所述，点G的坐标为(1，0)或 − ,0 ;
4(3)∵抛物线的对称轴为直线x=1,∴设F(1,f).
∵抛物线与y轴交于点C,∴C(0,4),
∴AC²=2²+4²=20,CF²=1²+(f −4)²,AF²=f ²+3²,要使得△ACF 是以AC 为直角边的直角三角形，分两
种情况讨论：
①当∠ACF=90°时,即. AC²+CF²=AF².
7 ( 7)
∴20+(f −4)²+1²=f ²+3²,解得 f = ,∴F 1, ;
2 2
②当∠CAF=90°时,即 AC²+AF²=CF².
3 3
∴20+f ²+3²=(f −4)²+1²,解得 f =− ,∴F(1, − ).
2 2
( 7) ( 3)
综上所述，点F的坐标为 1, 或 1,− ;
2 2
(4)存在,
如解图②,连接 BN,∵ 点N到x轴的距离为 d, A (- 2,0),B(4,0),
1
∴ AB = 6, S△ABW =
×6×d=3d,
2
∴S =S ,
ABN ANH
∴ 点 B,H 到线段AN的距离相等,
∴AN∥BH,
∵C(0,4),C'为点C关于x轴的对称点,
∴C'(0,-4),
{4k+b=0 { k=1
, ,
设直线 BC'的解析式为y=kx+b(k≠0),则 解得
b=−4 b=−4
∴ 直线 BC'的解析式为y=x-4,设AN所在直线的解析式为y=x+n，
{ y=− 1 x2+x+4 {x =2 {x =−2
∵A(-2,0),∴AN所在直线的解析式为y=x+2,联立 2 , 解得 1 , 1 (舍去),
y =4 y =0
y=x+2 1 1
∴N(2,4),
分三种情况讨论：
①以点 N 为直角顶点时,过点 N 作 NH₁⊥AN 交BC'于点 H₁,
∴ 设 NH₁所在直线的解析式为 y=−x+n₁,
∵N(2,4),
{y=−x+6 {x=5
, ,
∴NH₁所在直线的解析式为y=-x+6,联立 解得
y=x−4 y=1
∴H₁(5,1);
②以点A为直角顶点时,过点A作AH₂⊥AN交BC'于点 H₂,
设AH₂所在直线的解析式为 y=−x+n₂,
∵A(-2,0),
{y=−x−2 { x=1
, ,
∴AH₂所在直线的解析式为y=-x-2,联立 解得
y=x−4 y=−3
∴H₂(1,-3);
③以点 H为直角顶点时，以AN 为直径作圆，与直线 BC'无交点，即此种情况不存在，
综上所述,点H的坐标为(5,1)或(1,-3);
9
(5)存在,由(2)可知点D 的坐标为((1, ),
2
( 9)
∴平移后的新抛物线的顶点为 M −1, ,设点(Q(0,y),∵A(-2,0),
2∴AM2= 85 ,MQ2=12+ (9 −y ) 2 ,AQ2=(−2) 2+ y2,分情况讨论：
4 2
①如解图③，当AM 为直角边时，分别过点 M，A 作AM 的垂线,交y轴于点 Q₁,Q₂,
(i)由勾股定理得
AM2+MQ2=AQ2,
1 1
故 85 +12+ (9 −y ) 2 =(−2) 2+ y2,解得 y= 77 ,
4 2 18
( 77)
∴Q 0, ;
1 18
(ii)同理,
AQ2+AM2=MQ2,
2 2
故 (−2) 2+ y2+ 85 =12+ (9 −y ) 2 ,解得 y=− 4 , ∴Q ( 0,− 4) ;
4 2 9 2 9
②如解图③,当AM 为斜边时,取线段AM 中点 P,以点 P 为圆心，AP 长为半径画弧，交 y 轴于点Q₃,Q₄,
同理得， AM²=AQ²+MQ²,
故 85 =(−2) 2+ y2+12+ (9 −y ) 2 ,
4 2
1
解得y=4或 y= ,
2
1
∴Q₃(0,4),Q₄(0, ),
2
( 77) ( 4) ( 1)
综上所述，点Q的坐标为 0, 或 0,− 或(0,4)或 0, .
18 9 2
三阶 综合强化练
1. (1)解: ( 1, 9) ; (n , 9n) ; 【解法提示】∵抛物线 y =−x2+x+2=− ( x− 1) 2 + 9 ,∴抛物线y₁ 的顶点坐标
2 2 4 1 2 4
为 (1 , 9) ,∵抛物线 y =− 1 x2+x+4=− 1 (x− 1) 2+ 9 ,.抛物线y₂的顶点坐标为( ( 1, 9) ,同理可得抛物线y₃的
2 4 2 2 2 2 2
(3 27) (n 9n)
顶点坐标为( , ,∴依此类推，第n条抛物线yn的顶点坐标为 , .
2 4 2 4
1 1
(2)证明:∵ C :y =− x2+x+2n=− (x−2n)(x+n)(n为正整数),
n n n n
∵点Mn在点An的左侧,
∴Mₙ(-n,0), An(2n,0),
∴Aₙ ₋₁(2n−2,0),
∴Aₙ A₋ₙ₁=2,
同理 Aₙ ₋₁Aₙ ₋₂=2,
∴Aₙ A₋ₙ₁=Aₙ ₋₁Aₙ ₋₂;9
(3)解:不存在,理由如下:由(1)(2)得,抛物线 Cn的顶点坐标Pn为((π/2, ),M₃(-3,0), An(2n,0).
