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截面或交线问题 【知识拓展】 1.空间几何体截面的主要原理为两个基本事实及两个性质. (1)两个基本事实为： ①如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们相交于过此点的一条直线； ②如果一条直线上的两点在一个平面内， 那么这条直线上所有的点都在这个平面内. (2)两个性质为： ①如果一条直线平行于一个平面，经过这条直线的平面与这个平面相交，那么这 条直线就和交线平行； ②如果两个平面平行，第三个平面和它们相交，那么两条交线平行. 2.立体几何中的截面类型 (1)平面截球：圆面. (2)平面截正方体：三角形、四边形、五边形、六边形. (3)平面截圆柱曲面：圆、椭圆、矩形. (4)平面截圆锥曲面：椭圆、双曲线(单支)、抛物线. 【类型突破】 类型一 截面问题 考向1 多面体中的截面问题 例1 (多选)在立体几何中，用一个平面去截一个几何体得到的平面图形叫截面. 平面α 以任意角度截正方体，所截得的截面图形可能为( ) A.等腰梯形 B.非矩形的平行四边形 C.正五边形 D.正六边形 答案 ABD 解析 画出截面图形如图1，C，D 分别是所在棱的中点， 四边形ABCD 为等腰梯形，故A 正确； 图1 图2 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，作截面EFGH(如图2 所示)交C1D1，A1B1，AB， CD 分别于点E，F，G，H，根据平面平行的性质定理可得四边形EFGH 中， EF∥HG，且EH∥FG，故四边形EFGH 是平行四边形，但不一定是矩形，故B 正确； 图3 图4 经过正方体的一个顶点去切就可得到五边形(如图3 所示)，但此时不可能是正五 边形，故C 错误； 六边形的顶点为正方体各棱的中点，六边形为正六边形(如图4 所示)，故D 正确. 考向2 球的截面问题 例2 已知三棱锥S－ABC 中，SA⊥平面ABC，SA＝AB＝BC＝，AC＝2，点E， F 分别是线段AB，BC 的中点，直线AF，CE 相交于点G，则过点G 的平面α 截 三棱锥S－ABC 的外接球球O 所得截面面积的取值范围是________. 答案 解析 因为AB2＋BC2＝AC2，故AB⊥BC， 又因为SA⊥平面ABC， 故三棱锥S－ABC 的外接球球O 的半径 R＝＝， 取AC 的中点D，连接BD，BD 必过点G，如图所示， 因为AB＝BC＝，故DG＝BD＝， 因为OD＝，故OG2＝＋＝， 则过点G 的平面截球O 所得截面圆的最小半径的平方r2＝－＝； 过点G 的平面截球O 所得截面圆的最大半径为球半径R＝， 故截面面积的最小值为，最大值为， 故截面面积的取值范围是. 规律方法 作几何体截面的方法 (1)利用平行直线找截面； (2)利用相交直线找截面. 训练1 已知正方体ABCD－A1B1C1D1，平面α 满足AC∥α，BC1∥α，若直线AC 到平面α 的距离与BC1到平面α 的距离相等，平面α 与此正方体的各个面都相交， 则交线围成的图形为( ) A.三角形 B.四边形 C.五边形 D.六边形 答案 D 解析 如图，设E，F，G，H，M，N 分别为AB，BC，CC1，C1D1，A1D1，AA1 的中点， 连接EF，FG，GH，HM，MN，NE，A1B，CD1，AD1，A1C1， ∵FG∥BC1，MN∥AD1，FG＝BC1， MN＝AD1，BC1∥AD1，BC1＝AD1， ∴FG∥MN，FG＝MN， 同理可得EF∥MH，EF＝MH，GH∥NE，GH＝NE， ∴E，F，G，H，M，N 共面， ∵AC∥EF，AC⊄平面EFGHMN， EF⊂平面EFGHMN， ∴AC∥平面EFGHMN， 同理可得BC1∥平面EFGHMN， ∵E 为AB 的中点， ∴点A 到平面EFGHMN 的距离与点B 到平面EFGHMN 的距离相等， 即平面EFGHMN 为所求的平面α，故与正方体的交线为正六边形EFGHMN. 