1
解答题：圆锥曲线的综合应用
目录
题型一最值问题1
题型二参数范围问题3
题型三定值问题4
题型四过定点问题6
题型五定直线问题7
题型六动点轨迹问题9
题型七角度关系证明问题11
题型八向量共线问题12
题型九存在性问题探究14
题型十“非对称”韦达定理16
必刷大题18
题型一
最值问题
大题典例
1. (24 - 25 高三上·福建福州·月考) 已知椭圆Γ: x2
a2 + y2
b2 = 1 经过点A 2,3
，右焦点为F 2,0
(1) 求椭圆Γ 的方程；
(2) 若直线l 与Γ 交于B,C 两点，且直线AB 与AC 的斜率互为相反数，求BC 的中点M 与F 的最小距
离．
变式训练
2
2. (24 - 25 高三上·贵州黔东南·开学考试) 已知双曲线C1：y2
a2 - x2
b2 = 1 a>0,b>0
的一个焦点与抛物
线C2：x2= 8y 的焦点F 重合，且C1被C2的准线l 截得的弦长为2 3
3
.
(1) 求C1的方程；
(2) 若过F 的直线与C1的上支交于A，B 两点，设O 为坐标原点，求OA
+OB
的取值范围.
3. (24 - 25 高三上·四川成都·期中) 已知抛物线E：y2 = 2px(p > 0) 经过点P 1,2
，直线l：y = kx + m 与
E 的交点为A，B，且直线PA 与PB 倾斜角互补.
(1) 求抛物线在点P 1,2
处的切线方程；
(2) 求k 的值；
(3) 若m < 3，求△PAB 面积的最大值.
题型二
参数范围问题
3
大题典例
4. (23 - 24 高三下·全国·模拟预测) 已知椭圆C: x2
4 + y2= 1.
(1) 若椭圆C 的左右焦点分别为F1,F2,P 为C 的上顶点，求△PF1F2的周长；
(2) 设过定点M 0,2
的直线l 与椭圆C 交于不同的两点A、B，且∠AOB 为锐角(其中O 为坐标原
点)，求直线l 的斜率k 的取值范围.
变式训练
5. (23 - 24 高三下·江苏苏州·月考) 在平面直角坐标系xOy 中，已知动点M 到定点F
3,0
的距离和它
到定直线x = 2 3
3
的距离之比为
6
2 ，记M 的轨迹为曲线C.
(1) 求C 的方程；
(2) 已知点A 0,1
，不过A 的直线l 与C 交于P，Q 两点，直线AP，PQ，AQ 的斜率依次成等比数列，
求A 到l 距离的取值范围.
6. (24 - 25 高三上·湖南·开学考试) 已知抛物线C:y2 = 2px(p > 0) 的焦点为F ，点D x0,2
在抛物线C
4
上，且DF
= 2.
(1) 求抛物线C 的标准方程；
(2) 抛物线的准线与x 轴交于点K，过K 的直线l 交抛物线C 于M,N 两点，且KM
= λKN
,λ ∈1,2
，
点G 为线段MN 的垂直平分线与x 轴的交点，求点G 的横坐标xG 的取值范围.
题型三
定值问题
大题典例
7. (24 - 25 高三上·贵州毕节·期中) 已知椭圆C: x2
a2 + y2
b2 = 1 a>b>0
的焦距为4，Q
3,1
为椭圆C
上一点.
(1) 求椭圆C 的标准方程；
(2) 设F 为椭圆C 的左焦点，直线l:x = t，P 为椭圆上任意一点，点P 到F 的距离为m，点P 到l 的距
离为n，若m
n 为定值，求此定值及t 的值.
变式训练
5
8. (24 - 25 高三上·湖北武汉·开学考试) 已知曲线C 上的点到点F -1,0
的距离比到直线x = 3 的距离
小2,O 为坐标原点. 直线l 过定点A 0,1
.
(1) 直线l 与曲线C 仅有一个公共点，求直线l 的方程；
(2) 曲线C 与直线l 交于M,N 两点，试分别判断直线OM,ON 的斜率之和、斜率之积是否为定值？并
说明理由.
