第14 讲 导数的概念与运算 · 分类练习（解析卷）
答案速查表
1
2
3
4
5
B
A
D
A
B
6
7
8
9
10
D
C
-16
（1）8 x - 4
（2）
4
4 x -1
（3）
3×2
3 x +2ln2
（4）
5
2❑√5 x + 4
（1）(6 x +2)cos x -(3 x
2+2 x +1)sin x
（2）9
2 x
1
2 - 1
2 x
- 3
2 +1 （3）18 x
17+cos x - 1
x
（4）2
x(ln 2)cos x -2
xsin x -3 log3 x -3 log3e
（5）3
x(ln3)sin x +3
xcos x - 1
x ⋅3 log3e
（6）e
xcos x -e
xsin x +
1
cos
2 x
11
12
13
14
15
A
C
1
0
C
16
17
18
19
20
B
D
y =2e
2 x -3e
x - y +3- π
2 =0
（1）y = 3
e x
21
22
23
24
25
B
y = 1
e x
y =0或
y =3 x +2
（写出一条
即可）
C
2
26
27
28
29
30
1
e
A
1
B
D
31
32
33
34
35
2
e
2❑√2
C
ABD
BCD
36
37
②④
ACD
1.已知函数f ( x)的导函数是f
'( x)，若f
'( x0)=2，则lim ¿Δ x→0
f ( x0+ 1
2 Δ x)- f ( x0)
Δ x
=¿
A. 1
2
B. 1
C. 2
D. 4
【答案】B
【解析】∵f
'( x0)=2，
∴lim ¿Δ x→0
f ( x0+ 1
2 Δ x)- f ( x0)
Δ x
= 1
2 lim ¿Δ x→0
f ( x0+ 1
2 Δ x)- f ( x0)
1
2 Δ x
= 1
2 f
'( x0)=1¿¿.
【点拨】本题考查导数的定义，关键在于将极限式凑成导数定义的标准形式，注意自变量增量的
匹配.
2.若f ( x)在x0处可导，则f
'( x0)可以等于
A. lim ¿Δ x→0
f ( x0)- f ( x0- Δ x)
Δ x
¿
B. lim ¿Δ x→0
f ( x0+ Δ x)- f ( x0- Δ x)
Δ x
¿
C. lim ¿Δ x→0
f ( x0+2 Δ x)- f ( x0- Δ x)
Δ x
¿
D. lim ¿Δ x→0
f ( x0+ Δ x)- f ( x0-2 Δ x)
Δ x
¿
【答案】A
【解析】由导数定义f
'( x0)=lim ¿Δ x→0
f ( x0+ Δ x)- f ( x0)
Δ x
¿，
对于A，f
'( x0)=lim ¿Δ x→0
f ( x0)- f ( x0- Δ x)
x0-( x0- Δ x)
=lim ¿Δ x→0
f ( x0)- f ( x0- Δ x)
Δ x
¿¿，A 满足；
对于B，f
'( x0)=lim ¿Δ x→0
f ( x0+ Δ x)- f ( x0- Δ x)
( x0+ Δ x)-( x0- Δ x) =lim ¿Δ x→0
f ( x0+ Δ x)- f ( x0- Δ x)
2 Δ x
¿¿，B 不
满足；
对于C，f
'( x0)=lim ¿Δ x→0
f ( x0+2 Δ x)- f ( x0- Δ x)
( x0+2 Δ x)-( x0- Δ x) =lim ¿Δ x→0
f ( x0+2 Δ x)- f ( x0- Δ x)
3 Δ x
¿¿，C
不满足；
对于D，f
'( x0)=lim ¿Δ x→0
f ( x0+ Δ x)- f ( x0-2 Δ x)
( x0+ Δ x)-( x0-2 Δ x) =lim ¿Δ x→0
f ( x0+ Δ x)- f ( x0-2 Δ x)
3 Δ x
¿¿，D
不满足.
【点拨】判断极限是否表示导数，核心是观察分子中函数值的自变量之差是否与分母完全一致，
且极限趋于一点.
3.已知函数y = f ( x)的图象如图所示，函数y = f ( x)的导数为y = f
'( x)，则
A. f
'（2）<f
'（3）<f （3）- f （2）
B. f
'（3）<f
'（2）<f （3）- f （2）
C. f
'（2）<f （3）- f （2）<f
'（3）
D. f
'（3）<f （3）- f （2）<f
'（2）
【答案】D
【解析】由f ( x)图象可知f
'（3）< f （3）- f （2）
2-1
<f
'（2），
即f
'（3）<f （3）- f （2）<f
'（2）.
【点拨】利用导数的几何意义，切线斜率表示导数值，割线斜率表示平均变化率，通过图象直观
比较斜率大小即可.
4.（2026·广东梅州·3 月质检）某个弹簧振子在振动过程中的位移y（单位：cm）与时间t
（单位：s）之间的关系为y =10sin π
2 t，则当位移y =6cm时，弹簧振子的瞬时速度大小为
（ ）cm/s.
A. 4 π
B. 5 π
C. 6 π
D. 8 π
【答案】A
【解析】由题可得瞬时速度v = y
' = π
2 ×10cos π
2 t =5 π cos π
2 t，
当位移y =6cm时，可得6=10sin π
2 t，解得：sin π
2 t = 3
5，∴cos π
2 t =± 4
5 ，
∴v =5 π ×(± 4
5 )=± 4 π cm/s，
则当位移y =6cm时，弹簧振子的瞬时速度大小为4 π cm/s.
