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考点巩固卷 01 集合与常用逻辑用语(七大考点)
考点01：集合元素的特征
集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性.
①确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的；也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这
个集合中就确定了.给定集合 ，可知 ,在该集合中， ,不在该集合中；
②互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的；也就是说，集合中的元素是不重复出现的.
集合 应满足 .
③无序性：组成集合的元素间没有顺序之分。集合 和 是同一个集合.
1．若 ，则 ．
【答案】2
【分析】分类讨论结合互异性即可得出答案.【详解】因为 ，
所以 或 ，
若 ， ，不满足互异性；
若 或2，又 ，所以 ，
故答案为：2.
2．若集合中的三个元素分别为 ,则元素 应满足的条件是 ．
【答案】 且 且
【分析】根据元素的互异性，列出不等式组，求解即可.
【详解】解：由元素的互异性，可知 ，
解得: 且 且 .
故答案为： 且 且
3．集合 中恰好有两个元素，则实数 满足的条件是 .
【答案】 或
【分析】根据一元二次方程求解，结合集合元素的特征，可得答案.
【详解】由方程 ，则 或 ，
当 存在两个相等的实数根时， ，解得 ，
此时方程 的解为 ，符合题意；
当 存在两个不相等的实数根且其中一个根为 时， ，解得 ，
此时 ，则方程另一个解为 ，符合题意.
综上所述，当 或 时，集合 中恰有两个元素.
故答案为： 或 .
4．已知集合 ，若 ，则实数 .
【答案】0【分析】讨论 、 求参数，结合集合的性质确定参数值.
【详解】若 ，则 ，而 ，不满足集合元素的互异性；
若 ，则 ，故 ，满足题设，
所以 .
故答案为：0
5．若 ，则 .
【答案】
【分析】利用集合的列举法、元素与集合的关系、集合中元素的特性、集合间的关系分析运算即可得解.
【详解】解：由题意，∵集合 中有元素 ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，则 ，
∴ ，
∴ ，解得： 或 ，
当 时， ，不满足集合中元素的互异性，故舍去 ；
当 时， ， ，
满足 ，
∴ ，则 .
故答案为： .
考点02：集合与集合之间的关系
集合间的基本关系
（1）子集：一般地，对于两个集合 、 ，如果集合 中任意一个元素都是集合 中的元素，我们
就说这两个集合有包含关系，称集合 为集合 的子集 ，记作 （或 ），读作“ 包含于 ”
（或“ 包含 ”）.（2）真子集：如果集合 ，但存在元素 ，且 ，我们称集合 是集合 的真子集，记作
（或 ）.读作“ 真包含于 ”或“ 真包含 ”.
（3）相等：如果集合 是集合 的子集（ ，且集合 是集合 的子集（ ），此时，集合
与集合 中的元素是一样的，因此，集合 与集合 相等，记作 .
（4）空集的性质： 我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作 ； 是任何集合的子集，是任何非
空集合的真子集.
注意：1、注意子集和真子集的联系与区别.2、判断集合之间关系的两大技巧：（1）定义法进行判断
（2）数形结合法进行判断
结论：若有限集 中有 个元素，则 的子集有 个，真子集有 个，非空子集有 个，非空真子
集有 个．
6．已知集合 ， ，若 ，则 .
【答案】
【分析】根据集合相等求得 ，从而求得正确答案.
【详解】依题意可知 ，由于 ，
所以 ，此时 ，
所以 ，解得 或 （舍去），
所以 .
故答案为： .
7．已知集合 ， ，若 ，则 ．
【答案】3
【分析】根据给定条件，利用交集的结果直接列式计算即得.
【详解】集合 ， ，由 ，得 ，又 ，
因此 ，所以 .
故答案为：3
8．已知集合 ，则 的取值集合为 .【答案】
【分析】本题根据集合之间的关系，对参数分类讨论，即可确定参数的取值.
【详解】由题意可知： ，
因为 ,所以当 时， ；
当 时，则 ,
则 或 ，解得 或 ，
综上得，a的取值集合是 .
故答案为：
9．已知集合 ， ，则 的概率为 ．
【答案】
【分析】根据给定条件，利用列举法写出样本空间的所有样本点，再结合一元二次方程解集确定事件发生
的样本点即得.
【详解】 等价于 ，记该事件为 ，
由于 ， ，因而 取值情况如表所示．
1 2 3
1
2
3
样本空间共有9个样本点，
方程 的判别式 ，
当 取 ， ， ， ， ， 时， ，则 ， ；
当 取 时， ， ， ；当 取 时， ，但方程有两个无理根，不符合题意；
当 取 时， ， ， ，
因此事件 有8个样本点，那么所求概率 ．
故答案为：
10．已知集合 ， ，则 的子集个数 ．
【答案】
【分析】解不等式可得集合 与 ，进而可得 及其子集个数.
