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2023届高考数学三轮冲刺卷：抛物线的基本量与方程
一、选择题（共20小题；）
1. 已知点 P 在抛物线 y2=4x 上，则点 P 到点 Q(2,−1) 的距离与点 P 到抛物线焦点的距离
之和取得最小值时，点 P 的坐标为 ()
(1 ) (1 )
A. ,−1 B. ,1 C. (1,2) D. (1,−2)
4 4
2. 经过抛物线 y2=4x 的焦点，且方向向量为 ⃗a=(1,−2) 的直线 l 的方程是 ()
A. x−2y−1=0 B. 2x+ y−2=0 C. x+2y−1=0 D. 2x−y−2=0
3. 在抛物线 y2=2px 上，横坐标为 4 的点到焦点的距离为 5，则 p 的值为 ()
1
A. B. 1 C. 2 D. 4
2
4. 抛物线 x2=4 y 上一点 A 的纵坐标为 4，则点 A 与抛物线焦点的距离为 ()
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
5. 以抛物线 C 的顶点为圆心的圆交 C 于 A，B 两点，交 C 的准线于 D，E 两点．已知
∣AB∣=4√2，∣DE∣=2√5，则 C 的焦点到准线的距离为 ()
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
6. 抛物线 y=2x2 的焦点坐标是 ()
(1 ) (1 ) ( 1) ( 1)
A. ,0 B. ,0 C. 0, D. 0,
2 8 2 8
7. 已知点 P 在抛物线 y2=4x 上，那么点 P 到点 Q(2,−1) 的距离与点 P 到抛物线焦点距离
之和取得最小值时，点 P 的坐标为 ()
(1 ) (1 )
A. ,−1 B. ,1 C. (1,2) D. (1,−2)
4 4
1
8. 抛物线 y= x2 的焦点到准线的距离为 ()
8
1 1
A. 2 B. C. D. 4
2 4
9. A 是抛物线 y2=2px(p>0) 上一点，F 是抛物线的焦点，O 为坐标原点，当 ∣AF∣=4 时，
∠OFA=120∘，则抛物线的准线方程是 ()
A. x=−1 B. y=−1 C. x=−2 D. y=−2
10. 已知点 P 在抛物线 y2=4x 上，那么点 P 到点 Q(2,−1) 的距离与点 P 到抛物线焦点距
离之和取得最小值时，点 P 的坐标为 ()
(1 ) (1 ) (1 ) (1 )
A. ,−1 B. ,1 C. ,−1 D. ,1
4 4 2 2
11. 已知点 A(2,0)，抛物线 C：x2=4 y 的焦点为 F，射线 FA 与抛物线 C 相交于点 M，与
其准线相交于点 N，则 ∣FM∣:∣MN∣= ()A. 2:√5 B. 1:2 C. 1:√5 D. 1:3
x2 y2
12. 已知双曲线 C : − =1(a>0,b>0) 的渐近线与抛物线 C :y2=2px(p>0) 的准线围成一
1 a2 b2 2
个等边三角形，则双曲线 C 的离心率是 ()
1
2√3 √3
A. B. √3 C. D. 2
3 2
13. 将两个顶点在抛物线 y2=2px(p>0) 上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为 n，
则 ()
A. n=0 B. n=1 C. n=2 D. n≥3
x2 y2
14. 已知抛物线 y2=16x 的焦点与双曲线 C: − =1(a>0,b>0) 的焦点 F 重合，C 的渐近
a2 b2
线恰为矩形 OAFB 的边 OA，OB 所在直线（O 为坐标原点），则 C 的方程是 ()
x2 y2 x2 y2 x2 y2 x2 y2
A. − =1 B. − =1 C. − =1 D. − =1
12 4 32 32 4 12 8 8
y2
15. 已知双曲线 x2− =1 与抛物线 y2=8x 的一个交点为 P，F 为抛物线的焦点，若
m
∣PF∣=5，则双曲线的渐近线方程为 ()
A. x±2y=0 B. 2x± y=0 C. √3x± y=0 D. x±√3 y=0
16. 已知抛物线 y2=4x 上一点 P 到焦点 F 的距离为 5，那么点 P 到 y 轴的距离是 ()
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
17. 已知正六边形 ABCDEF 的边长是 2，一条抛物线恰好经过该六边形相邻的四个顶点，则抛物
线的焦点到准线的距离是 ()
√3 √3
A. B. C. √3 D. 2√3
4 2
1 1
18. 已知圆 x2+ y2+mx− =0 与抛物线 y= x2 的准线相切，则 m 的值等于 ()
4 4
A. ±√2 B. √3 C. √2 D. ±√3
19. 设 F 为抛物线 C:y2=3x 的焦点，过 F 且倾斜角为 30∘ 的直线交 C 于 A,B 两点，O
为坐标原点，则 △OAB 的面积为 ()
