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概率与函数、导数 【知识拓展】 概率与函数、导数的综合问题主要涉及概率、均值的最值，解题的关键是搞清各 数据、各事件之间的联系，建立相应的数学模型，利用函数、导数或不等式求解. 【类型突破】 类型一 利用函数、导数求最值 例1 (2024·台州模拟)台州是全国三大电动车生产基地之一，拥有完整的产业链 和突出的设计优势.某电动车公司为了抢占更多的市场份额，计划加大广告投入. 该公司近5 年的年广告费xi(单位：百万元)和年销售量yi(单位：百分辆)关系如图 所示.令vi＝ln xi(i＝1，2，…，5)，数据经过初步处理得 ∑yi ∑vi ∑(xi－x)2 ∑(yi－y)2 ∑(vi－v)2 ∑(xi－x)· (yi－y) ∑(yi－y)· (vi－v) 44 4.8 10 40.3 1.612 19.5 8.06 现有①y＝bx＋a和②y＝nln x＋m两种方案作为年销售量y 关于年广告费x 的回归 分析模型，其中a，b，m，n均为常数. (1)请从相关系数的角度分析哪一个模型拟合程度更好？ (2)根据(1)的分析选取拟合程度更好的回归分析模型及表中数据，求出y 关于x 的经验回归方程，并预测年广告费为6(百万元)时，产品的年销售量是多少？ (3)该公司生产的电动车毛利润为每辆200 元(不含广告费、研发经费).该公司在加 大广告投入的同时也加大研发经费的投入，年研发经费为年广告费的199 倍.电 动车的年净利润受年广告费和年研发经费影响外还受随机变量ξ 影响，设随机变 量ξ 服从正态分布N(600，σ2)，且满足P(ξ>800)＝0.3.在(2)的条件下，求该公司 年净利润的最大值大于1 000(百万元)的概率.(年净利润＝毛利润×年销售量－年 广告费－年研发经费－随机变量). 附：①相关系数r＝， 回归方程 y＝ a＋ bx 中公式分别为 b＝， a＝y－ bx； ②参考数据：＝8.06，≈20.1，ln 5≈1.6，ln 6≈1.8. 解 (1)设模型①和②的相关系数分别为r1，r2. 由题意可得r1＝＝≈≈0.97， r2＝＝＝＝1. 所以|r1|<|r2|，由相关系数的相关性质可得，模型②的拟合程度更好. (2)因为 n＝＝＝5， 又由v＝∑vi＝0.96，y＝∑yi＝8.8， 得m＝y－5v＝8.8－0.96×5＝4， 所以y＝5v＋4，即回归方程为y＝5ln x＋4. 当x＝6 时，y＝5ln 6＋4≈13， 因此当年广告费为6(百万元)时，产品的销售量大概是13(百万辆). (3)净利润为200×(5ln x＋4)－200x－ξ(x>0)， 令g(x)＝200×(5ln x＋4)－200x－ξ， 所以g′(x)＝－200. 可得y＝g(x)在(0，5)上为增函数，在(5，＋∞)上为减函数. 所以g(x)max＝g(5)＝200×(5ln 5＋4－5)－ξ≈1 400－ξ， 由题意得1 400－ξ>1 000，即ξ<400，P(ξ<400)＝P(ξ>800)＝0.3， 即该公司年净利润大于1 000(百万元)的概率为0.3. 易错提醒 构造函数求最值时，要注意变量的选取，以及变量自身的隐含条件对 变量范围的限制. 训练1 (2024·汕头模拟)2023 年11 月，我国教育部发布了《中小学实验教学基本 目录》，内容包括高中数学在内共有16 个学科900 多项实验与实践活动. 我市某学校的数学老师组织学生到“牛田洋”进行科学实践活动，在某种植番石 榴的果园中，老师建议学生尝试去摘全园最大的番石榴，规定只能摘一次，并且 只可以向前走，不能回头.结果，学生小明两手空空走出果园，因为他不知道前 面是否有更大的，所以没有摘，走到前面时，又发觉总不及之前见到的，最后什 么也没摘到. 假设小明在果园中一共会遇到n 颗番石榴(不妨设n 颗番石榴的大小各不相同)， 最大的那颗番石榴出现在各个位置上的概率相等，为了尽可能在这些番石榴中摘 到那颗最大的，小明在老师的指导下采用了如下策略：不摘前k(1≤k<n)颗番石 榴，自第k＋1 颗开始，只要发现比他前面见过的番石榴大的，就摘这颗番石榴， 否则就摘最后一颗.设k＝tn，记该学生摘到那颗最大番石榴的概率为p. (1)若n＝4，k＝2，求p； (2)当n 趋向于无穷大时，从理论的角度，求p 的最大值及p 取最大值时t 的值. (取＋＋…＋＝ln ) 解 (1)当n＝4，k＝2 时，依题意，4 颗番石榴的位置从第1 个到第4 个排序， 则样本空间含有样本点的个数为A＝24，要摘到那个最大的番石榴，有以下两种 情况： ①最大的番石榴是第3 个，其它的随意在哪个位置，有A＝6 个样本点； ②最大的番石榴是最后1 个，第二大的番石榴是第1 个或第2 个，其它的随意在 哪个位置，有2A＝4 个样本点，所以所求概率为＝. (2)记事件A 表示“最大的番石榴被摘到”，事件Bi表示“最大的番石榴排在第i 颗”，因为最大的番石榴出现在各个位置上的概率相等，所以P(Bi)＝， 由全概率公式知P(A)＝∑P(A|Bi)P(Bi)＝∑P(A|Bi)， 当1≤i≤k 时，最大的番石榴在前k 颗中，不会被摘到，此时P(A|Bi)＝0； 当k＋1≤i≤n 时，最大的番石榴被摘到，当且仅当前i－1 颗番石榴中的最大一 个在前k 颗之中时，此时P(A|Bi)＝， 因此P(A)＝＝ln ， 令g(x)＝ln (x>0)， 求导得g′(x)＝ln －， 由g′(x)＝0，得x＝， 当x∈时，g′(x)>0，当x∈时，g′(x)<0， 即函数g(x)在上单调递增，在上单调递减， 则g(x)max＝g＝， 于是当k＝时，P(A)＝ln 取得最大值， 所以p 的最大值为，此时t 的值为. 