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培优专题 10 二次函数的综合--特殊图形的存在性问题
◎存在性问题之直角三角形的存在性问题
【技巧】明确哪几个点构成的直角三角形，先利用两点间的距离公式（可由勾股定理推导）把三角形的三
边的平方表示出来，然后利用勾股定理求出即可；但是此方法有个弊端就是会有高次方出现，不易求解。
另外一种方法就是利用两直线的垂直关系，直线的解析式k值乘积为-1，可求出。1．（2022·山东济南·中考真题）抛物线 与x轴交于 ， 两点，与y轴交于点
C，直线y＝kx－6经过点B．点P在抛物线上，设点P的横坐标为m．
(1)求抛物线的表达式和t，k的值；
(2)如图1，连接AC，AP，PC，若△APC是以CP为斜边的直角三角形，求点P的坐标；
【答案】(1)， ，t=3，(2)点
【分析】（1）分别把 代入抛物线解析式和一次函数的解析式，即可求解；
（2）作 轴于点 ，根据题意可得 ，从而得到 ，
，再根据 ，可求出m，即可求解；
（1）
解：∵ 在抛物线 上，
∴ ，
∴ ，
∴抛物线解析式为 ，
当 时， ，
∴ ， （舍），
∴ ．
∵ 在直线 上，
∴ ，
∴ ，
∴一次函数解析式为 ．
（2）
解：如图，作 轴于点 ，对于 ，令x=0，则y=-6，
∴点C（0，-6），即OC=6，
∵A（3，0），
∴OA=3，
∵点P的横坐标为m．
∴ ，
∴ ， ，
∵∠CAP=90°，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵∠AOC=∠AMP=90°，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ （舍）， ，
∴ ，∴点 ．
2．（2022·山东滨州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴相交于点A、B
（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，连接 ．
(1)求线段AC的长；
(2)若点Р为该抛物线对称轴上的一个动点，当 时，求点P的坐标；
(3)若点M为该抛物线上的一个动点，当 为直角三角形时，求点M的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3) 或 或 或
【分析】（1）根据解析式求出A，B，C的坐标，然后用勾股定理求得AC的长；
（2）求出对称轴为x=1，设P（1，t），用t表示出PA2和PC2的长度，列出等式求解即可；
（3）设点M（m,m2-2m-3），分情况讨论，当 ， ，
分别列出等式求解即可．
（1）
与x轴交点：
令y=0，解得 ，即A（-1，0），B（3，0），
与y轴交点：
令x=0，解得y=-3，
即C（0，-3），
∴AO=1,CO=3,
∴ ;
（2）
抛物线 的对称轴为：x=1，
设P（1，t），
∴ ， ，
∴
∴t=-1，
∴P（1，-1）；
（3）
设点M（m,m2-2m-3），
，
，
,
①当 时，
，
解得， （舍）， ，
∴M（1，-4）；
②当 时，
，解得， ， （舍），
∴M（-2，5）；
③当 时，
，
解得， ，
∴M 或 ；
综上所述：满足条件的M为 或 或 或 ．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了与坐标轴交点、线段求值、存在直角三角形等知识，解题的关键
是学会分类讨论的思想，属于中考压轴题．
◎存在性问题之等腰三角形的存在性问题
【技巧】等腰三角形的存在性先利用圆规把满足条件的点求出来，再求坐标，以免漏掉。一般是画圆和作
中垂线。3．（2022·广西贺州·中考真题）如图，抛物线 过点 ，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P为抛物线对称轴上一动点，当 是以BC为底边的等腰三角形时，求点P的坐标；
(3)在（2）条件下，是否存在点M为抛物线第一象限上的点，使得 ？若存在，求出点M的横
坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1) ；
(2)点P坐标为 ；
(3)存在，
【分析】（1）把 代入 即可的得出抛物线解析式；
（2）依题意可得出即P点在 的平分线上且在抛物线的对称轴上利用等腰三角形的性质，即可得出