【点拨】位移关于时间的导数即为瞬时速度，结合同角三角函数基本关系求出余弦值即可得解.
5.（2026·长沙雅礼·三模）某质点的运动路程s（单位：m）与时间t（单位：s）的关系为
s(t )=t
2+ 4 ln t，则该质点在t =2时的瞬时速度为
A. 8 m/s
B. 6 m/s
C. 5 m/s
D. 4 m/s
【答案】B
【解析】由运动路程s与时间t的关系为s(t )=t
2+ 4 ln t，可得s
'(t )=2t + 4
t ，
当t =2时，s
'（2）= 4+2=6，即质点在t =2时的瞬时速度为6 m/s.
【点拨】瞬时速度是位移函数对时间的导数，求出导函数后代入具体时间即可.
6.（2026·山东青岛·二模）部分传统家用电器（如冰箱等）使用的氟化物会释放到大气中，
破坏大气上层的臭氧层，导致臭氧含量Q随时间呈指数型变化，在氟化物排放量维持某一
稳定水平时，臭氧含量Q与时间t之间满足关系式Q =Q0e
-0.0025t，其中Q0是臭氧的初始含量，
则
A. 随着时间t的增加，臭氧含量在增加
B. 当t从1变化到2时，臭氧含量减少Q0e
-0.0025
C. 当t从0变化到2时，臭氧含量的平均变化率为0.5Q0e
-0.005
D. 当t =2时，臭氧含量的瞬时变化率为-0.0025Q0e
-0.005
【答案】D
【解析】由于Q =Q0e
-0.0025t，底数e
-0.0025<1，故随着时间t的增加，臭氧含量在减少，A 错误；
当t从1变化到2时，臭氧含量减少Q（1）-Q（2）=Q0e
-0.0025-Q0e
-0.005，B 错误；
当t从0变化到2时，臭氧含量的平均变化率为
Q（2）-Q（0）
2-0
= Q0e
-0.005-Q0
2
=0.5Q0(e
-0.005-1)，C 错误；
对Q =Q0e
-0.0025t求导得Q
' =-0.0025Q0e
-0.0025t，当t =2时，瞬时变化率为
Q
'（2）=-0.0025Q0e
-0.005，D 正确.
【点拨】瞬时变化率即为函数在该点处的导数值，平均变化率则是函数增量与自变量增量的比值.
7.（2026·北斗星盟·5 月联考）已知函数f ( x)=sin x，则f
'( π
6 )=
A. 1
2
B. - 1
2
C.
❑√3
2
D. -
❑√3
2
【答案】C
【解析】∵f ( x)=sin x，∴f
'( x)=cos x，则f
'( π
6 )=cos π
6 =
❑√3
2 .
【点拨】熟记基本初等函数的导数公式，正弦函数的导数是余弦函数.
8.在等比数列{an}中，a3=2，函数f ( x)= 1
2 x( x -a1)( x -a2)⋯( x -a5)，则f
'（0）=＿＿＿
＿＿＿.
【答案】-16
【解析】∵
f
'( x)=( 1
2 x)
'[( x -a1)( x -a2)⋯( x -a5)]+ 1
2 x[( x -a1)( x -a2)⋯( x -a5)]
' = 1
2 [( x -a1)( x -a2)⋯( x -a5)]+ 1
2 x[
∴f
'（0）=- 1
2 a1a2⋯a5.
∵数列{an}为等比数列，∴a1a5=a2a4=a3
2= 4，
∴f
'（0）=- 1
2 ×4
2×2=-16.
【点拨】利用乘法求导法则，注意到求x =0处的导数时，含有x因式的项均为0，从而简化计算，
再结合等比数列性质求解.
9.求下列函数的导数．
（1）f ( x)=(-2 x +1)
2；
（2）f ( x)= ln(4 x -1)；
（3）f ( x)=2
3 x +2；
（4）f ( x)= ❑√5 x + 4；
【答案】（1）8 x - 4 （2）
4
4 x -1 （3）3×2
3 x +2ln2 （4）
5
2❑√5 x + 4
【解析】（1）∵f ( x)=(-2 x +1)
2= 4 x
2- 4 x +1，∴f
'( x)=8 x - 4.
（2）∵f ( x)= ln(4 x -1)，∴f
'( x)=
4
4 x -1.
（3）∵f ( x)=2
3 x +2，∴f
'( x)=3×2
3 x +2ln 2.
（4）∵f ( x)= ❑√5 x + 4，∴f
'( x)= 1
2 (5 x + 4)
- 1
2 ×5=
5
2❑√5 x + 4
.
【点拨】熟练掌握复合函数的求导法则，由外向内逐层求导，注意不要遗漏内层函数的导数.
10.求下列函数的导数：
（1）y =(3 x
2+2 x +1)cos x；
（2）y = 3 x
2+ x ❑√x -5 ❑√x +1
❑√x
；
（3）y = x
18+sin x - ln x；
（4）y =2
xcos x -3 x log3 x；
（5）y =3
xsin x -3log3 x；
（6）y =e
xcos x + tan x.
