非对称韦达定理
【知识拓展】
在解决直线与圆锥曲线的位置关系的问题中,我们通常要联立直线与圆锥曲线的方程,消去x 或y,
得到一个一元二次方程,例如消去y,得到一个两根分别为x1,x2的一元二次方程Ax2＋Bx＋C＝
0(A≠0),则由根与系数的关系,得x1＋x2＝－B
A ,x1x2＝C
A ,此即为韦达定理.对于诸如x1
2＋x2
2,
x1
x2
＋x2
x1
,
1
x1
＋1
x2,|x1－x2|类的式子,它们的结构特点是:将x1与x2互换之后结果不变,即具有“对称性”,此
类问题称之为“对称型韦达”问题,稍作变形,就可以直接利用韦达定理的结果整体代入,快速求解.
但在某些问题中,我们会遇到两根不对称的结构,比如λx1＋μx2(λ≠μ),λx1y2＋μx2y1(λ≠μ),
x1
x2
或
a x1 x2＋b( x1＋x2)＋c x1＋d
A x1 x2＋B( x1＋x2)＋C x1＋D类的式子,就相对较难直接应用韦达定理来处理,我们把这类
问题称为“非对称型韦达”问题.
【类型突破】
类型一 两根之比型(如x2
x1
, y1
y2)
例1 (2025·银川调研)设椭圆C: x
2
a
2 ＋y
2
b
2 ＝1(a>b>0)的左焦点为F,过点F 的直线l 与椭圆相交于
A,B 两点,直线l 的倾斜角为60°,⃗AF＝2⃗FB,求椭圆C 的离心率.
解 设A(x1,y1),B(x2,y2),
由题意知y1>0,y2<0,
直线l 的方程为y＝√3(x＋c),其中c＝√a
2−b
2.
联立{
y ＝√3( x＋c),
x
2
a
2 ＋y
2
b
2 ＝1, 消去x
得(3a2＋b2)y2－2√3b2cy－3b4＝0,
由韦达定理得
y1＋y2＝2√3b
2c
3a
2＋b
2,y1y2＝−3b
4
3a
2＋b
2.
由⃗AF＝2⃗FB,得y1＝－2y2.
法一 由y1＝－2y2,即
y1
y2
＝－2,
则
y2
y1＝－1
2,
所以
y1
y2
＋y2
y1＝－5
2,
此时y1
2＋y2
2
y1 y2
＝－5
2,
即( y1＋y2)
2
y1 y2
＝－1
2,
即−4 c
2
3a
2＋b
2＝－1
2,整理得8c2＝3a2＋b2,
即8c2＝3a2＋a2－c2,9c2＝4a2,所以e＝2
3.
法二 由y1＝－2y2得{
y1＋y2＝−y2,
y1 y2＝−2 y2
2,
得
( y1＋y2)
2
y1 y2
＝(−y2)
2
−2 y2
2 ＝－1
2,
将{
y1＋y2＝2√3b
2c
3a
2＋b
2 ,
y1 y2＝
−3b
4
3a
2＋b
2 ,
代入上式得(
2√3b
2c
3a
2＋b
2)
2
−3b
4
3a
2＋b
2
＝－1
2,
12b
4c
2
3a
2＋b
2·
1
−3b
4＝－1
2,整理得e＝2
3.
法三 将y1＝－2y2
代入{
y1＋y2＝2√3b
2c
3a
2＋b
2 ,
y1 y2＝
−3b
4
3a
2＋b
2,
得{
−y2＝2√3b
2c
3a
2＋b
2 ,
−2 y2
2＝
−3b
4
3a
2＋b
2 ,
消去y2得2(
2√3b
2c
3a
2＋b
2)
2
＝
3b
4
3a
2＋b
2,
整理得e＝2
3.
规律方法 1.法一将
y1
y2
＝－2 取倒数相加得到－5
2 ＝y1
y2
＋y2
y1
＝( y1＋y2)
2
y1 y2
－2,将不对称式转化为
对称式,用韦达定理整体代入求解.
2.法二利用条件y1＝－2y2得到y1＋y2与y1y2的关系,仍然是转化为对称式后利用韦达定理求解.
3.法三则是利用y1＝－2y2,与y1＋y2,y1y2的表达式,代入消元求解.
训练1 (2025·郑州质检改编)已知椭圆E: x
2
8 ＋y
2
2 ＝1,过点P(0,1)的直线l 交E 于M,N 两点,若⃗NP
＝5⃗PM,求直线l 的方程.
解 设M 点坐标为(x1,y1),N 点坐标为(x2,y2),
(1)当直线l⊥x 轴时,直线l 的方程为x＝0,代入椭圆方程可得y＝±√2,
设N(0,－√2),M(0,√2),
则|NP|＝1＋√2,|PM|＝√2－1,不满足题意.
