第 12 讲 圆锥曲线的光学性质
1. 圆锥曲线的光学性质
(1) 椭圆的光学性质:从椭圆一个焦点发出的光，经过椭圆反射后，反射光
线都会聚到椭圆的另一个焦点上;
(2) 双曲线的光学性质:从双曲线一个焦点发出的光，经过双曲线反射后，
反射光线的反向延长线都会聚到双曲线的另一个焦点上;
(3) 抛物线的光学性质:从抛物线的焦点发出的光, 经过抛物线反射后, 反
射光线都平行于抛物线的对称轴. (若把抛物线的另一焦点也看作在无穷远处, 也
可认为交于另一焦点)
2. 过圆锥曲线的焦点 F 作倾斜角为 θ 的直线交曲线于 A ,B 两点,记焦点到
相应准线的距离为 p .
(1) |AB)=
2ep
1−e
2cos
2θ ;
(2)
1
|FA) +
1
|FB) = 2
ep 为常数.
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【例 1 】已知 P(x , y) 为椭圆 x
2
5 + y
2
4 =1 上的动点, 则
❑√x
2−2 x + y
2+1+
❑√y
2−2 y + x
2+1 的最小值为 ( )
A. 2❑√5−2 B. 2❑√5−❑√2 C. 2❑√2−❑√5 D. 以上选项都不对
【分析】 ❑√x
2−2 x + y
2+1+
❑√y
2−2 y + x
2+1 表示点 P(x , y) 到两定点
F2(1,0), A (0,1) 的距离之和,即转化为求 |P F2)+|PA) 的最小值问题.
如图,设椭圆的左、右焦点分别为 F1, F2 ,
则
|P F2)+|PA)=(2❑√5−|P F1))+|PA)=2❑√5+(|PA)−|P F1))≥2❑√5−|A F1)=2❑√5−❑√2,
当点 P 在 F1 A 的延长线时取最小值.
【解答】B
评注:此题也可以用圆锥曲线的光学性质来解决.
如图，由“光行最短原理”得光线由点 F2 到点 A 的路径是所有路径中
距离最短的路径.
由椭圆的光学性质可得由点 F2 发出的光线经椭圆反射，过另一个焦点 F1
，所以当点 A 在线段 P F1 上时， |P F2)+|PA) 最小，
此时 |P F2)+|PA)=2a−|A F1)=2❑√5−❑√2 , 即 |P F2)+|PA) 的最小值为
2❑√5−❑√2 .
【例 2】已知 △ABC 的顶点 A (−p,0) ， B ( p,0) ，其内心在直线 x =q
上，且 p>q>0 ， 则顶点 C 的轨迹方程为_____.
【分析】若熟练掌握圆锥曲线第一定义，可结合图形，很自然地把三角形
内心与三角形内切圆联系起来，再根据切线长相等，从而得出解法.
如图，设内心为 I ，过点 I 作 AB ,CA ,CB 的垂线，垂足分别为
D , E , F ，
则 |CA)−|CB)=|EA)−|FB)=|AD)−|BD)=2q ,
所以点 C 的轨迹为双曲线的一支去掉顶点,且 c = p,a=q ,
所以顶点 C 的轨迹方程为 x
2
q
2 −
y
2
p
2−q
2 =1(x>q) .
【解答】 x
2
q
2 −
y
2
p
2−q
2 =1(x>q)
评注:圆锥曲线的定义其实也是一种解题工具，掌握好定义对于处理解析几
何问题往往能起到以简驭繁的目的，如在本题中轻易化解了轨迹问题中的繁杂
计算.
