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第七章 立体几何与空间向量（测试）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．设 是三个不同平面，且 ，则 是 的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．已知向量 ， ，向量 在向量 上的投影向量为（ ）．
A． B．
C． D．
3．四棱台的上底面是边长为2的正方形，下底面是边长为4的正方形，四条侧棱的长均为 ，则该四棱
台的体积为（ ）
A． B． C． D．
4．已知球O的体积为 ，点A到球心O的距离为3，则过点A的平面 被球O所截的截面面积的最小
值是（ ）
A． B． C． D．
5．三棱锥 中， 平面 ， ， ， ， ，则三棱锥 外接
球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，已知正方形ABCD为圆柱的轴截面， ，E，F为上底面圆周上的两个动点，且EF过
上底面的圆心G，若 ，则三棱锥 的体积为（ ）A． B． C． D．
7．在三棱柱 中，点 在棱 上，满足 ，点 在棱 上，且
，点 在直线 上，若 平面 ，则 （ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
8．已知E，F分别是棱长为2的正四面体 的对棱 的中点.过 的平面 与正四面体
相截，得到一个截面多边形 ，则下列说法正确的是（ ）
A．截面多边形 不可能是平行四边形 B．截面多边形 的周长是定值
C．截面多边形 的周长的最小值是 D．截面多边形 的面积的取值范围是
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知a，b，c为三条不同的直线， 为两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则
C．若 ，则
D．若 ，则
A B C D
10．如图，在棱长为2的正方体 中，点P是正方体的上底面 内（不含边界）的动
1 1 1 1
点，点Q是棱 的中点，则以下命题正确的是（ ）
A．三棱锥 的体积是定值B．存在点P，使得 与 所成的角为
C．直线 与平面 所成角的正弦值的取值范围为
D．若 ，则P的轨迹的长度为
11．半正多面体（semiregular solid）亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成的多面
体，体现了数学的对称美．二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而成的，它由八个正三角
形和六个正方形构成（如图所示），若它的所有棱长都为 ，则（ ）
A． 平面EAB
B．该二十四等边体的体积为
C．该二十四等边体外接球的表面积为
D．PN与平面EBFN所成角的正弦值为
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知四面体有两个面是边长为2的正三角形，另外两个面是直角三角形，则该四面体的体积等于
．
13．如图，在三棱锥 中， 为等边三角形， 为等腰直角三角形， ，平面
平面ABC，D为AB的中点，则异面直线AC与PD所成角的余弦值为 ．
14．要使正方体 以直线 为轴，旋转 后与其自身重合，则 的最小正值为
．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．（13分）
如图所示，在平行六面体 中，M、N分别是 、BC的中点．设 ， ，
．
(1)已知P是 的中点，用 、 、 表示 、 、 ；
(2)已知P在线段 上，且 ，用 、 、 表示 ．
16．（15分）
已知三棱锥 ， ， ，D，M，N分别是AP，AB，CP的中点，
， ，二面角的 余弦值为 ．
(1)证明： ；
(2)求直线MN与平面BCD所成角的正弦值．17．（15分）
如图，平行六面体 的体积为 ， ， ， ，
．
(1)求点A到平面 的距离；
(2)求二面角 的正弦值．
18．（17分）
如图，四棱锥 中，底面 是矩形， ， ，且平面 平面 ．
分别是 的中点． ．
(1)求证： 是直角三角形；
(2)求四棱锥 体积的最大值；
(3)求平面 与平面 的夹角余弦值的范围．
19．（17分）对于空间向量 ，定义 ，其中 表示 这三个数的最大值.
(1)已知 ， .
①写出 ，写出 （用含 的式子表示）；
②当 ，写出 的最小值及此时x的值；
(2)设 ， ，求证：
(3)在空间直角坐标系O−xyz中， ， ， ，点P是以O为球心，1为半径的球
面上的动点，点Q是△ABC内部的动点，直接写出 的最小值及相应的点P的坐标.