【答案】（1）(6 x +2)cos x -(3 x
2+2 x +1)sin x （2）9
2 x
1
2 - 1
2 x
- 3
2 +1 （3）18 x
17+cos x - 1
x
（4）2
x(ln 2)cos x -2
xsin x -3 log3 x -3 log3e （5）3
x(ln3)sin x +3
xcos x - 1
x ⋅3log3e （6）
e
xcos x -e
xsin x +
1
cos
2 x
【解析】（1）y
' =(3 x
2+2 x +1)
' cos x +(3 x
2+2 x +1)(cos x)
' =(6 x +2)cos x -(3 x
2+2 x +1)sin x.
（2）y = 3 x
2+ x ❑√x -5 ❑√x +1
❑√x
=3 x
3
2 + x -5+ x
- 1
2，∴y
' =3× 3
2 x
1
2 +1- 1
2 x
- 3
2 = 9
2 x
1
2 - 1
2 x
- 3
2 +1.
（3）y
' =18 x
17+cos x - 1
x .
（4）
y
' =(2
x)
' cos x +2
x(cos x)
' -3[( x)
' log3 x + x(log3 x)
' ]=2
x(ln 2)cos x -2
xsin x -3 log3 x -3 log3e.
（5）y
' =(3
x)
' sin x +3
x(sin x)
' -3⋅
1
x ln3 =3
x(ln3)sin x +3
xcos x - 1
x ⋅3log3e.
（6）y =e
xcos x + tan x =e
xcos x + sin x
cos x ，故
y
' =(e
x)
' cos x +e
x(cos x)
' + (sin x)
' cos x -(cos x)
' sin x
cos
2 x
=e
xcos x -e
xsin x +
1
cos
2 x
.
【点拨】对于分式形式的函数，若分母为单项式，可先化简为幂函数的代数和再求导；运用乘积
求导法则时，注意各项符号.
11.（2026·泰山联盟·4 月模拟）若函数f ( x)=e
x - f
'（1）x，则
A. f （1）=-e
2
B. f
'（1）=-e
2
C. f （2）=e
2-e
D. f
'（2）=e
2-e
【答案】A
【解析】由f ( x)=e
x - f
'（1）x，得f
'( x)=e
x - f
'（1），令x =1，则f
'（1）=e- f
'（1），
解得f
'（1）=e
2，
∴f ( x)=e
x -e
2 x，f
'( x)=e
x -e
2，
则f （1）=e-e
2 =e
2，f （2）=e
2-e，f
'（2）=e
2-e
2.故选A.
【点拨】f
'（1）是一个常数，对函数求导后，令x =1即可构造出关于f
'（1）的方程，解出该
常数即可确定函数解析式.
12.（2026·河南新乡·三模）已知函数f ( x)=2f
'（1）ln x + 1
x ，则f
'（1）=
A. 2
B. -2
C. 1
D. -1
【答案】C
【解析】由f ( x)=2f
'（1）ln x + 1
x ，得f
'( x)= 2f
'（1）
x
- 1
x
2，令x =1，得
f
'（1）=2f
'（1）-1，解得f
'（1）=1.故选C.
【点拨】把f
'（1）看作常数，求导后代入x =1构建方程求解.
13.（2026·山东菏泽·二模）已知函数f ( x)满足f ( x)= f
'( π
2 )sin x -cos x，则f ( π
2 )=＿＿＿＿
＿＿.
【答案】1
【解析】∵f ( x)= f
'( π
2 )sin x -cos x，∴f
'( x)= f
'( π
2 )cos x +sin x，
令x = π
2 ，得f
'( π
2 )= f
'( π
2 )cos π
2 +sin π
2 =1，
∴f ( x)=sin x -cos x，则f ( π
2 )=sin π
2 -cos π
2 =1.
【点拨】利用导数与函数值的关系，先求导，再代入特定值求出未知常数，进而求出函数值.
14.（2026·湖南·5 月联考）已知函数f ( x)=2f
'（0）sin x，则f
'（0）=＿＿＿＿＿＿.
【答案】0
【解析】∵f ( x)=2f
'（0）sin x，∴f
'( x)=2f
'（0）cos x，令x =0，得
f
'（0）=2f
'（0）cos0=2f
'（0），解得f
'（0）=0.
【点拨】求导后代入x =0，解关于f
'（0）的方程即可.
15.（2026·山东淄博·二模）曲线y = f ( x)在x =1处的切线如图所示，则f
'（1）- f （1）=
A. 0
B. 2
C. -2
D. -1
【答案】C
【解析】由图象可知，切线过点(1,0)和(0,2)，∴切线的斜率k = 0-2
1-0 =-2，即f
'（1）=-2.
又切线过点(1,f （1）)，∴f （1）=0，∴f
'（1）- f （1）=-2-0=-2.
【点拨】根据切线图象找出切线经过的两个定点，求出切线斜率即为导数值，切点纵坐标即为函
数值.
16.（2026·皖江名校·5 月联考）函数f ( x)= x(2 x -1)
2的图象在点(1,1)处的切线方程为
A. y =5 x - 4
B. y = 4 x -3
C. y =3 x -2
D. y =2 x -1
【答案】B
【解析】∵f ( x)= x(2 x -1)
2= 4 x
3- 4 x
2+ x，∴f
'( x)=12 x
2-8 x +1，则f
'（1）=12-8+1=5，
又f （1）=1，∴切线方程为y -1=5( x -1)，即y =5 x - 4.