【详解】由已知 ， ，
所以 ，
所以 的子集个数为 ，
故答案为： .
考点03：集合交并补运算
集合的基本运算
（1）交集：一般地，由属于集合 且属于集合 的所有元素组成的集合，称为 与 的交集，记作 ，
即 ．
（2）并集：一般地，由所有属于集合 或属于集合 的元素组成的集合，称为 与 的并集，记作 ，
即 ．
（3）补集：对于一个集合 ，由全集 中不属于集合 的所有元素组成的集合称为集合 相对于全集
的补集，简称为集合 的补集，记作 ，即 ．
集合的运算性质
（1） ， ， ．
（2） ， ， ．
（3） ， ， ．结论：（1）空集是任何集合 的子集，是任何非空集合 的真子集．
（2） ．
（3） , ．
11．已知全集 ，集合 ， ，则 ．（结果
用区间表示）
【答案】
【分析】根据题意结合一元二次不等式可得集合 ，再根据集合的交集和补集运算求解.
【详解】因为 ，则 或 ，
又因为 ，
所以 .
故答案为： .
12．已知集合 ， ，则 .
【答案】
【分析】求得 ， ，进而可求 .
【详解】由 ，可得 ， 所以 ， ，
由 ，解得 ， .
故答案为： .
13．已知 ， ， ，则 ．
【答案】
【分析】根据根号下大于等于0得到集合 ，再根据指数函数值域得到集合 ，再结合集合交并补运算即
可.【详解】由题意可得 或 ，
，所以 ，所以 ．
故答案为： .
14．已知集合 ， ，则 .
【答案】
【分析】根据条件，求出集合 ，再利用集合的运算，即可求出结果.
【详解】由 ，得到 ，所以 ， 或 ，
又易知 的定义域为 ，所以 ，
所以 ，
故答案为： .
15．已知集合 ， ，则 ．
【答案】 或
【分析】由定义域可得 ，由一元二次不等式的解法可得 ，利用交集、补集运算求解即可．
【详解】由题，
所以 或 ．
故答案为： 或
考点04：充分条件与必要条件的判定
1、判断充要条件，首先必须分清谁是条件，谁是结论，然后利用定义法、转换法和集合法来判断。
如：命题 是命题 成立的××条件，则命题 是条件，命题 是结论。
又如：命题 成立的××条件是命题 ，则命题 是条件，命题 是结论。又如：记条件 对应的集合分别为A,B则 ,则 是 的充分不必要条件； ,则 是 的
必要不充分条件。
2、“ ”读作“推出”、“等价于”。 ，即 成立，则 一定成立。
3、充要条件
已知命题 是条件，命题 是结论
（1）充分条件：若 ，则 是 的充分条件.
所谓“充分”，意思是说，只要这个条件就够了，就很充分了，不要其它条件了。
如： 是 的充分条件。
（2）必要条件：若 ，则 是 的必要条件.
所谓“必要”，意思是说，这个条件是必须的，必要的，当然，还有可能需要其它条件。
如：某个函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称。函数要具有奇偶性首先必须定义域关
于原点对称，否则一定是非奇非偶。但是定义域关于原点对称并不就一定是奇偶函数，还必须满足
f(−x)=f(x) f(−x)=−f(x)
才是偶函数，满足 是奇函数。
（3）充要条件：若 ，且 ，则 是 充要条件.
技巧：对于充分条件，可以看作是小推大，即若 p是q的充分条件（q是p的必要不充分条件），则即可
认为p是q的子集.若是充分不必要条件，可以认为p是q的真子集，即在判定充要条件的时候只要认准谁
是谁的子集即可.
16．已知向量 ， ，则“ ”是“ 或 ”的（ ）条件．
A．必要而不充分条件 B．充分而不必要条件
C．充分且必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据向量数量积分析可知 等价于 ，结合充分、必要条件分析判断.
【详解】因为 ，可得 ，即 ，
可知 等价于 ，若 或 ，可得 ，即 ，可知必要性成立；
若 ，即 ，无法得出 或 ，
例如 ，满足 ，但 且 ，可知充分性不成立；
综上所述，“ ”是“ 且 ”的必要不充分条件.
故选：A.
17．在 中，角 所对的边分别为 .则“ 成等比数列”是 的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】A
【分析】先将 代入余弦定理，利用基本不等式得到 ，从而得到 ，接着根据
得到 可能为钝角，不满足 成等比数列，从而得答案.
【详解】当 成等比数列时， ，
所以 ，当且仅当 时等号成立，
又 ，所以 ，所以 ，充分性满足；
当 时， ，
而当 时， 为最长的边，不满足 成等比数列，必要性不满足.
则“ 成等比数列”是 的充分不必要条件.故选：A.
