专题16二次函数中的相似三角形（解析版）_初中数学人教版_9下-初中数学人教版_07专项讲练_微专题2022-2023学年九年级数学下册常考点微专题提分精练（人教版）

专题16 二次函数中的相似三角形 1．已知，如图二次函数 的图象与 轴交于点 ，与 轴交于点 ， ， 点 ，抛物线的对称轴为 ，直线 交抛物线于点 ． （1）求二次函数的解析式并写出 点坐标； （2）点 是 中点，点 是线段 上一动点，当 和 相似时，求点 的坐标． 【解答】解：（1）由题可得： ， 解得： ， 二次函数的解析式为 ． 点 在抛物线上， ， 点 的坐标为 ．（2）过点 作 于点 ，如图， 点 ，点 ， ， ， ， ， ． 点 为 的中点， ． 令 得 ， 解得： ， ， 点 为 ， ． ①若 ， 则 ， ， 解得： ， ， 点 的坐标为 ； ②若 ， 则 ， ，， ， 点 的坐标为 ， ． 综上所述：点 的坐标为 或 ， ． 2．如图，平面直角坐标系中，点 、 、 在 轴上，点 、 在 轴上， ， ， ，直线 与经过 、 、 三点的抛物线交于 、 两点，与其 对称轴交于 ．点 为线段 上一个动点（与 、 不重合）， 轴与抛物线交于点 ． （1）求经过 、 、 三点的抛物线的解析式； （2）是否存在点 ，使得以 、 、 为顶点的三角形与 相似？若存在，求出满足条件 的点 的坐标；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1） ， ， ，， ， ， ， 设函数解析式为 ， ，解得 ， 经过 、 、 三点的抛物线的解析式为： （2） ， ； 所以直线 ； 联立 ， 解得 ， ， ， ； 设 点坐标为 ， ，则 ； ； 由条件容易求得 ， ， 若以 、 、 为顶点的三角形与 相似，则 为等腰直角三角形； ①以 为直角顶点， 为斜边； ， 即： ， 解得 ， （不合题意舍去） ， ； ②以 为直角顶点， 为斜边； ， 即： ，解得 ， （不合题意舍去） ， 故存在符合条件的 点，且 点坐标为 ， 或 ， ． 3．如图，抛物线 与 轴相交于 、 ，与 轴相交于点 ，过点 作 轴，交抛物线点 ． （1）求梯形 的面积； （2）若梯形 的对角线 、 交于点 ，求点 的坐标，并求经过 、 、 三点的抛 物线的解析式； （3）点 是直线 上一点，且 与 相似，求符合条件的 点坐标． 【解答】解：（1） ， 当 时， ， 解得： ， ， 当 时， ，， ， ， 轴， 点的纵坐标也是 ， 把 代入 得： ， 解得： ， ， 点的坐标是： ， ， ． 所以梯形 的面积是8． （2）由抛物线的对称性有 ， 过 作 于 ， ， ， ， ， 设：经过 、 、 三点的抛物线的解析式为： ， 把 代入解得： ，所以经过 、 、 三点的抛物线的解析式是： ， 即 ． （3）当点 在 的右侧， 当 时， ， ， ， 设 ， ， 由勾股定理得： ， （此时 舍去）， ， ， ； 当 时， ， ， ， ， ， ， 四边形 是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ，当点 在 的左侧，由题意有钝角 钝角 ，此时不存在． 所以符合条件的 点坐标是 和 ， ． 4．已知二次函数 的图象与 轴分别交于 、 两点（点 在点 的左边），以 为直径作 ， 与 轴正半轴交于 ，点 为劣弧 上一动点，连接 、 两弦 相交于点 ，连接 ， ， （1）求点 的坐标； （2）若 的半径为3时，求 的值； （3）请探索当点 运动到什么位置时，使得 与 相似，并给予证明． 【解答】解：（1）由抛物线的解析式可得对称轴为： ； 由于 、 是抛物线与 轴的交点，且 是 的直径，由抛物线和圆的对称性知： ． （2）若 的半径为3，则 ， ； 则抛物线的解析式为： ； 故 ． （3）当 点运动到劣弧 的中点时， 与 相似； 证明：如图； 是劣弧 的中点， ； 又 是 的直径， ， ．5．