【例 3】设椭圆 C1: x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0) 的左、右焦点分别为 F1, F2 ,离心
率为 3
4
, 双曲线 C2: x
2
m
2 −y
2
n
2 =1(m,n>0) 的渐近线交椭圆 C1 于点
P , P F1⊥P F2 ,则双曲线 C2 的离心率是( )
A. ❑√2 B. 9 ❑√2
8 C. 9 ❑√2
4 D. 3 ❑√2
2
【分析】由 “椭圆上的点 P 满足 P F1⊥P F2 ” 联想到焦点三角形的常
用处理方法,对于求双曲线的离心率可联系渐近线. 对于 “点 P 在渐近线上”
这一条件，可以考虑代入方程，也可考虑渐近线斜率与倾斜角之间的关系.
设 a= 4 t ,c =3t ,O 为坐标原点,点 P 在第一象限.
不失一般性,在这里我们取 t =1 ,即 a= 4 ,c =3 .
解法一:求解点 P 的坐标，然后求出双曲线渐近线的斜率.
由 P F1⊥P F2 得点 P 在圆 x
2+ y
2=9 上,
与椭圆 x
2
16 + y
2
7 =1 联立方程组解得 P(
4 ❑√2
3
, 7
3)
,
所以 kOP=
7
4 ❑√2 ,则 e =
❑√1+kOP
2 = ❑√
81
32 = 9 ❑√2
8 .
解法二: 利用定义得 |P F1)+|P F2)=2a=8 ,
由 P F1⊥P F2 得 |P F1)
2+|P F2)
2=(2c)
2=36 ,
则 |P F1)⋅|P F2)= (|P F1)+|P F2))
2−(|P F1)
2+|P F2)
2)
2
=14 ,
所以 S△P F1 F2= 1
2|P F1)⋅|P F2)=7= 1
2 ⋅|F1 F2)⋅yP ,解得 yP= 7
3 .
因为 |OP)=c =3 ,
所以 sin ∠PO F2= 7
9 ,kOP= tan ∠PO F2=
7
4 ❑√2 ,
则 e =
❑√1+ kOP
2 = 9
8
❑√2 .
解法三: 不妨设 a= 4 ,c =3,O 为坐标原点,则 |OP)= 1
2|F1 F2)=3 .
记点 P 的纵坐标为 h ,
根据椭圆的焦点三角形面积公式得 S△P F1 F2=b
2tan 45
∘= 1
2 h⋅|F1 F2) ,所以
h= 7
3 .
不妨设渐近线的倾斜角为 θ(0<θ< π
2)
, 则 sinθ =
h
|OP) = 7
9
, 所以
cosθ = 4 ❑√2
9
.
因此,双曲线 C2 的离心率 e = ❑√
1+ b
2
a
2 =
❑√1+ tan
2θ =
1
cosθ = 9 ❑√2
8
.
【解答】B
评注:焦点三角形的应用往往结合了圆锥曲线的定义与几何、三角等知识，
在高考和强基考试中较为常见，而对于双曲线的渐近线也不要忽视它的倾斜角
这一几何属性，有时再从几何角度或解三角形角度研究也可以减少计算量.
【例 4】已知椭圆 x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0) 上一点 P 与两焦点 F1, F2 形成的
夹角 ∠F1 P F2=α ,求 △F1 P F2 的面积.
【分析】焦点三角形问题的求解方法是椭圆定义结合正余弦定理.
【解答】设 {
|P F1)=m,
|P F2)=n,)
则 {
m+n=2a
m
2+n
2−2mncosα = 4 c
2①.)
由 O
2− ②得 mn=
2b
2
1+cosα ，
所以 S△F1 P F2= 1
2 mnsin α =b
2⋅
sin α
1+cosα =b
2⋅
2sin α
2 cos α
2
2cos
2 α
2
=b
2tan α
2 .
评注: 若条件改为双曲线 x
2
a
2 −y
2
b
2 =1 ,则 S△P F1 F2=b
2cot α
2
.
