文档内容
期中押题重难点检测卷（提高卷）
考查范围：人教版第16-18章
注意事项：
本试卷满分100分，考试时间120分钟，试题共26题。答卷前，考生务必用 0.5毫米黑
色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置
一、选择题（10小题，每小题2分，共20分）
1．（23-24八年级下·江苏徐州·阶段练习）四边形 的中点四边形是矩形，那么四边形 一定满
足条件（ ）
A．矩形 B．菱形 C．对角线相等 D．对角线互相垂直
【答案】D
【分析】
本题考查判断一个四边形的中点四边形的形状．如果中点四边形是矩形，那么原四边形的对角线必然互相
垂直．
【详解】
解： 四边形 的中点四边形是一个矩形，
四边形 的对角线一定互相垂直，只要符合此条件即可，
故选：D．
2．（23-24八年级下·河南商丘·阶段练习）下列计算结果最小的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
本题考查了实数大小比较，二次根式运算，合并同类项，算术平方根的求解，乘方的计算等知识，根据二
次根式运算，合并同类项，算术平方根的求解，乘方的计算等知识计算各项，再比较大小即可．
【详解】解： ， ， ， ，
，
故结果最小的为 ，
故选：D．
3．（23-24九年级上·广东潮州·期中）第26届 杯世界棋王赛决赛于2月7日至9日在线上进行，这也是2022年第一个世界围棋大赛决赛．如图是一个围棋棋盘的局部，若棋盘是由边长均为1的小正方形组成
的，则黑、白两棋子的距离为（ ）
A．4 B．5 C．7 D．25
【答案】B
【分析】
本题考查勾股定理的应用，根据题中棋盘中黑、白两棋子的位置，构建直角三角形，利用勾股定理即可得
到答案，熟练掌握网格中线段长度的求法是解决问题的关键．
【详解】
解：如图所示：
，即黑、白两棋子的距离为 ，
故选：B．
4．（23-24八年级下·吉林·阶段练习）若二次根式 在实数范围内有意义，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确掌握二次根式的定义是解题关键．直接利用二次根式的概念，形如 的式子叫做二次根式，进而判断得出答案．
【详解】解： 式子 在实数范围内有意义，
则 ，
解得： ．
故选：A．
5．（23-24八年级下·吉林·阶段练习）如图①，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正
方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．连接四条线段
得到如图②的新的图案，如果图①中的直角三角形的长直角边为 ，短直角边为 ，则图中的阴影部分的
周长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
本题考查勾股定理的知识，解题的关键是根据线段之间的关系，求出 ，根据勾股定理求
出 ，再根据图中的阴影部分的周长为 ，即可．
【详解】∵直角三角形的长直角边为 ，短直角边为 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴图中的阴影部分的周长为 ，
故选：B．6．（2024·陕西西安·三模）如图，平行四边形 的对角线 、 交于点 ，若 ， ，
，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
此题主要考查了平行四边形的性质以及勾股定理，正确得出 的长是解题的关键．直接利用平行四边形
的性质结合勾股定理得出 的长，进而得出答案．
【详解】
解： 四边形 是平行四边形，
， ， ，
， ，
，
，
，
．
故选： ．
7．（23-24七年级下·浙江金华·阶段练习）如图，将长方形纸片 沿 折叠后，点 ， 分别落位 ，
的位置．再将 沿 翻折得到 ，①若 ，则 ．②若点 恰好落在线段
上．则 ．关于上述两个结论说法正确的是（ ）A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①②都正确 D．①②都错误
【答案】C
【分析】
本题主要考查的是矩形与折叠的问题，平行线的性质、以及三角形内角和定理，由折叠性质得到角相等是
关键．①设 ， ， 根据三角形内角和定理求出 ，
，延长 交 于点 根据平行线的性质证明 ，即可求解；②同①方法得
，进而解决问题．
【详解】解：①由折叠性质得：
， ， ，
延长 交 于点 ，如图，
设 ， ， ，
∵四边形 是矩形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵
∴ ，
∴ ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故①正确，
②由折叠性质得： ， ，
设 ，
∵四边形 是矩形，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故②正确，
故选：C．
8．（2024·云南昆明·一模）如图， 是等边三角形， 是等腰三角形，且 ， 的垂直
平分线交 于点E，交 于点F，若 ，则 的长为（ ）A． B． C．2 D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，相等垂直平分线
的性质与判定等等，先由等边三角形的性质得到 ，再证明 垂直平分 ，得到
