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第 1 讲 实数与运算 答案解析(教师版)
第一部分：知识点梳理
知识点一：实数的分类
整数和分数统称为有理数；无限不循环小数小数叫做无理数；有理数和无理数统称为实数．
1.按定义分类： 2.按符号（正负）分类：
注意：（1）0是整数，但是既不属于正数，也不属于负数.
（2）在理解无理数时，要注意“无限不循环”，主要有三类：
①开方开不尽的数，如 ， ，sin60°= 等；
②有特定意义的数，如圆π（或化简后含有π的数），如 等；
③无限不循环小数，如0.101 001 000 1…等；
知识点二：数轴、相反数、绝对值、倒数
1.数轴
规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴． 数轴上的点与实数是一一对应的．
2.相反数
(1)只有符号不同的两个数,叫做互为相反数,0的相反数是0.
(2)实数a,b互为相反数 .
3.绝对值
(1)在数轴上,表示一个数的点到原点的距离就是这个数的绝对值.
(2)一个正数的绝对值是它本身,一个负数的绝对值是它的相反数,0的绝对值是0,
即: 绝对值具有非负性,即|a|≥0.
（3）几何意义： 表示a在数轴上表示的点与原点的距离，离原点越远的数的绝对值大.
4.倒数
(1)乘积为1的两个数,叫做互为倒数,实数a，b互为倒数 .
(2)非零实数a ( )的倒数是 ；零没有倒数. 特别地,倒数等于它本身的数是 .
第 1 页 共 27 页知识点三：科学计数法与近似数
1.科学记数法：把一个数表示成 的形式(其中 ,n为整数)，这种记数法叫做科学记数法．
(1) 的确定： 是整数位数只有一位的数，即 ；
(2) 的确定：
当原数的绝对值大于或等于10时， 等于原数的整数位数减1；
当原数的绝对值小于1时， 是负整数，它的绝对值等于原数中左起第一位非零数字前零的个数(含小数
点前的零)．
2.近似数：一般地,一个近似数四舍五入到哪一位,就说这个近似数精确到哪一位.
例：2.325（精确到0.01）≈ 2.33 ； 25679（精确到十位）≈ 25680 .
3.有效数字：从左边第一个不是零的数字起到右边精确的数位止的所有数字
例：0.000501的有效数字是 3 个； 0.05010的有效数字是 4 个.
知识点四：平方根、立方根、非负数
1.平方根
（1）平方根：若x2＝a，则x叫做a的平方根. （注意：负数没有平方根）
（2）算术平方根：如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，则正数x叫做a的算术平方根，记为 .
（3）表示：a的平方根记为 ，a的算术平方根记为 . 注意：0的平方根与算术平方根都是0
（4）性质：双重非负性
2.立方根： 定义：若x3＝a，则x叫做a的立方根. 表示：a的立方根表示为 . 即x=
3.非负数：
(1)常见的非负数有 ， ， ；
(2)若几个非负数的和为0，则这几个非负数同时为0.例如：若 ，则有 .
知识点五：实数的运算
1.常见的实数运算
乘方：求n个相同因数a的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫幂.在an中，a叫底数，n叫指数.
“奇负偶正”
指数、负整数指数幂：a≠0，则a0=1； 若a≠0，n为正整数，则 .
2.实数的运算定律与运算顺序
（1）有理数的运算定律在实数范围内都适用，常用的运算定律有加法结合律、加法交换律、乘法交换律
第 2 页 共 27 页、乘法结合律、 乘法分配律.
（2）运算顺序：先算乘方（开方），再算乘除，最后算加减；有括号的先算括号里面的.
3.实数的运算法则
(1)实数加法法则：
①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；
②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值.
互为相反数的两个数相加得0；
③一个数同0相加，仍得这个数.
(2)实数减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数.
(3)实数乘法法则：
①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘.任何数与0相乘，都得0；
②几个不是0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定．当负因数的个数为奇数时，积是负数，当负
因数的个数为偶数时，积是正数；
③几个数相乘，如果其中有因数为0，那么积等于0.
(4)实数除法法则：
①除以一个不等于0的数，等于乘以这个数的倒数.0不能作除数；
②两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除.0除以任何一个不等于0的数，都得0.
