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第13 讲 函数模型及其应用 · 分类练习
考点一：二次与分段函数模型
考法1：利用二次函数模型求最值或解方程
1.汽车在行驶中，由于惯性，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停止，一般称这段距
离为“刹车距离”. 刹车距离是分析交通事故的一个重要依据. 在一个限速为40km/h的弯
道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了. 事后现场勘
查，测得甲车的刹车距离略超过6m，乙车的刹车距离略超过10m. 已知甲车的刹车距离sm
与车速v km/h之间的关系为S甲= 1
100 v
2- 1
10 v，乙车的刹车距离sm与车速v km/h之间的关
系为s乙= 1
200 v
2- 1
20 v. 请判断甲、乙两车哪辆车有超速现象（ ）
A. 甲、乙两车均超速
B. 甲车超速但乙车未超速
C. 乙车超速但甲车未超速
D. 甲、乙两车均未超速
2.绍兴某乡村要修建一条100米长的水渠，水渠的过水横断面为底角为120
∘的等腰梯形(如
图)水渠底面与侧面的修建造价均为每平方米100元，为了提高水渠的过水率，要使过水横
断面的面积尽可能大，现有资金3万元，当过水横断面面积最大时，水果的深度(即梯形的
高)约为（ ）(参考数据：❑√3≈1.732)
A. 0.58米
B. 0.87米
C. 1.17米
D. 1.73米
3.如图为某小区七人足球场的平面示意图，AB为球门，在某次小区居民友谊比赛中，队员
甲在中线上距离边线5米的P点处接球，此时tan∠APB = 5
31，假设甲沿着平行边线的方向
向前带球，并准备在点Q处射门，为获得最佳的射门角度(即∠AQB最大)，则射门时甲离
上方端线的距离为（ ）
A. 5 ❑√5
B. 5 ❑√6
C. 10 ❑√2
D. 10 ❑√3
4.（2026·合肥一六八·一模）某地区上年度天然气价格为2.8元/m
3，年用气量为am
3. 本年
度计划将天然气单价下调到2.55元/m
3至2.75元/m
3之间. 用户期望天然气单价为2.4元/m
3，
经调查测算，下调单价后新增用气量和实际单价与用户的期望单价的差成反比(比例系数
为k). 已知该地区天然气的成本价为2.3元/m
3.
（1）写出本年度天然气价格下调后燃气公司的收益y(单位:元)关于实际单价x(单位:元/m
3)
的函数解析式;(收益=实际用气量×(实际单价-成本价))
（2）设k =0.2a，当天然气单价最低定为多少时，仍可保证燃气公司的收益比上年度至少
增加20 %?
考法2：利用分段函数模型求最值或解不等式
5.下表是某批发市场的一种益智玩具的销售价格：
一次购买件数
5-10 件
11-50 件
51-100 件
101-300 件
300 件以上
每件价格
37 元
32 元
30 元
27 元
25 元
张师傅准备用2900元到该批发市场购买这种玩具，赠送给一所幼儿园，张师傅最多可买这
种玩具（ ）
A. 116件
B. 110件
C. 107件
D. 106件
6.某科技企业为抓住“一带一路”带来的发展机遇，开发生产一智能产品，该产品每年的
固定成本是25万元，每生产x万件该产品，需另投入成本ω( x)万元. 其中
ω( x)={
x
2+10 x ,
0< x ≤40
71 x + 10000
x
-945,
x>40 ，若该公司一年内生产该产品全部售完，每件的售价
为70元，则该企业每年利润的最大值为（ ）
A. 720万元
B. 800万元
C. 875万元
D. 900万元
7.某驾驶员喝酒后血液中的酒精含量f ( x)(毫克/毫升)随时间x(小时)变化的规律近似满足表
达式f ( x)={
5
x -2,
0≤x ≤1
3
5 ⋅(
1
3)
x
,
x>1 .《酒后驾车与醉酒驾车的标准及相应处罚》规定：驾驶员
血液中酒精含量不得超过0.02毫克/毫升此驾驶员至少要过＿＿＿＿＿＿小时后才能开车.
(精确到1小时)
8.（2026·合肥一六八·一模）城市地铁可为市民出行带来便利，提升城市形象，更是一张
亮丽的城市名片.安徽省合肥市于2016年开通了地铁1号线，该条线路通车后，列车的发车
时间间隔t(单位:分钟)满足3≤t ≤20，经市场调研测算，列车载客量与发车时间间隔t相关，
当3≤t ≤10时，载客量会逐渐增加，载客量与(10-t )
2成一次函数关系，且发车时间间隔为
3分钟时的载客量为333人，当10≤t ≤20时，列车为满载状态，载客量为480人，记列车载
客量为S(t ).