类型二 交线问题 考向1 多面体中的交线问题 例3 在棱长为2 的正方体ABCD－A1B1C1D1中，P，Q，R 分别是AB，AD，B1C1 的中点，设过P，Q，R 的截面与平面AD1以及平面AB1的交线分别为l，m，则 l，m 所成的角为( ) A.90° B.30° C.45° D.60° 答案 D 解析 因为在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P，Q，R 分别是AB，AD，B1C1的中 点，取C1D1，DD1，BB1 的中点分别为G，F，E，连接FG，FQ，QP，PE， ER，RG，根据正方体的特征，易知，若连接PG，EF，RQ，则这三条线必相交 于正方体的中心， 又GR∥EF∥QP，所以P，Q，F，G，R，E 六点必共面， 即为过P，Q，R 的截面； 所以EP 即为直线m，FQ 即为直线l； 连接AB1，AD1，B1D1， 因为EP∥AB1，FQ∥AD1， 所以∠B1AD1即为异面直线EP 与FQ 所成的角或其补角， 又因为正方体的各面对角线相等， 所以△AB1D1为等边三角形， 因此∠B1AD1＝60°，即l，m 所成的角为60°. 考向2 与球有关的交线问题 例4 在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AA1＝4，以CC1的中点M 为球心，4 为 半径的球面与侧面ABB1A1的交线长为( ) A.2π B.3π C.4π D.8π 答案 C 解析 取AB，AA1，A1B1，BB1的中点分别为F，E，H，G，N 为四边形ABB1A1 的中心， 连接MN，CF，MH，ME，MG，MF，HF，EG， 因为AB＝AA1＝4，故四边形ABB1A1为正方形，G，N，E 三点共线，H，N，F 三点共线， MN⊥平面ABB1A1， 且GN＝EN＝NH＝NF＝2， 因为M 为CC1的中点， 所以MN＝CF＝4sin 60°＝2， 由勾股定理得MH＝MG＝ME＝MF＝＝4， 所以题中所求交线轨迹为以N 为圆心，2 为半径的圆，球与侧面ABB1A1的交线 轨迹如图所示， 故交线长l＝2×π×2＝4π. 规律方法 找交线的方法 (1)线面交点法：各棱线与截平面的交点； (2)面面交线法：各棱面与截平面的交线. 训练2 已知正三棱台ABC－A1B1C1的上、下底面边长分别为2 和5，侧棱长为 3，则以下底面的一个顶点为球心，2 为半径的球面与此正三棱台的表面的交线 长为________. 答案 2π 解析 由题意，得△ABC 是边长为5 的等边三角形，侧面均为全等的等腰梯形， 在四边形ABB1A1中， AB＝5，A1B1＝2，AA1＝BB1＝3， 如图，在棱AB 上取BF＝2，连接A1F，易知△AA1F 为等边三角形， 即∠A1AB＝60°，则以下底面的一个顶点A 为球心，2 为半径的球面与此正三棱台 的表面的交线为三段圆弧MN，MP，NP， 分别是与平面ABC，平面ABB1A1，平面ACC1A1的交线， 则所求交线长度为三段圆弧MN，MP，NP的长度之和，长度为×2×3＝2π. 【精准强化练】 一、单选题 1.过一个圆锥的侧面一点(不是母线的端点)作圆锥的截面，则截面与该圆锥侧面 的交线可以是图形①圆；②椭圆；③抛物线的一部分；④双曲线的一部分中的( ) A.①②③④ B.①③④ C.①② D.①②④ 答案 A 解析 根据截面与圆锥的位置关系，所得的图形如图所示， 故截面与该圆锥侧面的交线可以是图形①圆；②椭圆；③抛物线的一部分；④双 曲线的一部分. 2.