(2)当直线l 斜率存在时,设其方程为y＝kx＋1(k≠0),联立{
y ＝kx ＋1,
x
2＋4 y
2＝8,
消去y 并整理得(1＋4k2)x2＋8kx－4＝0,
则Δ＝128k2＋16>0,
由韦达定理得x1＋x2＝－
8k
1＋4 k
2,
x1x2＝－
4
1＋4 k
2,
若⃗NP＝5⃗PM,则－x2＝5x1,
所以{
x1＝
2k
1＋4 k
2 ,
x2＝−
10k
1＋4 k
2 ,
代入x1x2＝－
4
1＋4 k
2,
化简得－
20k
2
(1＋4 k
2)
2＝－
4
1＋4 k
2,
解得k＝±1,
所以直线l 的方程为x－y＋1＝0 或x＋y－1＝0.
类型二 系数不等型(如λx1＋μx2＝m
(λ≠μ,m≠0))
例2 已知抛物线C:y2＝4x,过定点P(2,1)的直线l 与抛物线交于A,B 两点,且有⃗AP＝1
7⃗PB,求直线
l 的斜率.
解 法一 设直线l:x－2＝m(y－1),A(x1,y1),B(x2,y2),
联立{
x−2＝m( y −1),
y
2＝4 x ,
消去x 得y2－4my＋4m－8＝0,
则y1＋y2＝4m,y1y2＝4m－8,
由条件⃗AP＝1
7⃗PB可得7y1＋y2＝8,
即y2＝－7y1＋8,
存在系数λ,使得y2－1＝λ(y1－1),易得λ＝－7,
即y2－1＝－7(y1－1),
因为y1－1≠0,
所以
y2−1
y1−1＝－7,则
y1−1
y2−1＝－1
7,
得－7－1
7 ＝y2−1
y1−1 ＋y1−1
y2−1
＝
( y1−1)
2＋( y2−1)
2
( y1−1)( y2−1)
＝
( y1＋y2−2)
2
y1 y2−( y1＋y2)＋1－2,
＝16m
2−16m＋4
−7
－2,
解得m＝2 或m＝－1,
所以直线l 的斜率为1
2或－1.
法二 设直线l:x－2＝m(y－1),A(x1,y1),B(x2,y2),
联立抛物线C:y2＝4x 与直线l 的方程,消去x 得y2－4my＋4m－8＝0,
则y1＋y2＝4m,y1y2＝4m－8,
由条件⃗AP＝1
7⃗PB可得y2＝－7y1＋8,
代入上面两式,得
y1＋y2＝－6y1＋8＝4m,得y1＝4−2m
3
,
所以y1y2＝－7y1
2＋8y1＝4m－8,
所以－7(
4−2m
3 )
2
＋8·4−2m
3
＝4m－8,
解得m＝2 或m＝－1,
所以直线l 的斜率为1
2或－1.
规律方法 法一将7y1＋y2＝8 利用待定系数法构造比例y2－1＝λ(y1－1)转化为
y2−1
y1−1＝λ 即可转化
为例1 中法一的方法处理.
训练2 已知抛物线C:y2＝4x,过焦点F 的直线l 与抛物线C 交于A,B 两点,且⃗AF＝3⃗FB,求直线l 的
斜率.
解 易知抛物线C 的焦点F(1,0).
直线l 的斜率存在,设直线l 的方程为y＝k(x－1),A(x1,y1),B(x2,y2),
联立{
y ＝k( x−1),
y
2＝4 x ,
消去y 得
k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0,
则x1＋x2＝2k
2＋4
k
2
,①
x1x2＝1,②
由条件⃗AF＝3⃗FB,可得x1＋3x2＝4,
即
x1−1
x2−1＝－3,则
x2−1
x1−1＝－1
3,
得－3＋(−1
3)＝－10
3 ＝x1−1
x2−1 ＋x2−1
x1−1 ＝
( x1＋x2−2)
2
x1 x2−( x1＋x2)＋1－2,
把①②式代入上式并化简得2k
2＋4
k
2
＝10
3 ,
解得k＝±√3,
所以直线l 的斜率为±√3.
类型三 分式上下不对称型(如m x1 x2＋λ x1
m x1 x2＋μ x2
, m y1 y2＋λ y1
m y1 y2＋μ y2
( λ≠μ))
例3 (2025·合肥模拟改编)已知曲线E: x
2
4 －y
2
5 ＝1(x≥2).设A1(－2,0),A2(2,0),过点(3,0)的直线l 与
曲线E 交于A,B 两点(点A 在x 轴上方),P 为直线A1A,A2B 的交点,当点P 的纵坐标为5√10
6
时,求直
线l 的方程.