如图，直线 分别交 轴、 轴于 、 两点， 绕点 按逆时针方向旋转 后得到 ，抛物线 经过 、 、 三点． （1）填空： ， 、 ， 、 ， ； （2）求抛物线的函数关系式； （3） 为抛物线的顶点，在线段 上是否存在点 ，使得以 、 、 为顶点的三角形与 相似？若存在，请求出点 的坐标；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）直线 中， ，则 ； ，则 ； ， ； 根据旋转的性质知： ，即 ； ， ， ；（3分）（2） 抛物线 经过 点， ； 又 抛物线经过 ， 两点， ，解得 ；（5分） ；（6分） （3）过点 作 轴垂足为点 ； 由（2）得 ． ， ； （7分） ， ； ， ；（8分） ①当 时， ， 则 ， （9分） 过点 作 轴，垂足为点 ； ， 设 ，则 在 中， ．， ， （不合题意，舍去）（10分） 又 ， ， ；（11分） ②当 时， ，则 ， ； ， （不合题意，舍去）（13分） 综上所述，存在点 ，使得以 、 、 为顶点的三角形与 相似，此时点 的坐标为 ， ．（14分） 6．已知：二次函数 的图象与 轴交于 ，与 轴交于点 ， （1）求该二次函数的关系式； （2）求点 的坐标，并判断 的形状，说明理由； （3）点 是该抛物线 轴上方的一点，过点 作 轴于点 ，是否存在 ，使得 与 相似？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1） 二次函数 的图象经过点 、点 ， ， 解得： ， 二次函数的关系式为 ． （2）令 ，得 ， 解得： ， ， 点 的坐标为 ． 是直角三角形． 理由： ， ， ， ， ， ． ． ， ， ， ， ， 是直角三角形．（3）①点 在第一象限，如图1． Ⅰ．若 ， 则有 ． 设 ，则 ， 点 的坐标为 ． 把点 代入 ，得： ， 解得： （舍去）， ． 点 的坐标为 即 ； Ⅱ．若 ， 则有 ． 设 ，则 ， 点 的坐标为 ． 把点 代入 ，得： ， 解得： （舍去）， ． 点 的坐标为 即 ； ②点 在第二象限，如图2． Ⅰ．若 ， 则有 ． 设 ，则 ，点 的坐标为 ． 把点 代入 ，得： ， 解得： （舍去）， （舍去）； Ⅱ．若 ， 则有 ． 设 ，则 ， 点 的坐标为 ． 把点 代入 ，得： ， 解得： （舍去）， （舍去）． 综上所述：符合题意的点 的坐标为 或 ．7．如图，抛物线经过 ， ， 三点． （1）求出抛物线的解析式； （2） 是抛物线上一动点，过 作 轴，垂足为 ，是否存在 点，使得以 ， ， 为顶点的三角形与 相似？若存在，请求出符合条件的点 的坐标；若不存在，请说明理由； （3）在直线 上方的抛物线上有一点 ，使得 的面积最大，求出点 的坐标． 【解答】解：（1） 该抛物线过点 ， 可设该抛物线的解析式为 ． 将 ， 代入， 得 ， 解得 ， 此抛物线的解析式为 ； （2）存在．如图，设 点的横坐标为 ，则 点的纵坐标为 ， 当 时， ， ． 又 ， ①当 ， 在抛物线上， ， ， ， ， 即 ． 解得 ， （舍去）， ． ②当 时， ，即 ． 解得 ， （均不合题意，舍去） 当 时， ， 当 时， ， ， ① 或② ， 把 代入得： ， ， 解得：第一个方程的解是 （舍去） （舍去）， 第二个方程的解是 ， （舍去） 求出 ， ，则 ， 当 时， ， ． ① 或 ， 则： ， ， 解得：第一个方程的解是 （舍去）， （舍去），第二个方程的解是 （舍去）， ， 时， ， 则 ， 综上所述，符合条件的点 为 或 或 ， （3）如图，设 点的横坐标为 ，则 点的纵坐标为 ． 过 作 轴的平行线交 于 ． 由题意可求得直线 的解析式为 ． 点的坐标为 ． ， ， ， 当 时， 面积最大， ．8．如图，抛物线 与直线 交于 ， 两点，交 轴于 ， 两点，连 接 ， ，已知 ， ． （Ⅰ）求抛物线的解析式和 的值； （Ⅱ）在（Ⅰ）条件下： （1） 为 轴右侧抛物线上一动点，连接 ，过点 作 交 轴于点 ，问：是否存在 点 使得以 ， ， 为顶点的三角形与 相似？