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第 4 讲 二次根式 答案解析（教师版）
第一部分：知识点梳理
知识点一：二次根式的有关概念
1.二次根式的概念：形如
√a(a≥0)的式子叫做二次根式．其中符号“
”叫做二次根号，二次根号下
的数叫做被开方数．
【注】被开方数a只能是非负数．即要使二次根式 有意义，则a≥0．
2．最简二次根式：最简二次根式必须同时满足以下两个条件：
(1)被开方数不含分母（只能是整数或整式）
(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.
3.同类二次根式：化成最简二次根式后，被开方数相同的几个二次根式，叫做同类二次根式．
【例】 与 是同类二次根式，且 + = ．
知识点二：二次根式的性质
（1）√a≥ 0（a≥0） 双重非负性；
（2）(√a) 2 =a(a≥0)；
（3） ；
知识点三：二次根式的运算
（1）二次根式的加减
合并同类二次根式：在二次根式的加减运算中，把几个二次根式化为最简二次根式后，若有同类二
次根式，可把同类二次根式合并成一个二次根式．
（2）二次根式的乘除
乘法法则： ；除法法则： ．
（3）二次根式的混合运算
在二次根式的运算中，实数的运算性质和法则同样适用．
二次根式的混合运算顺序是：先乘方，后乘除，最后加减，有括号的先算括号内的．
第 1 页 共 17 页第二部分：考点突破
考点1二次根式的概念与性质
1．（2025·江苏连云港·中考真题）若 在实数范围内有意义，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，根据二次根式的定义，被开方数必须非负，即 ，
解不等式即可确定x的取值范围．
【详解】解： 在实数范围内有意义，
∴ ，
解得： ，
故选：D．
2．（2025·四川内江·中考真题）在函数 中，自变量x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了函数自变量的取值范围，二次根式有意义的条件，根据题意得出 ，即可求解．
【详解】解：根据题意得： ，
解得：
故选：A．
3．（2024·山东济宁·中考真题）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】此题考查二次根式的运算法则，根据二次根式的加法法则对A进行判断；根据二次根式的乘法
法则对B进行判断；根据二次根式的除法法则对C进行判断；根据二次根式的性质对D进行判断．
【详解】A. 不能合并，所以A选项错误；
B. ，所以B选项正确；
C. ，所以C选项错误；
第 2 页 共 17 页D. ，所以D选项错误．
故选：B．
4．（2024·黑龙江绥化·中考真题）若式子 有意义，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据题意可得 ，即可求解．
【详解】解：∵式子 有意义，
∴ ，
解得： ，
故选：C．
5．（2025·安徽·中考真题）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查二次根式的性质，求一个数的立方根，幂的乘方，同底数幂乘法，熟练掌握相关
运算法则是解题的关键；根据相关计算法则求出对应选项中式子的结果即可得到答案．
【详解】解；A、 ，原式计算错误，不符合题意；
B、 ，原式计算正确，符合题意；
C、 ，原式计算错误，不符合题意；
D、 ，原式计算错误，不符合题意；
故选；B．
6．（2020·上海·中考真题）下列二次根式中，与 是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
第 3 页 共 17 页【分析】本题考查了同类二次根式、二次根式的性质与化简，熟练掌握同类二次根式的定义是解题的关
键．
把几个二次根式化为最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式，由
此判断即可．
【详解】解：A： 被开方数为 ，与 不是同类二次根式，故此选项不合题意；
B： ，与 不是同类二次根式，故此选项不合题意；
C： ，与 是同类二次根式，故此选项符合题意；
D： ，与 不是同类二次根式，故此选项不合题意．
故选：C ．
7．（2024·四川乐山·中考真题）已知 ，化简 的结果为（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了二次根式的性质，去绝对值，熟练掌握知识点是解题的关键．
先根据 化简二次根式，然后再根据 去绝对值即可．
【详解】解： ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选：B．
8．（2025·四川凉山·中考真题）若 ，则 的平方根是（ ）
A．8 B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查非负性，解二元一次方程组，求一个数的平方根，利用二次根式的性质进行化简，先
根据非负性，得到关于 的二元一次方程组，两个方程相减后求出 的值，再根据平方根的定义，
第 4 页 共 17 页进行求解即可．熟练掌握非负性，平方根的定义，是解题的关键．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
，得： ，
∴ 的平方根是 ；
故选：C．
9．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）实数 在数轴上的对应位置如图所示，则 的
化简结果是（ ）
A．2 B． C． D．-2
【答案】A
【分析】本题考查了实数与数轴的关系，二次根式的性质和绝对值的化简法则，根据数轴可得 ，
，，再利用二次根式的性质和绝对值的化简法则，化简计算即可．
【详解】解∶由数轴知∶ ， ，
∴ ，
∴
，
故选：A．
10．（2025·河南·中考真题）请写出一个使 在实数范围内有意义的 的值： ．
【答案】3（答案不唯一）
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，以及解不等式，熟练掌握被开方数是非负数是解题的关键．