解 设l:x＝my＋3,A(x1,y1),B(x2,y2),
联立{
x＝my ＋3,
x
2
4 −y
2
5 ＝1,
化简得(5m2－4)y2＋30my＋25＝0,
5m2－4≠0,
则Δ＝900m2－100(5m2－4)>0,
y1＋y2＝−30m
5m
2−4 ,y1y2＝
25
5m
2−4 ,
直线AA1:y＝
y1
x1＋2(x＋2),
直线BA2:y＝
y2
x2−2(x－2),
联立直线AA1与直线BA2的方程可得
x＋2
x−2 ＝y2( x1＋2)
y1( x2−2)
＝
y2(m y1＋5)
y1(m y2＋1) ＝m y1 y2＋5 y2
m y1 y2＋y1 .
法一(和积转化)
因为my1y2＝－5
6(y1＋y2),
所以
m y1 y2＋5 y2
m y1 y2＋y1
＝
−5
6 ( y1＋y2)＋5 y2
−5
6 ( y1＋y2)＋y1
＝－5.
法二(配凑)
因为my1y2＝－5
6(y1＋y2),
所以
m y1 y2＋5 y2
m y1 y2＋y1
＝
m y1 y2＋5 y1＋5 y2−5 y1
m y1 y2＋y1
＝
m y1 y2＋5( y1＋y2)−5 y1
m y1 y2＋y1
＝
m y1 y2−6m y1 y2−5 y1
m y1 y2＋y1
＝－5.
由x＋2
x−2 ＝－5,可得x＝4
3,
故点P(
4
3 , 5√10
6 ),
直线AA1的斜率为
5√10
6
4
3 ＋2
＝√10
4 ,
联立{
y ＝√10
4 ( x＋2),
x
2
4 −y
2
5 ＝1,
消去x 化简得y2－2√10y＝0,
解得y1＝2√10,x1＝6,故A(6,2√10),
则m＝6−3
2√10 ＝
3
2√10 ＝3√10
20 ,
故直线l 的方程为x＝3√10
20 y＋3,
即2√10x－3y－6√10＝0.
规律方法 此类问题的解决方案有:
方案一 和积转换——找出韦达定理中的两根之和与两根之积的关系;
方案二 配凑半代换——对能代换的部分进行韦达代换,剩下的部分进行配凑.
训练3 (2025·长沙模拟改编)已知椭圆E: x
2
4 ＋y2＝1,设椭圆E 的左、右顶点分别为A,B,过点(1,0)
的直线l 与椭圆E 交于C,D 两点(不同于左右顶点),记直线AC 的斜率为k1,直线BD 的斜率为k2,问
是否存在实常数λ,使得k1＝λk2,恒成立?若成立,求出λ 的值,若不成立,说明理由.
解 依题意,可设直线l 的方程为x＝ty＋1,
联立方程{
x
2
4 ＋y
2＝1,
x＝ty ＋1,
化简整理,得(t2＋4)y2＋2ty－3＝0,易得Δ>0 恒成立,
设C(x1,y1),D(x2,y2),
由韦达定理,得{
y1＋y2＝−2t
t
2＋4
,
y1 y2＝−3
t
2＋4
,
法一 可得ty1y2＝3
2(y1＋y2),
于是
k1
k2
＝
y1
x1＋2·
x2−2
y2
＝( x2−2) y1
( x1＋2) y2
＝
(t y2−1) y1
(t y1＋3) y2
＝t y1 y2−y1
t y1 y2＋3 y2
＝
3
2 ( y1＋y2)−y1
3
2 ( y1＋y2)＋3 y2
＝
1
2 y1＋3
2 y2
3
2 y1＋9
2 y2
＝
1
2 ( y1＋3 y2)
3
2 ( y1＋3 y2)
＝1
3,
故存在实数λ＝1
3,使得k1＝λk2恒成立.
法二
k1
k2
＝
y1
x1＋2·
x2−2
y2
＝( x2−2) y1
( x1＋2) y2
＝
(t y2−1) y1
(t y1＋3) y2
＝t y1 y2−y1
t y1 y2＋3 y2
＝
t y1 y2−( y1＋y2)＋y2
t y1 y2＋3 y2
＝
−3t
t
2＋4
＋
2t
t
2＋4
＋y2
−3t
t2＋4 ＋3 y2
＝
−t
t
2＋4
＋y2
−3t
t
2＋4
＋3 y2
＝1
3.
故存在实数λ＝1
3,使得k1＝λk2恒成立.
