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齐次化巧解圆锥曲线问题 【知识拓展】 圆锥曲线的定义、定值、弦长、面积，很多都可以转化为斜率问题，当圆锥曲线 遇到斜率之和或者斜率之积，以往我们的常用解法是设直线y＝kx＋b，与圆锥 曲线方程联立得方程组，利用根与系数的关系，再将斜率之和或之积的式子通分 后，将x1＋x2和x1·x2代入，得到关于k，b 的式子.解法不难，计算量较为复杂. 如果采用齐次化解决，直接得到关于k 的方程，会使题目计算量大大减少. “齐次”即次数相等的意思，例如f(x)＝ax2＋bxy＋cy2称为二次齐式，即为二次 齐次式的意思，因为f(x)中每一项都是关于x，y 的二次项. 如果公共点在原点，不需要平移.如果不在原点，先平移图形，将公共点平移到 原点，无论如何平移，直线斜率是不变的.注意平移口诀是“左加右减，上减下 加”，你没有看错，“上减下加”，因为是在等式与y 同侧进行加减，我们以往 记的“上加下减”都是在等式与y 的异侧进行的. 例：y＝kx＋b 向上平移1 个单位，变为y＝kx＋b＋1，即y－1＝kx＋b，＋＝1 向 上平移1 个单位， 变为＋＝1. 设平移后的直线为mx＋ny＝1(为什么这样设？ ∵这样齐次化更加方便，相当于“1”的妙用)，与平移后的圆锥曲线方程联立， 一次项乘以mx＋ny，常数项乘以(mx＋ny)2，构造Ay2＋Bxy＋Cx2＝0，然后等式 两边同时除以x2(前面注明x 不等于0)，得到A·＋B·＋C＝0，可以直接利用根与 系数的关系得出斜率之和或斜率之积，＋＝－，·＝，即可得出答案.如果是过定 点题目，还需要还原，之前如何平移，现在反平移回去. 总结解法为：①平移；②联立并齐次化；③同除以x2；④根与系数的关系，证明 完毕，若过定点，还需要还原. 优点：大大减小计算量，提高准确率！缺点：mx＋ny＝1 不能表示过原点的直线， 少量题目需要讨论. 【类型突破】 类型一 常数代换＋齐次化 例1 已知椭圆C：＋＝1，直线l：y＝kx＋m(m≠0)，设直线l 与椭圆C 相交于 A，B 两点.直线OA，AB，OB 的斜率成等比数列(其中O 为坐标原点)，求△OAB 的面积的取值范围. 解 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则kOA·kOB＝·， 联立直线与椭圆方程可得＋＝， 整理可得(6－3m2)y2－12kxy＋(6k2－2m2)x2＝0， 同除x2得(6－3m2)－12k＋(6k2－2m2)＝0， 由根与系数的关系得·＝， 即kOA·kOB＝＝k2，解得k2＝， 将直线l：y＝kx＋m(m≠0)代入椭圆方程＋＝1， 可得(3k2＋2)x2＋6kmx＋3m2－6＝0， 由根与系数的关系得x1＋x2＝＝－km， x1x2＝＝， 所以|AB|＝＝， 点O 到直线l 的距离d＝， 所以S△OAB＝|AB|d＝≤， 但当m＝±，直线OA 或直线OB 斜率不存在，所以取不到等号， 故S△OAB∈. 规律方法 借助直线方程变形出1 的等式，再平方，然后替换椭圆方程中常数项， 使得方程化为关于x，y 的齐二次式，称为齐次化. 训练1 已知A，B 是抛物线y2＝4x 上的两点，且满足OA⊥OB(O 为坐标原点)， 求证：直线AB 经过一个定点. 证明 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由OA⊥OB，得kOA·kOB＝·＝－1. 