（1）求S(t )的表达式，并求当发车时间间隔为6分钟时，列车的载客量;
（2）若该线路每分钟的净收益为:M (t )= 4 S(t )-32t -912
t
(元)，问当发车时间间隔为多少
时，该线路每分钟的净收益最大，并求出最大值.
考点二：对勾与分式函数模型
考法3：利用对勾或分式函数模型求最值
9.（2025·江西稳派·5 月联考）在生物界中，部分昆虫会通过向后跳跃的方式来躲避偷袭的
天敌. 已知某类昆虫在水平方向上速度为v(单位:米/秒)时的跳跃高度H(单位:米)满足
v
2=
4 H
1- H v
2，则该类昆虫的最大跳跃高度为（ ）
A. 0.25米
B. 0.5米
C. 0.75米
D. 1米
10.某企业投入100万元购入一套设备，该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花
费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一
年增加2万元．为使该设备年平均费用最低，该企业需要更新设备的年数为（ ）
A. 8
B. 10
C. 12
D. 13
11.2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事
业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器
的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格
朗日L2点的轨道运行．L2点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为M 1，月球
质量为M 2，地月距离为R，L2点到月球的距离为r，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r
满足方程：
M 1
( R+r )
2 + M 2
r
2 =( R+r ) M 1
R
3 ．设α = r
R，由于α的值很小，因此在近似计算中
3α
3+3α
4+α
5
(1+α )
2
≈3α
3，则r的近似值为（ ）
A. ❑√
M 2
M 1
R
B. ❑√
M 2
2 M 1
R
C.
3√
3 M 2
M 1
R
D.
3√
M 2
3 M 1
R
12.网店和实体店各有利弊，两者的结合将在未来一段时期内，成为商业的一个主要发展
方向. 某品牌行车记录仪支架销售公司从2018年1月起开展网络销售与实体店体验安装结合
的销售模式. 根据几个月运营发现，产品的月销量x万件与投入实体店体验安装的费用t万
元之间满足函数关系式x =3- 2
t +1. 已知网店每月固定的各种费用支出为3万元，产品每1万
件进货价格为32万元，若每件产品的售价定为“进货价的150 %”与“平均每件产品的实体
店体验安装费用的一半”之和，则该公司最大月利润是＿＿＿＿＿＿万元.
13.能源是国家的命脉，降低能源消耗费用是重要抓手之一，为此，某市对新建住宅的屋
顶和外墙都要求建造隔热层. 某建筑物准备建造可以使用30年的隔热层，据当年的物价，
每厘米厚的隔热层造价成本是9万元人民币. 又根据建筑公司的前期研究得到，该建筑物30
年间的每年的能源消耗费用N(单位:万元)与隔热层厚度h(单位:厘米)满足关系：
N (h)=
m
3h+ 4 (0≤h≤10)，经测算知道，如果不建隔热层，那么30年间的每年的能源消耗
费用为10万元人民币. 设F(h)为隔热层的建造费用与共30年的能源消耗费用总和，那么使
F(h)达到最小值时，隔热层厚度h=＿＿＿＿＿＿厘米.
14.迷你KTV 是一类新型的娱乐设施，外形通常是由玻璃墙分隔成的类似电话亭的小房间，
近几年投放在各大城市商场中，受到年轻人的欢迎．如图是某间迷你KTV 的横截面示意
图，其中AB = AE = 3
2，∠A =∠B =∠E =90
∘，曲线段CD是圆心角为90
∘的圆弧，设该迷你
KTV 横截面的面积为S，周长为L，则S
L的最大值为＿＿＿＿＿＿. (本题中取π =3进行计
算)
考点三：指数、对数与幂函数模型
考法4：指数函数模型在实际问题中的应用
15.（2025·青岛·一模）近年来，家用冰箱使用的氟化物的释放等破坏了臭氧层，臭氧含量
Q与时间t（单位：年）的关系为Q =Q0e
-
t
400，其中Q0是臭氧的初始含量.臭氧消失一半所需
要的时间约为（ ）（ln 2≈0.693，精确到1年）
A. 265年
B. 266年
C. 276年
D. 277年
16.（2026·嘉兴·二模）为保护环境，某发电厂对烟气进行脱碳处理．已知初始碳排放浓度
