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考点 18 空间中的角度和距离问题（核心考点讲与练）
1.异面直线所成的角
设a，b分别是两异面直线l ，l 的方向向量，则
1 2
a与b的夹角β l 与l 所成的角θ
1 2
范围 (0，π)
求法 cos β＝ cos θ＝|cos β|＝
2.直线和平面所成的角
(1)定义：一条斜线和它在平面内的射影所成的角叫做斜线和平面所成的角，一条直线垂直于
平面，则它们所成的角是直角；一条直线和平面平行或在平面内，则它们所成的角是0°的角.
(2)范围：.
3.求直线与平面所成的角
设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为θ，则sin θ＝|cos
〈 a ， n 〉 |＝.
4.二面角
(1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角；
(2)二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直
于棱的两条射线，这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角.
(3)二面角的范围：[0，π].
5.求二面角的大小
(1)如图①，AB，CD是二面角α－l－β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小 θ＝__
〈 AB ， CD 〉 .
(2)如图②③，n ，n 分别是二面角α－l－β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小 θ
1 2
满足|cos θ|＝ |cos 〈 n ， n 〉 |，二面角的平面角大小是向量n 与n 的夹角(或其补角).
1 2 1 26.点到平面的距离
用向量方法求点B到平面距离基本思路：确定平面法向量， 在平面内取一点 A，求向量AB到
法向量的投影向量，投影向量的长度即为所要求的距离.如图平面α的法向量为n，点B到平
面α的距离d＝.
1.异面直线所成的角，若向量a、b分别是异面直线 与 的方向向量，异面直线 与 所成的角为 ，则
； .
2.设直线 的方向向量为 ，平面 的一个法向量为 ，直线 与平面 所成的角为 ，则 ；
.
3.设向量为m平面 的一个法向量，向量n为平面 的一个法向量，平面 与平面 所称的二面角为 ，
则 ； . 或 .
4.点到平面的距离的求法
如图，设AB为平面α的一条斜线段，n为平面α的法向量，则点B到平面α的距离d＝
.5.求参数的值与范围是高中数学中的常见题型.立体几何中含参数的问题，解决起来既有常规的函数和不等
式法，亦有具有立体几何特征的极限位置、几何直观、化曲为直等一些特殊方法.
6.存在性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在．
解决存在性问题应注意以下几点：
(1)当条件和结论不唯一时要分类讨论；
(2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件；
(3)当条件和结论都不知，按常规方法解题很难时，要思维开放，采取另外的途径．
线线、线面、面面角
1.（2021贵州省遵义航天高级中学高三月考）如图，四棱锥 中，底面 是矩形，
， ， ， ， 是等腰三角形，点 是棱 的中点，则异面直
线 与 所成角的余弦值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】以 为坐标原点，建立坐标系，写出点的坐标，以及直线 的方向向量，即可用向量法求得结果.
【详解】因为 ， ， 两两垂直，
以 为原点， ， ， 分别为 ， ， 轴建立空间直角坐标系.
又因为 ， ，
所以 ， ， ， ，
因为 是棱 的中点，所以 ，
所以 ， ，
所以 ，
故选：B.
2．（2022·湖南衡阳·二模）如图，已知圆台 的下底面半径为2，上底面半径为1，母线与底面所成的
角为 为母线，平面 平面 为 的中点.(1)证明：平面 平面 ；
(2)当点 为线段 的中点时，求直线 与平面 所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析；(2) .
【分析】（1）过点 作平面 的垂线，垂足为 ，证明 平面 ，原题即得证；
（2）以 为坐标原点， 所在直线分别为 轴､ 轴､ 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，利
用向量法求直线 与平面 所成角的正弦值.
(1)证明：过点 作平面 的垂线，垂足为 ，
如图，则 是 的中点，所以 .
又 ，所以 .
连接 ，因为 ，所以 为等边三角形.
因为点 为 的中点，所以
因为平面 平面 ，平面 平面 ，且 平面 ，
所以 平面 .
因为 平面 ，所以 .
又因为 平面 平面 ，所以 平面 .
因为 平面 ，所以平面 平面 .
(2)解：以 为坐标原点， 所在直线分别为 轴､ 轴､ 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ，
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，即 取 ，得 ，
所以 ，
又 ，
所以
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 .3．（2022·河南河南·三模（理））如图， 为圆锥的顶点， 是圆锥底面的圆心， 为底面直径，
， 是底面的内接正三角形，且 ， 是线段 上一点．
(1)若 平面 ，求 ；
(2)当 为何值时，直线 与平面 所成角的正弦值最大？
【答案】(1)
(2)当 时，直线 与平面 所成角的正弦值最大.
【分析】（1）通过勾股定理列方程，化简求得 .
（2）建立空间直角坐标系，利用利用向量法求得直线 与平面 所成角的正弦值，结合基本不等式求
得 时，此正弦值最大.
(1) ，所以 ，解得 ，
由于三角形 是等边三角形，圆 是其外接圆， 是圆 的直径，
所以 垂直平分 ， ，
在三角形 中，由正弦定理得 ，则 ，
由于 平面 ，所以 ，
由于 ，
所以三角形 是等腰直角三角形，所以 ,
所以 .(2)
由（1）得 ，设 ， ，
结合圆锥的几何性质，建立如图所示空间直角坐标系，
，
设 ，
则 ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，故可设 ，
设直线 与平面 所成角为 ，
则 ，
由于 ，当且仅当 时等号成立，
所以 ，
即当 时，直线 与平面 所成角的正弦值最大.
4.（2022新高考地区专用）如图，在四棱锥 中，底面 中 ， ，侧面平面 ，且 ，点 在棱 上，且 ．
则二面角 的余弦值为____________
【答案】 ．
【分析】建立空间直角坐标系，分别求平面 和平面 的法向量，利用法向量二面角的余弦值.