4
∴AₙM ₃=2n+3,
∵△M₃PnAₙ是直角三角形,
∴M₃Pn⊥AnPn,
∴M P2+A P2=A M2 即可，
3 n n n n 3
即 (n +3 ) 2 + (9n) 2 + ( 2n− n) 2 + ( − 9n) 2 =(2n+3) 2,解得 n= 24 或n=0(舍去).
2 4 2 4 23
∵n为正整数，
∴不存在n使得△M₃PₙAₙ是直角三角形.
2. 解:(1)a=-1,b=2;
(2)【思路点拨】一般求线段和的最小值或周长最小值，可考虑利用对称性，即“将军饮马”原理.
∵要使△ACP 周长最小,AC为定值,则需使 PC+PA 最小,由抛物线的性质知，点 A 与点B 关于对称轴对称，
如解图①，连接BC交对称轴l于 点 P, 连接 AP, 则此时△ACP 的周长最小,
由对称的性质知,PA=PB,
∴C =PC+PA+AC=BC+AC,
ACP
∵B(3,0),C(0,3),
∴ 直线 BC 的解析式为y=-x+3,
将x=1代入y=-x+3,得y=2,
∴P(1,2);
(3)存在.
①当∠APQ=90°时,如解图②,
∵A(-1,0),P(1,2),∴AP=2 √2,
∵A(-1,0),C(0,3),∴AC= √10,
∵∠APQ=90°,∴QP= √2,
∵ C(0,3),P(1,2),∴PC= √2,
∴此时点Q与点C重合,∴Q(0,3);
②当∠PAQ=90°时,如解图③,
∵A(-1,0),P(1,2),∴∠PAB=45°,
∵∠PAQ=90°,∴∠QAO=45°,∴QO=AO=1,
∴Q(0,-1);
③当∠PQA=90°时,如解图④,过点Q作x轴的平行线MN，交直线l于点 N，过点A作y轴的平行线，交MN
于点M,∵ ∠PQA=90°,∴∠MQA+∠NQP=90°,
∵∠MQA+∠QAM=90°,∴∠NQP=∠QAM,
又∵∠QMA=∠PNQ=90°,∴△QAM∽△PQN,
AM QM
∴ = ,
QN PN
设Q(0,x),
x 1
∴ = ,解得 x =1+√2,x =1−√2,
1 x−2 1 2
∴点 Q 的坐标为( (0,1+√2)或 (0,1−√2).
综上所述,点 Q 的坐标为(0,3) 或(0,-1) 或 (0,1+√2)或 (0,1−√2).
3 9
3.解：(1)抛物线的解析式为
y=− x2+ x+3;
4 4
(2)【思路点拨】可用m表示出所求三角形面积的底和高，然后利用三角形面积公式，表示出S即可.
如解图①,过点 Q 作 QD⊥x轴于点 D,过点 N 作 NE⊥x轴于点 E,
∵ AB=BC,∴△ABC 是等腰三角形,∵A'C'∥AC,
∴△A'BQ是等腰三角形,
∵AB=5,AA'=m,点 M 是线段BC的中点，
5
∴A'B=BQ=5−m,BM= ,
2
∵∠COB=∠QOB=90°,∠OBC=∠DBQ,
∴△OBC∽△DBQ,
OC BC 3 5
∴ = , 即 = ,
DQ BQ DQ 5−m
3
∴DQ= (5−m),
5
1 1 3 3
∴S = A'B⋅DQ= (5−m)× (5−m)= (5−m) 2,
A'BQ 2 2 5 10
∵ AM∥A'M',∴△A'BN∽△ABM,
BN A'B BN 5−m 1
∴ = ,即 = ,∴BN= (5−m),
BM AB 5 5 2
CO NE 3
∵sin∠CBO= = = ,
BC BN 5
3 3 1 3
∴NE= BN= × (5−m)= (5−m),
5 5 2 10
1 1 3 3
∴S = A'B⋅NE= (5−m)⋅ (5−m)= (5−m) 2,
A'BN 2 2 10 20
3 3 3
∴S=S −S = (5−m) 2− (5−m) 2= (5−m) 2;
A'BQ A'BN 10 20 20
(3)存在.
3 27
∵S= (5−m) 2,∴当 S= 时,解得m=2或m=8,
20 20
5
∵0<m< ,∴m=2,∴C'(2,3),
2
∵ 点 M 是线段 BC 的中点,3
∴M(2, ),∴C'M∥y轴.
2
如解图②，当. ∠CAP₁=90°时,设直线 C'M 与x轴交于点 F,
易证△AOC≌△P₁FA,
∴P₁F=AO=1,
∴P₁(2,-1).
当 ∠ACP₂=90°时,连接CC',
易证△CC'P₂∽△COA,
C'P CC' C'P 2
∴ 2= ,即 2= ,
OA CO 1 3
2 2
∴C'P = ,∴P F=3−
2 3 2 3
7
= ,
3
( 7)
∴P 2, ,
2 3
( 7)
综上所述，点P的坐标为(2，-1)或 2, .
3