9. (24 - 25 高三上·甘肃张掖·模拟预测) 已知双曲线C: x2
a2 - y2
b2 = 1(a > 0,b > 0) 的焦距为8，右焦点为
F，直线l:y =
3
3 x 与双曲线在一、三象限的交点分别为P,Q，且FP ⊥FQ．
(1) 求双曲线C 的方程及△PQF 的面积；
(2) 直线y = kx + n k≠0
与双曲线C 交于A,B 两点，若直线PA、PB 与x 轴分别交于点A1,B1，且
PA1
= PB1
．证明：k 为定值．
题型四
过定点问题
6
大题典例
10. (24 - 25 高三上·河南驻马店·开学考试) 已知动圆P 过点F2(2,0)，并且与圆F1:(x + 2)2+ y2= 4 外切，设
动圆的圆心P 的轨迹为C.
(1) 直线F2Q 与圆F1相切于点Q，求F2Q
的值；
(2) 求曲线C 的方程；
(3) 过点F2的直线l1与曲线C 交于E，F 两点，设直线l:x = 1
2 ，点D(-1,0)，直线ED 交l 于点M ，证明
直线FM 经过定点，并求出该定点的坐标.
变式训练
11. (24 - 25 高三上·湖北襄阳·月考) 已知抛物线E:y2 = 2px(p > 0) 与双曲线x2
3 - y2
4 = 1 的渐近线在第
一象限的交点为Q，且Q 点的横坐标为3．
(1) 求抛物线E 的方程；
(2) 过点M(-3,0) 的直线l 与抛物线E 相交于A,B 两点，B 关于x 轴的对称点为B，求证：直线AB
必过定点．
12. (24 - 25 高三上·天津北辰·期中) 已知椭圆C：x2
a2 + y2
b2 = 1(a > b > 0) 的一个焦点为F，其短轴长是焦
7
距的
3 倍，点A 为椭圆上任意一点，且AF
的最大值为3.
(1) 求椭圆C 的方程；
(2) 设动直线l：y = kx + m 与椭圆C 有且只有一个公共点P，且与直线x = 4 相交于点Q. 问：x 轴上
是否存在定点M ，使得以PQ 为直径的圆恒过定点M？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理
由.
题型五
定直线问题
大题典例
13. (24 - 25 高三上·北京·月考) 已知椭圆C：x2
a2 + y2
b2 = 1 a>b>0
的左、右焦点分别为F1、F2，一个焦点
为F
2,0
，P 是椭圆上一动点(与左、右顶点不重合). 已知△PF1F2的面积的最大值为2.
(1) 求椭圆C 的方程；
(2) 过点1,0
且斜率不为0 的直线l 与椭圆C 相交于M ，N 两点，椭圆长轴的两个端点分别为A1，
A2，A1M 与A2N 相交于点Q，求证：点Q 在某条定直线上.
变式训练
8
14. (23 - 24 高三下·湖南长沙·三模) 已知抛物线C:y2= 2px(p > 0)，过点D 0,2
的直线l 与C 交于不同的
两点A,B. 当直线l 的倾斜角为135°时，AB
= 4 30.
(1) 求C 的方程；
(2) 在线段AB 上取异于点A,B 的点E，且满足DA
DB
= AE
EB
，试问是否存在一条定直线，使得点E 恒
在这条定直线上？若存在，求出该直线；若不存在，请说明理由.
15. (24 - 25 高三上·上海·期中) 已知双曲线C 的中心为坐标原点，F1,F2 是C 的两个焦点，其中左焦点为(
-2 5,0)，离心率为
5.
(1) 求C 的方程；
(2) 双曲线C 上存在一点P，使得∠F1PF2= 120°，求三角形PF1F2的面积；
(3) 记C 的左、右顶点分别为A1,A2，过点(-4,0) 的直线与C 的左支交于M ，N 两点，M 在第二象限，
直线MA1与NA2交于点P. 证明：点P 在定直线上.
题型六
动点轨迹问题
9
大题典例
16. (23 - 24 高三下·湖南益阳·一模) 已知两点A(-2,0)，B(2,0) 及一动点P，直线PA，PB 的斜率满足kPA
⋅kPB =- 1
4 ，动点P 的轨迹记为C. 过点(1,0) 的直线l 与C 交于M ，N 两点，直线AM ，BN 交于点Q.
(1) 求C 的方程；
(2) 求△AMN 的面积的最大值；
(3) 求点Q 的轨迹方程.
变式训练
17. (23 - 24 高三下·江西抚州·月考) 在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线M : x2
m - y2 = 1 经过点
A 2,1
，点B 与点A 关于原点对称，C 为M 上一动点，且C 异于A,B 两点.
(1) 求M 的离心率；
(2) 若△BCT 的重心为A，点D 8,4
，求DT
的最小值；
(3) 若△BCT 的垂心为A，求动点T 的轨迹方程.