(5)乘方的运算法则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何
正整数次幂都是0.
4.实数大小比较的方法：
（1）数轴比较法：在数轴上，右边的点所对应的数比左边大.
（2）作差法：当a－b＝0时，可知a＝b；当a－b＞0时，可知a＞b；当a－b＜0时，可知a＜b．
A A A
（3）作商法：若 =1，则A＝B；若 ＞1，则A＞B；若 ＜1，则A＜B(A，B＞0且B≠0).
B B B
（4）平方法：当a＞0，b＞0时，a＞b⇔√a＞√b．
（5）绝对值比较法：设a、b是两负实数，则 .
（6）备注：遇到有理数和带根号的无理数比较大小时，让“数全部回到根号下”，再比较大小。
第 3 页 共 27 页第二部分：考点突破
考点1实数的有关概念与分类
1．（2025·云南·中考真题）中国是最早使用正负数表示具有相反意义的量的国家．若收入10元记作
元，则支出5元可记作（ ）
A． 元 B．5元 C． 元 D．10元
【答案】A
【分析】本题考查正负数表示相反意义的量，收入与支出为相反意义的量，收入用正数表示，则支出用
负数表示，数值为实际金额．
根据正负数表示相反意义的量即可求解．
【详解】解：若收入10元记作 元，则支出5元可记作 元，
故选：A．
2．（2025·广东·中考真题）某品牌乒乓球产品质量参数是 ，如果一只乒乓球的质量高于标准
质量 记作 ，那么低于标准质量 记作（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了正数和负数．根据正数和负数表示具有相反意义的量，即可解答．
【详解】解：∵一只乒乓球的质量高于标准质量 记作 ，
∴那么低于标准质量 记作 ．
故选：A．
3．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）下列实数中： 、 、 、 、 有理数的个数为（ ）个．
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【分析】本题考查了有理数的判断，同时考查了无理数及求立方根等知识；有限小数与无限循环小数是
有理数；根据有理数的定义，逐一判断各数是否为有理数．
【详解】解： ：可写成分数 ，属于有理数；
：整数，属于有理数；
： 是无理数，乘以2后仍为无理数，不属于有理数；
：圆周率为无限不循环小数，属于无理数；
第 4 页 共 27 页：立方根 ，属于整数，即有理数；
综上，有理数有 、 、 ，共3个；
故选：D．
4．（2025·山东东营·中考真题）2025的相反数是（ ）．
A．2025 B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了求一个数的相反数，只有符号不同的两个数互为相反数，据此可得答案．
【详解】解：根据相反数的定义可得： 的相反数是 ．
故选：B．
5．（2025·山东烟台·中考真题） 的倒数是（ ）
A．3 B． C．-3 D．
【答案】B
【分析】本题考查的是倒数的含义，绝对值的含义，先计算绝对值，再求其倒数即可.
【详解】解：∵ ，
∴3的倒数是 ，
∴ 的倒数是 ，
故选：B
6．（2025·四川泸州·中考真题）下列各组数中，互为相反数的是（ ）
A． 和 B． 和 C．2和 D． 和
【答案】A
【分析】本题考查了相反数的定义，熟练掌握相反数的定义是解题的关键．根据只有符号不同的两个数
互为相反数进行解答即可得．
【详解】解：A. 和 互为相反数，故该选项正确，符合题意；
B. 和 ，不互为相反数，故该选项不正确，不符合题意；
C. 和 ，不互为相反数，故该选项不正确，不符合题意；
D. 和 ，不互为相反数，故该选项不正确，不符合题意；
第 5 页 共 27 页故选：A．
7．（2025·江苏连云港·中考真题） 的绝对值是（ ）
A．5 B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查绝对值的概念，根据绝对值的定义直接求解即可．绝对值表示一个数在数轴上到原点
的距离，非负性是其核心性质．对于负数，其绝对值等于它的相反数．
【详解】解： ，
因此， 的绝对值为5，
故选：A．
8．（2024·内蒙古包头·中考真题）若 互为倒数，且满足 ，则 的值为（ ）
A． B． C．2 D．4
【答案】B
【分析】本题主要考查了倒数的定义，根据 互为倒数，则 ，把 代入 ，即可
得出m的值，进一步即可得出n的值．
【详解】解：∵ 互为倒数，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
则 ，
故选：B．
9．（2025·江西·中考真题）在1个标准大气压下，四种晶体的熔点如下表所示，则熔点最高的是（ ）
固态
晶体 固态氢 固态氮 固态酒精
氧
熔点（单位： ）
A．固态氢 B．固态氧 C．固态氮 D．固态酒精
【答案】D