【详解】如图，取 的中点 ，连接 ， ．
由条件可知 ， ， 两两垂直，以 ， ， 所在直线分别为 ， ， 轴，建立如图所示
的空间直角坐标系 ，
则 ， ， ， ，
因为 ，所以 ．
所以 ， ， ，
设平面 的法向量为 ，
则 即 令 ，则 ．
设平面 的法向量为 ，则 即 令 ，则= ，
，
结合图象可知二面角 为锐角，
所以二面角 的余弦值为 ．
故答案为：
5．（2022·辽宁鞍山·二模）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠BCD= ，四边形ACFE为矩形，且
CF⊥平面ABCD，AD=CD=BC=CF=1．
(1)求证：EF⊥平面BCF；
(2)点M在线段EF上运动，当点M在什么位置时，平面MAB与平面FCB所成锐二面角最大？并求此时锐
二面角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)M与F重合时，平面MAB与平面FCB所成锐二面角最大，余弦值为
【分析】（1）在梯形ABCD中，由分析知， AC⊥BC，因为CF⊥平面ABCD，所以AC⊥CF，进一步得
AC⊥平面BCF，又因为AC∥EF，因此EF⊥平面BCF.
（2）因为CF⊥平面ABCD，AC⊥BC，以点C为坐标原点，CA、CB、CF所在直线分别为x、y、z轴建立
空间直角坐标系，分别求出平面 和平面FCB的法向量，然后结合二次函数求最值的方法求解平面
和平面FCB所成的锐二面角的最大值.
(1)证明：在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=CD=BC=1，故梯形ABCD为等腰梯形，因为 ，则 ，所以
又因为 ，则 ，
∴AC⊥BC，因为CF⊥平面ABCD，AC 平面ABCD，
∴AC⊥CF ∵ ， ∴AC⊥平面BCF，
因为四边形ACFE为矩形，则AC∥EF，因此，EF⊥平面BCF
(2)因为CF⊥平面ABCD，AC⊥BC，以点C为坐标原点，CA、CB、CF所在直线分别为x、y、z轴建立如下
图所示的空间直角坐标系，
在Rt△ABC中， ，．
则A( ，0，0)、B(0，1，0)、C(0，0，0)、F(0，0，1)、E( ，0，1)，
设点M(t，0，1)，其中
设平面MAB的法向量为 ，
由 ，取 ，可得 ，．
易知平面FCB的一个法向量为 ，
所以，当 ，即M与F重合时， 取最小值，此时平面MAB与平面FCB所成锐二面角最大，此时，平面MAB与平面FCB所成锐二面角的余弦值为
6．（2022·重庆八中模拟预测）如图，三棱柱ABC－ABC 中，点A 在平面ABC内的射影D在AC上，
1 1 1 1
∠ACB=90°，BC=1，AC=CC =2.
1
(1)证明:AC ⊥AB；
1 1
(2)设直线AA 与平面BCC B 的距离为 ，求二面角A－AB－C的余弦值.
1 1 1 1
【答案】(1)证明见解析；(2)二面角A-AB-C的余弦值为 .
1
【分析】(1) 由条件证明 ， ，由线面垂直的判定定理证明 平面 ，由此证明
；(2) 建立空间直角坐标系，结合条件直线AA 与平面BCC B 的距离为 ，确定相关点的坐标，
1 1 1
利用向量方法求二面角A－AB－C的余弦值.
1
(1)∵ 点A 在平面ABC内的射影D在AC上，
1
∴ 平面 ，又 平面 ，
∴ ，∵ , ， 平面 ，
∴ 平面 ， 平面 ，
∴ ，
∵ ，四边形 为平行四边形，
∴ 四边形 为菱形，故 ，
又 ， 平面 ，∴ 平面 ， 平面 ，
∴ ；
(2)
以C为坐标原点，以 为x轴， 轴， 轴的正方向建立空间直角坐标系，设 ，由题设
有 ， ，
设平面BCC B 的法向量 ，则 ，因 ，所以
1 1
，
所以 ，又 ， 即 ，
所以点 到平面 的距离为 ，又依题设，直线AA 与平
1面BCC B 的距离为 ，所以 .代入①得 （舍去）或 ，于是 ，
1 1
设平面 的法向量 ，则 ，所以 ，所以 ，又
为平面 的法向量，故 ，
所以二面角A-AB-C的余弦值为 .
1
7．（2022·山东淄博·模拟预测）如图，已知三棱柱 的棱长均为2， ， ．
(1)证明：平面 平面ABC；
(2)设M为侧棱 上的点，若平面 与平面ABC夹角的余弦值为 ，求点M到直线 距离．
【答案】(1)见解析(2)
【分析】（1）取AC的中点O，连接 ，利用勾股定理证明 从而证得 平
面ABC，然后利用面面垂直的判定定理证明即可.
（2）以OA所在直线为x轴，以OB所在直线为y轴，以 所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，写出
各点坐标，设 得到点M的坐标，求出平面 与平面ABC
的法向量，由余弦值可确定 值，然后利用点到直线的距离公式计算即可.
(1)取AC的中点O，连接 ， ， ，所以 由题设可知，为边长为2的等边三角形，所以 ，
由 ， ，所以 所以 平面ABC；
平面 ,所以平面 平面ABC；
(2)以OA所在直线为x轴，以OB所在直线为y轴，以 所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，
所以
设 可得 ，
设平面 的法向量为 则
即 取
所以 因为 为平面ABC的一个法向量，
设平面 与平面ABC夹角为 ，
解得 ，所以所以点M到直线 距离
空间距离
1.（2022江苏省南通市海安市高三学业质量监测）与正方体ABCD－ABC D 的三条棱AB，CC ，AD 所
1 1 1 1 1 1 1
在直线的距离相等的点共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个
【答案】D
【分析】首先以为 原点， 分别为 轴，建立空间直角坐标系，设 ，得到
，设 为 上一点，得到 到棱 的距离是 ，同理得到
到棱 的距离也是 ，即可得到答案.