【点拨】先求出导函数，将切点横坐标代入求得切线斜率，再利用点斜式写出切线方程.
17.（2026·沧州八校·二模）已知函数f ( x)= x⋅2
x +1，则曲线y = f ( x)在点(-1,f (-1))处的切
线在y轴上的截距为
A. ln 2
B. ln 2-2
C. 1- ln 2
D. - ln 2
【答案】D
【解析】由f ( x)= x ⋅2
x +1，得f
'( x)=1⋅2
x +1+ x ⋅2
x +1ln 2=2
x +1(1+ x ln 2)，
∴f
'(-1)=2
0(1- ln 2)=1- ln 2，又f (-1)=-1⋅2
0=-1，
曲线在(-1,-1)处的切线方程为y +1=(1- ln 2)( x +1)，
令x =0得y轴上的截距为- ln2.
【点拨】利用乘积的求导法则求出导函数，算出切线斜率和切点坐标，写出切线方程后令x =0即
可求得截距.
18.（2026·合肥十一中·4 月检测）已知f ( x)= ln x
x ，则曲线y = f ( x)在点( 1
e ,f ( 1
e ))处的切线
方程为＿＿＿＿＿＿.
【答案】y =2e
2 x -3e
【解析】f ( x)= ln x
x ，则f
'( x)= 1- ln x
x
2
，∴f
'( 1
e )= 1- lne
-1
( 1
e )
2
=2e
2
，又f ( 1
e )=-1
1
e
=-e，∴曲线在
点( 1
e ,-e)处的切线方程为y -(-e)=2e
2( x - 1
e )，即y =2e
2 x -3e.
【点拨】求出导函数，代入切点横坐标求斜率，再利用点斜式写出切线方程.
19.（2026·安徽阜阳·一模）曲线y =3-cos x在点( π
2 ,3)处的切线方程为＿＿＿＿＿＿.
【答案】x - y +3- π
2 =0
【解析】由y =3-cos x求导可得y
' =sin x，则所求切线斜率为k = y
'|
x = π
2
=sin π
2 =1，因此所求切线
方程为y -3=1⋅( x - π
2 )，化简得x - y +3- π
2 =0.
【点拨】求出导数得到切线斜率，代入点斜式方程化简即可.
20.（2026·山东东营·一模）已知函数f ( x)= 3 x
2+ax
e
x
(a∈R)，
（1）当a=0时，求函数f ( x)在(1,f （1）)处的切线方程；
【答案】（1）y = 3
e x
【解析】（1）当a=0时，f ( x)= 3 x
2
e
x
，f
'( x)= 6 xe
x -3 x
2e
x
e
2 x
= 6 x -3 x
2
e
x
，则f
'（1）= 3
e ，又
f （1）= 3
e ，∴切线方程为y - 3
e = 3
e ( x -1)，即y = 3
e x.
【点拨】代入参数值，利用商的求导法则求出导函数，计算切点坐标和斜率，写出切线方程.
21.（2026·随州六校·一模）已知函数f ( x)= x ln x，若直线l过点(0,-e)，且与曲线y = f ( x)
相切，则直线l的斜率为
A. -2
B. 2
C. -e
D. e
【答案】B
【解析】设切点坐标为(t ,t ln t )，∵f ( x)= x ln x，f
'( x)= ln x +1，直线的斜率为f
'(t )= ln t +1，
∴直线方程为y -t ln t =(ln t +1)( x -t )，将点(0,-e)的坐标代入直线的方程得
-e-t ln t =-t(ln t +1)，解得t =e，因此，直线的斜率为f
'(e)=2.
【点拨】设出切点坐标，利用导数表示出切线方程，将已知点代入求出切点横坐标，进而求得斜
率.
22.已知过原点的直线与曲线y = ln x相切，则该直线的方程是＿＿＿＿＿＿.
【答案】y = 1
e x
【解析】由题意可得y
' = 1
x ，设该切线方程为y =kx，且与y = ln x相切于点( x0, y0)，则y0=k x0，
y0= ln x0，k = y
'|x = x0= 1
x0，整理得ln x0=1，∴x0=e，可得k = 1
e ，∴y = 1
e x.
【点拨】设出切点坐标，利用切点既在曲线上又在切线上，且导数值等于切线斜率列方程组求解.
23.过点(- 2
3 ,0)作曲线y = x
3的切线，写出一条切线方程：＿＿＿＿＿＿.
【答案】y =0或y =3 x +2（写出一条即可）
【解析】由y = x
3可得y
' =3 x
2，设过点(- 2
3 ,0)作曲线y = x
3的切线的切点为( x0, y0)，则y0= x0
3，
则该切线方程为y - y0=3 x0
2( x - x0)，将(- 2
3 ,0)代入得- x0
3=3 x0
2(- 2
3 - x0)，解得x0=0或x0=-1，
故切点坐标为(0,0)或(-1,-1)，故切线方程为y =0或y =3 x +2.
【点拨】已知点不在曲线上时，必须先设出切点坐标，利用导数写出切线方程，再将已知点代入
求出切点.