【例 5】已知抛物线 C : y
2=2 px ( p>0) ,过焦点 F 且斜率为 ❑√3 的直线与
C 相交于 P ,Q 两点,且 P ,Q 两点在准线上的投影分别为点 M , N ,则 △MFN
的面积为 ( )
A. 8
3 p
2 B. 2❑√3
3
p
2 C. 4 ❑√3
3
p
2 D. 8 ❑√3
3
p
2
【分析】若由“ PQ 为焦点弦”联想到抛物线性质 y1 y2=−p
2 ,则考虑设
点,得到解法一; 若注意到 PQ 的斜率已知，即倾斜角已知，则可考虑用倾斜角
表示的焦点弦公式，得到解法二.
解法一: 设 P(2 pa
2,2 pa),Q(2 pb
2,2 pb) ,
因为 PQ 过焦点,所以 4 p
2ab=−p
2 ,即 ab=−1
4 ,
直线 PQ 的斜率为 1
a+b = ❑√3 ,此时, M(−p
2 ,2 pa), N(−p
2 ,2 pb)
,
于
是
△MFN
的
面
积
为
1
2|p)|2 pa−2 pb)= p
2|a−b)= p
2❑√(a+b)
2−4 ab= 2❑√3
3
p
2 .
解法二: 由焦半径公式得 |FP)=
p
1−1
2
=2 p,|FQ)=
p
1+ 1
2
= 2
3 p ,
所以 |MN )=|2 p+ 2
3 p)sin 60
∘= 4 ❑√3
3
p .
因此, △MFN 的面积为 1
2 ⋅4 ❑√3
3
p⋅p= 2❑√3
3
p
2 .
【解答】B
评注:解法一是解析法求解，属于常规方法；而已知过焦点的直线的斜率，
是解法二产生的一个重要因素, 对于抛物线来说本题的两种方法是需要掌握的.
【例 6】已知圆 B:(x + ❑√2)
2+ y
2=16 ，定点 A (❑√2,0) ， P 是圆周上任一
点，线段 AP 的垂直平分线与 BP 交于点 Q .
(1) 求点 Q 的轨迹 C 的方程；
(2) 直线 l 过点 A 且不与 x 轴重合,直线 l 交曲线 C 于 M ， N 两
点，过点 A 且与 l 垂直的直线交圆 B 于 D , E 两点,求四边形 MDNE 面积
的取值范围.
【分析】( 1 )结合图形自然联想到圆锥曲线的定义,( 2 )在解答第( 1 )问后可
知这是关于两条垂直的焦点弦的长度问题，可考虑用倾斜角表示的焦点弦公式.
【解答】(1) 由题意知 |QA)+|QB)=|QP)+|QB)=|PB)= 4 ,
因此点 Q 的轨迹是以 A ,B 为焦点,4 为长轴长的椭圆,
所以点 Q 的轨迹方程为 x
2
4 + y
2
2 =1 .
(3) 设直线 l 的倾斜角为 θ ，则 θ≠0 ，且 l: x sinθ−y cosθ−❑√2sinθ =0
，
则直线 DE 的方程可以表示为 x cosθ+ y sinθ−❑√2cosθ =0 ,
所以点 B 到直线 DE 的距离为 d =2❑√2|cosθ) ,
从而 |DE)=2
❑√16−d
2= 4
❑√4−2cos
2θ = 4
❑√2+2sin
2θ .
又根据椭圆的焦点弦公式, |MN )=
2ep
1−e
2cos
2θ
, 其中
e = c
a =
❑√2
2 , p= a
2
c −c = ❑√2 ,
所以 |MN )=
2
1−1
2 cos
2θ
=
4
1+sin
2θ ,
于
是
四
边
形
MDNE
的
面
积
为
1
2|MN )|DE)= 1
2 ⋅
4
1+sin
2θ
⋅4
❑√2+2sin
2θ =
8 ❑√2
❑√1+sin
2θ
,
又因为 sin
2θ∈(0,1] ,所以四边形 MDNE 面积的取值范围是 [8,8 ❑√2) .
评注:焦点弦问题有时可考虑用倾斜角表示的焦点弦公式 (极坐标形式), 尤
其本题中又有垂直这一条件, 设角为变量更具灵活性.
