文档文本内容
第13
讲
圆
问题
题
抛物线与
相关
专
训练
目 录
题型01：四点共圆问题..................................................................................................................................1
题型02：外接圆问题.....................................................................................................................................4
题型03：圆过定点问题..................................................................................................................................6
题型04：等角问题......................................................................................................................................... 8
题型01：四点共圆问题
【典型例题】已知直线
交抛物线
于
两点．
（1）设直线与
轴的交点为
．若
，求实数
的值；
（2）若点
在抛物线
上，且关于直线对称，求证：
四点共圆．
【答案】（1）
；（2）证明见解析．
【分析】
（1）设
，直线方程代入抛物线方程后由判别式得
的范围，由韦达定理得
，再由向量的数乘可得
＝0，结合韦达定理可得
值；
（2）设
，由对称性得
，
．再由
在抛物线上，代入变
形得
与
的关系，然后计算
，得
，
同理
，得证四点共圆．
【详解】
解：由
得
．
设
，
则
．
因为直线与
相交，
所以
得
．
（1）由
，得
，
所以
，解得
从而
，
因为
所以
解得
．
（2）设
，
因为
两点关于直线
对称，
则
解得
．
又
于是
解得
．
又点
在抛物线上，
于是
．
因为
所以
，
于是
因此
，
同理
于是点
在以
为直径的圆上，
即
四点共圆．
【点睛】
方法点睛：本题考查直线与抛物线相交问题，解题方法是设而不求的思想方法，如设交点坐标为
，直线方程代入抛物线方程后应用韦达定理可得
，再利用向量的线性运算
求得
关系，从而可求得
值．
【变式训练1-1】已知抛物线
：
（
）上的点
到其焦点的距离为1．
（Ⅰ）求
和
的值；
（Ⅱ）求直线：
交抛物线
于两点
、
，线段
的垂直平分线交抛物线
于两点
、
，
求证：
、
、
、
四点共圆．
【变式训练1-2】已知直线
与
轴，
轴分别交于
，
，线段
的中垂线
与抛物线
有两个不同的交点
、
．
（1）求
的取值范围；
（2）是否存在
，使得
，
，
，
四点共圆，若存在，请求出
的值，若不存在，请说明理由．
【变式训练1-3】已知抛物线
的焦点为F，准线为
为坐标原点，过F 的直线m 与抛物线E
交于
两点，过F 且与直线m 垂直的直线n 与准线交于点M．
（1）若直线m 的斜率为
，求
的值；
（2）设
的中点为N，若
四点共圆，求直线m 的方程．
【变式训练1-4】如图，已知椭圆C 的方程为
，
为半焦距，椭圆C 的左、右焦点分
别为
，椭圆C 的离心率为．
（1）若椭圆过点
，两条准线之间的距离为
，求椭圆C 的标准方程；
（2）设直线
与椭圆C 相交于
，
两点，且
四点共圆，若
，试求
的最大值．
【变式训练1-5】已知点F( p
2 ,0)，直线l: x =−p
2
，点Μ是l上的动点，过点Μ垂直于y轴的直线与线段ΜF
的垂直平分线相交于点Ν．
（1）求点Ν的轨迹方程；
（2）若p=2，直线y = x与点Ν的轨迹交于A 、B两点，试问Ν的轨迹上是否存在两点C 、D，使得
A 、B、C 、D四点共圆？若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由．
【变式训练1-6】从抛物线
上各点向
轴作垂线段，记垂线段中点的轨迹为曲线
．
（1）求曲线
的方程，并说明曲线
是什么曲线；
（2）过点
的直线交曲线
于两点
、
，线段
的垂直平分线交曲线
于两点
、
，探究
是否存在直线使
、
、
、
四点共圆？若能，请求出圆的方程；若不能，请说明理由．
【变式训练1-71】在平面直角坐标系
中，已知抛物线
的焦点为
，准线为，
是抛物线上
上一点，且点
的横坐标为
，
.
（1）求抛物线
的方程；
（2）过点
的直线
与抛物线
交于
、
两点，过点
且与直线
垂直的直线
与准线交于点
，
设
的中点为
，若
、
、
四点共圆，求直线
的方程.
题型02：外接圆问题
【典型例题】已知抛物线
，
是
的准线上的动点，过
作
的两条切线，切点分别为
，
．
（1）当
点在
轴上时，求切线
，
的方程；
（2）设圆
是
的外接圆，当圆
的面积最小时，求圆
的方程．
【解答】解：（1）抛物线
，准线的方程
，
点在
轴上，
，
设
，
，
，
，且
，
由
，求导
，
，
解得
，
切线
的方程为
，即
，
同理可得切线
的方程为
，
（2）如图：设点
，
设过点
与抛物线
相切的直线方程为
，
由
△
．
，
即切线
，
互相垂直．即
是直角三角形，
的外接圆直径为弦
．
当圆
的面积最小时，即是
最短时，
，此时
垂直
轴，
的外接圆圆心为
，
圆的方程为
．
【变式训练2-1】已知定点
，定直线
，动圆
过点
，且与直线相切．
（Ⅰ）求动圆
的圆心轨迹
的方程；
（Ⅱ）过点
的直线与曲线
相交于
，
两点，分别过点
，
作曲线
的切线
，
，两条切线相交于
点
，求
外接圆面积的最小值．
【变式训练2-21】过点
作抛物线
的两条切线，切点分别为
，
，
，
．
（Ⅰ） 证明：
为定值；
（Ⅱ） 记
的外接圆的圆心为点
，点
是抛物线
的焦点，对任意实数
，试判断以
为直径的圆
是否恒过点
？并说明理由．
【变式训练2-3】已知抛物线
，
为直线
上任意一点，过点
作抛物线
的两条切线
，
，切点分别为
，
．
（1）当
的坐标为
时，求过
，
，
三点的圆的方程；
（2）若
，
是
上的任意点，求证：
点处的切线的斜率为
；
（3）证明：以
为直径的圆恒过点
．
【变式训练2-4】已知点
是抛物线
的顶点，
，
是
上的两个动点，且
．
（1）判断点
是否在直线
上？说明理由；
（2）设点
是
的外接圆的圆心，求点
的轨迹方程．
题型03：圆过定点问题
【典型例题】已知动圆
与定圆
相外切，又与定直线
相切.