【详解】以为 原点， 分别为 轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
设 ，则 ， ， ，设 为 上一点，
作 平面 ，垂足为 ，过 作 ，垂足为 ，
所以 为点 到棱 的距离.
又因为 ， ，则 ，
同理 到棱 的距离也是 ，
所以 上任意一点到棱 的距离都相等，
所以与三条棱 所在直线的距离相等的点共有无数个.
故选：D
2.（2021山东省东营市广饶县第一中学高三上学期10月月考）如图，在四棱台 中，底
面为矩形，平面 平面 ，且 .
（1）证明： 平面 ；
（2）若 与平面 所成角为 ，求点 到平面 的距离.
【答案】（1）证明见解析；（2） .
【分析】（1）通过面面垂直的性质定理证得 平面 ，由此证得 ，结合证得 平面 .
（2）建立空间直角坐标系，由 与平面 所成角计算出 ，利用向量法计算出点 到平
面 的距离.
【详解】（1）在梯形 中，因为 .
所以 ，连接 ，由余弦定理可得 .
∵ ，∴
∵平面 平面 且交于 ，
平面 ，∴ 平面 ，
又∵ 平面 ，∴ .
∵ ， ，
∴ 平面 .
（2）连接 ，由（1）可知： 平面 ，以 为原点，
以 ､ 分别为 轴､ 轴正半轴，过 作垂线为 轴，建立空间直角坐标系，如图：
∵ 平面 ，
∴ 即为 与平面 所成的角，∴ .
在 中，因为 ，所以 ，则： ， ， ， ， .
所以 ， ， .
设平面 的一个法向量为 ，则
则 ，
令 得： ，
故点 到平面 的距离为： ，
所以点 到平面 的距离为 .
与参数有关的问题
1.（2021广东省茂名市五校联盟第三次联考）如图所示，点P在圆柱的上底面圆周上，四边形 为圆
柱的下底面的内接四边形，且 为圆柱下底而的直径， 为圆柱的母线，且 ，圆柱的底面半径
为1.（1）证明： ；
（2） ，B为 的中点，点Q在线段 上，记 ，当二面角 的余弦值
为 时，求 的值.
【答案】（1）证明见解析；（2） .
【分析】（1）根据 为直径，得到 ，再根据 为母线，易得 ，然后利用线面垂直
的判定定理证明；
（2）分别以向量 为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，分别求得平面 的一个法向量
和平面 的法向量可取为 ， 然后由 求解.
【详解】
（1）因为 为直径，点D在圆上且不同于A，C点，
所以 ，又因为 为母线，
所以 平面 ，又 平面 ，
从而 ，又 ，
所以 平面 ，
又 平面 ，
所以 .
（2）由（1）知 两两相互垂直，所以分别以向量 为x，y，z轴，建立空间直角坐
标系 ，因为 ，圆柱的底面直径为2，所以 ，所以 ，
又B为 的中点，所以 ，即 为正方形，
所以 ，
由 ，得 ，
所以 ，
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，即 ，
取 ，
又因为平面 的法向量可取为 ，所以 ，
由题知 ，
所以 ，解得 （舍）或 ，
所以 的值为
探究性问题
1.（2021广东省深圳市光明区高三第一调研）如图，在四棱锥 中， ， ，
， ， .
（1）求证： ；
（2）在棱 上是否存在点G，使得二面角 的大小为30°？若存在，确定点G的位置；若不存
在，请说明理由.
【答案】（1）证明见解析；（2）点G为 的中点时，二面角 的大小为30°，证明见解析.
【分析】（1）需要勾股定理证明AD⊥PD，利用线面垂直的判定定理得到 ⊥面ABCD，即可证明
；
（2）以D为原点， 分别为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系，用向量法求解.
【详解】（1）因为 ， ，所以 ， ADP为直角三角形，所以AD⊥PD.
△
又 ， ， 面ABCD， 面ABCD，
所以 ⊥面ABCD，所以 .（2）由题意可知：ABCD为一个等腰梯形.过D作DE⊥AB于E，则 .
以D为原点， 分别为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系.则：
显然 即为平面ABC的一个法向量.
假设在棱 上存在点G，使得二面角 的大小为30°.不妨设 ，
则 ， .
设 为面GAB的有一个法向量，则 ，即 ，不妨设x=1，则
有： .
因为二面角 的大小为30°，
所以 ，即 ，即 ，解得： .
即点G为 的中点时，二面角 的大小为30°.1. （2021年全国高考乙卷）在正方体 中，P为 的中点，则直线 与 所成的
角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【分析】平移直线 至 ，将直线 与 所成的角转化为 与 所成的角，解三角形即可.
【详解】
如图，连接 ，因为 ∥ ，
所以 或其补角为直线 与 所成的角，
因为 平面 ，所以 ，又 ， ，
所以 平面 ，所以 ，
设正方体棱长为2，则 ，
，所以 .
故选：D2.（2021年全国高考乙卷） 如图，四棱锥 的底面是矩形， 底面 ，
， 为 的中点，且 ．
（1）求 ；
（2）求二面角 的正弦值．
【答案】（1） ；（2）
【分析】（1）以点 为坐标原点， 、 、 所在直线分别为 、 、 轴建立空间直角坐标系，
设 ，由已知条件得出 ，求出 的值，即可得出 的长；
（2）求出平面 、 的法向量，利用空间向量法结合同角三角函数的基本关系可求得结果.