【分析】本题考查负数的知识，负数大小的比较．分别比较几个凝固点的大小，即可得到解答．．
【详解】解：由表格可知，固态氢的熔点为 ，固态氧的熔点为 ，固态氮的熔点为 ，
固态酒精的熔点为 ，
第 6 页 共 27 页∵ ，
∴熔点最高的是固态酒精．
故选：D．
10．（2025·湖北·中考真题）数轴上表示数 的点如图所示，下列判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了数轴上数的大小比较，掌握数轴的特点是关键．
根据数轴的特点得到 ，由此即可求解．
【详解】解：根据题意， ，
∴ ，
故选：A ．
11．（2025·山东·中考真题）如图，数轴上表示 的点是（ ）
A．M B．N C．P D．Q
【答案】A
【分析】本题主要考查了数轴，弄清数轴上表示数的位置是解题的关键．
观察数轴得到表示 的点即可．
【详解】解：如图，在数轴上的点M、N、P、Q中，表示 的点是M．
故选：A．
12．（2025·北京·中考真题）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了根据点在数轴的位置判断式子的正负，绝对值的意义，利用数轴表示有理数的大小，
正确掌握相关性质内容是解题的关键．
先由数轴得， ，且 ，再逐项分析即可．
第 7 页 共 27 页【详解】解：由数轴得， ，且
∴ ， ，
故A，B，C均错误，不符合题意，D正确，符合题意，
故选：D．
考点2实数的大小比较与无理数的估算
13．（2024·山东日照·中考真题）实数 中无理数是（ ）
A． B．0 C． D．1.732
【答案】C
【分析】本题考查了无理数，解答本题的关键掌握无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循
环小数，③含有 的数．根据无理数的定义，“无限不循环的小数是无理数”逐个分析判断即可．
【详解】解： 都是有理数， 是无理数．
故选：C
14．（2025·山西·中考真题）下列各数中比 小的数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了有理数的大小比较，根据正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小进行比较即
可判断求解，掌握有理数的大小比较方法是解题的关键．
【详解】解：∵正数大于负数，
∴比 小的数在 ， ， 中，
∵两个负数，绝对值大的数反而更小，
又∵ ，
∴ ，
∴比 小的数是 ，
故选： ．
15．（2025·福建·中考真题）下列实数中，最小的数是（ ）
A． B．0 C． D．2
【答案】A
【分析】本题考查比较实数的大小，首先确定各数的正负性，再按负数小于0小于正数的顺序比较大小
即可．
第 8 页 共 27 页【详解】解：∵ ，
∴最小的数为 ；
故选：A
16．（2025·重庆·中考真题）下列四个数中，最大的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】此题考查了科学记数法的应用能力，运用科学记数法知识将各选项数字还原，再进行比较、求
解．关键是能准确理解并运用以上知识．
【详解】解： ， ， ，
，
，
，
∴四个数中，最大的是 ，
故选：D．
17．（2025·天津·中考真题）估计 的值在（ ）
A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间
【答案】C
【分析】本题考查无理数的估算，夹逼法求出无理数的范围，进行判断即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的值在3和4之间；
故选C．
18．（2024·天津·中考真题）估计 的值在（ ）
A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间
第 9 页 共 27 页【答案】C
【分析】本题主要查了无理数的估算．根据无理数的估算方法解答即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ 的值在3和4之间．
故选：C
19．（2025·江苏扬州·中考真题）如图，数轴上点 表示的数可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查实数与数轴，无理数的估算，设点 表示的数为 ，根据点在数轴上的位置，判断出
的范围，夹逼法求出无理数的范围进行判断即可．
【详解】解：设点 表示的数为 ，由图可知： ，
∵ ，即： ，故选项A不符合题意；
∵ ，即： ，故选项B不符合题意；
∵ ，即： ，故选项C符合题意；
∵ ，即： ，故选项D不符合题意；
故选C．
20．（2025·重庆·中考真题）若 为正整数，且满足 ，则 ．
【答案】