已知过BD1 的平面与正方体ABCD－A1B1C1D1的棱AA1，CC1分别交于点M， N，则下列关于截面BMD1N 的说法中，不正确的是( ) A.截面BMD1N 可能是矩形 B.截面BMD1N 可能是菱形 C.截面BMD1N 可能是梯形 D.截面BMD1N 不可能是正方形 答案 C 解析 如图①，当点M，N 分别与顶点重合时，显然截面BMD1N 是矩形； 如图②，当M，N 为棱AA1，CC1的中点时，显然截面BMD1N 是菱形，由正方体 的性质及勾股定理易知截面BMD1N 不可能为正方形； 根据对称性，其他情况下截面BMD1N 为平行四边形.故选C. 3.如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，E，F 分别为BC，CC1的中点，则 平面AEF 截正方体所得的截面面积为( ) A. B. C.9 D.18 答案 B 解析 连接BC1，AD1，D1F，如图所示， 因为E，F 分别是BC，CC1的中点，所以EF∥BC1， 在正方体中AD1∥BC1，所以EF∥AD1， 所以A，D1，F，E 在同一平面内， 以平面AEF 截该正方体所得的截面为平面EFD1A， 因为正方体的棱长为2，所以EF＝，AD1＝2，D1F＝AE＝＝， 则E 到AD1的距离为等腰梯形EFD1A 的高为＝， 所以截面面积为S＝(2＋)×＝. 4.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F 分别是棱B1B，B1C1的中点，点 G 是棱C1C 的中点，则过线段AG 且平行于平面A1EF 的截面图形为( ) A.等腰梯形 B.三角形 C.正方形 D.矩形 答案 A 解析 取BC 的中点为H， 如图连接AH，GH，D1G，AD1， 由题意得GH∥EF， AH∥A1F， ∵GH⊄平面A1EF， EF⊂平面A1EF， ∴GH∥平面A1EF， ∵AH⊄平面A1EF，A1F⊂平面A1EF， ∴AH∥平面A1EF， ∵GH∩AH＝H，GH，AH⊂平面AHGD1， ∴平面AHGD1∥平面A1EF， 过线段AG 且平行于平面A1EF 的截面图形为等腰梯形AHGD1. 5.如图，一个平面α 斜截一个足够高的圆柱，与圆柱侧面相交的图形为椭圆E.若 圆柱底面圆半径为r，平面α 与圆柱底面所成的锐二面角大小为θ，则下列对椭 圆E 的描述中错误的是( ) A.短轴为2r，且与θ 大小无关 B.离心率为cos θ，且与r 大小无关 C.焦距为2rtan θ D.面积为 答案 B 解析 由题意，椭圆短轴长2b＝2r； 而长轴长随θ 变大而变长且2a＝， 所以c＝＝rtan θ， 故e＝＝sin θ，焦距为2c＝2rtan θ； 由椭圆在底面投影即为底面圆，则cos θ 等于圆的面积与椭圆面积的比值， 所以椭圆面积为S＝. 综上，A，C，D 正确，B 错误. 6.(2024·南京质检)已知三棱锥P－ABC 的底面△ABC 为等腰直角三角形，其顶点 P 到底面ABC 的距离为4，体积为，若该三棱锥的外接球O 的半径为，则满足上 述条件的顶点P 的轨迹长度为( ) A.6π B.12π C.2π D.4π 答案 D 解析 依题意得，设底面等腰Rt△ABC 的直角边长为x(x>0)， ∴三棱锥P－ABC 的体积 V＝××x2×4＝，解得x＝2. ∴△ABC 的外接圆半径为 r1＝××2＝2， ∴球心O 到底面ABC 的距离为 d1＝＝＝3， 又∵顶点P 到底面ABC 的距离为4， ∴顶点P 的轨迹是一个截面圆的圆周. 当球心在底面ABC 和截面圆之间时， 球心O 到该截面圆的距离为d2＝4－3＝1， ∵截面圆的半径为 r2＝＝＝2， ∴顶点P 的轨迹长度为2πr2＝4π； 当球心在底面ABC 和截面圆同一侧时， 球心O 到该截面圆的距离为 d3＝3＋4＝7>R＝，故不成立. 综上，顶点P 的轨迹长度为4π. 7.