【详解】（1）[方法一]：空间坐标系+空间向量法
平面 ，四边形 为矩形，不妨以点 为坐标原点， 、 、 所在直线分别
为 、 、 轴建立如下图所示的空间直角坐标系 ，设 ，则 、 、 、 、 ，
则 ， ，
，则 ，解得 ，故 ；
[方法二]【最优解】：几何法+相似三角形法
如图，连结 ．因为 底面 ，且 底面 ，所以 ．
又因为 ， ，所以 平面 ．
又 平面 ，所以 ．从而 ．
因为 ，所以 ．
所以 ，于是 ．
所以 ．所以 ．
[方法三]：几何法+三角形面积法
如图，联结 交 于点N．
由[方法二]知 ．在矩形 中，有 ，所以 ，即 ．
令 ，因为M为 的中点，则 ， ， ．
由 ，得 ，解得 ，所以 ．
（2）[方法一]【最优解】：空间坐标系+空间向量法
设平面 的法向量为 ，则 ， ，
由 ，取 ，可得 ，
设平面 的法向量为 ， ， ，
由 ，取 ，可得 ，
，
所以， ，
因此，二面角 的正弦值为 .
[方法二]：构造长方体法+等体积法
如图，构造长方体 ，联结 ，交点记为H，由于 ， ，
所以 平面 ．过H作 的垂线，垂足记为G．联结 ，由三垂线定理可知 ，
故 为二面角 的平面角．
易证四边形 是边长为 的正方形，联结 ， ．
，
由等积法解得 ．
在 中， ，由勾股定理求得 ．
所以， ，即二面角 的正弦值为 ．
【整体点评】（1）方法一利用空坐标系和空间向量的坐标运算求解；方法二利用线面垂直的判定定理，
结合三角形相似进行计算求解，运算简洁，为最优解；方法三主要是在几何证明的基础上，利用三角形等
面积方法求得.
（2）方法一，利用空间坐标系和空间向量方法计算求解二面角问题是常用的方法，思路清晰，运算简洁，
为最优解；方法二采用构造长方体方法+等体积转化法，技巧性较强，需注意进行严格的论证.
一、单选题1．（2022·山西太原·二模（文））在三棱柱 中，各棱长都相等，侧棱垂直于底面，点D是
与 的交点，则AD与平面 所成角的正弦值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】取 的中点 ，连 、 ，通过证明 平面 ，可知 是AD与平面 所
成的角，在直角三角形 中可求出结果.
【详解】取 的中点 ，连 、 ，如图：
依题意三棱柱 为正三棱柱，设棱长为 ，则 ， ，
因为 、 分别是 和 的中点，所以 ，所以 平面 ，
所以 ，所以 ，
因为 ， ， ，所以 平面 ，
所以 是AD与平面 所成的角，
所以 .所以AD与平面 所成角的正弦值是 .
故选：C
2．（2022·全国·模拟预测（理））如图为一个四棱锥与三棱锥的组合体，C，D，E三点共线，已知三棱锥
P－ADE四个面都为直角三角形，且ED⊥AD，PA⊥平面ABCE，PE＝3，CD＝AD＝2，ED＝1，则直线PC
与平面PAE所成角的正弦值等于（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题利用空间向量处理线面夹角问题， ．
【详解】如图建立空间直角坐标系， ， ， ， 则有： ，
，
设平面PAE的法向量 ，则有 ,令 ,则 ，即
∴ ，即直线PC与平面PAE所成角的正弦值为 ．
故选：C．3．（2022·全国·三模（理））在三棱锥 中，△ABC是边长为2的等边三角形， ，
，以AB为直径的球的表面被△PAC截得的曲线长度为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用已知条件求得 ，利用等体积法求得以AB为直径的球的球心 到平面 的距离，设
交球 于点 , 交圆 于点 ，由此可找到以AB为直径的球 的表面被△PAC截得的曲线即为
，最后利用弧长公式即可求解.
【详解】设 的中点为 ,连接 、 ,
因为 ，且 , 面 ，
由已知得 , , ,
由余弦定理得 ,
则 ,所以 ,所以 ,
由已知 ， , ,所以 ,所以 ,
设点 到平面 的距离为 ，因为 ,
所以 ，解得 ，
以AB为直径的球，球心为AB的中点 ，则 到平面 的距离为 ，
过 作 平面 ，则平面 与球 相交得截面 ，设 交球 于点 ,
截面 的半径为 ,
,
则设 交圆 于点 ,即球 的表面被△PAC截得的曲线长度为 ,
在 △ 中， ，所以 ，所以 ,
则 ，
故选： .二、多选题
4．（2022·山东济南·一模）在棱长为1的正方体 中，O为正方形 的中心，则下列
结论正确的是（ ）
A． B． 平面
C．点B到平面 的距离为 D．直线BO与直线 的夹角为
【答案】ABC
【分析】根据线面垂直的判定定理证明 平面，可判断A; 连接BD,交AC于E,连接 ，证明
，根据线面平行的判定定理，可判断B;利用等体积法，求得点B到平面 的距离，判断C;
采用作平行线的方法，求出直线BO与直线 的夹角，可判断D.