【分析】本题考查无理数的估算，熟练掌握无理数的估算方法是解题的关键．先估算 的取值范围，
得出 ，又因为n为正整数，且满足 ，即可得出 ．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
第 10 页 共 27 页∴ ，
∵ 为正整数，且满足 ，
∴ ，
故答案为： ．
考点3科学记数法与近似数
21．（2025·黑龙江绥化·中考真题）据统计，2025年端午期间，我国民航客运累计发送旅客 万人次，
把 万用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了科学记数法，将数据表示成形式为 的形式，其中 ，n为整数，正
确确定a、n的值是解题的关键．
将 万写成 其中 ，n为整数的形式即可．
【详解】解： 万 ．
故选C．
22．（2025·北京·中考真题）2025年5月29日，行星探测工程天问二号探测器在西昌卫星发射中心成功
发射，开启对近地小行星2016HO3的探测与采样返回之旅．已知该小行星与地球的最近距离约为月球远
地点距离的45倍，月球远地点距离约为 ，则该小行星与地球的最近距离约为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】此题考查了科学记数法表示较大的数．根据题意，小行星与地球的最近距离为月球远地点距离
的45倍，月球远地点距离已知为 ，直接计算两者的乘积并用科学记数法表示即可．
【详解】解：月球远地点距离为 ，小行星的距离是该值的45倍，即：
．
故选：C
第 11 页 共 27 页23．（2025·天津·中考真题）据 年 月 日《天津日报》报道，今年“五一”小长假，全市跨区域人
员流动量达到 人次．将数据 用科学记数法表示应为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查科学记数法，解题的关键是熟记科学记数法的定义：将一个数表示成 的形式，其
中 ， 为整数．确定 的值时，要看把原数变成 时，小数点移动了多少位， 的绝对值与小
数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于 时， 是正整数；当原数的绝对值小于 时， 是负整
数．
【详解】解：将数据 用科学记数法表示应为 ．
故选：B．
24．（2025·广东·中考真题）依据《广东省推动低空经济高质量发展行动方案（2024-2026年）》，预计
2026年广东省低空经济规模将超过3000亿元．数据3000亿用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ， 为整数，
正确确定 以及 的值是解题的关键．确定 的值时，要看把原数变成 时，小数点移动了多少位， 的
绝对值与小数点移动的位数相同，据此即可求解．
【详解】解：3000亿 ．
故选：D．
25．（2025·河南·中考真题）通电瞬间，导线中的电流以接近光速形成，但其中自由电子定向移动的平均
速度大约只有 ，比蜗牛爬行的速度还慢．数据“ ”用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法表示绝对值小于1的正数的一般形式为 ，
第 12 页 共 27 页其中 ，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．n的值由原数左边起第一个不为
零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】解： ，
故选：C．
26．（2024·山东淄博·中考真题）我国大力发展新质生产力，推动了新能源汽车产业的快速发展．据中国
汽车工业协会发布的消息显示．2024年1至3月，我国新能源汽车完成出口 万辆．将 万用科学
记数法表示为 ．则 的值是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【分析】本题主要考查科学记数法．科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ，n为整数，
确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，
【详解】解： 万 ，
则 ，
故选：B．
27．（2024·四川攀枝花·中考真题）下列各数都是用四舍五入法得到的近似数，其中精确到十分位的是（
）
A．24 B．24.0 C．24.00 D．240
【答案】B
【分析】本题主要考查了精确度，判断近似数的精确位数，需观察其最后一位数字所在的数位．十分位
对应小数点后第一位，据此求解即可．
【详解】选项A：24，无小数点，末位4位于个位，精确到个位．
选项B：24.0，末位0在小数点后第一位（十分位），精确到十分位．
选项C：24.00，末位0在小数点后第二位（百分位），精确到百分位．
