文档内容
第七章 立体几何与空间向量（测试）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．设 是三个不同平面，且 ，则 是 的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】由于 ， ，由平面平行的性质定理可得： ，
所以 是 的充分条件；
但当 ， ，并不能推出 ，也有可能 相交，
所以 是 的不必要条件；
故选:A.
2．已知向量 ， ，向量 在向量 上的投影向量为（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】向量 在向量 上的投影向量为
故选：A
3．四棱台的上底面是边长为2的正方形，下底面是边长为4的正方形，四条侧棱的长均为 ，则该四棱
台的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】过 ，由正四棱台的性质可知： 是该正四棱台的高，因为四边形 是等腰梯形，
所以 ，
由勾股定理可知： ，
所以该四棱台的体积为 ，
故选：C
4．已知球O的体积为 ，点A到球心O的距离为3，则过点A的平面 被球O所截的截面面积的最小
值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设球O的半径为R，则 ，解得 .
因为点A到球心O的距离为3，
所以过点A的平面 被球O所截的截面圆的半径的最小值为 ，
则所求截面面积的最小值为 .
故选：C
5．三棱锥 中， 平面 ， ， ， ， ，则三棱锥 外接
球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】在 中， ， ， ，
由余弦定理可得 ，
即 ，所以 ，
设 的外接圆半径为 ，
则 ，所以 ，
平面 ，且 ，设三棱锥 外接球半径为 ，
则 ，即 ，
所以三棱锥 外接球的表面积为 ．
故选：B．
6．如图，已知正方形ABCD为圆柱的轴截面， ，E，F为上底面圆周上的两个动点，且EF过
上底面的圆心G，若 ，则三棱锥 的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图设圆柱的下底面的圆心为 ，连接 ，
则 ，且 平面 ，
平面 ，所以 ，又 ， ，
所以 ，又 ， 平面 ，
所以 平面 ，且 ，
，
所以 .故选：B.
7．在三棱柱 中，点 在棱 上，满足 ，点 在棱 上，且
，点 在直线 上，若 平面 ，则 （ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【解析】如图所示：
因为 ，所以 ，
所以
所以 ，所以 ，则 ，
设三棱柱 的侧棱长为6，则 ， ，
又 为 的中点，取 的中点 ，连接 ，则 。
过 作 ，且 ，连接 ，又 ，
所以平面 平面 ，又 平面 ，
所以 平面 ，所以 ，
所以 ，所以 ，则 ，
故选：D
8．已知E，F分别是棱长为2的正四面体 的对棱 的中点.过 的平面 与正四面体相截，得到一个截面多边形 ，则下列说法正确的是（ ）
A．截面多边形 不可能是平行四边形 B．截面多边形 的周长是定值
C．截面多边形 的周长的最小值是 D．截面多边形 的面积的取值范围是
【答案】D
【解析】对于A，当平面 过 或 时，截面为三角形.
易知正四面体关于平面 对称，将平面 从平面 开始旋转与 交于点 时，
由对称性可知，此时平面 与 交于点 ，且 ，
此时截面为四边形 ，且注意到当 分别为 的中点时，此时满足 ，
且 ，即此时截面四边形 是平行四边形，故A错误；
对于BC，设 ，由余弦定理得 ，
，
由两点间距离公式知， 表示动点 到定点 和 的距离之和，
当三点共线时取得最小值 ，
由二次函数单调性可知，当 或 时， 取得最大值 ，
所以截面多边形 周长的取值范围是 ，故BC错误；
对于D，记 与 的交点为 ，由对称性 ， ，
所以 ， ，
因为 ，
所以 ，所以 ，记 ，
则 ，
因为 ，
所以
，
由二次函数性质可知， ，即 ，
所以 ，故D正确；
故选：D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知a，b，c为三条不同的直线， 为两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则
C．若 ，则
D．若 ，则
【答案】AC
【解析】对于A，因为 ，所以 ，又 ， ，所以 ，所以 ，A正确；
对于B，当 时，直线 不一定垂直于 ，B错误；
对于C，由面面平行的判定定理可知，C正确；
对于D，由面面垂直性质定理可知，若直线 时，直线 不一定垂直于 ，D错误.