18．设 ， 为两个不同的平面， ， 为两条相交的直线，已知 ， ，则“ ， ”
是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要
条件
【答案】A
【分析】先根据空间公理确定平面 ；再根据面面平行的判定定理和性质可得出充分性成立；最后根据面
面平行的性质及线面位置关系可得出必要性不成立.
【详解】设两条相交的直线 ， 确定一个平面 ，
因为 ， ，直线 ， 相交， ， ，
所以根据面面平行的判定定理可得： ，
又因为 ， ，直线 ， 相交， ， ，
所以根据面面平行的判定定理可得： ，
所以 ，充分性成立；
由 ， ， 可的： ， 或 ， ，必要性不成立，
所以“ ， ”是“ ”的充分不必要条件.
故选：A.
19．命题 ，命题 函数 且 在 上单调，则 是 的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据对数复合型函数的单调性，由命题 求出 的取值范围，再判断充分性和必要性即可.
【详解】设 ，则 可化为 ．充分性：当 时，函数 在 上单调递减， 在 上单调递减，
且当 时， ， 在 上单调递增，
当 时， ，此时 没有意义，故充分性不成立．
必要性：若 在 上单调递减，则 ，所以 在 上单调递减，
且 在 上恒成立，所以 ，得 ，
所以当 时， 在 上单调递增；
若 在 上单调递增，则 ，所以 在 上单调递减，
且 在 上恒成立，所以 ，得 ，不符合题意，舍去.
综上可知，当函数 在 上单调时， ，因此必要性成立．
所以 是 的必要不充分条件．
故选：B．
20．“ ”是直线 和圆 相交的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】先求出直线与圆相交时 的范围，再根据充分条件和必要条件的定义即可得解.
【详解】圆 的圆心 ，半径为 ，
若直线 和圆 相交，
则 ，解得 ，
所以“ ”是直线 和圆 相交的必要不充分条件.
故选：B.考点05：根据充分（必要）条件求参数范围
利用充分、必要、充要条件的关系求参数范围；一般可按照如下步骤：
（1）化简p，q两命题；
（2）根据p与q的关系（充分、必要、充要条件）转化为集合间的关系；
（3）利用集合间的关系建立不等式；
（4）求解参数范围.
根据充要条件求解参数范围的方法及注意点：
（1）把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数
的不等式（组）求解；
（2）注意点：区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否
能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的错误；
21．关于 的一元二次方程 有实数解的一个必要不充分条件的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由 可得 ，根据充分、必要条件的定义，结合选项即可求解.
【详解】因为一元二次方程 有实根，
所以 ，解得 .
又 是 的真子集，
所以“ ”是“ ”的必要不充分条件.
故选：A
22．已知命题 ：函数 在 内有零点，则命题 成立的一个必要不充分条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】判断函数的单调性，再利用零点存在性定理列式求出 的取值范围，结合必要不充分条件的意义
判断即得.【详解】函数 在 上单调递增，由函数 在 内有零点，
得 ，解得 ，即命题 成立的充要条件是 ，
显然 成立，不等式 、 、 都不一定成立，
而 成立，不等式 恒成立，反之，当 时， 不一定成立，
所以命题 成立的一个必要不充分条件是 .
故选：D
23．已知关于 的不等式 成立的一个必要不充分条件是 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由 ，得 ，由必要不充分条件可得 的取值范围.
【详解】由 ，得 ，
因为不等式 成立的一个必要不充分条件是 ，
所以 .
故选：A
24．已知集合 的一个必要条件是 ，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】解分式不等式求集合，根据必要条件有 是 的子集，即可求参数范围.
【详解】解不等式 ，即 ，得 ，故 ，
所以 的一个必要条件是 ，
对于A， 不是 的子集，故A错误；
对于B， 不是 的子集，故B错误；对于C， 是 的子集，故C正确；
对于D， 不是 的子集，故D错误；
故选：C
25．集合 ，若 的充分条件是 ，则实数 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意 是 的子集，从而求解.
【详解】 ，
因为 的充分条件是 ，所以 ，
则 ，
故选：B.
考点06：存在（全称）量词命题中有关参数的取值范围
由特称命题的真假确定参数的取值范围
解题方法：（等价转化，分离参数）
（1）对于命题p，∃x∈I,p(x,a)(a为参数）为真
，通过分离参数的方法求得参数的取值范围
（2）对于命题p，∃x∈I,p(x,a)(a为参数）为真
，通过否定
¬¿p ¿∀x∈I,¬¿p(x,a)(a为参数）为假
¿转化
为恒成立问题，确定出a的取值范围A，最后取A的补集
（3）对于命题p，∃x∈I,p(x,a)(a为参数）为假
，通过否定
¬¿p ¿∀x∈I,¬¿p(x,a)(a为参数）为假
¿转化
为恒成立问题，确定出a的取值范围
（4）对于命题p，∃x∈I,p(x,a)(a为参数）为假
，通过分离参数的方法求得参数的取值范围
由全称命题的真假确定参数的取值范围
解题方法：此类型的题目主要把握全称命题为真时和恒成立问题的联系，最终转化成恒成立问题求参数的
取值范围
26．若“ ，使 ”是假命题，则实数 的取值范围为 .