选项D：240，末位0在个位（若原数四舍五入到十位则为十位），精确到个位．
故选：B．
28．（2025·山东烟台·中考真题）2025年2月2日是第29个“世界湿地日”，主题是“保护湿地共筑未
来”．国家林草局公布的最新数据显示，全国湿地面积稳定保持在56350000公顷以上．将数据56350000
用科学记数法表示为 ．
【答案】
第 13 页 共 27 页【分析】本题考查的知识点是科学记数法—表示较大的数，把一个大于 的数写成科学记数法 的
形式时，将小数点放到左边第一个不为 的数位后作为 ，把整数位数减 作为 ，从而确定它的科学记
数法形式，熟练掌握以上知识是解题的关键．科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ，
为整数．确定 的值时，要看把原数变成 时，小数点移动了多少位， 的绝对值与小数点移动的位数相
同，即可得出答案．
【详解】解： ；
故答案为： ．
29．（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）中国年水资源总量约为 亿 ，人均占有水量相当于世界
人均的四分之一，居世界第110位．将 用科学记数法表示为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查科学记数法，熟练掌握科学记数法是解题的关键；科学记数法的表示形式为
的形式，其中 ，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的
绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于10时，n是正整数；当原数的绝对值小于1
时，n是负整数．
【详解】解：将数据 用科学记数法表示为 ；
故答案为： ．
30．（2025·山东威海·中考真题）2025年5月，基于“三进制”逻辑的芯片研制成功．与传统的“二进
制”芯片相比，三进制逻辑芯片在特定的运算中具有更高的效率．
二进制数的组成数字为0，1．十进制数22化为二进制数：
．
传统三进制数的组成数字为0，1，2．十进制数22化为三进制数：
．
将二进制数 化为三进制数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，理解例题的计算方法，按照例题代入计算即可．
将二进制数转换为三进制数，需先将二进制数转换为十进制数，再将十进制数转换为三进制数．
第 14 页 共 27 页【详解】∵二进制数 的各位权值从右到左依次为 ，
对应数值为：
∴二进制数 对应的十进制数为 11．
将十进制数 11 转换为三进制数，采用“除3取余法”：
，余数为2；
，余数为0；
，余数为1．
将余数倒序排列，得到三进制数为 ．
故选：A．
考点4非负性的应用
31．（2025·四川凉山·中考真题）若 ，则 的平方根是（ ）
A．8 B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查非负性，解二元一次方程组，求一个数的平方根，利用二次根式的性质进行化简，先
根据非负性，得到关于 的二元一次方程组，两个方程相减后求出 的值，再根据平方根的定义，
进行求解即可．熟练掌握非负性，平方根的定义，是解题的关键．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
，得： ，
∴ 的平方根是 ；
故选：C．
32．（2023·西藏·中考真题）已知a，b都是实数，若 ，则 的值是（ ）
A． B． C．1 D．2023
第 15 页 共 27 页【答案】B
【分析】根据绝对值和偶次方的非负性可求解a，b的值，再代入计算可求解．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
解得 ，
∴ ．
故选：B．
【点睛】此题考查了绝对值与偶次方非负性的应用，解题关键是利用非负性求出a、b的值．
33．（2023·山东·中考真题） 的三边长a，b，c满足 ，则
是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等腰直角三角形
【答案】D
【分析】由等式可分别得到关于a、b、c的等式，从而分别计算得到a、b、c的值，再由 的关
系，可推导得到 为直角三角形．
【详解】解∵
又∵
∴ ，
∴
解得 ，
第 16 页 共 27 页∴ ，且 ，
∴ 为等腰直角三角形，
故选：D．
【点睛】本题考查了非负性和勾股定理逆定理的知识，求解的关键是熟练掌握非负数的和为0，每一个非
负数均为0，和勾股定理逆定理．
34．（2025·四川广安·中考真题）在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为 ，且a，b满足
，则点A在第 象限．
【答案】四
【分析】本题考查非负性，判断点所在的象限，根据非负性求出 的值，根据 的符号，判断出点A