故选：AC
A B C D
10．如图，在棱长为2的正方体 中，点P是正方体的上底面 内（不含边界）的动
1 1 1 1
点，点Q是棱 的中点，则以下命题正确的是（ ）A．三棱锥 的体积是定值
B．存在点P，使得 与 所成的角为
C．直线 与平面 所成角的正弦值的取值范围为
D．若 ，则P的轨迹的长度为
【答案】ACD
【解析】对于A，三棱锥 的体积等于三棱锥 的体积，
是定值，A正确；
以 为坐标原点， 分别为 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ，设 ，则
对于B， ，使得 与 所成的角 满足：
，
因为 ，故 ，故 ，
而 ，B错误；
对于C，平面 的法向量 ，
所以直线 与平面 所成角 的正弦值为： ，
因为 ，故
故 ，
而 ， ，故 即 的取值范围为 ，C正确；
对于D， ，由 ，
可得 ，化简可得 ，
在 平面内，令 ，得 ，令 ，得 ，则P的轨迹的长度为
，D正确；
故选：ACD.
11．半正多面体（semiregular solid）亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成的多面
体，体现了数学的对称美．二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而成的，它由八个正三角
形和六个正方形构成（如图所示），若它的所有棱长都为 ，则（ ）
A． 平面EAB
B．该二十四等边体的体积为
C．该二十四等边体外接球的表面积为
D．PN与平面EBFN所成角的正弦值为
【答案】BD
【解析】对于A，假设A对，即 平面 ，于是 ，
，但六边形 为正六边形， ，矛盾，
所以A错误；
对于B，补齐八个角构成棱长为2的正方体，
则该二十四等边体的体积为 ，
所以B对；
对于C，取正方形 对角线交点 ，即为该二十四等边体外接球的球心，
其半径为 ，其表面积为 ，所以C错误；
对于D，因为 在平面 内射影为 ，
所以 与平面 所成角即为 ，
其正弦值为 ，所以D对．
故选：BD．
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知四面体有两个面是边长为2的正三角形，另外两个面是直角三角形，则该四面体的体积等于
．
【答案】
【解析】由题意,
作出图象如下图所示，
在三棱锥 中， ， ，
取 的中点 ，连结 ， ，
在 和 中，由几何知识得，
两三角形为等腰直角三角形，
∴
又 平面 ， 平面 ， ，
所以 平面 ．故 ， 分别是三棱锥 和三棱锥 的高，
从而 ．
在 中， ， ，
，
∴ ．
所以
．
故答案为：
13．如图，在三棱锥 中， 为等边三角形， 为等腰直角三角形， ，平面
平面ABC，D为AB的中点，则异面直线AC与PD所成角的余弦值为 ．
【答案】
【解析】取 的中点 ，连接 ， ，因为 ，所以 ．
又平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ．又 ，所以 ，
可得 ， ， 两两垂直，所以以 为坐标原点，
， ， 的方向分别为 ， ， 轴的正方向，
建立空间直角坐标系，不妨设 ，则 ， ， ， ，所以
， ，
所以 ，
又异面直线所成角的取值范围为 ，
所以异面直线 与 所成角的余弦值为 ．故答案为： .
14．要使正方体 以直线 为轴，旋转 后与其自身重合，则 的最小正值为
．
【答案】120
【解析】因为四边形 为正方形，所以 ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 ，
因为 ， 平面 ，所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 ，同理可证得 ，
因为 ， 平面 ，所以 平面 ，
同理可证得 平面 ，
因为 为等边三角形， ，
所以 过 的中心，设 的中心为点 ，连接 ，
则 ，
同理 也过等边 的中心，
若正方体绕 旋转 后与其自身重合，只需要 和 旋转后能和自身重合即可，
因此至少旋转 .