根据二次根式有意义得到 求解，取恰当的值即可．
第 5 页 共 17 页【详解】解：由题意得， ，
解得 ，
∴使 在实数范围内有意义的 的值可以为 ；
故答案为：3（答案不唯一）．
11．（2025·北京·中考真题）若 在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件以及解一元一次不等式，熟练掌握二次根式有意义的条件
是解题的关键．
此题可根据二次根式有意义的条件“被开方数要为非负数”得到不等式求解．
【详解】解：∵ 在实数范围内有意义，
∴ ，
解得： ，
故答案为： ．
12．（2025·黑龙江绥化·中考真题）若式子 有意义，则 的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件：被开方数大于等于零．分式有意义的条件：分母不为
零． 根据二次根式以及分式有意义，得出关于x的不等式，解出即可得出x的取值范围．
【详解】解：要使式子 有意义，
即 ，
∴ ．
故答案为： ．
13．（2025·四川凉山·中考真题）若式子 在实数范围内有意义，则m的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，掌握二次根式有意义则被开方数非负，
分式有意义则分母不为0是解题的关键．
第 6 页 共 17 页根据二次根式有意义的条件，分式有意义的条件得到 ，再求解即可．
【详解】解：∵式子 在实数范围内有意义，
∴ ，
解得： ，
∴m的取值范围是 ，
故答案为： ．
14．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）在函数 中，自变量x的取值范围是 ．
【答案】 /
【分析】本题主要考查函数自变量取值范围，分别根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件列出
不等式求解即可．
【详解】解：根据题意得， ，且 ，
解得， ，
故答案为： ．
考点2二次根式的运算与应用
15．（2025·广东·中考真题）计算 的结果是（ ）
A．3 B．6 C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了二次根式的乘法，正确化简二次根式是解题关键．直接相乘得出答案．
【详解】 ．
故选：B．
16．（2024·江苏南通·中考真题）计算 的结果是（ ）
A．9 B．3 C． D．
第 7 页 共 17 页【答案】B
【分析】本题考查的是二次根式的乘法运算，直接利用二次根式的乘法运算法则计算即可．
【详解】解： ，
故选B．
17．（2024·江苏盐城·中考真题）矩形相邻两边长分别为 、 ，设其面积为 ，则S在哪两
个连续整数之间（ ）
A．1和2 B．2和3 C．3和4 D．4和5
【答案】C
【分析】本题主要考查无理数的估算，二次根式的乘法，先计算出矩形的面积 ，再利用放缩法估算无理
数大小即可．
【详解】解： ，
，
，
，
即S在3和4之 间，
故选：C．
18．（2025·河北·中考真题）计算： （ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，利用平方差公式直接计算，即可求解．
【详解】解：
故选：B．
19．（2024·内蒙古通辽·中考真题）下列运算结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
第 8 页 共 17 页【分析】本题考查的是合并同类项，积的乘方运算，算术平方根的含义，二次根式的加减运算，根据以
上运算的运算法则逐一计算即可
【详解】解： ，故A不符合题意；
，故B符合题意；
，故C不符合题意；
，故D不符合题意；
故选B
20．（2024·四川南充·中考真题）如图，已知线段 ，按以下步骤作图：①过点B作 ，使
，连接 ；②以点C为圆心，以 长为半径画弧，交 于点D；③以点A为圆心，以
长为半径画弧，交 于点E．若 ，则m的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了勾股定理，根据垂直定义可得 ，再根据 ，设 ，然后在
中，利用勾股定理可得 ，再根据题意可得： ，从而利用线
段的和差关系进行计算，即可解答．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵ ，设
第 9 页 共 17 页∴ ，
∴ ，
由题意得： ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故选：A
21．（2022·湖南衡阳·中考真题）计算： ．
【答案】4
【分析】根据 解答即可．
本题考查了二次根式的乘法，熟练掌握运算是解题的关键．
【详解】解：根据题意，得 ．
故答案为：4．
22．（2025·山东威海·中考真题）计算： ．
【答案】
【分析】本题考查了实数的运算，根据负整数指数幂，零指数幂，二次根式的化简求解即可，掌握相关
知识是解题的关键．
【详解】解：
．
第 10 页 共 17 页23．（2025·天津·中考真题）计算 的结果为 ．
【答案】60
【分析】本题主要考查了利用平方差公式进行二次根式的运算，解题的关键是熟练掌握平方差公式．
利用平方差公式进行计算即可．
【详解】解：
，
故答案为：60．
24．（2025·山东烟台·中考真题）实数 的整数部分为 ．
【答案】
【分析】本题考查的是实数的整数部分问题的理解，化为最简二次根式，由 ， ，从
而可得答案．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
∴实数 的整数部分为 ，
故答案为：
25．（2024·江苏南京·中考真题）计算 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的乘除，根据二次根式的乘除运算法则计算即可得解，熟练掌握运算法则
是解此题的关键．
【详解】解： ，
故答案为： ．
26．（2025·四川自贡·中考真题）计算： ．
第 11 页 共 17 页【答案】
【分析】本题考查的是二次根式的减法，先化简 ，再合并即可.