若存在，请求出所有符合条件的点 的坐 标；若不存在，请说明理由． （2）设 为线段 上一点（不含端点），连接 ，一动点 从点 出发，沿线段 以每秒 一个单位速度运动到 点，再沿线段 以每秒 个单位的速度运动到 后停止，当点 的坐标 是多少时，点 在整个运动中用时最少？ 【解答】解：（Ⅰ）把 ， 代入 ，得， 解得： ． 抛物线的解析式为 联立 ， 解得： 或 ， 点 的坐标为 ． 如图1． ， ， ， ， ， ， ， 是直角三角形， ， ； （Ⅱ）方法一： （1）存在点 ，使得以 ， ， 为顶点的三角形与 相似． 过点 作 轴于 ，则 ． 设点 的横坐标为 ，由 在 轴右侧可得 ，则 ． ， ，． 若点 在点 的下方， ①如图2①，当 时，则 ． ， ， ， ． ． 则 ． 把 代入 ，得 ， 整理得： 解得： （舍去）， （舍去）． ②如图2②，当 时，则 ． 同理可得： ，则 ， 把 代入 ，得 ， 整理得： 解得： （舍去）， ， ， ； 若点 在点 的上方， ①当 时，则 ，同理可得：点 的坐标为 ． ②当 时，则 ． 同理可得：点 的坐标为 ， ． 综上所述：满足条件的点 的坐标为 、 ， 、 ， ； 方法二： 作 的“外接矩形” ，易证 ， ， 以 ， ， 为顶点的三角形与 相似， 或 ， 设 ， ， ， ① ， ， ， ， ② ， ， ，（舍 ， 满足题意的点 的坐标为 、 ， 、 ， ； （2）方法一： 过点 作 轴于 ，如图3． 在 中， ，即 ， 点 在整个运动中所用的时间为 ．作点 关于 的对称点 ，连接 ， 则有 ， ， ， ， ． 根据两点之间线段最短可得： 当 、 、 三点共线时， 最小． 此时， ， 四边形 是矩形， ， ． 对于 ， 当 时，有 ， 解得： ， ． ， ， ， ， 点 的坐标为 ． 方法二： 作点 关于 的对称点 ， 交 于点 ，显然 ， 作 轴，垂足为 ，交直线 于点 ，如图4， 在 中， ，即 ， 当 、 、 三点共线时， 最小， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， 为 的中点， ， ， ． 方法三：如图，5，过 作射线 轴，过 作射线 轴， 与 交于点 ． ， ， ． ， ， ， ， ． ． 当 且 仅 当 时 ， 取 得 最 小 值 ， 点 在 整 个 运 动 中 用 时 最 少 为 ： ， 抛物线的解析式为 ，且 ， 可求得 点坐标为 则 点横坐标为2，将 代入 ，得 ． 所以 ．9．如图，已知抛物线 （且 与 轴分别交于 、 两点， 点在 点左边， 与 轴交于 点，连接 ，过 点作 交抛物线于 点，0为坐标原点． （1）用 表示点 的坐标 ， ； （2）若 ，连接 ， ①求出点 的坐标； ②在 轴上找点 ，使以 、 、 为顶点的三角形与 相似，求出 点坐标； （3）若在直线 上存在唯一的一点 ，连接 、 ，使 ，求 的值． 【解答】解：（1）当 时， ， 点 的坐标为 ． 故答案为： ； （2）① ， 抛物线的解析式为 ．当 时， ，则点 ， ； 当 时， ， ， 则点 ，点 ， ， ． ， ， ， ，即 ． 设直线 的解析式为 ， 则 ， 解得： ， 直线 的解析式为 ， 联立 ， 解得： 或 ， 点 的坐标为 ； ②过点 作 轴于 ，如图1， 则 ， ， ， ． ， ． Ⅰ．若 ，则 ． ， ， ，， ， 点 的坐标为 ， 即 ， ； Ⅱ．若 ，则 ， ， ， 点 的坐标为 ， 即 ， ； 综上所述：满足条件的 点坐标为 ， 或 ， ； （3） 直线 上存在唯一的一点 ，使得 ， 以 为直径的圆与直线 相切于点 ，圆心记为 ，连接 ，如图2， 则有 ， ． 当 时， ，则点 ， 当 时， ，解得 ， ， 则点 ， ， ， ， ， ， ， ． ， ，， ， ， ， 解得： ． 10．