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专题01 集合运算与参数的确定（一题多变）
【典例展示】设
，
，
，问是否存在k、
，使得
？若存在，求出k，b
的值.若不存在，请说明理由.
【思路分析】解决此题的关键是将条件
转化为
且
，
运用求同思想（交集思想）而使难度降低.解决本题的基本思路是由集合A 与集合C 中的
方程联立构成方程组，用判别式对根的情况进行限制，可以得出k，b 的范围.由集合B 与
集合C 中的方程联立构成方程组，用判别式结合k、
，进而可得k、b 的值.若同时采
用数形结合法，并考虑到
，则易得b＝2，求k 就更容易了.
【精细解析】∵
，∴
且
.
由
消去y，得
.
∵
，∴
，
即
，此不等式有解.其充要条件是
，即
.①
由
消去y，得
，
∵
，∴
，
即
，此不等式有解，其充要条件是8b<20，即b<2.5.②
，由①②得b＝2，代入由
和
组成的不等式组，
得
解得k＝1.
故存在自然数k＝1，b＝2.使得
.
【题后反思】本例是“探索存在性”的能力型问题，主要考查学生对集合及其运算（关
系）的分析转化能力，即能从集合符号上辨析出所考查的知识点，进而解决问题.本例注意
到条件
与
且
等价，利用交集思想，分别由集合A 与集
合C 中的方程、集合B 与集合C 中的方程联立构成方程组，避免了先确定集合A，B 的并
集而进行的繁琐计算.
【追根溯源】在高中数学中，集合常常作为工具，集合思想贯穿于数学教学的各部分，
集合思想通常从如下3 个方面来呈现：
1.类分思想（并集思想）：对于比较复杂的问题，可将问题所涉及的对象的全体（通常用
集合Р 表示）划分为若干两两不相交的部分，然后分别求解或论证，从而解决原问题.当分
类解决完这个问题后，还必须把它们整合到一起，从而使问题完整获解.
2.求同思想（交集思想）：求同思想是指从问题所涉及的双方或多方事物之间探求共同点
（共性），使问题在某个确定范围内得以解决的一种数学思想，从集合的表示来看，设
{
具有性质
}，
{
具有性质
}，则
{
具有性质
和
}，探求同
时具有性质
和
的对象.即求集合
，所以求同思想也称交集思想.
3.互补思想（补集思想）：已知集合A 是某个与之相关的全集U 的子集，若直接求A 比较
困难或麻烦，可考虑先求A 的补集
，再求
，这种在顺向思维受阻后改用逆
向思维的思想，我们称之为正难则反，就是数学中的互补思想或补集思想.
【变化角度】改变集合内容，简化限制条件，从三个集合的运算简化为两个集合交集为
空集.
已知集合
，集合
.若
，
求实数a 的值.
【思路分析】思路一：根据集合A，B 中的方程，联立方程组，根据其无解讨论a 的范
围.
思路二：根据数形结合思想，转化成讨论两集合表示的点集--直线（不完整）无公共点的
条件.
【详解】解法一：由
，即方程组
无解.
即方程组
无解.
由①得y＝(a＋1)(x－2)＋3，代入②并整理得
.③
当
，即a＝±1 时，方程③无解；
当
时，
，令
，解得a＝－5 或
.
故所求a 的值为
，－5，
.
解法二：联立方程组
分3 步：①验证a＝±1；②
；
③以（2，3）代入，求得a 的值为±1，－5，
.
【变换角度】改变集合性质表达形式，简化限制条件，从三个集合的运算简化为两个集
合交集为空集.
若集合
，集合
，且
，则
b 的取值范围为________.
【思路分析】本题可看成两个点集之间关系的研究，利用数形结合思想、交集思想，研
究半圆半圆
（
）与直线y＝x＋b 与半圆有无公共点的情况，
【详解】
若（x，y）满足
则赋予儿何意义后可知点（x，y）在半圆
（
）上移动，以3 为半径的圆在x 轴上方的部分如图所示，而集合N 则
表示一条动直线，其斜率k＝1，纵截距为b，由图形可知，欲使
，即直线y＝x
＋b 与半圆有公共点，
，即b 的取值范围是
.
【变换角度】改变集合中元素性质，由含参二元方程，变更为含参二元不等式；简化限
制条件，从三个集合的运算简化为两个集合交集非空.
