文档文本内容
第13
题
讲抛物线中向量问
一、单选题
1．已知
的顶点都在抛物线
上，且
的重心为抛物线的焦点F，则
（ ）
A．3
B．6
C．9
D．12
2．抛物线
的焦点为
，过点
的直线交抛物线于
两点，点
为平面上任意一点，
为坐标原点，
则
（ ）
A．
B．
C．3
D．5
3．已知直线
与抛物线
交于
两点，与圆
交于
两点，
在
轴的同
侧，则
（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
4．已知抛物线
的焦点为F，C 的准线与对称轴交于D，过D 的直线l 与C 交于A，B 两点，且
，若FB 为
的平分线，则
等于（ ）
A．
B．8
C．10
D．
5．已知抛物线
的焦点为
，动点
在
上，圆
的半径为1，过点
的直线与圆
相切于点
，
则
的最小值为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
6．在平面直角坐标系
中，若抛物线
的准线与圆
相切于点
，直线
与抛
物线
切于点
，点
在圆
上，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．已知过抛物线
的焦点F 的直线l 交抛物线于A，B 两点，若D 为线段AB 的中点，连接OD 并延
长交抛物线C 于点M，若
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．已知抛物线
，直线
交抛物线
于
两点，
是
的中点，过
作
轴的垂线交抛
物线
于点
，且
，若
，则k 为（ ）
A．
B．
C．
D．2
二、多选题
1．设F 为抛物线C：
的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A，B 两点，则（ ）
A．
B．
C．
D．
2．已知抛物线C 的方程为
，过C 焦点F 的直线与C 交于M，N 两点，直线MO 与C 的准线交于Q 点
（其中O 为坐标原点），P 为C 准线上的一个动点，下列选项正确的是（ ）
A．当直线MN 垂直x 轴时，弦MN 的长度最短
B．
为定值
C．当PM 与C 的准线垂直时，必有
D．至少存在两个点P，使得
3．已知点A 是抛物线
上的动点，
为坐标原点，
为焦点，
，且
三点顺时针排列，则（ ）
A．当点
在
轴上时，
B．当点
在
轴上时，点A 的坐标为
C．当点A 与点
关于
轴对称时，
D．若
，则点A 与点
关于
轴对称
4．抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形称为阿基米德三角形.设抛物线
，弦
过焦点
为其阿基米德三角形，则下列结论一定成立的是（ ）
A．存在点
，使得
B．
C．对于任意的点
，必有向量
与向量
共线
D．
面积的最小值为
三、填空题：
1．已知抛物线
的焦点为F，过F 的直线与抛物线交于A，B 两点，且
，O 为坐标原点，
则
的面积为 .
2．已知F 是抛物线
的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N，若
，
则
3．已知抛物线C：
的焦点为F，准线为，经过点F 的直线与抛物线C 相交A，B 两点，与x 轴相交
于点M，若
，
，则
.
4．已知抛物线
与圆
，过抛物线的焦点
作斜率为
的直线与抛物线交于
两点，与
圆交于
两点（
在
轴的同一侧），若
，则
的值是 ．
四、解答题：
1．已知
是抛物线
上一点，且M 到C 的焦点的距离为5.
(1)求抛物线C 的方程及点M 的坐标；
(2)如图所示，过点
的直线l 与C 交于A，B 两点，与y 轴交于点Q，设
，
，求证：
是定值.
2．已知
，
为椭圆C 的左右焦点，且抛物线
的焦点为
，M 为椭圆的上顶点，
的面积
为
.
(1)求椭圆C 的标准方程；
(2)过点
的直线l 与椭圆C 交于A，B 两点，О 为坐标原点，且
，若椭圆C 上存在一点
E，使得四边形OAED 为平行四边形，求
的取值范围.
3．已知椭圆
：
的离心率为
，且其中一个焦点与抛物线
的焦点重合．
(1)求椭圆
的方程；
(2)若直线：
与椭圆
交于不同的A，B 两点，且满足
（
为坐标原点），求弦长
的值．
4．已知抛物线
，点
在抛物线上，直线
交
于
，
两点，
是线段
的中点，过
作
轴的垂线交
于点
．
(1)求点
到抛物线焦点的距离；
(2)是否存在实数
使
，若存在，求
的值；若不存在，说明理由．
5．已知抛物线
的焦点为
为
上一动点，
为圆
上一动点，
的最小值为
.