如图，设抛物线 与 轴交于两个不同的点 、 ，对称轴为直线 ，顶点记为点 ．且 ． （1）求 的值和抛物线的解析式； （2）已知过点 的直线 交抛物线于另一点 ．若点 在 轴上，以点 、 、 为顶 点的三角形与 相似，求点 的坐标； （3）在（2）的条件下， 的外接圆半径等于 或 ．（直接写答案）【解答】解：（1） 抛物线 与 轴交于两个不同的点 、 ，对称轴为直 线 ， 点 的坐标为 ， 即 ， ， ， 点 的坐标为 ， 设抛物线的解析式为 ， 将点 ． 代入， 则 ， 抛物线的解析式为 ； （2）联立直线 与二次函数解析式得： 解得： ， ， ， ， 与 相似分为以下两种情况：①当 时得： ， ②当 时得： ， 综上所述： 或 ， ． （3）当点 时 线段 的垂直平分线为 线段 的垂直平分线为 联立方程组：解得圆心坐标为 外接圆半径为 同理：当点 坐标为 ， 线段 的垂直平分线为 线段 的垂直平分线为 联立方程组： 解得圆心坐标为 ， 外接圆半径为 综上所述：外接圆半径为 或 ． 11．如图，已知矩形 ，点 ， 分别在 ， 轴上，抛物线 经过 ， 两点，且与 轴交于点 ．动点 从点 出发，以每秒1个单位的速度沿射线 方 向运动，设 运动的时间为 （秒 ，射线 交抛物线于 ． （1）求抛物线的解析式； （2）连接 ，是否存在这样的时刻 ，使得 ？若存在请求出 的值；若不存在，请说明理由． （3）连接 和 ，若 ，求 的取值范围． 【解答】解：（1） 抛物线 经过 ， 两点，且与 轴交于点 ， ， 解得 ， ， ， 所以抛物线解析式为 ； （2） ， ， ，四边形 为矩形， ， ， ， ， 如图1，当 时， ， ， ， ， ， ， ，即 ， ， （秒 ， 当 秒时，使得 ； （3）设 所在直线的解析式为 ，由 过点 和 ，， 解得 ， ， 由 ，解得 或 ， 点 的坐标为 ， ， ， ， 当点 在线段 上，且 时，如图2， ， ， ， ，即 ， 解得 ， ； 当点 在点 的上方，且 时， 如图3，过点 作 于 ， 由（1）知 ，则 ， ， 过点 作 ，交 的延长线与 ， ， ， ， ， 设 ， ，则 ， ， ， ， ，即 ，解得 ， ， ， 若 ， 的取值范围为 ． 12．如图，抛物线 经过 、 ，点 在抛物线上， 轴，且 平 分 ． （1）求抛物线的解析式； （2）线段 上有一动点 ，过点 作 轴的平行线，交抛物线于点 ，求线段 的最大值； （3）抛物线的对称轴上是否存在点 ，使 是以 为直角边的直角三角形？如果存在，求 出点 的坐标；如果不存在，说明理由．【解答】解：（1）如图1， ， ， ， ． ， ． ， 平分 ， ． ． ． ， ， ， 点 的坐标为 ． 、 、 在抛物线 上， 解得： 抛物线的解析式为 ． （2）如图2，设直线 的解析式为 ， ， 、 在直线 上， 解得： 直线 的解析式为 ． 设点 的横坐标为 ，则点 的横坐标也为 ． ， ． ． ， ， 当 时， 取到最大值，最大值为 ． 线段 的最大值为 ． （3）①当 时，如图3所示．抛物线的对称轴为 ． ． ． ． ， ． ， ， ． ． ． 解得： ． 点 的坐标为 ， ． ②当 时，如图4所示． ， ， ， ． 同理： ． ， ， ． ．． 解得： ． ． 点 的坐标为 ， ． 综上所述：符合要求的点 的坐标为 ， 和 ， ．13．如图已知点 和点 都在抛物线 上． （1）求 、 ； （2）向右平移上述抛物线，记平移后点 的对应点为 ，点 的对应点为 ，若四边形 为菱形，求平移后抛物线的表达式； （3）记平移后抛物线的对称轴与直线 的交点为点 ，试在 轴上找点 ，使得以点 、 、 为顶点的三角形与 相似． 【解答】解：（1）由于抛物线经过点 和点 ，则有： ，解得 ； 故 ， ．（2）由（1）得： ； 由 、 ，可得 ； 若四边形 为菱形，则 ，即 ； 故抛物线需向右平移5个单位，即： ． （3）由（2）得：平移后抛物线的对称轴为： ； ， ， 直线 ； 当 时， ，故 ； 又 ， ，点 ， ， ； 由（2）知： ，即 ； 若以点 、 、 为顶点的三角形与 相似，则： ① ，则△ ，可得： ，即 ， ， 此时 ； ② ，则△ ，可得： ，即 ， ， 此时 ， ；综上所述，存在符合条件的 点，且坐标为： 或 ， ． 