（1）求动圆的圆心
的轨迹
的方程，
（2）过点
的直线交曲线
于
，
两点，直线
分别交直线
，
于点
和点
.
求证：以
为直径的圆经过
轴上的两个定点.
【答案】（1）
（2）证明见解析
【分析】
（1）易知
到点
的距离与到直线
的距离相等，得到轨迹方程.
（2），设直线方程为：
，联立方程得到
，
为直径的圆方程为：
，计算得到答案.
【详解】
（1）如图所示：根据题意知
到点
的距离与到直线
的距离相等，
所以
的轨迹方程为：
.
（2）显然直线不与
轴重合，设直线方程为：
，
与
联立消
得：
，
设
，则
，
直线
方程为：
，所以
，即
，
同理
，所以以
为直径的圆方程为：
，
令
得：
，即
，
以
为直径的圆经过
轴上的两个定点
和
.
【点睛】
本题考查了轨迹方程，定点问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.
【变式训练3-1】已知动圆
过定点
，且和直线
相切，动圆圆心
形成的轨迹是曲线
，过
点
的直线与曲线
交于
两个不同的点.
（1）求曲线
的方程；
（2）在曲线
上是否存在定点
，使得以
为直径的圆恒过点
？若存在，求出
点坐标；若不存在，
说明理由.
【变式训练3-2】已知抛物线
与过点
的直线交于
两点.
（1）若
，求直线的方程；
（2）若
，
轴，垂足为
，探究：以
为直径的圆是否过定点？若是，求出该定点的
坐标；若不是，请说明理由.
题型04：等角问题
【典型例题】已知倾斜角为
的直线经过抛物线
的焦点
，与抛物线
相交于
、
两点，且
.
（1）求抛物线
的方程；
（2）设
为抛物线
上任意一点（异于顶点），过
做倾斜角互补的两条直线
、
，交抛物线
于另两点
、
，记抛物线
在点
的切线的倾斜角为
，直线
的倾斜角为
，求证：
与
互补.
【答案】（1）
（2）证明见解析
【分析】
（1）根据题意，设直线方程为
，联立方程，根据抛物线的定义即可得到结论；
（2）根据题意，设
的方程为
，联立方程得
，同理可得
，
进而得到
，再利用点差法得直线
的斜率，利用切线与导数的关系得直线的斜率，进而可
得
与
互补.
【详解】
（1）由题意设直线
的方程为
，令
、
，
联立
，得
，
根据抛物线的定义得
，
又
，
故所求抛物线方程为
.
（2）依题意，设
，
，
设
的方程为
，与
联立消去
得
，
，同理
，直线
的斜率
=
切线的斜率
，
由
，即
与
互补.
【点睛】
本题考查直线与抛物线的位置关系的综合应用，直线斜率的应用，考查分析问题解决问题的能力，属于中档题．
【变式训练4-1】在直角坐标系
中，过点
的直线与抛物线
相交于
，
两点，弦
的中点
的轨迹记为
.
（1）求
的方程；
（2）已知直线
与
相交于
，
两点.
（i）求
的取值范围；
（ii）
轴上是否存在点
，使得当
变动时，总有
？说明理由.
【变式训练4-2】在直角坐标系
中，抛物线
：
与直线：
交于
，
两点.
（1）设
，
到
轴的距离分别为
，
，证明：
与
的乘积为定值.
（2）
轴上是否存在点
，当
变化时，总有
？若存在，求点
的坐标；若不存在，请
说明理由.
【变式训练4-3】在直角坐标系
中，抛物线
与直线
交于
，
两点.
（1）当
时，分别求抛物线
在点
和
处的切线方程；
（2）
轴上是否存在点
，使得当
变动时，总有
？说明理由.
【变式训练4-4】在直角坐标系
中，曲线
：
与直线
交与
，
两点.
（1）当
时，求弦长
；
（2）
轴上是否存在点
，使得当
变动时，总有
？说明理由.
【变式训练4-5】在直角坐标系
中，曲线
与直线
交于
两点，
（Ⅰ）当
时，求
在点
和
处的切线方程；
（Ⅱ）若
轴上存在点
，当
变动时，总有
,试求出
坐标.
【变式训练4-6】在直角坐标系
中，曲线
：
与直线：
交于
，
两点.
（1）当
时，求
的面积的取值范围.
（2）
轴上是否存在点
，使得当
变动时，总有
？若存在，求点
的坐标；若不存在，
请说明理由.