10
18. (23 - 24 高三下·安徽合肥·模拟预测) 图1 为一种卫星信号接收器，该接收器的曲面与其轴截面的交线
为抛物线的一部分，已知该接收器的口径AB = 4 3 ，深度MO = 2，信号处理中心F 位于抛物线的焦
点处，以顶点O 为坐标原点，以直线OF 为x 轴建立如图2 所示的平面直角坐标系xOy．
(1) 求该抛物线的方程；
(2) 设Q 是该抛物线的准线与x 轴的交点，直线l 过点Q，且与抛物线交于R，S 两点，若线段RS 上有
一点P，满足RP
PS
= RQ
QS
，求点P 的轨迹方程．
11
题型七
角度关系证明问题
大题典例
19. (24 - 25 高三上·云南昆明·开学考试) 在平面直角坐标系xOy 中，已知点A -2,0
,B 2,0
，动点M 满
足直线AM 与直线BM 的斜率之积为- 3
4 ，设点M 的轨迹为曲线C.
(1) 求C 的方程；
(2) 已知点F 1,0
，直线l:x = 4 与x 轴交于点D，直线AM 与l 交于点N ，证明：∠MFD = 2∠NFD.
变式训练
20. (23 - 24 高三下·山西运城·三模) 已知双曲线C:x2 - y2
3 = 1 的左、右焦点分别为F1，F2，点A 为C 的左
顶点，点P 为C 右支上一点(非顶点)，∠F1PF2的平分线PM 交x 轴于M
(1) 过右焦点F2作F2N ⊥PM 于N ，求ON
；
(2) 求证：∠PF2A = 2∠PAF2.
12
21. (23 - 24 高三下·广西·二模) 已知抛物线C:x2 = y，过点E 0,2
作直线交抛物线C 于A，B 两点，过A，
B 两点分别作抛物线C 的切线交于点P．
(1) 证明：P 在定直线上；
(2) 若F 为抛物线C 的焦点，证明：∠PFA = ∠PFB．
题型八
向量共线问题
大题典例
22. (24 - 25 高三上·四川成都·模拟预测) 椭圆C 的中心为坐标原点O，焦点在y 轴上，离心率e =
2
2 ，椭
圆上的点到焦点的最短距离为1 - e，直线l 与y 轴交于点P(0,m) (m ≠0)，与椭圆C 交于相异两点
A、B，且OA
+ λOB
= 4OP
．
(1) 求椭圆方程；
(2) 求m 的取值范围．
13
变式训练
23. (23 - 24 高三下·山西太原·三模) 已知双曲线C: x2
a2 - y2
b2 = 1 a>0,b>0
的左、右顶点分别为A 与
B，点D 3, 2
在C 上，且直线AD 与BD 的斜率之和为
2 .
(1) 求双曲线C 的方程;
(2) 过点P 3,0
的直线与C 交于M,N 两点(均异于点A,B )，直线MA 与直线x = 1 交于点Q，求
证: B,N,Q 三点共线.
24. 已知抛物线Γ:y2 = 2px(p > 0) 经过点P 1,2
，直线l 与抛物线Γ 有两个不同的交点A,B，直线PA 交y
轴于M ，直线PB 交y 轴于N．
(1) 若直线l 过点Q 0,1
，求直线l 的斜率k 的取值范围；
(2) 若直线l 过抛物线Γ 的焦点F，交y 轴于点D,DA
= λAF
,DB
= μBF
，求λ + μ 的值；
(3) 若直线l 过点Q 0,1
，设O 0,0
,QM
= λQO
,QN
= μQO
，求1
λ + 1
μ 的值．
14
题型九
存在性问题探究
大题典例
25. (23 - 24 高三下·上海·三模) 已知椭圆C：x2
8 + y2
4 = 1，F1、F2 分别为左、右焦点，直线l 过F2 交椭圆于
A、B 两点.
(1) 求椭圆的离心率；
(2) 当∠F1AB = 90°，且点A 在x 轴上方时，求A、B 两点的坐标；
(3) 若直线AF1交y 轴于M ，直线BF1交y 轴于N ，是否存在直线l，使得S△F1AB = S△F1MN？若存在，求出
直线l 的方程；若不存在，请说明理由.