(1)求
的方程；
(2)直线交
于
两点，交
轴的正半轴于点
，点
与
关于原点
对称，且
，求证
为定值.
6．已知直线
与抛物线
交于
两点，且
．
(1)求
；
(2)设F 为C 的焦点，M，N 为C 上两点，
，求
面积的最小值．
7.已知抛物线
上的两点
的横坐标分别为
.
(1)求抛物线
的方程；
(2)若过点
的直线与抛物线
交于点
，问：以
为直径的圆是否过定点？若过定点，求出这个
定点；若不过定点，请说明理由.
8.已知直线l：
分别与x 轴，直线
交于点A，B，点P 是线段AB 的垂直平分线上的一点
（P 不在x 轴负半轴上）且
.
(1)求点P 的轨迹C 的方程；
(2)设l 与C 交于E，F 两点，点M 在C 上且满足
，延长MA 交C 于点N，求
的最小值.
9.已知抛物线
经过点
，过点
的直线与抛物线
有两个不同的交点
，且直线
交
轴于
，直线
交
轴于
．
(1)求抛物线
的方程；
(2)①求直线的斜率的取值范围；
②若
为原点，将上述
两点坐标改为
，且满足
，其他条件不变，
试探究
是否为定值，并说明理由．
10.已知抛物线x
2=2 py，点P(2,8)在抛物线上，直线y =kx +2交C于A，B两点，M是线段AB的中点，过
M作x轴的垂线交C于点N．
(1)求点P到抛物线焦点的距离；
(2)是否存在实数k使⃗NA ⋅⃗NB =0，若存在，求k的值；若不存在，说明理由．
11.已知抛物线C : y
2=2 px ( p>0)
的焦点为F
，圆D:(x−1)
2+( y −2)
2= 4
恰与C
的准线相切.
(1)求C的方程及点F与圆D上点的距离的最大值；
(2)O为坐标原点，过点M (0,1)的直线l与C相交于A，B 两点，直线AD，BD分别与y轴相交于点P，Q，⃗
MP =m⃗MO，⃗MQ =n⃗MO，求证：mn
m+n
为定值.
12.过坐标原点O
作圆C :(x +2)
2+ y
2=3
的两条切线，设切点为P ,Q
，直线PQ
恰为抛物线E: y
2=2 px ( p>0)
的准线.
(1)求抛物线E的标准方程；
(2)设点T是圆C的动点，抛物线E上四点A ,B , M , N满足：⃗TA =2⃗TM，⃗TB =2⃗TN，设AB中点为D.
（i）证明：TD垂直于y轴；
（ii）设△TAB面积为S，求S的最大值.
13.已知P(4 , y0)
是焦点为F
的抛物线C : y
2=2 px (0< p<4)
上一点，以P
为圆心，|PF|为半径的圆过点
M (7,0).
(1)求C的方程；
(2)过点(2,0)作直线l交抛物线于A、B，求⃗FA ⋅⃗FB的最大值.
14.已知抛物线C : y
2=2 px( p>0)
的准线经过点H (−1,2❑√2)
，过点Q(0,1)
的直线l
与抛物线C
有两个不同的
交点A ,B，点P(1,m)(其中m>0)在抛物线C上，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N.
(1)求直线l斜率的取值范围；
(2)设O为原点，若⃑QM = λ⃑QO ,⃑QN = μ⃑QO，求证：1
λ + 1
μ
为定值.
15.已知点M (0,1)
和点N (x0,2)
(x0>0)
之间的距离为2，抛物线C : y
2=2 px ( p>0)
经过点N，过点M 的直线
l 与抛物线C 有两个不同的交点A ，B ，点E ，F 分别在直线NA
，NB
上，且⃗MO = λ(⃗NE−⃗NM )
，⃗
MO = μ(⃗NF −⃗NM )（O 为坐标原点）.
(1)求直线l 的倾斜角的取值范围；
(2)求λ+ μ的值.