14．已知抛物线 与 轴交于 ， 两点， 在 的左侧），与 轴交于 ，若 ，且 ． ①求抛物线的解析式； ②设抛物线的顶点为 ，点 在抛物线的对称轴上，且 ，求点 的坐标； ③在抛物线上是否存在一点 ，过 作 轴于 ，以 、 、 为顶点的三角形与 相似，若存在，求出所有符合条件的 点坐标，若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）易知 ， ，代入抛物线的解析式中，得： ，解得 ； ． （2）如图； ，， ； 易知 ， ， 则 ， ， ； ； ①当点 在 轴上方时， 已知 ，则 ，得： ，即 ，故 ， ； ②当点 在 轴下方时，此时 、 关于 轴对称，故 ； 因此有两个符合条件的 点，且坐标为 或 ． （3） ， ， ； 又 ， 若以 、 、 为顶点的三角形与 相似， 则 或 ； 设 ，则 ； ①当 时， ， ； 若 ， ，解得 ， ； 若 ， ，解得 ， ； 由于 ，且 ，故上述四个解都不符合题意； ②当 时， ， ； 若 ， ，解得 （舍去）， ；若 ， ，解得 （舍去）， （舍去）； 故 ， ； ③当 时， ， ； 若 ， ，解得 （舍去）， ； 若 ， ，解得 （舍去）， ； 故 ， 或 ； 综上所述，存在符合条件的 点，且坐标为： ， ， ， ， ． 15．如图，一次函数 的图象与二次函数 图象的对称轴交于点 ． （1）写出点 的坐标 ， ； （2）将直线 沿 轴向上平移，分别交 轴于点 、交 轴于点 ，点 是该抛物线与该 动直线的一个公共点，试求当 的面积取最大值时，点 的坐标；（3）已知点 是二次函数 图象在 轴右侧部分上的一个动点，若 的外接圆直 径为 ，试问：以 、 、 为顶点的三角形与 能否相似？若能，请求出点 的坐标； 若不能，请说明理由． 【解答】解：（1）抛物线 的对称轴为 ， 当 时， ， 则点 的坐标为 ， ． 故答案为 ， ； （2）如图1， 设直线 的解析式为 ， 联立 ， 消去 并整理得， ， 当直线 与抛物线 相切时， △ ， 解得 ，此时直线 的解析式为 ， 令 ，可得 ， 的面积最大时，点 的坐标为 ， ； （3）过点 作 轴，如图2． 设直线的解析式为 ， 则有 ， ， ， 从而可得 ， ， ． 的外接圆直径为 ， ， ． ， ， ． ， ， ． ①若 ， 则有 ． ， ， ， ， 点 的坐标为 ． 点 在抛物线 上，， 解得： （舍去）， ， 点 的坐标为 ； ②若 ， 则有 ． ， ， ， ， 点 的坐标为 ， ． 点 在抛物线 上， ， 解得： （舍去）， ， 点 的坐标为 ， ． 综上所述：点 的坐标为 或 ， ．16．如图，已知抛物线 的顶点坐标是 ，且经过点 ，又与 轴交于点 、 （点 在点 左边），与 轴交于点 ． （1）抛物线 的表达式是 ； （2）四边形 的面积等于 ； （3）问： 与 相似吗？并说明你的理由； （4）设抛物线 的对称轴与 轴交于点 ．另一条抛物线 经过点 与 不重合），且顶点 为 ，对称轴与 轴交于点 ，并且以 、 、 为顶点的三角形与以点 、 、 为 顶点的三角形全等，求 、 的值．（只需写出结果，不必写解答过程）． 【解答】解：（1）设 的解析式为 ，由图象可知： 过 ， ， 三点．解得： 抛物线 的解析式为 ． （2） ． 抛物线 的顶点 的坐标为 ； 过 作 轴于 ，由图象可知： ， ， ， ； 令 ，则 ， 解得 ， ，则 ． ； ； ． （平方单位）． （3）如图，过 作 于 ，则 ． ． ， 又 ； ， ； 在 和 中， ， ， ；， ， ． ． （4）①当 ， ，此时 点的坐标可能为 ， ， ． ②当 ， ，此时 点的坐标可能是 ， ， ， ， 综上所述可得出 、 的值． ， ， ， ， ， ， ． 