类型二 利用作商法求概率的最值 例2 (2024·抚顺模拟)某市共有教师1 000 名，为了解老师们的寒假研修情况，评 选研修先进个人，现随机抽取了10 名教师利用“学习”APP 学习的时长数据(单 位：小时)：35，43，90，83，50，45，82，75，62，35，学习时长不低于80 小 时的教师评为“研修先进个人”. (1)现从该样本中随机抽取3 名教师的学习时长，求这3 名教师中恰有2 名教师是 研修先进个人的概率. (2)若该市所有教师的学习时长X 近似地服从正态分布N(μ，σ2)，其中σ＝10，μ 为抽取的10 名教师学习时长的样本平均数，利用所得正态分布模型解决以下问 题： ①试估计学习时长不低于50 小时的教师的人数(结果四舍五入到整数)； ②若从该市随机抽取的n 名教师中恰有ξ 名教师的学习时长在[50，70]内，则n 为何值时，P(ξ＝10)的值最大？ 附：若随机变量X 服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6 827，P(μ －2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9 545，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9 973. 解 (1)设“抽取的3 名教师中恰有2 名教师是研修先进个人”为事件A. 由题知样本中学习时长不低于80 小时的人数为3，时长低于80 小时的人数为 7， 则P(A)＝＝， 所以这3 名教师中恰有2 名教师是研修先进个人的概率为. (2)①由样本数据知， μ＝＝60，σ＝10. 因为P(X≥50)＝P(X≥μ－σ)＝＋≈0.84 135， 所以0.84 135×1 000≈841，所以，估计学习时长不低于50 小时的教师人数为 841. ②每名教师的学习时长在[50，70]内的概率为P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6 827， 由题意可知ξ～B(n，0.6 827)， 则P(ξ＝10)＝C×0.6 82710×0.3 173n－10， 设f(n)＝C×0.6 82710×0.3 173n－10(n≥10)， 则＝＝. 令>1， 得n<＝13， 所以当n≤13 时，f(n＋1)>f(n)， 令<1，得n>13， 所以当n≥14 时，f(n＋1)<f(n)，所以当n＝14 时，f(n)最大，即使P(ξ＝10)最大 的n 的值为14. 规律方法 求概率的最值，利用函数或导数不易求其最值时，可利用作商法判断 概率表达式的单调性，从而求出其最值. 训练2 某家畜研究机构发现每头成年牛感染H 型疾病的概率是p(0<p<1)，且每 头成年牛是否感染H 型疾病相互独立. (1)记10 头成年牛中恰有3 头感染H 型疾病的概率是f(p)，求当概率p 取何值时， f(p)有最大值？ (2)若以(1)中确定的p 值作为感染H 型疾病的概率，设10 头成年牛中恰有k 头感 染H 型疾病的概率是g(k)，求当k 为何值时，g(k)有最大值？ 解 (1)依题意，10 头成年牛中恰有3 头感染H 型疾病的概率是 f(p)＝Cp3(1－p)7，且0<p<1， 则有f′(p)＝C[3p2(1－p)7－7p3(1－p)6] ＝Cp2(1－p)6(3－10p). 令f′(p)＝0，结合0<p<1，解得p＝0.3. 则当p∈(0，0.3)时，f′(p)>0； 当p∈(0.3，1)时，f′(p)<0. 即函数f(p)在(0，0.3)上单调递增，在(0.3，1)上单调递减，故当概率p＝0.3 时， f(p)有最大值. (2)10 头成年牛中恰有k 头感染H 型疾病的概率是g(k)＝Cpk(1－p)10－k(k＝0，1， 2，…，10)， 由(1)知p＝0.3， 所以＝＝ ＝·· ＝·＝＝1＋， 所以当3.3－k>0，即k<3.3(k∈N)时，>1，g(k)>g(k－1)， 当3.3－k<0，即k>3.3(k≤10，且k∈N)时，g(k)<g(k－1)， 于是g(0)<g(1)<g(2)<g(3)， g(3)>g(4)>…>g(10)， 所以当k＝3 时，g(k)有最大值. 【精准强化练】 1.(2024·邵阳模拟)为了选拔创新型人才，某大学对高三年级学生的数学学科和物 理学科进行了检测(检测分为初试和复试)，共有4 万名学生参加初试.组织者随机 抽取了200 名学生的初试成绩，绘制了频率分布直方图，如图所示. (1)根据频率分布直方图，求a 的值及样本平均数的估计值； (2)若所有学生的初试成绩X 近似服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ 为样本平均数的 估计值，σ＝10.5.