(2024·齐鲁名校模拟改编)在四棱锥S－ABCD 中，ABCD 是矩形，AD⊥SD， ∠SDC＝120°，SD＝CD＝2BC＝2，P 为棱SB 上一点，则下列结论中错误的是( ) A.点A 到平面SCD 的距离为1 B.若SP＝PB，则过点A，D，P 的平面α 截此四棱锥所得截面的面积为 C.四棱锥S－ABCD 外接球的表面积为17π D.直线AP 与平面SCD 所成角的正切值的最大值为 答案 B 解析 如图，对于A，因为AD⊥SD，AD⊥DC， 又SD∩DC＝D，SD，DC⊂平面SDC， 所以AD⊥平面SDC， 所以点A 到平面SDC 的距离为AD＝BC＝1， 故A 正确； 对于B，因为SP＝PB，所以点P 为棱SB 的中点，取SC 中点为Q，连接PQ， DQ，可得平面APQD 即平面α 截此四棱锥所得截面， 且由于Q 是SC 的中点，点P 为棱SB 的中点， 所以在△SBC 中，PQ 是△SBC 的中位线， 则PQ＝BC＝，且PQ∥BC， 又因为四边形ABCD 是矩形， 则BC∥AD，所以PQ∥AD， 因为AD⊥平面SDC，DQ⊂平面SDC，故AD⊥DQ， 所以四边形APQD 是以AD 为下底、PQ 为上底，DQ 为高的直角梯形， 因为SD＝CD＝2，在等腰三角形SCD 中，QD⊥SC，且QD 平分∠SDC， 则QD＝CD·cos SDC ∠ ＝2×＝1， 则平面α 截此四棱锥所得截面的面积为××1＝，故B 错误； 对于C，又因为∠SDC＝120°，SD＝CD＝2， 所以SC＝2cos 30°＋2cos 30°＝2， 所以2r＝＝＝4， 即r＝2(其中r 为△SCD 外接圆半径)， 因为AD⊥平面SDC， 所以四棱锥S－ABCD 外接球的半径为R＝＝＝， 所以四棱锥S－ABCD 外接球的表面积为17π， 故C 正确； 对于D，因为AD⊥平面SDC，所以当点P 与点S 重合时，直线AP 与平面SCD 所成角的正切值最大，最大值为＝，故D 正确. 二、多选题 8.(2024·扬州模拟)棱长为2 的正方体ABCD－A1B1C1D1，下列选项中正确的有( ) A.过A1C 的平面截此正方体所得的截面为四边形 B.过A1C 的平面截此正方体所得的截面的面积范围为[2，4] C.四棱锥C－A1B1C1D1与四棱锥C1－ABCD 的公共部分为八面体 D.四棱锥C－A1B1C1D1与四棱锥C1－ABCD 的公共部分体积为 答案 ABD 解析 连接A1与线段BB1上任意一点F，过C 作CE∥A1F 交DD1于E， 所以过A1C 的平面截此正方体所得的截面为四边形A1FCE，A 正确； 由以上分析及正方体结构特征易知：四边形A1FCE 为平行四边形， 若E，F 为各线段上的中点时， 四边形A1FCE 为菱形， 此时截面最小面积为×A1C×EF＝×2×2＝2； 根据正方体的对称性，E 从中点向D 或D1运动时，四边形A1FCE 面积都是由小 变大， 当E 与D 重合时，此时F 与B1重合，截面面积最大，为DC×A1D＝2×2＝4. 综上，过A1C 的平面截此正方体所得的截面的面积范围为[2，4]，B 正确； 对于CD 项，如图，四棱锥C－A1B1C1D1与四棱锥C1－ABCD 的公共部分为六面 体C1EFGHC，C 错误； 取C1C 的中点G， 易知四边形是边长为1 的正方形，且CC1⊥平面EFGH， 六面体C1EFGHC 的体积为×S 正方形EFGH×CC1＝×1×1×2＝，D 正确. 9.(2024·茂名模拟)在棱长为2 的正方体ABCD－A1B1C1D1 中，E，F 分别为棱 AB，BC 的中点，则( ) A.直线EF 与BC1所成的角为60° B.过空间中一点有且仅有两条直线与A1B1，A1D1所成的角都是60° C.过A1，E，F 三点的平面截该正方体，所得截面图形的周长为3＋2 D.