24.（2026·山东青岛·二模）已知直线y = x -2与曲线y = ln x +a相切，则a的值为
A. 1
B. 0
C. -1
D. -2
【答案】C
【解析】设切点为( x0, y0)，由y = ln x +a得y
' = 1
x ，∵直线y = x -2与曲线y = ln x +a相切，∴
1
x0
=1，解得x0=1，则y0=1-2=-1，代入曲线方程得-1= ln1+a，解得a=-1.
【点拨】利用切线斜率等于导数值求出切点坐标，再将切点坐标代入曲线方程求参数.
25.（2026·山东德州·三模）已知曲线y =e
ax在点(0,1)处的切线与直线x +2 y +1=0垂直，则
a=＿＿＿＿＿＿.
【答案】2
【解析】由y =e
ax得y
' =ae
ax，则在点(0,1)处的切线斜率k =ae
0=a，∵切线与直线x +2 y +1=0垂
直，∴a⋅(- 1
2 )=-1，解得a=2.
【点拨】两直线垂直，其斜率乘积为-1，结合导数的几何意义即可求出参数.
26.（2025·南阳一中·三模）已知函数f ( x)= 2a
x e
2 x -1+ ln a，g( x)=2ln x +1，若f ( x)≥g( x)恒
成立，则a的最小值是＿＿＿＿＿＿.
【答案】1
e
【解析】2a
x e
2 x -1+ ln a≥2ln x +1⇒2ae
2 x -1≥2 x ln x + x - x ln a⇒e
2 x -1+ ln(2a)≥x(ln x
2- ln a+1).
e
2 x -1+ ln(2a)-ln x≥ln x
2- ln a+1.
设m=2 x -1+ ln(2a)- ln x，则ln a=m-2 x +1- ln 2+ ln x.
e
m≥2ln x -(m-2 x +1- ln 2+ ln x)+1⇒e
m+m≥2 x + ln x + ln 2⇒e
m+m≥e
ln(2 x)+ ln(2 x).
∴m≥ln(2 x)，即
2 x -1+ ln(2a)- ln x ≥ln(2 x)⇒ln(2a)≥ln x -2 x +1+ ln(2 x)=2ln x -2 x +1+ ln 2.
∴ln a≥2ln x -2 x +1.
令φ( x)=2ln x -2 x +1，φ
'( x)= 2
x -2= 2-2 x
x
，当x =1时取最大值φ（1）=-1.
∴ln a≥-1，a≥1
e .
【点拨】利用同构法将不等式转化为f (m)≥f (n)的形式，利用函数的单调性脱去外层函数，再求
最值.
27.若函数f ( x)= 4 ln x +1与函数g( x)= 1
a x
2-2 x(a>0)的图象存在公切线，则实数a的取值范
围为
A. (0, 1
3 ]
B. [ 1
3 ,+∞)
C. [ 2
3 ,1)
D. [ 1
3 , 2
3 ]
【答案】A
【解析】由函数f ( x)= 4 ln x +1，可得f
'( x)= 4
x ，∵a>0，设切点为(t ,4 ln t +1)，则f
'(t )= 4
t ，∴
公切线方程为y - 4 ln t -1= 4
t ( x -t )，即y = 4
t x + 4 ln t -3，与y = 1
a x
2-2 x联立可得
1
a x
2-(2+ 4
t )x - 4 lnt +3=0，∴Δ=(2+ 4
t )
2- 4× 1
a ×(- 4 lnt +3)=0，整理可得1
a =
(1+ 2
t )
2
3- 4 ln t
，又
由{
a>0
t >0 ，可得3- 4 ln t >0，解得0<t <e
3
4，令h(t )=
(1+ 2
t )
2
3- 4 ln t
，其中0<t <e
3
4，可得
h
'(t )=
2(1+ 2
t )⋅(- 2
t
2 )(3- 4 ln t )-(1+ 2
t )
2⋅(- 4
t )
(3- 4 ln t )
2
=
4
t (1+ 2
t )⋅(t + 4 ln t -1)
t(3- 4 ln t )
2
，令
φ(t )=t + 4 ln t -1，可得φ
'(t )=1+ 4
t >0，函数φ(t )在(0,e
3
4 )上单调递增，且φ（1）=0，当
0<t <1时，φ(t )<0，即h
'(t )<0，此时函数h(t )单调递减，当1<t <e
3
4时，φ(t )>0，即h
'(t )>0，
此时函数h(t )单调递增，∴h(t )min=h（1）=3，且当t →0
+时，h(t )→+ ∞，∴函数h(t )的值域
为[3,+∞)，∴1
a ≥3且a>0，解得0<a≤1
3，即实数a的取值范围为(0, 1
3 ].故选A.
【点拨】设出公切线在其中一个函数图象上的切点，写出切线方程，再与另一个函数解析式联立，
利用判别式等于0 得到参数的等式，转化为求函数最值问题.
28.（2026·南京六合·一模）若曲线y = ln(3- x)在点(2,0)处的切线也是曲线y =e
x -2 x +a的
切线，则a=＿＿＿＿＿＿.
【答案】1
【解析】由函数y = ln(3- x)，可得y
' =-1
3- x ，∴y
'|x =2=-1，∴曲线y = ln(3- x)在点(2,0)处的
切线方程为y =- x +2，又由函数y =e
x-2 x +a，可得y
' =e
x-2，设曲线y =e
x-2 x +a的切点为
( x0, y0)，则{
e
x0-2=-1
y0=e
x0-2 x0+a=- x0+2，解得x0=0，a=1.