P点的坐标；
（2）利用铅垂线ME，即可表达出 ，再由 即可列出方程求解．
（1）
根据题意，得
，
解得 ，
抛物线解析式为： ．
（2）
由（1）得 ，
点 ，且点 ，
．
∵当 是以BC为底边的等腰三角形
∴PC=PB，
∵OP=OP，
∴ ，
∴ ，设抛物线的对称轴与 轴交于H点，则 ，
∴ ，
∴ ，
∵抛物线对称轴 ，
∴ ，
∴ ，
．
点P坐标为 ．
（3）
存在．
理由如下：过点M作 轴，交BC于点E，交x轴于点F．
设 ，则 ，
设直线BC的解析式为： ，依题意，得：
，
解得 ，
直线BC的解析式为： ，
当 时， ，点E的坐标为 ，
∵点M在第一象限内，且在BC的上方，
，
，
．
∵ ，
，
解得 ．
【点睛】此题考查了求抛物线的解析式、等腰三角形的存在性问题，三角形的面积，掌握待定系数法求抛
物线的解析式，等腰三角形与函数的特征，三角形面积与函数的做法是解题的关键．
4．（2019·辽宁本溪·中考真题）抛物线 与 轴交于 两点，顶点为 ，对
称轴交 轴于点 ，点 为抛物线对称轴 上的一动点（点 不与 重合）．过点 作直线 的垂线
交 于点 ，交 轴于点 ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当 的面积为 时，求点 的坐标；
(3)当△PCF为等腰三角形时，请直接写出点 的坐标．
【答案】(1) ；
(2) ， ；
(3) 或 或 或 ．【分析】 把 代入函数，利用交点式求解即可．
先求出点C，设点 然后得函数 的表达式为： 设直线CE的表达式为
y=kx+h，根据 ，证明 ，推出直线 表达式中的 值为 ，求出直线 的表达式为
，联立①②并解得： ，求出 ，利用 的面积为 ，求出
m即可；
由点 的坐标得： 分别算出 ， ，
时的m即可．
(1)
解：将抛物线化为交点式：
将 代入可得
故抛物线解析式为 ．
(2)
将抛物线化为顶点式：
则点C的坐标为 抛物线对称轴为x=2，
设点
将点 的坐标代入一次函数表达式： 得： ，
解得： ，代入一次函数表达式，
函数 的表达式为：设直线PB与y轴的交点为G(0，g)，
则当x=0时， ，点G坐标为
设直线CE的表达式为y=kx+h，CE与y轴的交点为H，
则x=0时，y=h，y=0时， ，
所以点H的坐标为(0，h)，点F的坐标为 ，
∵ ， ，
∴ ，
又∵∠HOF=∠BOG=90°，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，解得：
∴直线 表达式为 ，
将点 的坐标代入 ，得 ，解得 ，
∴直线 的表达式为：
∵点F的坐标为 ， ，
故点F坐标为 ，
∵直线CE与x轴交于点F，
∴DF为△CPF中CP边上的高，
∵DF= ，CP=2-m，
∴
解得： 或 ，
故点P的坐标为 或 ．
(3)
∵点 的坐标为 ，点P的坐标为 ，点C的坐标为 ，∴
①当 时，即： ，解得 或 （m=0时点P与点D重合，与题意不符，舍
去），
②当 时， ，解得： ，
③当 时， ，解得： （m=0时点P与点C重合，与题意不符，舍
去），
故点P的坐标为： 或 或 或 ．
【点睛】本题考查的是抛物线，熟练掌握抛物线的性质，等腰三角形是解题的关键，解题时要注意分析等
腰三角形任意两边都有可能相等．
◎存在性问题之（特殊）平行四边形的存在性问题
5．（2022·四川资阳·中考真题）已知二次函数图象的顶点坐标为 ，且与x轴交于点 ．(1)求二次函数的表达式；
(2)如图，将二次函数图象绕x轴的正半轴上一点 旋转 ，此时点A、B的对应点分别为点C、D．
①连结 ，当四边形 为矩形时，求m的值；
②在①的条件下，若点M是直线 上一点，原二次函数图象上是否存在一点Q，使得以点B、C、M、
Q为顶点的四边形为平行四边形，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1) （或 ）
(2)① ，②存在符合条件的点Q，其坐标为 或 或
【分析】（1）根据二次函数的图象的顶点坐标，设二次函数的表达式为 ，再把 代
入即可得出答案；
（2）①过点 作 轴于点E，根据 ，又因为 ，证明出
，从而得出 ，将 ， ， 代入即可求出m的值；
②根据上问可以得到 ，点M的横坐标为4， ，要让以点B、C、M、Q为顶点的平行四边
形，所以分为三种情况讨论：1）当以 为边时，存在平行四边形为 ；2）当以 为边时，存在