，再根据题意得到 ． ，即可得到
【详解】解：∵ 是等边三角形，
∴ ，
又∵ ，
∴ 垂直平分 ， ，
∵ 的垂直平分线交 于点E，交 于点F，
∴ ，
∴ ，
故选：B．
9．（22-23七年级上·浙江杭州·期中）观察下列各式的规律：① ；② ；③
；…；依此规律，若 ；则m、n的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了算术平方根的知识，关键是仔细观察所给的式子，根据所给的式子得出规律．仔细观
察所给式子，可得出根号外面的数字等于被开方数中的分子，被开方数的分母为分子上的数的平方减去
1，依据规律进行计算即可．
【详解】解：根据所给式子的规律可得： ，
解得： ．故选：B．
10．（2023·海南海口·二模）如图，矩形 和矩形 ，点P在边 上，且
，连结 和 ，点N是 的中点，M是 的中点，则 的长为（ ）
A．3 B．6 C． D．
【答案】C
【分析】连接 ，交 于点K，利用全等三角形的判定与性质，得到 ，则M，K两点重合，
，连接 ，延长 交 于点H，利用矩形的判定与性质可得四边形 和四边形
为矩形，可求得线段 ，利用勾股定理求得 ，利用三角形的中位线定理即可得出结论．
【详解】
解：连接 ，交 于点K，
∵四边形 为矩形，
∴ ，
，
在 和 中，
∵ ，
∴ ，
，
即点K为 的中点，
∵点M为 的中点，
∴M，K两点重合．
∴ ．
连接 ，延长 交 于点H，∵矩形 和矩形 ，
∴ ，
∴四边形 和四边形 为矩形，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ 为 的中位线，
∴ ．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的中位线定理，直角三角形的性
质，勾股定理，熟练掌握矩形的性质，恰当的构造辅助线是解题的关键．
二、填空题（8小题，每小题2分，共16分）
11．（23-24八年级下·山西吕梁·阶段练习）已知 与最简二次根式 可以合并，则
【答案】4
【分析】
本题主要考查同类二次根式的概念．把 化为最简根式，然后根据同类次根式的定义列出方程求解即可．
【详解】解： 与最简二次根式 可以合并， ，
∴ ，
解得： ．
故答案为：4．
12．（23-24八年级下·山西吕梁·阶段练习）如图，在 中， ， ， 平分
交 于点 ， ，则点 到 边的距离为【答案】6
【分析】
本题考查的是勾股定理及角平分线的性质．先根据勾股定理求出 的长，再由角平分线的性质即可得出
结论．
【详解】
解： ， ， ，
．
平分 交 于点 ，
点 到 边的距离为6．
故答案为：6．
13．（23-24八年级下·北京·阶段练习）如图，平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点 ，过点
的直线分别交AD和BC于点 、E，若设该平行四边形的面积为2，则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】1
【分析】本题考查平行四边形的性质．根据平行四边形的性质证明 可得
，进而可得阴影部分面积等于 的面积，即为 面积的一半，由此可解．
【详解】解：∵平行四边形 中，对角线 ， 相交于点 ，
∴ ， ， ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，∴阴影部分面积等于 的面积，即为 面积的一半，
∴阴影部分面积为 ，
故答案为：1．
14．（23-24八年级上·山东东营·阶段练习）已知，四边形 中， ， ，对角线 ，
相交于点 ，若 ， 的周长与 的周长相差 ，则四边形 的周长为 ．
【答案】 /16厘米
【分析】
本题主要考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．首先说明四边形
是平行四边形，得 ， ， ，再根据 的周长与 的周长大 ，
得 的长，从而得出答案．
【详解】解： ， ，
四边形 是平行四边形，
， ， ，
的周长与 的周长大 ，
，
，
，
，
四边形 的周长 ，
故答案为： ．
15．（22-23 八年级下·云南楚雄·期末）对于任意两个不相等的正数 ， ，定义一种运算 ，
，例如 ，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了实数的运算，分母有理化，理解定义的新运算是解题的关键．按照定义的新运算进行计算，即
可解答．
【详解】
解：由题意得： ，
故答案为：
16．（23-24八年级下·山西吕梁·阶段练习）爱护森林人人有责，如图1，这是山西某中学森林小队为该地
区森林鸟类安装的木屋，木屋为轴对称图形，木屋的相关数据（单位：cm）如图2所示，则屋顶A到地面
B的距离为 cm．
【答案】40
【分析】
本题考查了轴对称图形的概念，等腰三角形的性质，勾股定理．根据等腰三角形的性质结合图形求得
，利用勾股定理求得 ，结合图形即可求解．
【详解】解：∵木屋为轴对称图形，
∴ 是等腰三角形，
作 ，垂足为 ，
由题意得 ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∴屋顶A到地面B的距离为 ，
故答案为：40．
17．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）如图，将边长为12的正方形纸片 折叠，点 落在 边上的点