【详解】对于A，如图，连接 ,则 交于点O,
正方体 中， 平面 平面 ,
故 ,而 平面 ,
故 平面 ,故 平面 ，而 平面 ,
故 ，即 ，故A正确；对于B，连接BD,交AC于E,连接 ,则 ,
故四边形 是平行四边形，故 平面 不在平面 ,
故 平面 ，故B正确；
对于C，设点B到平面 的距离为d,因为 ,
故 ，解得 ，故C正确；
对于D,连接 ,则 即为直线BO与直线 的夹角或其补角，
在 中， ,
所以 ,则 ,故D错误，
故选：ABC
5．（2022·重庆·模拟预测）如图，在圆锥SO中，AC为底面圆O的直径，B是圆O上异于A，C的一点，
， ，则下列结论中一定正确的是（ ）A．圆锥 的体积为
B．圆锥 的表面积为
C．三棱锥 的体积的最大值为
D．存在点B使得直线SB与平面SAC所成角为
【答案】AC
【分析】根据锥体的体积、表面积公式判断A、B、C，过 作 于 ，连接 ，则 为直线
与平面 所成角，求出 的最大值，即可判断D；
【详解】解：圆锥 的体积为 ，故A正确，圆锥的母线长为 ，所以圆
锥的侧面积为 ，底面面积为 ，故圆锥的表面积为 ，故B错误，当
时，三棱锥 的体积最大，此时为 ，故C正确，过 作
于 ，显然 底面 ，所以 ， ， 平面 ，所以 平面 ，
连接 ，∴ 为直线 与平面 所成角，由 为定值，∴当 时 与平面 所成
角最大，此时 ，所以 ，即 ，故D错误．故选：AC
6．（2022·广东汕头·二模）如图，在正方体 中，点P在线段 上运动，则（ ）
A．直线 平面
B．三棱锥 的体积为定值
C．异面直线AP与 所成角的取值范围是
D．直线 与平面 所成角的正弦值的最大值为
【答案】AB
【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量垂直的坐标表示公式、空间向量夹角公式、三棱锥的体积性
质逐一判断即可.
【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为 ，，
设 ，设 ，
即 .
A： ，
因为 ，
所以 ，
而 平面 ，
所以直线 平面 ，因此本选项结论正确；
B：侧面 的对角线交点为 ，所以 ， ，
而 平面 ， 平面 ，
所以 ，而 平面 ，
所以 平面 ，为定值，因此本选项结论正确；
C： ，
设异面直线AP与 所成角为 ，
则有 ，
当 时， ；
当 时， ，
因为 ，所以 ，
因此 ，
，即 ，所以 ，
综上所述： ，所以本选项结论不正确；
D：设平面 的法向量为 ， ，
所以有 ，
直线 与平面 所成角的正弦值为：
因为 ，所以当 时， 有最小值，最小值为 ，
所以直线 与平面 所成角的正弦值的最大值为 ，因此本选项结论不正确，
故选：AB
【点睛】关键点睛：利用空间向量夹角公式是解题的关键.
7．（2022·重庆八中模拟预测）如图所示，已知 ， 是 的中点，沿直线 将 翻折成
，设直线 与面 所成角为 ，二面角 的平面角为 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【分析】构造出二面角和线面角之后，再比较大小即可
【详解】
对于A，显然错误， 而对于B，当 ， 时显然成立
当 且 时，分类讨论如下
①若 ,则 ，
则 即为二面角 的平面角, 即
又 ， ， 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，又 平面
所以平面 平面
所以 在平面 上的射影即为
所以 即为 与平面 所成的角，即
此时，
②若 与 不垂直, 过点 作 垂直直线 于点 , 过点 作 垂直直线 于点 , 则可知
分别在点 的两边, 如图所示,将线段 平移到线段 处，过 作 垂直 于点 ，连接
因为 ， ，所以
则 即为二面角 的平面角, 即
又 ， ， 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，又 平面
所以平面 平面
又 平面 ，平面 平面 ， ，
所以 平面
所以 即为 与平面 所成的角，即
在 中，
在 中，
因为 ，所以 ，所以
综上，故B正确
对于C，当 且 时显然成立
当 ，且 时，
由B选项的讨论可知， 成立
故C正确
对于D
设 , 则由题意知 .
在空间图形中, 连结 , 设 . 在 中,
在 中, , .
同理, ,故 .
由题意 平面 ,故 .
在 中,
在 中,（当 时取等号）,
,而 在 上为递减函数,
故D错误
故选：BC
8．（2022·湖南衡阳·二模）已知正方体 的棱长为 分别为 的中点.下列说法
正确的是（ ）
A．点 到平面 的距离为
B．正方体 外接球的体积为
C．面 截正方体 外接球所得圆的面积为
D．以顶点 为球心， 为半径作一个球，则球面与正方体的表面相交所得到的曲线的长等于
【答案】BCD
【分析】A选项由等体积法 求得点 到平面 的距离即可；B选项由外接球的直径为
体对角线即可判断；C选项由面 经过外接球球心，
求得其外接圆圆心，即可求解；D选项将球面与正方体的表面相交所得的曲线分为两类，按照弧长公式计算即可.
【详解】 ，设 到平面 的距离为 ，由
，即 ，解得 ，故 错误；
正方体 外接球的半径为 ，外接球的体积为 ，故B正确；
易得面 经过正方体 外接球的球心，故其截外接球所得圆的半径为外接球的半径 ，
其圆的面积为 ，故C正确；
如图，
球面与正方体的六个面都相交，所得的交线分为两类：一类在顶点 所在的三个面上，即面 ､面
和面 上；
另一类在不过顶点 的三个面上，即面 ､面 和面 上.在面 上，交线为弧
且在过球心 的大圆上，
因为 ，则 ，同理 ，所以 ，故弧 的长为
，而这样的弧共有三条.在面 上，交线为弧 且在距球心为1的平面与球面相交所得的小圆上，此时，小圆的圆心为 ，
半径为 ，
所以弧 的长为 ，这样的弧也有三条.于是，所得的曲线长 ，故D
正确.
故选：BCD.
三、填空题
9．（2022·内蒙古赤峰·模拟预测（理））在正方体 中，点 、 分别为棱 、 的中
点，则异面直线 与 所成角的余弦值为_____.
【答案】
【分析】利用空间向量夹角公式进行求解即可.
【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，设该正方体的棱长为 ，
，
，
异面直线 与 所成角的余弦值：
，
故答案为：10．（2022·浙江台州·二模）空间四面体 中， ，二面角 的大小为 ，在平
面 内过点 作 的垂线 ，则 与平面 所成的最大角的正弦值___________.
【答案】 ##
【分析】通过空间想象确定 与平面 所成角最大时平面ABC与平面 的关系，从而得到所求角和
的关系，然后设棱长，利用二面角和 直接计算可得.