【详解】解： ；
故答案为： ．
27．（2024·山东淄博·中考真题）计算： ．
【答案】
【分析】本题主要考查了二次根式的减法计算，先化简二次根式，再计算二次根式减法即可．
【详解】解： ，
故答案为： ．
28．（2024·山东青岛·中考真题）计算： ．
【答案】 /
【分析】本题主要考查了二次根式的加减计算，负整数指数幂和求特殊角三角函数值，先计算特殊角三
角函数值，负整数指数幂和化简二次根式，再根据二次根式的加减计算法则求解即可．
【详解】解：
，
故答案为： ．
29．（2024·山东威海·中考真题）计算： ．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，根据二次根式的性质以及二次根式的乘法进行计算即可求解．
【详解】解：
第 12 页 共 17 页故答案为： ．
30．（2023·黑龙江哈尔滨·中考真题）计算 的结果是 ．
【答案】
【分析】利用二次根式的混合运算法则及分母有理数的方法即可求解．
【详解】解： ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算及分母有理数，熟练掌握其运算法则是解题的关键．
31．（2025·陕西·中考真题）计算： ．
【答案】7
【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键．
先计算二次根式的乘法、化简二次根式、化简绝对值、零次幂，再合并即可．
【详解】解：
．
32．（2024·甘肃兰州·中考真题）计算： ．
【答案】
【分析】本题考查二次根式的运算，先根据二次根式的性质化简，进行乘法运算，再合并同类二次根式
即可．
【详解】解：原式
第 13 页 共 17 页．
33．（2024·甘肃·中考真题）计算： ．
【答案】0
【分析】根据二次根式的混合运算法则计算即可．
本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
【详解】 ．
34．（2025·甘肃·中考真题）计算： ．
【答案】
【分析】本题考查二次根式的混合运算，先化简二次根式，进行乘法运算，再合并同类二次根式即可．
【详解】解：原式
．
35．（2024·四川凉山·中考真题）计算： ．
【答案】2
【分析】本题考查了实数的混合运算．分别进行零指数幂、负整数指数幂、二次根式及绝对值的运算，
然后代入特殊角的三角函数值代入运算即可．
【详解】解：
．
36．（2025·云南·中考真题）计算： ．
【答案】8
第 14 页 共 17 页【分析】本题考查了含特殊角的三角函数值的混合运算，涉及负整数和零指数幂，二次根式的乘法运算
等知识点，熟练掌握运算法则是解题的关键．
分别计算零指数幂、负整数指数幂，二次根式的乘法，计算绝对值，特殊角的三角函数值，再进行加减
计算即可．
【详解】解：
．
37．（2024·上海·中考真题）计算： ．
【答案】
【分析】本题考查了绝对值，二次根式，零指数幂等，掌握化简法则是解题的关键．先化简绝对值，二
次根式，零指数幂，再根据实数的运算法则进行计算．
【详解】解：
．
38．（2025·吉林长春·中考真题）先化简．再求值： ，其中 ．
【答案】 ，4
【分析】本题主要考查整式的混合运算，根据完全平方公式将括号展开后合并得最简结果，再把
代入计算即可．
【详解】解：
，
第 15 页 共 17 页当 时，原式 ．
39．（2023·江苏·中考真题）先化简，再求值： ，其中 ．
【答案】 ，
【分析】先将括号内式子通分，变分式除法为乘法，约分化简，再将 代入求值．
【详解】解：
，
将 代入，得：
原式 ．
【点睛】本题考查分式的化简求值，分母有理化，解题的关键是掌握分式的运算法则．
40．（2023·湖南郴州·中考真题）先化简，再求值： ，其中 ．
【答案】 ，
【分析】先根据分式的加减乘除混合运算进行化简，再将x的值代入，根据二次根式的性质化简即可．
【详解】解：
第 16 页 共 17 页，
当 时，原式 ．
【点睛】本题考查分式的加减乘除混合运算，二次根式的性质，正确化简是解题的关键．
第 17 页 共 17 页