15
变式训练
26. (24 - 25 高三上·上海·月考) 已知双曲线C : x2
a2 - y2
b2 = 1(a > 0,b > 0) 的离心率e = 2，左顶点
A -1,0
，过C 的右焦点F 作与x 轴不重合的直线l，交C 于P、Q 两点．
(1) 求双曲线C 的方程；
(2) 求证：直线AP、AQ 的斜率之积为定值；
(3) 设PF
= λFQ
，试问：在x 轴上是否存在定点T，使得AF
⊥(TP
- λTQ
) 恒成立？若存在，求出点
T 的坐标；若不存在，说明理由．
27. (23 - 24 高三下·西藏拉萨·月考) 已知抛物线C:y2 = 2px(p > 0)，准线l 与x 轴交于点M,A x0,y0
为抛
物线C 上一点，AD ⊥l 交y 轴于点D. 当y0= 4 2 时，MA
= MD
+ MF
.
(1) 求抛物线C 的方程；
(2) 设直线AM 与抛物线C 的另一交点为B(点B 在点A,M 之间)，过点F 且垂直于x 轴的直线交AM
于点N. 是否存在实数λ，使得AM
BN
= λ BM
AN
？若存在，求出λ 的值；若不存在，请说明理由.
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题型十
“非对称”韦达定理
大题典例
28. (23 - 24 高三上·陕西西安·期中) 已知椭圆W: x2
4m + y2
m = 1 m>0
的长轴长为4，左、右顶点分别为
A，B，经过点P(1，0) 的动直线与椭圆W 相交于不同的两点C，D(不与点A，B 重合)．
(1) 求椭圆W 的方程及离心率；
(2) 若直线CB 与直线AD 相交于点M ，判断点M 是否位于一条定直线上？若是，求出该直线的方程；
若不是，说明理由．
变式训练
29. (23 - 24 高三上·上海闵行·期中) 已知双曲线C：x2
a2 - y2
b2 = 1 a>0,b>0
的离心率为
2 ，点3,-1
在双曲线C 上．过C 的左焦点F 作直线l 交C 的左支于A、B 两点．
(1) 求双曲线C 的方程；
(2) 若M -2,0
，试问：是否存在直线l，使得点M 在以AB 为直径的圆上? 请说明理由．
(3) 点P -4,2
，直线AP 交直线x =-2 于点Q．设直线QA、QB 的斜率分别k1、k2，求证：k1- k2为
定值．
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30. (24 - 25 高三上·重庆·月考) 已知F 是椭圆C: x2
a2 + y2
b2 = 1 a>b>0
的右焦点，O 为坐标原点，M 为
椭圆上任意一点，MF
的最大值为2 +
3 ，当OM
= OF
时，△MOF 的面积为1
2 .
(1) 求b
a 的值；
(2)A,B 为椭圆的左、右顶点，点P 满足AP
= 3PB
，当M 与A,B 不重合时，射线MP 交椭圆C 于点N ，
直线AM,BN 交于点T，求∠ATB 的最大值.
18
必刷大题
刷模拟
1. (23 - 24 高三下·河北·模拟预测) 椭圆C：x2
a2 + y2
b2 = 1 a>b>0
左右顶点分别为A，B，且AB
= 4，
离心率e =
2
2 .
(1) 求椭圆C 的方程；
(2) 直线l 与抛物线y2= 4x 相切，且与C 相交于M、N 两点，求△MNB 面积的最大值.
2. (24 - 25 高三上·河北石家庄·月考) 已知焦距为2 3 的椭圆C: x2
a2 + y2
b2 = 1(a > b > 0) 的右焦点为F，
右顶点为A，过F 作直线l 与椭圆C 交于B、D 两点(异于点A)，当BD ⊥x 轴时，|BD| = 1．
(1) 求椭圆C 的方程；
(2) 证明：∠BAD 是钝角．
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3. (24 - 25 高三上·重庆·月考) 已知双曲线C: x2
a2 - y2
b2 = 1(a > 0,b > 0) 的一条渐近线方程为y =
3
2 x，
点P 4,3
在双曲线C 上．
(1) 求双曲线C 的方程.
(2) 设过点-1,0
的直线l 与双曲线C 交于M ，N 两点，问在x 轴上是否存在定点Q，使得QM
⋅QN
为常数？若存在，求出Q 点坐标及此常数的值；若不存在，说明理由．
4. (24 - 25 高三上·云南保山·期中) 若P 2,2
为抛物线Γ:y2 = mx 上一点，过P 作两条关于x = 2 对称的
直线分别另交Γ 于A x1,y1
,B x2,y2
两点.
(1) 求抛物线Γ 的方程与焦点坐标；
(2) 判断直线AB 的斜率是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由.