【答案】【分析】将问题转化为“ 在 上恒成立”，再利用对勾函数的单调性求得最值，从而得解.
【详解】因为“ ，使 ”是假命题，
所以“ ， ”为真命题，
其等价于 在 上恒成立，
又因为对勾函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，
所以 ，即实数 的取值范围为 .
故答案为： .
27．已知命题“对于 ， ”为真命题，写出符合条件的 的一个值： ．
【答案】 （答案不唯一）
【分析】当 时， ，当 时，可得 可取任意负数，即可求解.
【详解】对于 ， ，
当 时，对于 ， ，则 可取任意负数，如 ；
故答案为： .
28．若命题“ ，使得 ”是假命题，则 的取值范围是 ．
【答案】
【分析】由题意知原命题的否定为真，将问题转换成立二次不等式在定区间上的恒成立问题了，对对称轴
的位置进行讨论即可求解.
【详解】由题意原命题的否定“ ，使得 ”是真命题，
不妨设 ，其开口向上，对称轴方程为 ，则只需 在 上的最大值 即可，我们分以下三种情形来讨论：
情形一：当 即 时， 在 上单调递增，
此时有 ，解得 ，
故此时满足题意的实数 不存在；
情形二：当 即 时， 在 上单调递减，在 上单调递增，
此时有 ，只需 ，
解不等式组得 ，
故此时满足题意的实数 的范围为 ；
情形三：当 即 时， 在 上单调递减，
此时有 ，解得 ，
故此时满足题意的实数 不存在；
综上所述： 的取值范围是 .
故答案为： .
29．若命题：“ ，使 ”是假命题，则实数m的取值范围为 ．
【答案】
【分析】根据特称命题的否定，结合二次函数的性质，可得答案.
【详解】由题意可知：命题： ， .是真命题，
①当 时，结论显然成立；
②当 时，则 ，解得 ；
故答案为： .30．已知命题 .若 为假命题，则 的取值范围为 .
【答案】
【分析】首先写出命题 的否命题，根据 为假命题即可得出 为真命题，从而转化为 恒成
立，利用导数研究最值，即可求出 的取值范围.
【详解】 为假命题
为真命题，故 ，
令 ，则 ，
令 解得 ，令 解得 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，
所以 .
故答案为： .
考点07：你中有我，我中有你（Venn 图）
一般地，若给定的集合元素离散或者是抽象集合，则用Venn图求解
31．高一 班共有28名同学非常喜欢数学，有15人学习必修一，有8人学习必修二，有14人学习选修
一，同时学习必修一和必修二的有3人，同时学习必修一和选修一的有3人，没有人同时学习三本书.同时
学习必修二和选修一的有（ ）人，只学习必修一的有（ ）人.
A．9，3 B．11，3 C．9，12 D．3，9
【答案】D
【分析】利用韦恩图法即可快速求解.
【详解】设同时学习必修二和选修一的有x人，
则 ，解得 ，
即同时学习必修二和选修一的有3人，
则只学习必修一的有 （人），故选：D.
.
32．已知集合 ， ，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】首先解一元二次不等式求出集合 ，再求出 ，则图中阴影部分所表示的集合为 .
【详解】由 ，即 ，解得 ，
所以 ，
又 ，
所以 ，
所以图中阴影部分所表示的集合为 .
故选：A
33．如图所示，U是全集，A，B是U的子集，则阴影部分所表示的集合是（ ）
A． B． C． D．【答案】D
【分析】根据题中韦恩图结合集合间运算分析判断.
【详解】图中阴影部分表示的集合为 .
故选：D．
34．设集合 ， ， ，则图中阴影部分表示的集合为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】解不等式得到 ，利用补集和交集概念求出答案.
【详解】因为 等价于 ，解得 ，
所以 ，所以 或 ，
则由韦恩图可知阴影部分表示 ．
故选：B．
35．学校先举办了一次田径运动会，某班有8名同学参赛，又举办了一次球类运动会，这个班有12名同学
参赛，两次运动会都参赛的有3人。两次运动会中，这个班总共参赛的同学有（ ）
A．20人 B．17人 C．15人 D．12人
【答案】B
【分析】利用容斥原理 可得.
【详解】设参加田径运动的同学构成集合 ，参加球类运动会的同学构成集合 ，
则参加田径运动的同学人数 ，
参加球类运动会的同学人数 ，
两次运动会都参赛的同学人数 ，
则两次运动会中，这个班总共参赛的同学人数为.
故选：B.