平行四边形为 ；3）当以 为对角线时，存在平行四边形为 ；即可得出答案．
（1）
∵二次函数的图象的顶点坐标为 ，∴设二次函数的表达式为 ，
又∵ ，∴ ，
解得： ，
∴ （或 ）；
（2）
①∵点P在x轴正半轴上，
∴ ，
∴ ，
由旋转可得： ，
∴ ，
过点 作 轴于点E，
∴ ， ，
在 中， ，
当四边形 为矩形时， ，
∴ ，
又 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得 ；②由题可得点 与点C关于点 成中心对称，
∴ ，
∵点M在直线 上，
∴点M的横坐标为4，
存在以点B、C、M、Q为顶点的平行四边形，
1）、当以 为边时，平行四边形为 ，
点C向左平移8个单位，与点B的横坐标相同，
∴将点M向左平移8个单位后，与点Q的横坐标相同，
∴ 代入 ，
解得： ，
∴ ，
2）、当以 为边时，平行四边形为 ，
点B向右平移8个单位，与点C的横坐标相同，
∴将M向右平移8个单位后，与点Q的横坐标相同，
∴ 代入 ，
解得： ，∴ ，
3）、当以 为对角线时，
点M向左平移5个单位，与点B的横坐标相同，
∴点C向左平移5个单位后，与点Q的横坐标相同，
∴ 代入 ，
得： ，
∴ ，
综上所述，存在符合条件的点Q，其坐标为 或 或 ．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，中心对称，平行四边形的存在性
问题，矩形的性质，熟练掌握以上性质并作出辅助线是本题的关键．
6．（2022·湖南郴州·中考真题）已知抛物线 与x轴相交于点 ， ，与y轴相交
于点C．
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图1，将直线BC间上平移，得到过原点O的直线MN．点D是直线MN上任意一点．
①当点D在抛物线的对称轴l上时，连接CD，关x轴相交于点E，水线段OE的长；
②如图2，在抛物线的对称轴l上是否存在点F，使得以B，C，D，F为顶点的四边形是平行四边形？若存
在，求出点F与点D的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)(2)① ；②在点F，使得以B，C，D，F为顶点的四边形是平行四边形．当点F的坐标为 时，点
D的坐标： 或 ；当点F的坐标为 时，点D的坐标： ．
【分析】(1)把 ， 代入 即可得出抛物线的表达式；
（2）①求出直线BC解析式： ，再由直线MN： 及抛物线的对称轴： ，即可得出 ．
进而得出直线CD的解析式为： ，即可得出答案；②分以BC为边时，即 ， ，
以及分以BC为对角线时，进行讨论即可得出答案 ．
（1）
解：将点 ， 代入 得：
解得
∴抛物线的表达式为 ．
（2）
①由（1）可知： ，
设直线BC： ，将点 ， 代入得：
解得
∴直线BC： ，则直线MN： ．∵抛物线的对称轴： ，
把 代入 ，得 ，
∴ ．
设直线CD： ，将点 ， 代入得：
解得
∴直线CD： ．
当 时，得 ，
∴ ，
∴ ．
②存在点F，使得以B，C，D，F为项点的四边形是平行四边形．
理由如下：
（I）若平行四边形以BC为边时，由 可知，FD在直线MN上，
∴点F是直线MN与对称轴l的交点，即 ．
由点D在直线MN上，设 ．如图2-1，若四边形BCFD是平行四边形，则 ．
过点D作y轴的垂线交对称轴l于点G，则 ．
∵ ，
∴ ，
∵ 轴，
∴ ，
∴ ．
又∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，解得 ．
∴ ，
如图2-2，若四边形BCDF是平行四边形，则 ．
同理可证： ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，解得 ．
∴
（II）若平行四边形以BC为对角线时，由于点D在BC的上方，则点F一定在BC的下方．
∴如图2-3，存在一种平行四边形，即 ．设 ， ，同理可证： ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ．
解得
∴ ， ．
综上所述，存在点F，使得以B，C，D，F为顶点的四边形是平行四边形．
当点F的坐标为 时，点D的坐标： 或 ；
当点F的坐标为 时，点D的坐标： ．
【点睛】本题考查了二次函数的综合题，涉及了待定系数法，二次函数的性质，平行四
边形的性质，熟练掌握相关知识，正确进行分类讨论是解题的关键.