【点拨】先求出已知切点的切线方程，再设出未知切点的坐标，利用切线斜率相等和切点在切线
上列方程组求解.
29.设点P在曲线y =e
x +1上，点Q在曲线y =-1+ ln x上，则| PQ|最小值为
A. ❑√2
B. 2❑√2
C. ❑√2(1+ ln 2)
D. ❑√2(1- ln 2)
【答案】B
【解析】∵y =e
x +1与y =-1+ ln x互为反函数，其图象关于直线y = x对称，先求出曲线y =e
x +1上
的点到直线y = x的最小距离.设与直线y = x平行且与曲线y =e
x +1相切的切点P0( x0, y0). y
' =e
x +1，
e
x0+1=1，解得x0=-1.∴y0=e
-1+1=1.得到切点P0(-1,1)，点P0到直线y = x的距离
d =|-1-1|
❑√2
= ❑√2.∴| PQ|最小值为2d =2❑√2.故选B.
【点拨】利用互为反函数的图象关于直线y = x对称的性质，将两曲线上点的最小距离转化为其中
一曲线上的点到直线y = x距离的最小值的两倍.
30.设点P在曲线y =e
2 x上，点Q在曲线y = 1
2 ln x上，则| PQ|的最小值为
A.
❑√2
2 (1- ln 2)
B. ❑√2(1- ln 2)
C. ❑√2(1+ ln 2)
D.
❑√2
2 (1+ ln 2)
【答案】D
【解析】y =e
2 x与y = 1
2 ln x互为反函数，它们图象关于直线y = x对称；故可先求点P到直线y = x
的最近距离d，又y
' =2e
2 x，当曲线上切线的斜率k =2e
2 x0=1时，得x0=- 1
2 ln2，y0=e
2 x0= 1
2，则
切点P0(- 1
2 ln2, 1
2 )到直线y = x的距离为d =
|- 1
2 ln 2- 1
2 |
❑√2
=
❑√2
4 (1+ ln 2)，∴| PQ|的最小值为
2d =
❑√2
2 (1+ ln 2).故选D.
【点拨】识别两函数互为反函数是关键，利用对称性转化为求曲线到直线y = x的最短距离.
31.（2024·上饶六校·5 月模拟）在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C : y =e
x( x<1)的一条
切线l与x轴、y轴分别交于A ,B两点，则△OAB的面积的最大值为＿＿＿＿＿＿.
【答案】2
e
【解析】设切点P(t ,e
t)(t <1)，则直线l的方程为y -e
t =e
t( x -t )，令y =0得x =t -1，即
A(t -1,0)；令x =0得y =e
t(1-t )，即B(0,e
t(1-t )).∴△OAB的面积
S(t )= 1
2 |t -1|⋅|e
t(1-t )|= 1
2 e
t(1-t )
2，t ∈(-∞,1).∵
S
'(t )= 1
2 e
t(1-t )
2-e
t(1-t )= 1
2 e
t(1-t )(1-t -2)=- 1
2 e
t(1-t )(t +1)，∴当t ∈(-∞,-1)时，
S
'(t )>0，S(t )单调递增；当t ∈(-1,1)时，S
'(t )<0，S(t )单调递减.∴S(t )max = S(-1)= 2
e .
【点拨】设出切点坐标，求出切线方程，进而表示出三角形面积，利用导数求面积的最大值.
32.（2026·广东东莞·一模）设点P在曲线y = ln x上，点Q在直线y = x +3上，则| PQ|的最小
值为＿＿＿＿＿＿.
【答案】2❑√2
【解析】设与直线y = x +3平行且与曲线y = ln x相切的直线为l
'，设切点为P0( x0, y0)，由y
' = 1
x ，
得1
x0
=1，解得x0=1，则y0= ln1=0，即P0(1,0)，则| PQ|的最小值为点P0(1,0)到直线
x - y +3=0的距离，d =|1-0+3|
❑√1
2+(-1)
2 = 4
❑√2 =2❑√2.
【点拨】利用平行线间的距离求两曲线上点的最短距离，找到与已知直线平行的切线是解题关键.
33.英国数学家牛顿在17 世纪给出一种求方程近似根的方法一Newton - Raphson method 译
为牛顿-拉夫森法. 做法如下：设r是f ( x)=0的根，选取x0作为r的初始近似值，过点
( x0,f ( x0))做曲线y = f ( x)的切线l：y - f ( x0)= f
'( x0)( x - x0)，则l与x轴交点的横坐标为
x1= x0- f ( x0)
f
'( x0)
(f
'( x0)≠0)，称x1是r的1 次近似值；重复以上过程，得r的近似值序列，其
中xn+1= xn- f ( xn)
f
'( xn)
(f
'( xn)≠0)，称xn+1是r的n+1次近似值. 运用上述方法，并规定初始近似
值不得超过零点大小，则函数f ( x)= ln x + x -3的零点一次近似值为（ ）（精确到小
数点后3 位，参考数据：ln 2≈0.693）
A. 2.207
B. 2.208
C. 2.205
D. 2.204
【答案】C
【解析】易知f ( x)= ln x + x -3在定义域上单调递增，f （2）= ln2+2-3= ln2-1<0，
f （3）= ln3+3-3= ln3>0，即函数的零点有且只有一个，且在区间(2,3)上.不妨取x0=2作为
初始近似值，f
'( x)= 1
x +1，由题意知
x1= x0- f ( x0)
f
'( x0)
=2- ln 2-1
1
2 +1
=2- 2ln 2-2
3
=2+ 2-2×0.693
3
≈2.205.故选C.