为3.6 kg/m
3，每经过一次环保设备处理，碳排放浓度会减少50 %．国家排放标准规定碳排
放浓度不得超过0.08kg/m
3，若要使该发电厂烟气排放达标，则至少需要脱碳处理的次数
为（ ）
A. 4
B. 5
C. 6
D. 7
17.2020年底，国务院扶贫办确定的贫困县全部脱贫摘帽，脱贫攻坚取得重大胜利！为进
一步巩固脱贫攻坚成果，持续实施乡村振兴战略，某企业响应政府号召，积极参与帮扶活
动．该企业2021年初有资金150万元，资金的年平均增长率固定，每三年政府将补贴10万
元．若要实现2024年初的资金达到270万元的目标，资金的年平均增长率应为(参考值：
3√1.82≈1.22,
3√1.73≈1.2)（ ）
A. 10 %
B. 20 %
C. 22%
D. 32%
18.（2026·烟台·二模）已知某数据中心的算力y（单位：EFLOPS）与芯片投入量x（单位：
万片）满足饱和增长模型：y = M (1-e
-kx)，其中M为该中心最大理论算力.已知投入2万片
芯片时，算力y = M
2 ，若要求算力y ≥3 M
4 ，则芯片投入量至少为（ ）
A. 3万片
B. 4万片
C. 5万片
D. 6万片
19.（2024·华附·三模）某制药企业为了响应并落实国家污水减排政策，加装了污水过滤排
放设备，在过滤过程中，污染物含量M（单位：mg/ L）与时间t（单位：h）之间的关系
为：M = M 0e
-kt（其中M 0，k是正常数）.已知经过1h，设备可以过滤掉20 %的污染物，则
过滤一半的污染物需要的时间最接近（ ）（参考数据：lg2≈0.3010）
A. 3h
B. 4 h
C. 5h
D. 6h
20.（2026·金华十校·二模）某物种繁殖能力极强，在没有外部因素干扰的前提下，其种群
数量每经过一年就会增长为原来的5倍，则该物种种群数量变成原来的1000万倍大约需要
经过（ ）（参考数据：lg2≈0.301）
A. 10年
B. 11年
C. 23年
D. 24年
21.近年来，天然气表观消费量从2006年的不到600×10
8m
3激增到2021年的3726×10
8m
3. 从
2000年开始统计，记k表示从2000年开始的第几年，0≤k，k ∈N. 经计算机拟合后发现，
天然气表观消费量随时间的变化情况符合V k =V 0(1+ra)
k，其中V k是从2000年后第k年天然
气消费量，V 0是2000年的天然气消费量，ra是过去20年的年复合增长率. 已知2009年的天
然气消费量为900×10
8m
3，2018年的天然气消费量为2880×10
8m
3，根据拟合的模型，可
以预测2024年的天然气消费量约为（ ）
(参考数据：2.88
2
3 ≈2.02，3.2
2
3 ≈2.17，4
2
3 ≈2.52)
A. 5817.6×10
8m
3
B. 6249.6×10
8m
3
C. 6928.2×10
8m
3
D. 7257.6×10
8m
3
22.某纯净水制造厂在净化水的过程中，每增加一次过滤可使水中杂质减少50 %，若要使水
中杂质减少到原来的5 %以下，则至少需要过滤（ ）
(参考数据：lg2≈0.3010)
A. 2次
B. 3次
C. 4次
D. 5次
23.（2025·驻马店·3 月月考）某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物
含量P（单位：mg/ L）与时间t（单位：h）间的关系为P = P0e
-kt，其中P0,k是正的常数，
如果前10h消除了50 %的污染物，那么从消除60 %的污染物到消除80 %的污染物大约需要经
历（ ）
A. 10h
B. 4 h
C. 40h
D. 8h
24.（2026·桐乡·教学测试）某款新能源汽车2025年的产量为5000辆，从2026年开始每年不
断扩大生产规模，计划到2030年此款汽车年产量达到10000辆，那么2025∼2030年的年平
均增长率大约为（ ）
（10
0.06≈1.15,lg2≈0.30）
A. 115 %
B. 15 %
C. 30 %
D. 60 %
25.（2026·宁波·一模）大气压强p=压力
受力面积，它的单位是“帕斯卡”（Pa），它随海拔
高度h（m）的变化规律可以近似的表示为p= p0e
-kh（其中e为自然对数的底数，p0是海平
面大气压强，k为常数）.已知宁波市海拔最高的是四明山的主峰，主峰上一处的海拔约为
1018m，大气压强为90900 Pa，宁波城区一处的海拔约为4 m，大气压强为101000 Pa.现测
得某山峰上一处的大气压强为80800 Pa，请估计该处的海拔高度（单位：m）位于以下哪