【精准强化练】
1.已知椭圆E: x
2
a
2 ＋y
2
b
2 ＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,椭圆E 的离心率为1
2,椭圆E 上的点到
右焦点的最小距离为1.
(1)求椭圆E 的方程;
(2)若过右焦点F2的直线l 与椭圆E 交于B,C 两点,E 的右顶点记为A,AB∥CF1,求直线l 的方程.
解 (1)设焦距为2c,由椭圆对称性不妨设椭圆上一点P(x0,y0)(0≤x0≤a),
易知F2(c,0),当点P 位于右顶点时,到右焦点的距离最小,
即|PF2|min＝a－c,
由题意得{
c
a ＝1
2 ,
a−c＝1,
a
2＝b
2＋c
2,
解得{
a＝2,
c＝1,
b＝√3,
所以椭圆E 的方程为x
2
4 ＋y
2
3 ＝1.
(2)设C(x1,y1),B(x2,y2),
因为AB∥CF1,
所以|F1F2|∶|F2A|＝2∶1,
此时y1＝－2y2,
设直线l 的方程为x＝my＋1,
联立{
x
2
4 ＋y
2
3 ＝1,
x＝my ＋1,
整理得(3m2＋4)y2＋6my－9＝0,
由韦达定理得{
y1＋y2＝−
6m
3m
2＋4
,
y1 y2＝−
9
3m
2＋4
,
法一 因为
y1
y2＝－2,
所以y1
y2
＋y2
y1
＝( y1＋y2)
2
y1 y2
－2＝－5
2,
即(−
6m
3m
2＋4)
2
−
9
3m
2＋4
－2＝－5
2,解得m＝±2√5
5 ,
所以直线l 的方程为x＋2√5
5 y－1＝0 或x－2√5
5 y－1＝0.
法二 把y1＝－2y2代入得{
−y2＝−
6m
3m
2＋4
,
−2 y2
2＝−
9
3m
2＋4
,
得y2
2＝
36m
2
(3m
2＋4)
2 ＝
9
2(3m
2＋4),
解得m＝±2√5
5 ,
所以直线l 的方程为x＋2√5
5 y－1＝0 或x－2√5
5 y－1＝0.
2.(2025·广州模拟)椭圆C: x
2
a
2 ＋y
2
b
2 ＝1(a>b>0)的一个焦点为F(1,0),且过点M(1, 3
2).
(1)求椭圆C 的标准方程和离心率;
(2)若过点(
2
3 ,0)且斜率不为0 的直线与椭圆C 交于M,N 两点,点P 在直线x＝6 上,且NP 与x 轴平
行,求直线MP 恒过的定点.
解 (1)法一 由题意{
c＝1,
1
a
2 ＋9
4 b
2 ＝1,
a
2＝b
2＋c
2,
可得{
a
2＝4 ,
b
2＝3,
c
2＝1,
则椭圆C 的标准方程为x
2
4 ＋y
2
3 ＝1,
离心率为e＝c
a ＝1
2.
法二 设椭圆的左焦点为F'(－1,0),
则由椭圆的定义知2a＝|MF'|＋|MF|
＝√(1＋1)
2＋(
3
2)
2
＋√(1−1)
2＋(
3
2)
2
＝5
2 ＋3
2＝4,
所以a＝2,又c＝1,得b2＝a2－c2＝3,
则椭圆C 的标准方程为x
2
4 ＋y
2
3 ＝1,
离心率为e＝c
a ＝1
2.
(2)因为直线MN 过点(
2
3 ,0)且斜率不为0,
所以设直线MN 方程为x＝my＋2
3,M(x1,y1),N(x2,y2),则P(6,y2),
联立{
x＝my ＋2
3 ,
x
2
4 ＋y
2
3 ＝1,
消去x 得,
(3m2＋4)y2＋4my－32
3 ＝0,
所以{
Δ>0,
y1＋y2＝
−4 m
3m
2＋4
,
y1 y2＝
−32
3
3m
2＋4
,
所以
y1＋y2
y1 y2
＝3
8m,
即my1y2＝8
3(y1＋y2),
直线MP 方程为y－y2＝
y1−y2
x1−6 (x－6),
由对称性可知直线MP 恒过的定点在x 轴上,
所以令y＝0,得x－6＝
y2( x1−6)
y2−y1
,
且x1＝my1＋2
3,
所以x－6＝
y2(m y1＋2
3 −6)
y2−y1
＝
m y1 y2−16
3 y2
y2−y1
＝
8
3 ( y1＋y2)−16
3 y2
y2−y1
＝－8
3,
可得x＝10
3 ,直线MP 恒过的定点(
10
3 ,0).