20
5. (24 - 25 高三上·湖北武汉·期中) 已知椭圆C ：x2
a2 + y2
b2 = 1 a>b>0
的离心率为
3
2 ，点A 0,1
在
C 上，直线l 与C 交于不同于A 的两点M ，N．
(1) 求C 的方程；
(2) 若AM
⋅AN
= 0，求△AMN 面积的最大值；
(3) 记直线AM ，AN 的斜率分别为k1，k2，若k1k2=- 1
16 ，证明：以MN 为直径的圆过定点，并求出定点
坐标．
21
6. (24 - 25 高三上·上海宝山·月考) 已知椭圆C: x2
a2 + y2
b2 = 1(a > b > 0) 的左、右焦点分别为F ₁、F ₂，
N -2,0
为椭圆的一个顶点，且右焦点F ₂到双曲线. x² -y² = 2 渐近线的距离为
2
2 ，
(1) 求椭圆C 的标准方程；
(2) 设直线l:y = kx + m k≠0
与椭圆C 交于A、B 两点.
①若直线l 过椭圆右焦点F ₂，且△AF ₁ B 的面积为8 3
5
，求实数k 的值；
②若直线l 过定点P(0,2)，且k > 0，在x 轴上是否存在点T(t,0) 使得以TA、TB 为邻边的平行四边
形为菱形? 若存在，则求出实数t 的取值范围；若不存在，请说明理由.
22
刷真题
7. (2024·全国·高考真题) 已知A(0,3) 和P 3, 3
2
为椭圆C: x2
a2 + y2
b2 = 1(a > b > 0) 上两点.
(1) 求C 的离心率;
(2) 若过P 的直线l 交C 于另一点B，且△ABP 的面积为9，求l 的方程．
8. (2024·全国·高考真题) 已知椭圆C: x2
a2 + y2
b2 = 1(a > b > 0) 的右焦点为F，点M 1, 3
2
在C 上，且MF
⊥x 轴．
(1) 求C 的方程；
(2) 过点P 4,0
的直线交C 于A,B 两点，N 为线段FP 的中点，直线NB 交直线MF 于点Q，证明：
AQ ⊥y 轴．
23
9. (2024·天津·高考真题) 已知椭圆x2
a2 + y2
b2 = 1(a > b > 0) 的离心率为1
2 ．左顶点为A，下顶点为B，C
是线段OB 的中点(O 为原点)，△ABC 的面积为3 3
2
．
(1) 求椭圆的方程．
(2) 过点C 的动直线与椭圆相交于P，Q 两点．在y 轴上是否存在点T，使得TP
⋅TQ
≤0 恒成立．若
存在，求出点T 纵坐标的取值范围；若不存在，请说明理由．
10. (2024·北京·高考真题) 已知椭圆E：x2
a2 + y2
b2 = 1 a>b>0
，以椭圆E 的焦点和短轴端点为顶点的四
边形是边长为2 的正方形. 过点0,t
t>
2
且斜率存在的直线与椭圆E 交于不同的两点A,B，过点
A 和C 0,1
的直线AC 与椭圆E 的另一个交点为D．
(1) 求椭圆E 的方程及离心率；
(2) 若直线BD 的斜率为0，求t 的值．
24
11. (2024·上海·高考真题) 已知双曲线Γ:x2 - y2
b2 = 1,(b > 0), 左右顶点分别为A1,A2，过点M -2,0
的直
线l 交双曲线Γ 于P,Q 两点.
(1) 若离心率e = 2 时，求b 的值．
(2) 若b = 2 6
3
,△MA2P 为等腰三角形时，且点P 在第一象限，求点P 的坐标．
(3) 连接OQ 并延长，交双曲线Γ 于点R，若A1R
⋅A2P
= 1，求b 的取值范围．
25
12. (2024·上海·高考真题) 在平面直角坐标系xOy 中，已知点A 为椭圆Γ: x2
6 + y2
2 = 1 上一点，F1、F2 分别
为椭圆的左、右焦点.
(1) 若点A 的横坐标为2，求AF1
的长;
(2) 设Γ 的上、下顶点分别为M1、M2，记△AF1F2的面积为S1,△AM1M2的面积为S2，若S1≥S2，求OA
的取值范围
(3) 若点A 在x 轴上方，设直线AF2与Γ 交于点B，与y 轴交于点K，KF1延长线与Γ 交于点C，是否存
在x 轴上方的点C，使得F1A
+ F1B
+ F1C
= λ F2A
+F2B
+F2C
λ∈R
成立? 若存在，请求出点C 的坐
标; 若不存在，请说明理由.