处，点 落在点 处，折痕为 ，若 ，则线段 的长是 ．
【答案】13
【分析】
连接 交 于 M，作 于 G，由折叠性质及已知可证明 ，则 ，在
中由勾股定理即可求得 的长度，从而求得结果．
【详解】解：如图，连接 交 于M，作 于G，
则 ，
由折叠知， ，
∵四边形 为正方形，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴四边形 为矩形， ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 中，由勾股定理得 ，
∴ ；
故答案为：13．【点睛】本题考查了折叠的性质，正方形的性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定
理等知识，证明全等是关键．
18．（23-24八年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，在平行四边形 中， ，点M在边
上，点N在直线 上，且M是 的中点，连接 ，若 ，则 的长为
．
【答案】6或
【分析】分两种情况：一是点 为 与 的延长线的交点，可证明 ，得 ，此
时 ， ；二是点 在 上，且 ，则 ，作 于点 ，则
，由勾股定理得 ，则 ，可求得 ，即可解决．
【详解】解：当点 为 与 的延长线的交点时，
四边形 是平行四边形，
， ，
，
是 的中点， ，
，
在 和 中，
，
，， ，
∴ ；
当点 在 上，且 时，则 ，
作 于点 ，则 ， ，
，且 ，
，
，
，
，
故答案为：6或 ．
【点睛】此题重点考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形性质、勾股定理、数形
结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
三、解答题（8小题，共64分）
19．（23-24八年级下·北京·阶段练习）计算
(1)
(2)
(3) ．
【答案】(1)
(2)
(3)11【分析】本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的混合运算法则是解题关键．
（1）先化简二次根式，再去括号，合并同类二次根式即可；
（2）先化简二次根式，再根据二次根式的乘除法运算法则计算即可；
（3）先根据完全平方公式及乘法分配律去括号，再合并同类二次根式即可．
【详解】（1）解：
．
（2）解：
（3）解：
20．（23-24九年级下·湖南长沙·阶段练习）先化简，再求值 ，其中 ．
【答案】 ，【分析】
本题考查分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题关键．根据分式的混合运算法则计算即可化简，
再将 代入化简后的式子求值即可．
【详解】解：
．
当 时，原式 ．
21．（23-24八年级下·北京·阶段练习）如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点
叫格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形：
①使三角形的三边长分别为3、 、 （在图1中画一个即可）；
②使三角形为钝角三角形且面积为4（在图2中画一个即可）．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】本题考查了作图-应用与设计作图，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决
问题．
（1）利用数形结合的思想作出 ，使得 ， ， 即可；
（2）作出底为2，高为4的钝角三角形即可．【详解】解：（1）如图所示， 即为所求；
（2）如图所示， 即为所求．
．
22．（23-24八年级下·全国·课后作业）如图，在 中，点E，F分别在 ， 上， 与 相交
于点O，且 ．
(1)求证： ；
(2)连接 ， ，则四边形 （填“是”或“不是”）平行四边形．
【答案】(1)见详解
(2)是
【分析】
本题主要考查了平行四边形的判定以及性质，全等三角形的性质与判定：
（1）由平行四边形的对边平行得到 ，利用 此可证明 ；
（2）由全等三角形的性质得到 ，再由对角线互相平分的四边形是平行四边形即可得到结论．
【详解】（1）证明：∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ．在 和 中，
∴ ．
（2）连接 ， ，
由（1）知， ，
∴ ，
又∵ ，
∴四边形 是平行四边形，
故答案为：是．
23．（23-24八年级下·山西吕梁·阶段练习）综合与实践
“平方法”是解决二次根式大小比较和计算问题的一种好方法．基于该方法，白老师提出问题：比较
与 的大小．
数学思考：
（1）解答白老师提出的问题．
深入探究：
（2）白老师让同学们思考上述问题的解决办法，并从不同的角度提出新的问题．
①“善思小组”提出问题：若 ， ，请通过计算，判断p与q的大小．
②“智慧小组”提出问题：已知 ，其中x是整数，且 ，请直接写出 的值．
【答案】（1） ；（2）① ；② ．
【分析】本题考查了二次根式大小比较，二次根式的乘法和加减运算．
（1）利用“平方法”即可解决二次根式大小比较；
（2）①先计算 和 ，据此比较即可；