令直线AB：mx＋ny＝1(不过原点O)， 则y2＝4x(mx＋ny)，即y2－4mx2－4nxy＝0， ∴－4n－4m＝0，·＝－4m＝－1，m＝， 代入mx＋ny＝1，得x＋ny＝1，即(x－4)＋ny＝0， 故直线AB 过定点(4，0). 类型二 平移变换＋齐次化 例2 已知椭圆C ：＋＝1 过点A(2 ，1). 点M ，N 在C 上，且AM⊥AN ， AD⊥MN，D 为垂足.证明：存在定点Q，使得|DQ|为定值. 证明 将椭圆C 的图形向左平移2 个单位，向下平移1 个单位得到C′：＋＝1， 同理点A 平移后为A′(0，0)， 设平移后直线M′N′：mx＋ny＝1 和椭圆C′联立， 可得x2＋2y2＋(4x＋4y)(mx＋ny)＝0， 即(4n＋2)y2＋(4m＋4n)xy＋(4m＋1)x2＝0， 两边同除以x2得(4n＋2)＋(4m＋4n)＋(4m＋1)＝0. ∵AM⊥AN， ∴kAM·kAN＝－1，即kA′M′·kA′N′＝－1 由根与系数的关系得＝－1， 变形可得m＋n＝1， 所以直线M′N′过定点， 所以平移前直线MN 过定点P. 因为AD⊥MN， 所以点D 在以AP 为直径的圆上，AP 中点即为圆心Q. 此时|DQ|为定值，|DQ|＝|AP|＝. 规律方法 1.如本例，由于AM⊥AN，AM 与AN 有公共点A，我们平移图形使A 与坐标原点重合，然后再运用齐次化方法求解. 2.平移变换不改变图形的大小和形状，但点的坐标和有关线的方程均发生改变. 训练2 (2024·贵阳模拟节选)已知双曲线C：－y2＝1，点A(－4，－1)，过点(0， 1)的直线交双曲线C 于P，Q 两点，直线AP 和直线AQ 与x 轴的交点分别为M， N，求证：MN 的中点为定点. 证明 将双曲线的图形向右平移4 个单位，向上平移1 个单位得到－(y－1)2＝ 1， 整理得8y2－16y＋8x－x2＝0. 同理点A 平移后为A′(0，0)， 设平移后直线P′Q′：mx＋ny＝1， 又直线P′Q′过(0，1)平移后的点(4，2). 所以4m＋2n＝1，即m＝－n. 联立得(2n－1)＋(2m－n)－＝0， 则kA′P′＋kA′Q′＝＝，kA′P′·kA′Q′＝＝， 所以＋＝4，即＋＝4. 又直线AP：y＋1＝kAP(x＋4)， 令y＝0，得xM＝－4， 同理xN＝－4， 故(xM＋xN)＝－4＝－2， 所以MN 中点为定点(－2，0). 【精准强化练】 1.(2024·哈尔滨模拟改编)已知抛物线C：y2＝2x，动直线l 与C 交于A，B 两点， O 为坐标原点，直线OA，OB 的倾斜角分别为α 和β，若α＋β＝，证明直线l 过 定点，并求出该定点坐标. 证明 设k1＝tan α，k2＝tan β，由α＋β＝， 则tan(α＋β)＝＝＝－1， 即k1＋k2＝k1k2－1， 设直线l：mx＋ny＝1，代入y2＝2x， 得y2＝2x(mx＋ny)，即y2＝2mx2＋2nxy， ∴－2n－2m＝0， ∴ 故2n＝－2m－1，即－2m－2n＝1， 与mx＋ny＝1 对比知，直线l 过定点(－2，－2). 2.已知椭圆C：＋＝1，A，E，F 是C 上的两个动点，如果直线AE，AF 的斜率 互为相反数，证明直线EF 的斜率为定值，并求出这个定值. 证明 显然点A 在椭圆C 上，将椭圆C 的图形向左平移1 个单位，再向下平移 个单位，得到 C′：＋＝1，即x2＋x＋＋y＝0， 同理点A 平移后为点A′(0，0)， 设平移后直线E′F′：mx＋ny＝1， 则有x2＋x(mx＋ny)＋＋y(mx＋ny)＝0， 亦即x2＋xy＋y2＝0， 即＋＋＝0， 由于kAE＋kAF＝0，则kA′E′＋kA′F′＝0， 即－＝0. ∴m＝－n，代入mx＋ny＝1，得－nx＋ny＝1， 所以直线E′F′的斜率为定值. 故直线EF 的斜率为定值.