【详解】记过点B作 的垂线l，垂足为E，过点E作垂直于直线CE的平面 ， 交平面 于直线
BF，则当平面ABC 时， 与平面 所成角最大，且与 互余.
此时，因为平面ACB ， 平面
所以平面ACB 平面 ，
则由点E向平面 作垂线，垂足H在CB上，过H作CD垂线HG，垂足为G，连接EG.
由题知， ，记 ，则在 中，
又 ，所以在 中， ，
在 中，记此时 与平面 所成角为 ，则 .
故答案为：
11．（2022·天津市第四中学模拟预测）如图，在三棱柱 中， 平面 ，
， ， ， 分别是 ， 的中点.
（1）直线 与平面 所成角的正切值为___________；
（2）直线 到平面 的距离为___________；
（3）已知点 在棱 上，平面 与平面 所成二面角为60°则线段 的长为___________.
【答案】
【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出线面角的正弦值，二面角的余弦值以及点到平面的距
离；【详解】解：如图建立空间直角坐标系 ，则 ， ， ， ，
， ， ．
， ， ， ， ．
设平面 的法向量为 ，则 ，即
令 ，则 ．
所以 ．
设直线 与平面 所成角为 ，
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 ，即 ，所以 ，所以
，所以直线 与平面 所成角的正切值 ．
因为 ， 平面平面 ，所以 平面 ，所以 到平面 的距离，即点 到平
面 的距离，所以 ，故直线 到平面 的距离为 ；
假设在棱 上存在一点 ，使得平面 与平面 所成二面角为 ，设 ， ．
则 ，设平面 的法向量为 ，
则 ，即 ，
取 ，则 ，又平面 的法向量为 ．
所以 ，
解得 ，
故在棱 上存在一点 ，使得平面 与平面 所成二面角为 ， 点的坐标为 ，即
．
故答案为： ； ； ；
12．（2022·河南·模拟预测（理））已知三棱锥 中， 与 均为等边三角形，二面角
的大小为60°，则直线AD与平面BCD所成角的正弦值为______．
【答案】 ##
【分析】作出二面角的平面角，再由几何关系找出过 点垂直底面的直线，由直线与平面的所成角定义求
解
【详解】不妨设 ，设E为BD的中点，连接AE，CE．
由题可知 ， ， ，所以 平面AEC．易知 ．因为二面角 的平面角 ，
故 是等边三角形．设EC的中点为H，连接AH，DH，
则 平面BCD，所以 为直线AD与平面BCD所成的角．
易知 ，又 ，所以 ．
故答案为：
13．（2022·重庆八中模拟预测）过正方体 的顶点A作直线l，使得l与直线 ， 所
成的角均为 ，若这样的直线l恰有两条，则 的取值范围为___________.
【答案】
【分析】首先求出异面直线 与 所成角，过点 作 ， ，即可得到 ，过点
分别作 的角平分线 及其垂线 ，即可得到直线 、 与 、 所成角，再过点 作 平面
，即可得到直线 与 、 所成角，从而得到 ，再分四种情况讨论，分别判断即可；
【详解】解：如图连接 、 ，由正方体的性质可得 且 ，所以四边形 为平行
四边形，所以 ，则 即为异面直线 与 所成角，显然 为等边三角形，所以
，即异面直线 与 所成角为 ，如图，过点 作 ， ，则直线 与 所成的角为 ，现只需过点 分别作
的角平分线 及其垂线 ，则直线 与 、 所成角均为 ，直线 与 、 所成角均为 ，过点
作 平面 ，则直线 与 、 所成角均为 ，易知 ，
①当 时，直线 恰有1条（为 ）；
②当 时，直线 恰有2条（ 从绕点 逆时针或顺时针至 的过程中，产生2条）；
③当 时，直线 恰有3条（ 为1条， 从绕点 逆时针或顺时针至 的过程中，产生2条）；
④当 时，直线 恰有4条（ 从绕点 逆时针或顺时针至 的过程中，产生2条， 从绕点 逆
时针或顺时针至 的过程中，产生2条）；
综上可得
故答案为：四、解答题
14．（2022·河北唐山·二模）如图， 是边长为 的等边三角形，E，F分别为AB，AC的中点，G
是 的中心，以EF为折痕把 折起，使点A到达点P的位置，且 平面ABC．
(1)证明： ；
(2)求平面PEF与平面PBF所成二面角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析(2)
【分析】（1）连接 ，依题意可得 ，再由线面垂直得到 ，从而得到 平面 ，
即可得证；
（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出二面角的余弦值，再根据同角三角函数的基本关系计算
可得；
(1)证明：连接 ，由 为等边三角形， 为 的中点，所以 ，
由 平面 ， 平面 ，所以 ，
又 ， 平面 ，所以 平面 ，
又 平面 ，所以 ；
(2)解：依题意 ， ，在 中， ，
以 为坐标原点，以 为 轴的正方向，如图建立空间直角坐标系，
则 ， ， ， ， ，， ，由（1）可知， 是平面 的一个法向量，
设平面 的法向量为 ，则 ，令 ，则 ，
所以 ，所以
所以平面PEF与平面PBF所成二面角的正弦值为 ；
15．（2022·内蒙古包头·二模（理））已知直三棱柱 中，侧面 为正方形.
，D，E分别为AC和 上的点，且 ， ，F为棱 上的点，
.
(1)证明： ，且 ；(2)当 为何值时，平面 与平面DEF所成的二面角的正弦值最小？
【答案】(1)证明见解析(2)
【分析】（1）先证 以及 即可证得 平面 ，即可证得 ，建立空间直
角坐标系，求出 ，由 即可证得 ；
（2）直接写出平面 的一个法向量，求出平面DEF的法向量，由夹角公式表示出余弦值，由平方关
系求出二面角的正弦值，结合二次函数求解即可.