◎存在性问题之等腰直角三角形7．（2022·山东东营·中考真题）如图，抛物线 与x轴交于点 ，点 ，与
y轴交于点C．
(1)求抛物线的表达式；
(2)在对称轴上找一点Q，使 的周长最小，求点Q的坐标；
(3)点P是抛物线对称轴上的一点，点M是对称轴左侧抛物线上的一点，当 是以 为腰的等腰直角
三角形时，请直接写出所有点M的坐标．
【答案】(1)
(2)（1，-2）
(3)（-1，0）或（ ，-2）或（ ，2）
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）先求出点C的坐标和抛物线的对称轴，如图所示，作点C关于直线 的对称点E，连接AE，EQ，则点E的坐标为（2，-3），根据轴对称最短路径可知AE与抛物线对称轴的交点即为点Q；
（3）分两种情况当∠BPM=90°和当∠PBM=90°两种情况讨论求解即可．
（1）
解：∵抛物线 与x轴交于点 ，点 ，
∴ ，
∴ ，
∴抛物线解析式为 ；
（2）
解：∵抛物线解析式为 ，与y轴交于点C，
∴抛物线对称轴为直线 ，点C的坐标为（0，-3）
如图所示，作点C关于直线 的对称点E，连接AE，EQ，则点E的坐标为（2，-3），
由轴对称的性质可知CQ=EQ，
∴△ACQ的周长=AC+AQ+CQ，
要使△ACQ的周长最小，则AQ+CQ最小，即AQ+QE最小，
∴当A、Q、E三点共线时，AQ+QE最小，
设直线AE的解析式为 ，
∴ ，
∴ ，
∴直线AE的解析式为 ，
当 时， ，
∴点Q的坐标为（1，-2）；（3）
解： 如图1所示，当点P在x轴上方，∠BPM=90°时，过点P作 轴，过点M作MF⊥EF于F，过点
B作BE⊥EF于E，
∵△PBM是以PB为腰的等腰直角三角形，
∴PA=PB，∠MFP=∠PEB=∠BPM=90°，
∴∠FMP+∠FPM=∠FPM+∠EPB=90°，
∴∠FMP=∠EPB，
∴△FMP≌△EPB（AAS），
∴PE=MF，BE=PF，
设点P的坐标为（1，m），
∴ ，
∴ ， ，
∴点M的坐标为（1-m，m-2），
∵点M在抛物线 上，∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得 或 （舍去），
∴点M的坐标为（-1，0）；
同理当当点P在x轴下方，∠BPM=90°时可以求得点M的坐标为（-1，0）；
如图2所示，当点P在x轴上方，∠PBM=90°时，过点B作 轴，过点P作PE⊥EF于E，过点M作
MF⊥EF于F，设点P的坐标为（1，m），
同理可证△PEB≌△BFM（AAS），
∴ ，
∴点M的坐标为（3-m，-2），
∵点M在抛物线 上，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得 或 （舍去），
∴点M的坐标为（ ，-2）；如图3所示，当点P在x轴下方，∠PBM=90°时，
同理可以求得点M的坐标为（ ，2）；
综上所述，当△PMB是以PB为腰的等腰直角三角形时，点M的坐标为（-1，0）或（ ，-2）或（
，2）．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数综合，一次函数与几何综合，全等三角
形的性质与判定等等，熟知二次函数的相关知识是解题的关键．
8．（2022·山东枣庄·中考真题）如图①，已知抛物线L：y＝x2+bx+c的图象经过点A（0，3），B（1，
0），过点A作AC x轴交抛物线于点C，∠AOB的平分线交线段AC于点E，点P是抛物线上的一个动点．
(1)求抛物线的关系式；(2)若动点P在直线OE下方的抛物线上，连结PE、PO，当 OPE面积最大时，求出P点坐标；