3√3 9√3 63 9
A. B. C. D.
4 8 32 4
20. P 是抛物线 y=x2 上任意一点，则当 P 和直线 x+ y+2=0 上的点距离最小时，P 与该抛物
线的准线距离是 ()
1 1
A. B. C. 1 D. 2
9 2二、填空题（共5小题；）
21. 若抛物线 y2=2px 的焦点坐标为 (1,0) ，则 p= ；准线方程为
．
x2 y2 (3a2
)
22. 已知抛物线 y2=4x 焦点 F 恰好是双曲线 − =1 的右焦点，且双曲线过点 ,b ，
a2 b2 2
则该双曲线的渐近线方程为 ．
23. 已知抛物线 y=ax2−1 的焦点是坐标原点，则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形
面积为 ．
24. 一辆卡车高 3 米，宽 1.6 米，欲通过抛物线形隧道，拱口宽恰好是抛物线的通径长，若拱口
宽为 a 米，则能使卡车通过的 a 的最小整数值是 ．
x2 y2
25. 已知 A(x ,y ) 是抛物线 y2=4x 上的一个动点，B(x ,y ) 是椭圆 + =1 上的一个动
1 1 2 2 4 3
点，N(1,0) 是一定点，若 AB∥x 轴，且 x 0) 最近的点恰好是原点，求实数 a 的取值范围．
2
27. 一座抛物线拱桥在某时刻水面的宽度为 52 米，拱顶距离水面 6.5 米．
（1）建立如图所示的平面直角坐标系 xOy，试求拱桥所在抛物线的方程．
（2）若一竹排上有一个 4 米宽、 6 米高的大木箱，问此木排能否安全通过此桥?
28. 设抛物线 C 的焦点在 y 轴正半轴上，且抛物线上一点 Q(−3,m) 到焦点的距离为 5，求此
抛物线的标准方程．
29. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点 A(8,−4)，P(2,t)(t<0) 在抛物线 y2=2px(p>0) 上．（1）求 p，t 的值；
（2）过点 P 作 PM 垂直于 x 轴，M 为垂足，直线 AM 与抛物线的另一交点为 B，点 C
在直线 AM 上，若 PA，PB，PC 的斜率分别为 k ，k ，k ，且 k +k =2k ，求点 C
1 2 3 1 2 3
的坐标．
30. 已知抛物线 y2=2px(p>0) 上点 M(3,m) 到焦点 F 的距离为 4．
（1）求抛物线方程．
（2）点 P 为准线上任意一点，AB 为抛物线上过焦点的任意一条弦，设直线 PA，PB，PF
的斜率为 k ，k ，k ，问是否存在实数 λ，使得 k +k =λk 恒成立，若存在，请求出 λ
1 2 3 1 2 3
的值；若不存在，请说明理由．答案
1. A 【解析】如图所示，点 Q(2,−1) 在抛物线的内部，
由抛物线的定义，抛物线上的点 P 到 F 的距离等于点 P 到准线 x=−1 的距离．
过 Q 作直线 x=−1 的垂线 QH 交抛物线于点 K，则点 K 即为取最小值时的所求点．
1
当 y=−1 时，由 1=4x 得 x= ．
4
(1 )
所以满足条件的点 P 的坐标为 ,−1 ．
4
2. B
3. C
4. D
5. B
2
(2√2) 4
【解析】不妨设 C：y2=2px(p>0)，A(x ,2√2)，则 x = = ，由题意可知
1 1 2p p
(4) 2 (2) 2
∣OA∣=∣OD∣，得 +8= +5，解得 p=4（舍负）．
p p
6. D
7. A 【解析】
如图，因为点 Q(2,−1) 在抛物线的内部，由抛物线的定义，∣PF∣ 等于点 P 到准线 x=−1 的
距离．过 Q 作 x=−1 的垂线 QH 交抛物线于点 K，则点 K 为取最小值时的所求点．当 y=−1
1 (1 )
时，由 1=4x 得 x= ．所以点 P 的坐标为 ,−1 ．
4 4
8. D 【解析】抛物线的标准方程为 x2=8 y，则焦点坐标为 (0,2)，准线方程为 y=−2，
所以焦点到准线的距离 d=2−(−2)=4．
9. A 【解析】过 A 向准线作垂线，设垂足为 B，准线与 x 轴的交点为 D．
因为 ∠OFA=120∘，所以 △ABF 为等边三角形，∠DBF=30∘，
从而 p=∣DF∣=2，因此抛物线的准线方程为 x=−1．
10. A
【解析】因为 y2=4x，
所以 p=2，焦点坐标为 (1,0)，
过 P 作准线的垂线于 M，由 PF=PM，
依题意可知当 P，Q 和 M 三点共线且点 P 在中间的时候，距离之和最小，如图，
1
故 P 的纵坐标为 −1，然后代入抛物线方程求得 x= ．