【点拨】理解牛顿迭代法的公式，确定合适的初始值，代入公式计算即可.
34.（多选）牛顿在《流数法》一书中，给出了高次代数方程根的一种解法. 具体步骤如下：
设r是函数y = f ( x)的一个零点，任意选取x0作为r的初始近似值，过点( x0,f ( x0))作曲线
y = f ( x)的切线l1，设l1与x轴交点的横坐标为x1，并称x1为r的1 次近似值；过点( x1,f ( x1))
作曲线y = f ( x)的切线l2，设l2与x轴交点的横坐标为x2，称x2为r的2 次近似值. 一般地，过
点( xn,f ( xn))(n∈N
*)作曲线y = f ( x)的切线ln+1，记ln+1与x轴交点的横坐标为xn+1，并称
xn+1为r的n+1次近似值. 对于方程x
3- x +1=0，记方程的根为r，取初始近似值为x0=-1，
下列说法正确的是（ ）
A. r ∈(-2,-1)
B. 切线l2：23 x - 4 y +31=0
C. | x3- x2|> 1
8
D. xn+1= 2 xn
3-1
3 xn
2-1
【答案】ABD
【解析】由f ( x)= x
3- x +1，可得f (-1)=1>0，f (-2)=-5<0，即f (-1)f (-2)<0，根据函数零
点的存在性定理，可得r ∈(-2,-1)，∴A 正确；又由f
'( x)=3 x
2-1，设切点P( xn, xn
3- xn+1)，
则切线的斜率为k = f
'( xn)=3 xn
2-1，∴切线方程为y -( xn
3- xn+1)=(3 xn
2-1)( x - xn)，令y =0，可
得xn+1=-( xn
3- xn+1)
3 xn
2-1
+ xn= 2 xn
3-1
3 xn
2-1，∴D 正确；当x0=-1时，可得x1=- 3
2，则f (- 3
2 )=- 7
8，
f
'(- 3
2 )= 23
4 ，∴l2的方程为y + 7
8 = 23
4 ( x + 3
2 )，即23 x - 4 y +31=0，∴B 正确；由x1=- 3
2，可得
x2= 2 x1
3-1
3 x1
2-1
=- 31
23，x3= 2 x2
3-1
3 x2
2-1
=- 71749
54142，此时
| x3- x2|=|- 71749
54142 -(- 31
23 )|=|- 71749
54142 + 72974
54142 |= 1225
54142 < 1
8，∴C 错误.故选ABD.
【点拨】结合零点存在定理判断零点区间，利用导数求出切线方程，进而得到迭代公式，逐项计
算判断.
35.（多选）牛顿在《流数法》一书中，给出了高次代数方程的一种数值解法一牛顿法. 首
先，设定一个起始点x0，如图，在x = x0处作f ( x)图象的切线，切线与x轴的交点横坐标记
作x1：用x1替代x0重复上面的过程可得x2；一直继续下去，可得到一系列的数x0，x1，x2，
⋯，xn，⋯ 在一定精确度下，用四舍五入法取值，当xn-1，xn(n∈N
*)近似值相等时，该
值即作为函数f ( x)的一个零点r. 若要求
3√6的近似值r（精确到0.1），我们可以先构造函数
f ( x)= x
3-6，再用“牛顿法”求得零点的近似值r，即为
3√6的近似值，则下列说法正确的
是（ ）
A. 对任意n∈N
*，xn< xn-1
B. 若x0∈Q，且x0≠0，则对任意n∈N
*，xn= 2
3 xn-1+ 2
xn-1
2
C. 当x0=2时，需要作2 条切线即可确定r的值
D. 无论x0在(2,3)上取任何有理数都有r =1.8
【答案】BCD
【解析】A，∵f ( x)= x
3-6，则f
'( x)=3 x
2，设x0=1，则切线方程为y +5=3( x -1)，切线与x轴
的交点横坐标为x1= 8
3 ≈2.7，∴x1> x0，故A 错误；B，x = xn-1处的切线方程为
y =3 xn-1
2
( x - xn-1)+ xn-1
3
-6，∴与x轴的交点横坐标为xn= 2
xn-1
2
+ 2 xn-1
3
，故B 正确；C，∵
x1= 2
2
2 + 2
3 ×2= 11
6 ≈1.8，x2=
2
( 11
6 )
2 + 2
3 × 11
6 ≈1.8
，∴两条切线可以确定r的值，故C 正确；D，
由选项C 可知，r ≈1.8，∴无论x0在(2,3)上取任何有理数都有r ≈1.8，故D 正确.故选BCD.
【点拨】根据牛顿法的定义推导出递推公式，代入具体数值进行验证.