过直线EF 的平面截正方体，所得截面图形可以是五边形 答案 ACD 解析 对于A，如图所示，连接AC，A1C1，A1B， 因为E，F 分别为棱AB，BC 的中点，所以EF∥AC， 又AC∥A1C1， 所以EF∥A1C1， 所以∠A1C1B 或其补角即为EF 与BC1所成的角， 因为△A1BC1是等边三角形，所以∠A1C1B＝60°，所以EF 与BC1所成的角为60°， 故A 正确； 对于B， 因为直线A1B1，A1D1所成角是90°，且两条直线相交于A1， 所以过点A1与两直线所成角为60°的直线有4 条，故B 错误； 对于C，易知平面A1EFC1为过A1，E，F 三点的截面，该截面为梯形， 显然A1C1＝2，A1E＝C1F＝＝，EF＝， 所以截面图形的周长为A1C1＋A1E＋EF＋C1F＝2＋＋＋＝3＋2，故C 正确； 对于D， 如图所示，分别取AA1，CC1的靠近A，C 的三等分点G，H， 连接GD1，GE，HD1，HF，易知GE∥HD1，HF∥GD1， 故点D1，G，E，F，H 共面，该截面图形为五边形，故D 正确. 三、填空题 10.在圆台O1O2中，四边形ABCD 是其轴截面，AD＝DC＝BC＝AB，过O1C 与轴 截面ABCD 垂直的平面交下底面于EF，若点A 到平面CEF 的距离是，则圆台的 体积等于________. 答案 解析 因为AD＝DC＝BC＝AB，所以四边形ADCO1为平行四边形，所以O1C＝ O1D＝O1A＝AD，则△AO1D 为正三角形，所以∠DAB＝60°，由题意得平面CEF⊥ 平面ABCD，且平面CEF∩平面ABCD＝O1C， 所以点A 到平面CEF 的距离即为AD 与O1C 的距离， 在△AO1D 中，过点O1作AD 的垂线O1M，过点D 作AO1的垂线DN， 则O1M＝， 所以AO1＝＝2， 则O1O2＝DN＝2sin 60°＝， 设圆台上、下底面半径分别为r，R， 则R＝AO1，r＝DO2＝AO1， 则圆台的体积V＝h(R2＋Rr＋r2) ＝×(4＋2＋1)＝. 11.已知三棱锥P－ABC 的棱AP，AB，AC 两两互相垂直，AP＝AB＝AC＝2，以 顶点P 为球心，4 为半径作一个球，球面与该三棱锥的表面相交得到四段弧，则 最长弧的弧长等于________. 答案 解析 由题设，将三棱锥P－ABC 补全为棱长为2 的正方体，O 为底面中心，如 图所示， 若AD＝AF＝2，则PD＝PF＝4，即D，F 在以P 为球心，4 为半径的球面上， 又OA＝>2，OP＝3>4， 所以平面ABC 与球面所成弧是以A 为圆心， 2 为半径的四分之一圆弧，故弧长为π； 平面PBC 与球面所成弧是以P 为圆心，4 为半径且圆心角为的圆弧， 故弧长为； 平面PBA，PCA 与球面所成弧是以P 为圆心，4 为半径且圆心角为的圆弧， 故弧长为. 所以最长弧的弧长为. 12.(2024·武汉质检)在以底面为等腰直角三角形的直三棱柱ABC－A1B1C1中，M 为底面三角形斜边BC 上一点，且AM·BC＝0，AC＝AA1＝1，P 为线段BC1上一 动点，则平面AMP 截三棱柱所得截面面积的最大值为________. 答案 解析 分如下三种情况，①如图1，延长MP 交B1C1于点N，过点N 作B1C1的垂 线交A1C1于点S，连接AS，则四边形AMNS 为所求截面； ②如图2，延长MP 交B1C1于点N1，过点N1作B1C1的垂线交A1B1于点S1，连接 AS1，则四边形AMN1S1为所求截面； ③如图3，延长MP 交BB1于点N2，连接AN2，则三角形AMN2为所求截面. 显然①②中的截面面积均大于或等于③中的截面面积，故只需考虑①②中的情况， 易知①②中的情况相同，故只需考虑情况①即可. 在①中，易知SN∥AM，AM⊥MN， 设C1N＝x， 则SN＝x，MN＝， 所以所求截面面积S＝×＝ ＝， 由于y＝x4，y＝x＋均在上单调递增， 所以函数y＝x4＋x＋在上单调递增， 故S≤＝，故截面面积的最大值为.