所在的象限即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴点A的坐标为 ，在第四象限；
故答案为：四．
35．（2024·四川资阳·中考真题）若 ，则 ．
【答案】2
【分析】本题考查了绝对值和平方的非负性，解题的关键是掌握几个非负数和为0，则这几个非负数分别
为0．根据绝对值和平方的非负性，得出 ，求出a和b的值，即可解答．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
解得： ，
∴ ，
故答案为：2．
第 17 页 共 27 页考点5实数的运算
36．（2025·山东威海·中考真题）计算： ．
【答案】
【分析】本题考查了实数的运算，根据负整数指数幂，零指数幂，二次根式的化简求解即可，掌握相关
知识是解题的关键．
【详解】解：
．
37．（2025·湖北·中考真题）计算： ．
【答案】
【分析】本题主要考查了二次根式的乘法计算，乘方和绝对值等计算，先计算二次根式乘法，再计算乘
方和绝对值，最后计算加减法即可得到答案．
【详解】解；
．
38．（2025·湖南长沙·中考真题）计算： ．
【答案】
【分析】本题考查了实数的混合运算，涉及了零指数幂、负整数指数幂，注意计算的准确性即可．
【详解】解：原式
39．（2025·江苏连云港·中考真题）计算 ．
【答案】6
【分析】本题考查实数的混合运算，零指数幂，先进行乘法，开方，零指数幂的运算，再进行加减运算
第 18 页 共 27 页即可，熟练掌握相关运算法则，是解题的关键．
【详解】解：原式 ．
40．（2025·福建·中考真题）计算：
【答案】
【分析】本题考查实数的混合运算，涉及二次根式的化简、零指数幂、化简绝对值等知识，是基础考点，
掌握相关知识是解题关键．原式利用二次根式性质，零指数幂法则，以及绝对值的代数意义计算即可得
到结果．
【详解】解：
．
41．（2025·江苏苏州·中考真题）计算： ．
【答案】10
【分析】本题考查实数的混合运算，熟练掌握相关运算法则，是解题的关键．先去绝对值，进行乘方和
开方运算，再进行加减运算即可．
【详解】解：原式 ．
42．（2025·上海·中考真题）计算： ．
【答案】
【分析】本题考查的是实数的混合运算，二次根式的混合运算，分数指数幂的含义，先分母有理化，计
算分数指数幂，绝对值，负整数指数幂，再合并即可.
【详解】解：
.
43．（2025·江苏扬州·中考真题）计算：
第 19 页 共 27 页(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了含特殊角的三角函数值的实数的混合运算、整式的混合运算，熟练掌握运算法则是
解题关键．
（1）先化简二次根式、计算含特殊角的三角函数值的混合运算和零指数幂，再计算二次根式的混合运算
即可得；
（2）先计算单项式乘以多项式、同底数幂的除法，再计算整式的加减法即可得．
【详解】（1）解：原式
．
（2）解：原式
．
44．（2025·辽宁·中考真题）计算：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)4
(2)
【分析】本题考查了实数的混合运算，分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
（1）分别进行乘方、乘法运算，以及求立方根和绝对值，再进行加减计算；
（2）先将除法化为乘法，再进行分式的减法计算．
【详解】（1）解：
第 20 页 共 27 页；
（2）解：
．
45．（2025·四川成都·中考真题）（1）计算： ．
（2）解不等式组：
【答案】（1）3；（2）
【分析】本题考查的是实数的运算和解一元一次不等式组，熟知运算法则和不等式组的解法是解题的关
键．
（1）分别根据负整数指数幂、二次根式的性质、特殊角的三角函数、绝对值的性质进行计算，再把结果
相加减；
（2）分别解出每个不等式的解集，然后确定不等式组的解集即可．
【详解】解：（1）
；
（2）
解不等式①得： ，
第 21 页 共 27 页解不等式②得： ，
所以原不等式组的解集为 ．
46．（2024·山东济南·中考真题）计算： ．
【答案】6
【分析】本题考查了实数的运算，熟练掌握负整数指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值、零指数幂的
性质是解题的关键．
根据负整数指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值、零指数幂的性质进行化简，然后根据实数运算法则
进行计算即可
【详解】解：原式 ．
47．（2025·广东深圳·中考真题）计算： ．
【答案】7
【分析】本题考查实数的混合运算，熟练掌握相关运算法则，是解题的关键：先进行开方，去绝对值，
零指数幂和乘方运算，再进行加减运算即可.