②先估算 的大小，根据 ，即可确定 的值，据此求解即可．
【详解】解：（1）∵ ， ，且 ， ， ，
∴ 即 ；
（2）①∵ ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
②∵ ，x是整数，且 ， ，
∴ ， ，
∴ ．
24．（23-24九年级下·重庆江津·阶段练习）如图所示是某景区的平面示意图，景区有 、 、 、 四个
景点，景点 在景点 的正北方向，景点 在景点 的北偏西30°方向上，在景点 的北偏西75°方向上，
景点 在景点 的正西方向，游客中心 在 的中点处，且恰好在景点 正北方向，已知景点 与景点
相距12千米，（结果精确到十分位，参考数据： ， ， ）(1)求景点 与景点 相距多少千米？
(2)若图中的 、 、 、 、 都是自驾观光线路，其中 段因施工无法通行，小明从景点
到景点 可以选择线路一： ；也可以选择线路二： ．请你通过计算说明他选
择哪条路线较近？
【答案】(1) 千米
(2)选择线路二更近．
【分析】
本题考查了含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理．
（1）过点 作 于点 ， 为等腰直角三角形， 为含30度角的直角三角形，利用相关
性质求解即可；
（2）在 中， ，利用含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理，求解即
可．
【详解】（1）
解：过点 作 于点 ，
由题意得 ，
∴ ，
∴ ，
∴ 为等腰直角三角形，
∵ ，
∴ (千米)， (千米)，
∴ (千米)，
∴ (千米)；
（2）
解：在 中， ，(千米)，
∴ (千米)， (千米)，
线路一的长度为 (千米)，
线路二的总长为 (千米)，
因为 ，所以选择线路二更近．
25．（23-24八年级下·江苏苏州·阶段练习）如图1，四边形 是矩形，动点 从 出发，沿射线 方
向移动，作 关于直线 的对称 ．
(1)若四边形 是正方形，直线 与直线 相交于点 ，连接 ．
①如图2，当点 在线段 上（不包括 和 ，说明结论“ ”成立的理由；
②当点 在线段 延长线上，试探究：结论“ ”是否总是成立？请说明理由；
(2)在矩形 中， ， ，当点 在线段 延长线上，当 为直角三角形时，直接写
出 的长 ．
【答案】(1)①见解析；②见解析
(2)10或30
【分析】
（ 1 ） 证 明 ， 得 到 ， 而
，则 ，即可求解；
②同理可得： ，则 ，即 ，即
可求解；
（2）当 为直角时，由 ，即可求解；当 、 同理可解．
【详解】（1）
解：① 和 关于直线 ，， ， ，
，
∴ ，
，
，
，
则 ；
② 成立，理由：
如图，
同理可得： ，
，
设 ，
则 ，
则 ，
，
；
（2）
解：如图，当 ， 在 的延长线上时，在 中， ，
，
在 中，则有： ，
解得 ；
如图，当 时，
， ，
四边形 为正方形，
，
综上所述， 或30．
故答案为：10或30．
【点睛】
本题考查了矩形的性质，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，利用勾股定理解直角三角形等
知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题．
26．（23-24八年级下·江苏扬州·阶段练习）已知，如图， 为坐标原点，四边形 为矩形，
，点 是 的中点，动点 在线段 上以每秒2个单位长的速度由点 向 运动. 设动点 的运动时间为 秒．
(1)当 为何值时，四边形 是平行四边形；
(2)在直线 上是否存在一点 ，使得 四点为顶点的四边形是菱形？若存在，求 的值，并求
出 点的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)在线段 上有一点 且 ，直接写出四边形 的周长的最小值 ，并在图上画图标出点 的
位置，
【答案】(1)
(2) 时， ； 时， ； 时，
(3) ；点 的位置见解析
【分析】
（1）先求出 ，进而求出 ，再由运动知 进而由平行四边形的性质建立方程
即可得出结论；
（2）分三种情况讨论，利用菱形的性质和勾股定理即可得出结论；
（3）先判断出四边形 周长最小，得出 最小，即可确定出点 的位置，再用三角形的中
位线得出 ，进而求出 ，即可得出结论．
【详解】（1）解： 四边形 为矩形， ， ，
， ，
点 是 的中点，
，
由运动知， ，
，四边形 是平行四边形，
，
，
；
（2）解：①当 点在 的右边时，如图1，
四边形 为菱形，
，
在 中，由勾股定理得： ，
，
，
∵ ，
；
②当 点在 的左边且在 线段上时，如图2，
四边形 为菱形，
，
在 中，由勾股定理得： ，∴ ，
，
，
∵ ，
；
③当 点在 的左边且在 的延长线上时，如图3，
四边形 为菱形，
，
在 中，由勾股定理得： ，
∴ ，
，
，
∵ ，
；
综上所述， 时， ； 时， ； 时， ；
（3）解：如图 ，由 知， ，
，
，
∵ ，
四边形 是平行四边形，，
四边形 的周长为
，
最小时，四边形 的周长最小，
作点A关于 的对称点 ，连接 交 于 ，
∴ ，
∴ ，
∵两点之间线段最短，
∴此时 最小，即 最小，
∵ ，
∴ 的最小值为 ，
∴四边形 的周长最小值为 ．
【点睛】本题考查了矩形的性质，平行四边形的性质与判定，菱形的性质，轴对称的性质，坐标与图形，
勾股定理，分类讨论是解题的关键．