4
11. C
12. A
13. C 【解析】如图所示，
根据抛物线的对称性，正三角形的两个顶点一定关于 x 轴对称，过焦点作两条直线倾斜角分别为 30∘
和 150∘，它们和抛物线的交点与抛物线焦点可形成两个正三角形．
14. D
15. C
【解析】因为点 P 在抛物线 y2=8x 上，∣PF∣=5，
p p
所以 P(x ,y ) 满足 x + =5，得 x =5− =5−2=3，
0 0 0 2 0 2
因此 y2=8x =24，得 y =±2√6，
0 0 0
y2
所以点 P(3,±2√6) 在双曲线 x2− =1 上，
m
24
可得 9− =1，解之得 m=3，
m
y2
所以双曲线标准方程为 x2− =1，
3
bx
得 a=1，b=√3，渐近线方程为 y=± ，即 y=±√3x．
a16. C 【解析】抛物线 y2=4x，则准线方程为 x=−1，
因为 P 到其焦点的距离为 5，则到其准线的距离也为 5，
所以 P 点到 y 轴的距离为 4．
17. B 【解析】如图可知 A(m,1)，B(n,2)，代入抛物线方程 y2=2px 求出 m，n，然后令
n−m=√3 即可．
18. D 【解析】抛物线的准线为 y=−1，将圆化为标准方程 ( x+ m) 2 + y2= 1+m2 ，圆心到直线的
2 4
√1+m2
距离为 1= ，得 m=±√3．
4
19. D
20. B
21. 2，x=−1
√2
22. y=± x
4
23. 2
( 1 ) 1
【解析】抛物线 y=ax2−1 的焦点坐标为 0, −1 ，它是坐标原点，则得 a= ，从而
4a 4
1
y= x2−1．抛物线 与坐标轴的交点为 (0,−1),(−2,0),(2,0)，以这三点围成的三角形的面积为
4
1
×4×1=2．
2
24. 13
a a
【解析】由题意可设抛物线方程为 x2=−ay(a>0)，当 x= 时，y=− ；当 x=0.8 时，
2 4
0.64 a 0.64
y=− ．由题意知 − ≥3，即 a2−12a−2.56≥0．解得 a 的最小整数值为 13．
a 4 a
(10 )
25. ,4
32
{
y2=4x { x=
3
【解析】由 x2 y2 得 ．
+ =1 2√6
4 3 y=±
3
2 2
∵ AB∥x 轴，且 x 0，故实数 a 的取值范围 0 ，
26
所以木排能安全通过此桥．
28. 由题意，设抛物线为 x2=2py(p>0)，
因为点 Q(−3,m) 在抛物线上，
9
所以 (−3) 2=2pm，即 m= ,⋯⋯①
2p
p
因为点 Q(−3,m) 到焦点的距离为 5，所以 ∣m∣+ =5,⋯⋯②
2
9 p
由 ①② 得， + =5，解得 p=1 或 9，
2p 2所以抛物线的标准方程为 x2=2y，或 x2=18 y．
29. （1） 将点 A(8,−4) 代入 y2=2px，得 p=1．
将点 P(2,t) 代入 y2=2x，得 t=±2．
因为 t<0，
所以 t=−2．
2 4
（2） 由题意知，点 M 的坐标为 (2,0)，直线 AM 的方程为 y=− x+ ．
3 3
{ 2 4
y=− x+ ,
联立 3 3
y2=2x,
(1 )
解得 B ,1 ，
2
1 7 7 1
所以 k =− ，k =−2，代入 k +k =2k ，得 k =− ，故直线 PC 的方程为 y=− x+ ，联
1 3 2 1 2 3 3 6 6 3
2 4
{y=− x+ ,
3 3
立
7 1
y=− x+ ,
6 3
( 8)
解得 C −2, ．
3
(p ) p
30. （1） 抛物线 y2=2px(p>0) 的焦点为 ,0 ，准线方程为 x=− ，
2 2
p
由抛物线定义可知 4=3+ ，解得 p=2，
2
所以抛物线方程为 y2=4x．
（2） 抛物线 y2=4x 的焦点 F 为 (1,0)，准线为 x=−1，
设直线 AB=x=my+1，
{x=my+1,
由 消去 x，整理得：y2−4my−4=0，
y2=4x,
设 A(x ,y )，B(x ,y )，P(−1,t)，
1 1 2 2
{y + y =4m,
1 2
则有
y y =−4,
1 1
t
易知 k =− ，
3 2
而y −t y −t
k +k = 1 + 2
1 2 x +1 x +1
1 2
(
y2
) (
y2
)
2+1 (y −t)+ 1+1 (y −t)
4 1 4 2
¿ =
(
y2
)(
y2
)
1+1 2+1
4 4
¿ =−t
¿ ¿
所以存在实数 λ=2，使得 k +k =λk 恒成立．
1 2 3