(1)因为 ， ，所以 ，
又 ，且 ，所以 平面 ，
又 平面 ，所以 .
因为 ，所以在 中，
，
又 ，所以 ，
由 ，且 ，得 ，
取点B为坐标原点，以BA，BC， 所在直线分别为x，y，z轴，
建立空间直角坐标系 （如图所示）.则 ， ， ， ，
设 ，则 ，于是 ，
所以 ，即 .
(2)因为平面 的一个法向量为 ，又由（1）知 ，
，
设平面DEF的法向量为 ，则 ，所以有
取 ，得 ， ，于是平面DEF的法向量为 ，
所以 ，
设平面 与平面DEF所成的二面角为 ，则 ，
故当 时，平面 与平面DEF所成的二面角的正弦值取得最小值为 .
所以当 时，平面 与平面DEF所成的二面角的正弦值最小.
16．（2022·全国·三模（理））如图所示，在四棱柱 中，四边形ABCD为矩形，，四边形 为菱形， ，平面 平面ABCD，点E为线段AB的中点，
M为线段AE的中点．
(1)证明： ；
(2)求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析(2)
【分析】（1）取AD的中点O，连接 ，OM，DE，由条件可得 平面ABCD，然后可得 ，
然后证明 ，然后可得 平面 ，即可证明；
（2）以点O为坐标原点，以OA， 所在直线分别为x轴，z轴，以平面ABCD内过点O且垂直于OA的
直线为y轴，建立空间直角坐标系，然后算出两个平面的法向量即可算出答案.
(1)如图，取AD的中点O，连接 ，OM，DE，
因为四边形 为菱形， ，所以 ．
因为平面 平面ABCD，平直 平面 ，
所以 平面ABCD，因为 平面ABCD，所以 ．
易知 ， ，所以 ．
因为 ，所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 ．
(2)
由（1）知 平面ABCD，
以点O为坐标原点，以OA， 所在直线分别为x轴，z轴，
以平面ABCD内过点O且垂直于OA的直线为y轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ， ， ， ，
所以 ， ， ， ．
设平面 的法向量为 ，
则 ，即 ，令 ，得 ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，即 ，令 ，得 ，
所以 ，所以平面 与平面 所成二面角的余弦值为
17．（2022·广东潮州·二模）如图，平面 平面CEFG，四边形CEFG中， ， ，
点E在正方形ACDE的外部，且 ， ， ， ．
(1)证明： ；
(2)求二面角 的余弦值．
【答案】(1)证明见解析；(2) .
【分析】（1）证明 平面CEFG，即得证；
（2）以C为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系 ，再利用向量法求解.
(1)证明：正方形ACDE中， ，平面 平面ABCDE，交线为CE，
所以 平面CEFG，又 平面CEFG，所以 ．
(2)解：以C为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系 ，因为 ， ，所以点B到AC的距离为1， ，
则 ， ， ， ， ，
所以 ， ．设平面BFG的法向量为 ，
则 ，即 ，
令 ，得 ． 为平面CEFG的一个法向量，
所以 ，故二面角 的余弦值为 ．
18．（2022·广东·二模）如图1，在△ABC中， ，DE是△ABC的中位线，沿DE将△ADE进行
翻折，使得△ACE是等边三角形（如图2），记AB的中点为F．
(1)证明： 平面ABC．
(2)若 ，二面角D-AC-E为 ，求直线AB与平面ACD所成角的正弦值．【答案】(1)证明见解析(2)
【分析】（1）取AC中点G，连接FG和EG，证明四边形DEGF是平行四边形,然后利用线面垂直的判定
定理证明 平面ABC, 从而得到 平面ABC.
（2）（方法一）过点E作 ，以E为原点，建立空间直角坐标系E-xyz，设 ,求出平面AEC
和平面ACD的法向量，由已知条件可得 长，然后利用线面角的向量公式求解即可；
（方法二）连接DG，可证得 ，可得 长，过点F作 ，垂足为I，利用线面垂直及面
面垂直的性质可得 平面ACD，连接AI，则∠FAI即为所求角，在三角形中计算可得答案.
(1)如图，
取AC中点G，连接FG和EG，由已知得 ，且 ．
因为F，G分别为AB，AC的中点，所以 ，且
所以 ，且 ．
所以四边形DEGF是平行四边形．
所以 ．
因为翻折的 ，易知 ．
所以翻折后 ， ．
又因为 ，EA， 平面AEC，
所以 平面AEC．
因为 ，
所以 平面AEC．
因为 平面AEC，所以 ．
因为 ACE是等边三角形，点G是AC中点，所以又因为 ，AC， 平面ABC．
所以 平面ABC．
因为 ，所以 平面ABC．
(2)（方法一）如图，
过点E作 ，以E为原点，EH、EC，ED所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系E-
xyz，设 ，则 ， ， ， ，则 ， ，
，
因为 平面AEC．所以 是平面AEC的法向量，
设面ACD的法向量为 ，则
，即 ，解得 ．
取 ，得 ．
因为二面角D-AC-E为 ，所以 ，
解得 ，所以 ， ．
记直线AB与平面ACD所成角为 ，则 ，
所以直线AB与平面ACD所成角的正弦值为 ．
（方法二）如图，
连接DG，因为 平面AEC， 平面AEC，所以 ．
又因为 ， ，DE， 平面DEG．所以 平面DEC．
因为EG， 平面DEG，所以 ， ，所以∠DGE是二面角D-AC-E的平面角，故
．
由△ACE是边长为2的等边三角形，得 ，
在Rt DGE中， ，所以 ， ．
过点F作 ，垂足为I，
因为 平面DEGF， 平面ACD，所以平面 平面ACD．
又因为平面 平面 ， 平面DEGF，且 ，
所以 平面ACD．
连接AI，则∠FAI即为直线AB与平面ACD所成的角．
在Rt△DFG中， ， ，得 ，由等面积法得 ，解得 ．
在Rt AFG中， ， ，所以 ．在Rt FAI中， ，
所以直线AB与平面ACD所成角的正弦值为 ．
19．（2022·山西太原·二模（文））如图，在三棱柱 中，侧面 是矩形， ，
， ， ， ， 分别为棱 ， 的中点， 为线段 的中点.