(3)将抛物线L向上平移h个单位长度，使平移后所得抛物线△的顶点落在 OAE内（包括 OAE的边界），
求h的取值范围； △ △
(4)如图②，F是抛物线的对称轴l上的一点，在抛物线上是否存在点P，使 POF成为以点P为直角顶点
的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存△在，请说明理由．
【答案】(1)抛物线的解析式为：y＝x2﹣4x+3
(2)P点坐标为（ ， ）
(3)h的取值范围为3≤h≤4
(4)存在，点P的坐标是（ ， ）或（ ， ）或（ ， ）或（ ，
）
【分析】（1）利用待定系数法可得抛物线的解析式；
（2）过P作PG y轴，交OE于点G，设P（m，m2﹣4m+3），根据OE的解析式表示点G的坐标，表示
PG的长，根据面积和可得 OPE的面积，利用二次函数的最值可得其最大值；
（3）求出原抛物线的对称轴△和顶点坐标以及对称轴与OE的交点坐标、与AE的交点坐标，用含h的代数
式表示平移后的抛物线的顶点坐标，列出不等式组求出h的取值范围；
（4）存在四种情况：作辅助线，构建全等三角形，证明 OMP≌△PNF，根据|OM|＝|PN|，列方程可得点P
的坐标；同理可得其他图形中点P的坐标． △
（1）解：∵抛物线L：y＝x2+bx+c的图象经过点A（0，3），B（1，0），∴ ，解得 ，
∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣4x+3；（2）如图1，过P作PG y轴，交OE于点G， 设P（m，m2﹣4m+3），
∵OE平分∠AOB，∠AOB＝90°，∴∠AOE＝45°，∴△AOE是等腰直角三角形，∴AE＝OA＝3，∴E
（3，3），设直线OE的解析式为y＝kx，把点（3，3）代入得，3＝3k，解得k＝1，∴直线OE的解析式
为：y＝x，∴G（m，m），∴PG＝m﹣（m2﹣4m+3）＝﹣m2+5m﹣3，∴S OPE＝S OPG+S EPG
△ △ △
PG•AE 3×（﹣m2+5m﹣3） （m2﹣5m+3） （m ）2 ，∵ 0，∴当m 时，
OPE面积最大，此时m2﹣4m+3＝ ，∴P点坐标为（ ， ）；
△
（3）由y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，得抛物线l的对称轴为直线x＝2，顶点为（2，﹣1），抛物线L向上
平移h个单位长度后顶点为F（2，﹣1+h）．设直线x＝2交OE于点M，交AE于点N，则N（2，3），如图2， ∵直线OE的解析式为：y＝x，∴M（2，2），∵点F在 OAE内
△
（包括 OAE的边界），∴2≤﹣1+h≤3，解得3≤h≤4；
（4）设△P（m，m2﹣4m+3），分四种情况：①当P在对称轴的左边，且在x轴下方时，如图3，过P作
MN⊥y轴，交y轴于M，交l于N， ∴∠OMP＝∠PNF＝90°，∵△OPF
是等腰直角三角形，∴OP＝PF，∠OPF＝90°，∴∠OPM+∠NPF＝∠PFN+∠NPF＝90°，∴∠OPM＝
∠PFN，∴△OMP≌△PNF（AAS），∴OM＝PN，∵P（m，m2﹣4m+3），则﹣m2+4m﹣3＝2﹣m，解得：m 或 ，∵m ＞2，不合题意，舍去，∴m ，此时m2﹣4m+3＝ ，∴P
的坐标为（ ， ）；②当P在对称轴的左边，且在x轴上方时，同理得：2﹣m＝m2﹣4m+3，解
得：m 或m ，∵ ＞2，不合题意，舍去，∴m＝ ，此时m2﹣4m+3＝ ，∴P
1 2
的坐标为（ ， ）；③当P在对称轴的右边，且在x轴下方时，如图4，过P作MN⊥x轴于N，