设集合
，
，
若
，则实数m 的取值范围是________.
【思路分析】 本题可看成两个点集之间关系的研究，利用数形结合思想、并集思想，讨
论当m≤0 时，以（2，0）为圆心，以
为半径的圆面（包括边界），与两条平行线之间
的带状区域有公共点的情况；讨论当m>0 时，以（2，0）为圆心，以
和|m|为半径的圆
环，与两条平行线之间的带状区域有公共点的情况.
【详解】当m≤0 时，集合A 是以（2，0）为圆心，以
为半径的圆面（包括边界），集
合B 是在两条平行线之间的带状区域（如图所示）.
∵
，∴
，此时无解.
当m>0 时，集合A 是以（2，0）为圆心，以
和|m|为半径的圆环，集合B 是在两条平行
直线之间的带状区域（如图所示）.
必有
或
，∴
.
又∵
，∴
，即m 的取值范围为
.
【变换角度】改变集合中元素的表示及元素性质，由点集变更为数集、由含参二元方程，
变更为含参一元二次方程及一元不等式；简化限制条件，从三个集合的运算简化为两个集
合交集为空集.
已知集合
，
.若
，求实数m 的取值范围.
【思路分析】本题从正面解，是集合A 中方程有负数根，需对其根的情况进行分类讨论，
比较烦琐.如果本着“正难则反”的策略，应用补集思想，问题转化成先求当
时，
实数m 的取值范围，再求其补集，即讨论集合A 中方程无实数根、没有负数根，则给给我
们研究问题开辟了新的解题途径，使解题过程得以简化.
【详解】若
，方程无实根，则
，解得
.
若方程
的两根
、
均非负，
则
解得
，
∴
时，实数m 的取值范围为
.取补集为
.
∴实数m 的取值范围为
.
1．设平面点集
，则
所
表示的平面图形的面积为
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】由集合
可得其表示的区域为
和
所对应的平面区域，
集合
表示的区域为圆
内和圆上的点对应
的区域；
作出对应图像，则I，III 对应的区域，即为所求平面区域；
因为函数
的图像，与圆
均关于
对称，
所以I，III 区域的面积恰好为圆的一半，故所求平面区域的面积为：
.
故选：D.
2．设
为实数，若
，则
的取值范围是 ．
【答案】
【详解】
如图可得
3．已知集合
，
.若
，求实数a 的取值范围.
【答案】
或
.
【分析】解含参数的一元二次不等式化简集合A，求出二次函数在指定区间上的值域化简
集合B，再由交集的结果列出不等式组求解即得.
【详解】显然
，则
或
，
又
，
，则当
时，
，当
时，
，
因此
，而
，于是
，解得
或
，
所以实数a 的取值范围是
或
.
4．若关于x 的不等式
的解集是一个开区间，且区间的长度L 满足
，求实数m 的取值范围（注：开区间
的长度
）.
【答案】
【分析】设方程
的两根为
，由
，
和
，
结合韦达定理解关于m 的不等关系式即可.
【详解】据题意得
，设
等价于
，
，得
或
，
则
，
，由
得
，
即
，化简得
，
∴
等价于
解得
∵
，
，∴m 的取值范围是
.
5．已知三个方程
中至少有一个方程有实根，求实数m 的取值范围．
【答案】
【分析】应用分析法，三个方程都没有实根只有一种情况，而相反就是至少有一个方程有
实根，运用补集的思想，即求出三个方程都没有实根时m 的范围，再求它相对于R 的补集．
【详解】若三个方程都没有实根，则
，解得
，即
.
∴
时三个方程都没有实根，故三个方程至少有一个方程有实根时
．
6．已知
，
，求
成立时
需满足的
充要条件.
【答案】
【分析】解法一：依题意可得
，画出集合所表示的区域，求出临界状态时
的值，
即可求出
的取值范围；解法二：依题意
，转化可得当
恒成立时必满足条件，从而得到
，即可求出
的取值范围.
【详解】解法一：集合
是如图所示抛物线及其阴影部分区域，集合
是以
为圆心，
半径为的圆面（包括边界），
由
得
，当圆与抛物线相切时，是临界状态，
将
代入
，得
，
整理得
，
由
，解得
，∴
.
解法二：因为
.
由
得
.
于是若
①，
必有
，即
.
而①成立的条件是
，
∴
，即
，解得
.