17．如图，已知抛物线 交 轴于点 和点 ，交 轴于点 ． （1）求此抛物线的解析式． （2）过点 作 交抛物线于点 ，求四边形 的面积． （3）在 轴上方的抛物线上是否存在一点 ，过 作 轴于点 ，使以 、 、 三点 为顶点的三角形与 相似．若存在，请求出 点的坐标；否则，请说明理由．【解答】解：（1） 抛物线 过 和 ， 解得 （2）令 ， ， 解得 ， ， ， ， ， 过点 作 轴于 ，则 为等腰直角三角形令 ，则 ， 点 在抛物线 上， 解得 ， （不符合题意） 四边形 的面积 ； （3）假设存在 ， ． 轴于点 ， ． 在 中， ． 在 中， 设 点的横坐标为 ，则 ①点 在 轴左侧时，则（ⅰ）当 时，有 ， 即 解得 （舍去） （舍去） （ⅱ）当 时有 即 解得： （舍去）， ②点 在 轴右侧时，则 （ⅰ）当 时有 ，解得 （舍去） ， （ⅱ）当 时有 即 解得： （舍去）， ， ， 存在点 ，使以 、 、 三点为顶点的三角形与 相似 点的坐标为 ， ， ， ． 18．如图，抛物线与 轴交于 ， 两点，与 轴交点 （1）求抛物线的解析式以及顶点 的坐标； （2）若 是线段 的中点，连接 ，猜想线段 与线段 之间有怎样的数量关系，并证 明你的猜想； （3）在坐标轴上是否存在点 ，使得以 、 、 为顶点的三角形与 相似？若存在，请直 接写出点 的坐标；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）设抛物线的解析式是： ， 把 代入得： ， 解得： ，， ， 答：抛物线的解析式是 ，顶点 的坐标是 ． （2）线段 与线段 之间的数量关系是 ． 证明：过 作 轴于 ，过 作 轴于 ， ， ， 为 的中点， ， ， ， ， 由勾股定理得： ， 过 作 轴于 ， 则 ， ， 由勾股定理得： ， ， （已求出）， ．（3）坐标轴上存在点 ，使得以 、 、 为顶点的三角形与 相似，点 的坐标是 ， ， ． 19．已知：如图，抛物线 的顶点坐标是 ，与 轴的交点为 ． （1）求抛物线的解析式； （ 2 ） 若 ， ， 是 （ 1 ） 中 抛 物 线 上 的 点 ， ， 垂 足 为 ， ． ①求点 的坐标； ②试判定以 为直径的圆 与 轴有怎样的位置关系，并说明理由． 【解答】解：（1）设抛物线的解析式为 ， 抛物线经过 ， ，抛物线的解析式为 ， 即 ， 答：抛物线的解析式为 ． （2）解：① 在抛物线上， 设 ， 即 ， ， ， ， 即 ， 解得 ， ， 答： 的坐标是 ．②答：以 为直径的圆 与 轴的位置关系是相切． 理由是： ， ， ， ， 即 是直角三角形， 连接 ， 是 的中点， ， ， ， 轴， 即圆 与 轴相切． 20．已知：如图， ， ，点 的坐标为 ，抛物线过 、 、 三点． （1）求抛物线的解析式； （2）过点 作 交抛物线于点 ，求四边形 的面积； （3）在 轴上方 轴左侧的抛物线上是否存在一点 ，过 作 轴于点 ，使以 、 、 三点为顶点的三角形与 相似？若存在，请求出点 的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1） ， ， 为等腰直角三角形； 点 ， 点 ，点 ，（1分） 设抛物线的解析式为 ，（1分） ， ； 抛物线的解析式为 ．（1分） （2） ， ， ， ；（1分） 过点 作 轴于点 ，则 为等腰直角三角形； 令 ，则 ， ；（1分） 点 在抛物线 上， ，解得 ， （不合题意，舍去）， ；（1分） 四边形 的面积 ．（1分） （3）假设存在符合条件的 点．， 轴于点 ， ， 在 中， ， ，（1分） 在 中， ， ，（1分） 设 点的横坐标为 ，则 ， 点 在 轴上方 轴左侧， ； （1）当 时，有 ， ， ，即 ， 解得 （舍去）， （舍去）；（1分） 当 时，有 ， 即 ， 解得 （舍去）， ；（1分） 综上可知，存在点 ，使 与 相似．（1分）