过F作FM⊥MN于M， 同理得 ONP≌△PMF，∴PN＝FM，则﹣
△m2+4m﹣3＝m﹣2，解得：m 或m ；∵ ＜2，不合题意，舍去，∴m＝ ，此时m2﹣
1 2
4m+3＝ ，P的坐标为（ ， ）；④当P在对称轴的右边，且在x轴上方时，如图5，
同理得m2﹣4m+3＝m﹣2，解得：m 或 （舍），P的坐标为：
（ ， ）；综上所述，点P的坐标是：（ ， ）或（ ， ）或（ ，
）或（ ， ）．
【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数的综合应用，二次函数的图象与性质及图形的平
移，全等三角形的判定与性质以及解一元二次方程的方法，运用分类讨论思想和方程的思想是解决问题的
关键．
◎存在性问题之相似三角形的存在性问题（人教版九下内容）9．（2022·四川绵阳·中考真题）如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c交x轴于A(-1，0)，B两点，交y轴于点
C(0，3)，顶点D的横坐标为1．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在y轴的负半轴上是否存在点P使∠APB＋∠ACB＝180°．若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说
明理由；
(3)过点C作直线l与y轴垂直，与抛物线的另一个交点为E，连接AD，AE，DE，在直线l下方的抛物线上
是否存在一点M，过点M作MF⊥l，垂足为F，使以M，F，E三点为顶点的三角形与ΔADE相似？若存在，
请求出M点的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)y=-x2+2x+3；
(2)存在，P（0，-1）使∠APB＋∠ACB＝180°，理由见解析；
(3)存在点M，使以M，F，E三点为顶点的三角形与ΔADE相似，此时点M的坐标为（3，0）或（-3，-
12）或
【分析】（1）由抛物线的对称轴可得点B的坐标，由此设出交点式，代入点C的坐标，即可得出抛物线
的解析式；
（2）由题意可知，点A，C，B，P四点共圆，画出图形，即可得出点P的坐标；
（3）由抛物线的对称性可得出点E的坐标，点D的坐标，根据两点间的距离公式可得出AD，DE，AE的长，可得出△ADE是直角三角形，且DE∶AE=1：3，再根据相似三角形的性质可得出EF和FM的比例，由
此可得出点M的坐标．
（1）
解：∵顶点D的横坐标为1，
∴抛物线的对称轴为直线x=1，
∵A（-1，0），
∴B（3，0），
设抛物线的解析式为：y=a（x+1）（x-3），
把C（0，3）代入抛物线的解析式得：
-3a=3，解得a=-1，
∴抛物线的解析式为：y=-（x+1）（x-3）=-x2+2x+3；
（2）
存在，P（0，-1），理由如下：
∵∠APB+∠ACB=180°，
∴∠CAP+∠CBP=180°，
∴点A，C，B，P四点共圆，
如图所示，
∵点A（0，-1），B（3，0），C（0，3），
∴OB=OC=3，
∴∠OCB=∠OBC=45°，
∴∠APC=∠ABC=45°，
∴△AOP是等腰直角三角形，
∴OP=OA=1，∴P（0，-1）；
（3）
解：存在，理由如下：
∵y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，
∴D（1，4），
由抛物线的对称性得：E（2，3），
∵A（-1，0），
∴ ，
∴ ，
∴△ADE是直角三角形，且∠AED=90°，DE∶AE=1∶3，
∵点M在直线l下方的抛物线上，