(1)证明： 平面 ；
(2)求点 到平面 的距离.
【答案】(1)证明见解析(2)
【分析】连 交 于点 ，连 ，利用平行线分线段成比例定理以及逆定理可以推出 ，再
利用线面平行的判定定理即可证明 平面 （2）因为 为 中点，所以 到平面 距离等于
到平面 距离相等，再利用等体积法即可求解
(1)证明：连 交 于点 ，连 .∵ 为 的中点， 为 的中点，∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴
∴
又∵ 平面 ， 平面
∴ 平面 .
(2)∵ 为 中点
∴ 到平面 距离等于 到平面 距离相等
四边形 为矩形，则 ，又 ，
平面 ， 平面
所以 ⊥平面 ，又 平面 ，所以 ，
∵ ， ，
∴∴
∴ ，又
∴ ，
平面 ， 平面 ，
∴ 平面
又∵ ， ，设 到平面 的距离为 ，
由 ，得 ，
即
∴ 即 到平面 的距离为 .
20．（2022·广东韶关·二模）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，点S是边AB的中点．
AB=2，AD=4，
(1)若O是侧棱PC的中点，求证：SO//平面PAD；
(2)若二面角P-AD-B的大小为 ，求直线PD与平面PBC所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析(2)
【分析】（1）取线段PD的中点H，连接SO、OH、HA，证明四边形ASOH是平行四边形，然后利用线面
平行的判定定理进行证明即可；
（2）解法一：取AD、BC的中点E、F，连结PE、EF过点E做 于G．利用面面垂直的判定定理证明平面 平面PEF，从而得到 平面PBC，然后利用线面角的定义及公式求解即可.
解法二：取线段AD、BC的中点E、F，连结PE、EF．以E为原点， 、 方向分别为x轴、y轴正方
向，建立坐标系，求出 和平面PBC的法向量，然后利用线面角的向量公式求解即可.
(1)取线段PD的中点H，连接SO、OH、HA，如图
在 中，O、H分别是PC、PD的中点，所以 且
所以 且
所以四边形ASOH是平行四边形，所以
又 平面PAD， 平面PAD，所以 平面PAD
(2)解法一：取AD、BC的中点E、F，连结PE、EF过点E做 于G．
如图，由点E是线段AD的中点， 可得 ，又
所以 是二面角 的平面角，即 ，又 ,
所以 平面PEF，又 ，所以 平面PEF．
又 平面PBC，所以平面 平面PEF，
又平面 平面 ， ，
所以 平面PBC
在 中， ， ， ，所以
设直线PD与平面PBC所成角为 ，则
所以直线PD与平面PBC所成角的正弦值为 ．
又 平面PAD， 平面PAD，所以 平面PAD解法二：取线段AD、BC的中点E、F，连结PE、EF．由点E是线段AD的中点， 可得 ，
又 ，所以 是二面角 的平面角，即 ，以E为原点， 、 方向分
别为x轴、y轴正方向，建立如图所示坐标系，在 中， ， 知： ，所以
， ， ,
所以 ， ，
设平面PBC的法向量 ，则 ，即
可取 ，设直线PD与平面PBC所成角为 ，
则
所以直线PD与平面PBC所成角的正弦值为 ，21．（2022·全国·模拟预测（理））如图，在直四棱柱 中，AB//CD，∠ABC=90°，AB=2，
BC=CD=1．
(1)求证：平面 平面 ；
(2)若二面角 的大小为60°，求侧棱 的长．
【答案】(1)证明见解析；(2) .
【分析】（1）以点B为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用空间位置的向量证明及面面垂直的判定推
理作答.
（2）利用（1）中坐标系，借助二项角的向量求法计算作答.
(1)在直四棱柱 中， 平面 ，而 ，即 ，
以点B为坐标原点，向量 的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图，
设 ，依题意， ，则 ， ，
显然有 ， ，于是得 ，
而 ， 平面 ，因此 平面 ，又 平面 ，所以平面 平面 .
(2)
由（1）知，平面 的一个法向量为 ， ，
设平面 的一个法向量 ，则 ，令 ，得 ，
因二面角 的大小为60°，则 ，解得 ，
所以侧棱 的长为 .
22．（2022·天津市滨海新区塘沽第一中学模拟预测）如图， 平面 ， ， ，
， ， ．
(1)求证： 平面 ；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值；
(3)求平面 与平面 夹角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析(2) (3)
【分析】（1）建立如图所示的空间直角坐标系，分别求出平面ADE的一个法向量以及 ，进而
可证得结论；
（2）利用空间向量求线面角的坐标公式即可求出结果；
（3）利用空间向量求二面角的坐标公式即可求出结果.(1)依题意，可以建立以A为原点，分别以 的方向为x轴，y轴，z轴正方向的空间直角坐标系
(如图)，
可得 ， .
因为 平面 ，且 平面 ，所以 ，又 ，且 ，所以
平面 ，故 是平面ADE的一个法向量，
又 ，可得 ，
又因为直线 平面 ，所以 平面 .
(2)依题意， ，
设 为平面BDE的法向量，
则 ，即 ，不妨令z=1，可得 ，
设直线 与平面 所成角 ，因此有 .
所以，直线 与平面 所成角的正弦值为 .
(3)设 为平面BDF的法向量，则 ，即 .
不妨令y=1，可得 .由题意，有
由图可知平面BDE与平面BDF夹角为锐角，所以平面BDE与平面BDF夹角的余弦值为 .