故答案为： ．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．（13分）
如图所示，在平行六面体 中，M、N分别是 、BC的中点．设 ， ，
．
(1)已知P是 的中点，用 、 、 表示 、 、 ；
(2)已知P在线段 上，且 ，用 、 、 表示 ．
【解析】（1）因为M、N、P分别是 、BC、 的中点
所以， ； （2分）
；
； （8分）
（2）因为 ，所以
所以 ． （13分）
16．（15分）
已知三棱锥 ， ， ，D，M，N分别是AP，AB，CP的中点，
， ，二面角的 余弦值为 ．(1)证明： ；
(2)求直线MN与平面BCD所成角的正弦值．
【解析】（1）
证明：取 中点 ， 中点 ，连接 ，则 ，
因为 ， ，
所以 平面 ， （2分）
所以 平面 ， 平面 ，所以 ，即 是 的中垂线，
所以 ，取 中点 ，连接 ，所以 ，
所以 就是二面角 的平面角，
在 中，由余弦定理可得： ，
根据题意和线段的中点可知， ,
， ， ，
代入解得 或 ，
在 中， ，所以 （舍）. （5分）
当 时， ，
所以 ，故 ，得 ,
连接 ，因为 ， 是平面 内两条相交直线，
所以 平面 ，因为 平面 ，所以 . （7分）
（2）
连接 并延长至 且有 ，连接 ，
由（1）知 ， 是平面 内两条相交直线，
所以 平面 ，又因为 是 的中位线，
所以 平面 ，计算得 ， ，
如图，以 为原点，射线 方向为 轴，射线 方向为 轴，建立如图所示空间直角坐标系 ，
计算得 （10分）
故 ，设平面 的法向量为 ，
则 ，令 ，可取 ，
因为 ,
所以 ， （13分）
设直线 与平面 所成角为 ，则
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 . （15分）
17．（15分）
如图，平行六面体 的体积为 ， ， ， ，
．(1)求点A到平面 的距离；
(2)求二面角 的正弦值．
【解析】（1）由题意可知底面是平行四边形，且O为底面的中心，
又因为 ，所以底面ABCD是菱形，
连结 ，
因为 ， ，
所以 ， ，
又 平面ABCD，
所以 底面ABCD，又 平面 ，
所以平面 底面ABCD，
因为 底面ABCD， 底面ABCD，
所以 ，（4分）
又根据底面ABCD是菱形，可知 ，
平面 ，
所以 平面 ，故A0为点A到平面 的距离．
因为 ， ，
所以△ACD是边长为4的正三角形，所以 ．
即点A到平面 的距离为2．（7分）
（2）由（1）可知OD，0A， 两两互相垂直，
以O为坐标原点， 的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz．因为 为平行六面体 的高，又平行六面体 的体积为 ，
所以 ，解得 ．
则O(0,0,0)， ， ， ， ，
所以 ， ，（10分）
设平面 的法向量为 ，则 ，
即 ，
取 ，则 ， ，
所以平面 的一个法向量为 ，
又平面 的一个法向量为 ，
设二面角 的大小为 ，则 ，（13分）
所以 ，
故二面角 的正弦值为 ．（15分）
18．（17分）
如图，四棱锥 中，底面 是矩形， ， ，且平面 平面 ．
分别是 的中点． ．(1)求证： 是直角三角形；
(2)求四棱锥 体积的最大值；
(3)求平面 与平面 的夹角余弦值的范围．
【解析】（1）设平面 平面PCD ，
由于 ， 平面ADC， 平面ADC，
因此 平面PDC，而 平面APB，平面 平面 ，
因此 ，而 ，因此 ．
而平面 平面PCD，平面 平面 ， 平面 ，
因此 平面PDC，而 平面PDC，因此 .
故△PEF是直角三角形．（5分）
（2）由于 ， ，因此P是以EF为直径半圆上的点．
而 ， ， 平面PEF，
因此 平面PEF，而AB 平面ABCD，
因此平面 平面ABCD．
故P到平面ABCD的最大距离为 ，
四棱锥 体积最大为 ．（10分）
（3）设EF中点为O，作过O垂直EF的直线m．
设平面PEF与平面PBC夹角为 ．
以O为原点，OE，m，过O垂直于平面ABCD的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系
．
则 ， ， ， ，并设 ．
平面PEF的一个法向量为 ，
， ，
设平面PBC的法向量为 ，因此 ，可取
，不妨设 ，
， ，因此 随 增大而增大
因此 ． （17分）19．（17分）
对于空间向量 ，定义 ，其中 表示 这三个数的最大值.
(1)已知 ， .
①写出 ，写出 （用含 的式子表示）；
②当 ，写出 的最小值及此时x的值；
(2)设 ， ，求证：
(3)在空间直角坐标系O−xyz中， ， ， ，点P是以O为球心，1为半径的球
面上的动点，点Q是△ABC内部的动点，直接写出 的最小值及相应的点P的坐标.
【解析】（1）由题可知：
, ， ，
， .
在同一个坐标系中作出 的图像如下图所示：因为 ，（3分）
则函数 的图像是图中加粗部分折线，
直线 与 交于点 ，
直线 与直线 交于点 ，
由图可知，当 时， 有最小值4. （5分）
（2） ,
因为 ，
所以 , ,
所以 . （9分）
（3）因为P是以O为球心，1为半径的球面上的动点，则球面方程为 ，
面 的方程为 ，即 ，一个法向量为 ，
平面 是 取最小值的必要条件，证明如下：
不妨取 ，若 平面 于 ，
显然 ，则 且 ，所以 ，
对于面 上任意点 都有 ，即 ，
所以 ，仅当 重合时取等号，
综上， 取最小，必有 平面 ，（13分）
由 ，当 共线时取等号，故最小值在 共线且 平面 时取得，
此时 且 ，则 ，即 ，
所以 ，
取 且 ，则 ，即 ，
所以 ，综上， 、 时 最小. （17分）