个范围内？（ ）（参考数据：lg2≈0.3010，lg3≈0.4771）
A. (2900,3200)
B. (2500,2800)
C. (2000,2300)
D. (1600,1900)
26.（2026·雅礼中学·5 月模拟）某海岛核污水中含有多种放射性物质，其中放射性物质
❑
3 H含量非常高，它可以进入生物体内，还可以在体内停留，并引起基因突变，但却难以
被清除. 现已知❑
3 H的质量M(kg)随时间t(年)的指数衰减规律是:M = M 0⋅2
-0.08t(其中M 0为
❑
3 H的初始质量). 则当❑
3 H的质量衰减为最初的9
16时，所经过的时间约为(参考数据:
lg2≈0.30,lg3≈0.48）（ ）
A. 20年
B. 15年
C. 12年
D. 10年
27.血氧饱和度是血液中被氧结合的氧合血红蛋白的容量占全部可结合的血红蛋白容量的
百分比，即血液中血氧的浓度，它是呼吸循环的重要生理参数. 正常人体的血氧饱和度一
般情况下不低于96 %，否则为供养不足. 在环境模拟实验室的某段时间内，可以用指数模
型:S(t )= S0e
kt描述血氧饱和度S(t ) (单位%) 随机给氧时间t(单位: 时) 的变化规律，其中S0
为初始血氧饱和度，k为参数. 已知S0=60，给氧1小时后，血氧饱和度为70，若使血氧饱
和度达到正常值，则给氧时间至少还需要（ ）小时. (参考数据:
ln5=1.61,ln6=1.79,ln7 =1.95,ln 8=2.07)
A. 1.525
B. 1.675
C. 1.725
D. 1.875
28.牛顿曾经提出了常温环境下的温度冷却模型：θ =(θ1-θ0)e
-kt +θ0，其中t为时间(单位：
min)，θ0为环境温度，θ1为物体初始温度，θ为冷却后温度)，假设在室内温度为20
∘C的情
况下，一桶咖啡由100
∘C降低到60
∘C需要20min. 则k的值为＿＿＿＿＿＿.
29.当生物死亡后，它机体内碳14会按照确定的规律衰减，大约每经过5730年衰减为原来
的一半，照此规律，人们获得了生物体内碳14含量与死亡时间之间的函数关系式
k(t )=k0(
1
2)
t
5730，(其中k0为生物死亡之初体内的碳14含量，t为死亡时间(单位：年)，通过
测定发现某古生物遗体中碳14含量为1
8 k0，则该生物的死亡时间大约是＿＿＿＿＿＿年前．
30.某地在20年间经济高质量增长，GDP的值P(单位，亿元)与时间t(单位：年)之间的关系
为P(t )= P0(1+10 %)
t，其中P0为t =0时的P值. 假定P0=2，那么在t =10时，GDP增长的速度
大约是＿＿＿＿＿＿.(单位：亿元/年，精确到0.01亿元/年) 注：1.1
10≈2.59，当x取很小的
正数时，ln(1+ x)≈x
考法5：对数与幂函数模型在实际问题中的应用
31.异速生长规律描述生物的体重与其它生理属性之间的非线性数量关系通常以幂函数形
式表示．比如，某类动物的新陈代谢率y与其体重x满足y =k x
α，其中k和α为正常数，该
类动物某一个体在生长发育过程中，其体重增长到初始状态的16倍时，其新陈代谢率仅提
高到初始状态的8倍，则α为（ ）
A. 1
4
B. 1
2
C. 2
3
D. 3
4
32.（2025·江西盟校·二联）遗忘曲线是由德国心理学家艾宾浩斯研究发现的，它描述了人
类大脑对新事物遗忘的规律.某同学根据自己记忆100个英语新单词的经历，用画图软件拟
合了自己的遗忘曲线，得到其记忆率y(记住的单词个数占总单词数的百分比)与初次记忆
经过的时间x(单位:小时)的函数关系式为y =1-0.5 x
0.06，当记住的单词仅剩25个时，则离初
次记忆经过了（ ）(参考数据:lg2≈0.30,lg3≈0.48)
A. 100小时
B. 300小时
C. 1000小时
D. 3000小时
33.昆虫信息素是昆虫用来表示聚集、觅食、交配、警戒等信息的化学物质，是昆虫之间
起化学通讯作用的化合物，是昆虫交流的化学分子语言，包括利它素、利己素、协同素、
集合信息素、追踪信息素、告警信息素、疏散信息素、性信息素等．人工合成的昆虫信息
素在生产中有较多的应用，尤其在农业生产中的病虫害的预报和防治中较多使用．研究发
现，某昆虫释放信息素t秒后，在距释放处x米的地方测得的信息素浓度y满足
ln y =- 1
2 ln t - k
t x
2+a，其中k ,a为非零常数．已知释放信息素1秒后，在距释放处2米的地
方测得信息素浓度为m；若释放信息素4秒后，距释放处b米的位置，信息素浓度为m
2 ，则
b=（ ）
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