规定初试成绩不低于90 分的学生才能参加复试，试估计能参加 复试的人数； (3)复试笔试试题包括两道数学题和一道物理题，已知小明进入了复试，且在复 试笔试中答对每一道数学题的概率均为x，答对物理题的概率为y.若小明全部答 对的概率为，答对两道题的概率为p，求概率p 的最小值. 附：若随机变量X 服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6 827，P(μ －2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9 545，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9 973. 解 (1)∵10×(0.012＋0.026＋0.032＋a＋0.010)＝1，∴a＝0.02. 样本平均数的估计值为50×0.12＋60×0.26＋70×0.32＋80×0.2＋90×0.1＝69. (2)∵μ＝69，σ＝10.5， ∴P(X≥90)＝P(X≥μ＋2σ)≈＝0.02 275. ∴能参加复试的人数约为40 000×0.02 275＝910(人). (3)由题意有x2y＝. 答对两道题的概率p＝x2(1－y)＋Cx(1－x)y＝x2＋2xy－3x2y. 而x2y＝，∴p＝x2＋－. 令f(x)＝x2＋－(0<x≤1)， 则f′(x)＝2x－＝， ∴当x∈时，f′(x)<0，f(x)在内单调递减； x∈时，f′(x)>0，f(x)在内单调递增. ∴当x＝时，f(x)min＝. 故概率p 的最小值为. 2.(2024·新高考Ⅱ卷)某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成.比赛 具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3 次，若3 次都未投中，则该 队被淘汰，比赛成绩为0 分；若至少投中1 次，则该队进入第二阶段.第二阶段 由该队的另一名队员投篮3 次，每次投篮投中得5 分，未投中得0 分，该队的比 赛成绩为第二阶段的得分总和. 某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为p，乙每次投中的概率 为q，各次投中与否相互独立. (1)若p＝0.4，q＝0.5，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于 5 分的概率； (2)假设0<p<q. ①为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15 分的概率最大，应该由谁参加第一阶段 比赛？ ②为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？ 解 (1)设A1＝“甲、乙所在队进入第二阶段”， 则P(A1)＝1－(1－0.4)3＝0.784. 设A2＝“乙在第二阶段至少得5 分”， 则P(A2)＝1－(1－0.5)3＝0.875. 设A3＝“甲、乙所在队的比赛成绩不少于5 分”， 则P(A3)＝P(A1)·P(A2)＝0.686. (2)①设甲参加第一阶段比赛时甲、乙所在队得15 分的概率为P 甲， 则P 甲＝[1－(1－p)3]·q3＝pq3·(3－3p＋p2). 设乙参加第一阶段比赛时甲、乙所在队得15 分的概率为P 乙， 则P 乙＝[1－(1－q)3]·p3＝qp3·(3－3q＋q2). 则P 甲－P 乙＝pq(3q2－3pq2＋p2q2－3p2＋3p2q－p2q2)＝3pq(q－p)·(p＋q－pq)， 由0<p<q≤1，得q－p>0，p＋q－pq＝p＋q(1－p)>0， 所以P 甲－P 乙>0，即P 甲>P 乙. 故应该由甲参加第一阶段比赛. ②若甲参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩X 的所有可能取值为0， 5，10，15. P(X＝0)＝(1－p)3＋[1－(1－p)3]·(1－q)3， P(X＝5)＝[1－(1－p)3]·C·q·(1－q)2， P(X＝10)＝[1－(1－p)3]·C·q2·(1－q)， P(X＝15)＝[1－(1－p)3]·Cq3， 所以E(X)＝[1－(1－p)3]·[15q(1－q)2＋30q2·(1－q)＋15q3]＝[1－(1－p)3]·15q＝ 15pq(p2－3p＋3). 若乙参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩Y 的所有可能取值为0， 5，10，15. 同理，可得E(Y)＝15pq(q2－3q＋3). E(X)－E(Y)＝15pq(p2－3p－q2＋3q)＝15pq·(q－p)·(3－p－q)， 由0<p<q≤1，得q－p>0， 3－p－q＝3－(p＋q)>0， 所以E(X)－E(Y)>0，即E(X)>E(Y). 故应该由甲参加第一阶段比赛.