【详解】原式
.
48．（2025·新疆·中考真题）计算：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了实数的运算，零指数幂，平方差公式和单项式乘以多项式的计算，熟知相关计
算法则是解题的关键．
（1）先计算算术平方根和零指数幂，再计算乘方和绝对值，最后计算加减法即可得到答案；
（2）先根据平方差公式和单项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项即可得到答案．
【详解】（1）解：
第 22 页 共 27 页；
（2）解：
．
49．（2025·山东东营·中考真题）（1）计算： ；
（2）先化简，再求值： ，其中a是使不等式 成立的正整数．
【答案】（1）
（2） ，
【分析】（1）先把特殊角的三角函数值代入，并计算零指数幂和负整数指数幂，进行开方运算，再算加
减即可；
（2）先根据分式混合运算法则进行化简，然后求出不等式的解集，得出正整数 的值，再代入数据计算
即可．
【详解】解：（1）原式
；
（2）
，
是使不等式 成立的正整数，
第 23 页 共 27 页且 为正整数，
，2，3，
又 ， ，
，3， ，
，
当 时，原式 ．
【点睛】本题主要考查了实数的混合运算，特殊角的三角函数值，分式化简求值，分式有意义的条件，
解不等式，解题的关键是熟练掌握分式混合运算法则，准确计算．
50．（2025·内蒙古·中考真题）计算：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查实数的混合运算，涉及算术平方根，绝对值，还考查了分式的乘法，熟练掌握相关运
算法则是解题的关键．
（1）先化简绝对值和算术平方根，再进行计算即可；
（2）利用分式的乘法的运算法则化简即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
51．（2025·山东东营·中考真题）（1）计算：
第 24 页 共 27 页（2）先化简，再求值： ，其中 是使不等式 成立的正整数．
【答案】（1） ；（2） ，
【分析】本题主要考查了实数的混合运算，特殊角的三角函数值，分式化简求值，分式有意义的条件，
解不等式，解题的关键是熟练掌握分式混合运算法则，准确计算．
（1）先把特殊角的三角函数值代入，并计算零指数幂和负整数指数幂，进行开方运算，再算加减即可；
（2）先根据分式混合运算法则进行化简，然后求出不等式的解集，得出正整数 的值，再代入数据计算
即可．
【详解】解：（1）原式
；
（2）
，
是使不等式 成立的正整数，
且 为正整数，
，2，3，
又 ， ，
，3， ，
，
第 25 页 共 27 页当 时，原式 ．
52．（2025·四川泸州·中考真题）计算： ．
【答案】
【分析】本题主要考查了实数的运算，求特殊角三角函数值，零指数幂，先计算45度角的正切值，再计
算零指数和算术平方根，接着计算乘方，最后计算加减法即可得到答案．
【详解】解：
．
53．（2025·四川广安·中考真题）（1）计算： ．
（2）先化简，再求值： ，其中 ．
【答案】（1） ；（2） ，
【分析】本题主要考查了分式的化简求值，求特殊角三角函数值，零指数幂，实数的运算，负整数指数
幂，熟知相关计算法则是解题的关键．
（1）先计算特殊角三角函数值，再计算零指数幂，负整数指数幂，接着去绝对值后计算加减法即可得到
答案；
（2）先把小括号内的式子通分化简，再把除法变成乘法后约分化简，最后代值计算即可得到答案．
【详解】解：（1）原式
；
（2）
第 26 页 共 27 页，
当 时，原式 ．
54．（2025·四川达州·中考真题）（1）计算： ；
（2）解不等式： 并把解集表示在数轴上．
【答案】（1）2；（2） ，数轴见解析
【分析】本题考查了实数的运算，解一元一次不等式，在数轴上表示解集，涉及零指数幂和绝对值等知
识点，熟练掌握运算法则和解一元一次不等式的步骤是解题的关键．
（1）分别计算零指数幂和有理数的平方以及计算绝对值，再进行加减计算；
（2）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化1的步骤求出解集，再在数轴上表示解集即可．
【详解】（1）解：
；
（2） ，
，
，
，
，
解得： ，
∴原不等式的解为： ，
数轴表示为：
第 27 页 共 27 页