设 ，则t＞2或t＜0，
∵MF⊥l，
∴点F（t，3），
∴ ， ，
∵以M，F，E三点为顶点的三角形与ΔADE相似，
∴ 或 ，
∴ 或 ，
解得t=2（舍去） 或t=3或t=-3或 （舍去）或 ，∴点M的坐标为（3，0）或（-3，-12）或 ，
综上所述，存在点M，使以M，F，E三点为顶点的三角形与ΔADE相似，此时点M的坐标为（3，0）或
（-3，-12）或 ．
【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查待定系数法求函数解析式，圆内四边形的性质，相似三角形
的性质与判定，分类讨论思想等，第（2）问得出四点共固是解题关键；第（3）问得出△ADE是直角三角
形并得出AD∶AE的值是解题关键．
10．（2022·湖北恩施·中考真题）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线 与y轴交于点
．
(1)直接写出抛物线的解析式．
(2)如图，将抛物线 向左平移1个单位长度，记平移后的抛物线顶点为Q，平移后的抛物线与x
轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点C．判断以B、C、Q三点为顶点的三角形是否为
直角三角形，并说明理由．
(3)直线BC与抛物线 交于M、N两点（点N在点M的右侧），请探究在x轴上是否存在点T，使
得以B、N、T三点为顶点的三角形与 相似，若存在，请求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．(4)若将抛物线 进行适当的平移，当平移后的抛物线与直线BC最多只有一个公共点时，请直接
写出拋物线 平移的最短距离并求出此时抛物线的顶点坐标．
【答案】(1)
(2)以B、C、Q三点为顶点的三角形是直角三角形，理由见解析
(3)存在， 或 ，
(4)最短距离为 ，平移后的顶点坐标为
【分析】（1）待定系数法求二次函数解析式；
（2）分别求得B、C、Q的坐标，勾股定理的逆定理验证即可求解；
（3）由 ，故分两种情况讨论，根据相似三角形的性质与判定即可求解；
（4）如图，作 且与抛物线只有1个交点，交 轴于点 ，过点 作 于点 ，则 是等
腰直角三角形，作 于 ，进而求得直线 与 的距离，即为所求最短距离，进而求得平移方式，
将顶点坐标平移即可求解．
(1)
解：∵抛物线 与y轴交于点
∴
抛物线解析式为
(2)
以B、C、Q三点为顶点的三角形是直角三角形，理由如下：
的顶点坐标为
依题意得，
平移后的抛物线解析式为令 ，解
得
令 ，则 ，即
以B、C、Q三点为顶点的三角形是直角三角形
(3)
存在， 或 ，理由如下，
， ，
是等腰直角三角形
设直线 的解析式为 ，
则 ，
解得 ，
直线 的解析式为 ，
联立
解得 ，， ， 是等腰直角三角形
，
设直线 的解析式为 ,
直线 的解析式为
当 时，
设 的解析式为 ，由NT过点
则
解得
的解析式为 ，
令解得
，
②当 时，则
即
解得
综上所述， 或
(4)
如图，作 ，交 轴于点 ，过点 作 于点 ，则 是等腰直角三角形，作 于直线 的解析式为
设与 平行的且与 只有一个公共点的直线 解析式为
则
整理得：
则
解得
直线 的解析式为
，
即拋物线 平移的最短距离为 ，方向为 方向
∴把点P先向右平移EF的长度，再向下平移FC的长度即得到平移后的坐标
平移后的顶点坐标为 ，即【点睛】本题是二次函数综合，考查了相似三角形的性质，求二次函数与一次函数解析式，二次函数图象
的平移，勾股定理的逆定理，正确的添加辅助线以及正确的计算是解题的关键．