36.牛顿迭代法(Newton's method)又称牛顿-拉夫逊方法(Newton - Raphsonmethod)，是牛顿
在17 世纪提出的一种近似求方程根的方法．如图，设r是f ( x)=0的根，选取x0作为r初始
近似值，过点( x0,f ( x0))作曲线y = f ( x)的切线l，l与x轴的交点的横坐标
x1= x0- f ( x0)
f
'( x0)
(f
'( x0)≠0)，称x1是r的一次近似值，过点( x1,f ( x1))作曲线y = f ( x)的切线，
则该切线与x轴的交点的横坐标为x2，称x2是r的二次近似值．重复以上过程，直到r的近似
值足够小，即把xn作为f ( x)=0的近似解．设x1，x2，x3，⋯，xn构成数列{xn}．对于下列
结论：①xn= xn-1- f ( xn)
f
'( xn)
(n≥2)；②xn= xn-1- f ( xn-1)
f
'( xn-1)
(n≥2)；③
xn= x1- f ( x1)
f
'( x1)
- f ( x2)
f
'( x2)
-⋯- f ( xn)
f
'( xn)；④xn= x1- f ( x1)
f
'( x1)
- f ( x2)
f
'( x2)
-⋯- f ( xn-1)
f
'( xn-1)
(n≥2)．其中正
确结论的序号为＿＿＿＿＿＿.
【答案】②④
【解析】由题意，过点( x0,f ( x0))作曲线y = f ( x)的切线方程为y - f ( x0)= f
'( x0)( x - x0)，令y =0，
解得x1= x0- f ( x0)
f
'( x0)
(f
'( x0)≠0)，过点( x1,f ( x1))作曲线y = f ( x)的切线方程为
y - f ( x1)= f
'( x1)( x - x1)，令y =0，解得x2= x1- f ( x1)
f
'( x1)
(f
'( x1)≠0)，过点( x2,f ( x2))作曲线
y = f ( x)的切线方程为y - f ( x2)= f
'( x2)( x - x2)，令y =0，解得x3= x2- f ( x2)
f
'( x2)
(f
'( x2)≠0)，重复
以上过程，当n≥2时，则过点( xn-1,f ( xn-1))作曲线y = f ( x)的切线方程为
y - f ( xn-1)= f
'( xn-1)( x - xn-1)，令y =0，解得xn= xn-1- f ( xn-1)
f
'( xn-1)
(f
'( xn-1)≠0,n≥2)，故①错误，
②正确.将x2, x3,⋯, xn累加，得
x2+ x3+⋯+ xn= x1- f ( x1)
f
'( x1)
+ x2- f ( x2)
f
'( x2)
+⋯+ xn-1- f ( xn-1)
f
'( xn-1)
(n≥2)，
∴xn= x1- f ( x1)
f
'( x1)
- f ( x2)
f
'( x2)
-⋯- f ( xn-1)
f
'( xn-1)
(n≥2)，故③错误，④正确.
【点拨】理解牛顿迭代法的几何意义，通过求切线与x轴的交点得出递推关系，再利用累加法求通
项.
37.（2025·江西鹰潭·二模）（多选）若函数f ( x)是定义在(0,+∞)上不恒为零的可导函数，
对任意的x , y ∈R
+均满足：f ( xy )= xf ( y)+ yf ( x)，f （2）=2，记g( x)= f
'( x)，则
（ ）
A. f （1）=0
B. f ( x)是偶函数
C. g(4 x)- g( x
2 )=3
D. ∑
k =1
2025
f (2
k)=2024×2
2026+2
【答案】ACD
【解析】令x = y =1，得f （1）= f （1）+ f （1），即f （1）=0，故A 正确；对于选项
B：令x = y =-1，可得f （1）=- f (-1)- f (-1)，解得f (-1)=0，令x =2，y =-1，可得
f (-2)=2f (-1)- f （2）=- f （2）=-2，∴f ( x)的图象不是偶函数，故B 错误；令y =2，∴
f (2 x)= xf （2）+2f ( x)，∴f (2 x)=2f ( x)+2 x，∴2f
'(2 x)=2f
'( x)+2，∴f
'(2 x)- f
'( x)=1，
则g(2 x)- g( x)=1，∴g( x)- g( x
2 )=1，g(2 x)- g( x)=1，g(4 x)- g(2 x)=1，累加得：
g(4 x)- g( x
2 )=3，∴选项C 正确；对于选项D，
f (2
n+1)=2f (2
n)+2
n f （2）⇒f (2
n+1)
2
n+1
= f (2
n)
2
n
+ f （2）
2
，又f （2）
2
=1，∴f (2
n)=n⋅2
n，
设S =1×2
1+2×2
2+⋯+n×2
n，则2S =1×2
2+2×2
3+⋯+n×2
n+1，∴
- S =1×2
1+1×2
2+⋯+1×2
n-n×2
n+1= 2-2
n+1
1-2 -n×2
n+1，∴
S =2-2
n+1+n×2
n+1=2+(n-1)×2
n+1，即∑
k =1
n
f (2
k)=(n-1)⋅2
n+1+2⇒∑
k =1
2025
f (2
k)=2024×2
2026+2，
故D 正确.
【点拨】利用赋值法求出特殊函数值，判断奇偶性；通过对抽象等式求导，结合赋值法得到导函
数的递推关系；利用构造法得到数列的通项，再用错位相减法求和.
