第13 讲 函数模型及其应用 · 分类练习（解析卷）
答案速查表
1
2
3
4
5
C
B
B
（1）
y =(
k
x -2.4 +a)( x -2.3), x
（2）2.6
C
6
7
8
9
10
C
4
（1）S(t )={
-3t
2+60t +180,
3≤t <10
480,
10≤t ≤20，
432 （2）4，112
A
B
11
12
13
14
15
D
37.5
16
3
12-3 ❑√15
D
16
17
18
19
20
C
B
B
A
A
21
22
23
24
25
B
D
A
B
C
26
27
28
29
30
D
D
ln 2
20
17190
0.52
31
32
33
D
C
B
1.汽车在行驶中，由于惯性，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停止，一般称这段距
离为“刹车距离”. 刹车距离是分析交通事故的一个重要依据. 在一个限速为40km/h的弯
道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了. 事后现场勘
查，测得甲车的刹车距离略超过6m，乙车的刹车距离略超过10m. 已知甲车的刹车距离sm
与车速v km/h之间的关系为S甲= 1
100 v
2- 1
10 v，乙车的刹车距离sm与车速v km/h之间的关
系为s乙= 1
200 v
2- 1
20 v. 请判断甲、乙两车哪辆车有超速现象（ ）
A. 甲、乙两车均超速
B. 甲车超速但乙车未超速
C. 乙车超速但甲车未超速
D. 甲、乙两车均未超速
【答案】C
【解析】对于甲车，令1
100 v
2- 1
10 v ≈6，即v
2-10 v -600≈0，解得v ≈-20km/h(舍) 或
v ≈30km/h，∴甲未超速；
对于乙车，令1
200 v
2- 1
20 v ≈10，即v
2-10 v -2000≈0，解得v ≈- 40km/h(舍) 或v ≈50km/h，
∴乙超速；
故选:C.
【点拨】本题考查二次函数模型在实际问题中的应用，通过将实际距离代入函数解析式，解一元
二次方程即可判断车速是否超标.原卷解析中存在笔误，已在解析中修正为“对于乙车”.
2.绍兴某乡村要修建一条100米长的水渠，水渠的过水横断面为底角为120
∘的等腰梯形(如
图)水渠底面与侧面的修建造价均为每平方米100元，为了提高水渠的过水率，要使过水横
断面的面积尽可能大，现有资金3万元，当过水横断面面积最大时，水果的深度(即梯形的
高)约为（ ）(参考数据：❑√3≈1.732)
A. 0.58米
B. 0.87米
C. 1.17米
D. 1.73米
【答案】B
【解析】如图设横截面为等腰梯形ABCD，BE ⟂CD于E，∠BAD =∠ABC =120
∘，
要使水横断面面积最大，则此时资金3万元都用完，
则100×( AB+ BC + AD)×100=30000，解得AB+ BC + AD =3米，
设BC = x，则AB =3-2 x ,BE =
❑√3
2 x ,CE = 1
2 x，故CD =3- x，且0< x< 3
2，
梯形ABCD的面积S =
(3-2 x +3- x)×
❑√3
2 x
2
= 3 ❑√3
4
(- x
2+2 x)，
当x =1时，Smax = 3 ❑√3
4
，
此时BE =
❑√3
2 ≈0.87，
即当过水横断面面积最大时，水果的深度(即梯形的高)约为0.87米.
【点拨】解决此类优化问题，关键是引入合适的变量（如侧面长x），利用几何关系表示出目标函
数（截面面积），再通过二次函数配方求最值.
3.如图为某小区七人足球场的平面示意图，AB为球门，在某次小区居民友谊比赛中，队员
甲在中线上距离边线5米的P点处接球，此时tan ∠APB = 5
31，假设甲沿着平行边线的方向
向前带球，并准备在点Q处射门，为获得最佳的射门角度(即∠AQB最大)，则射门时甲离
上方端线的距离为（ ）
A. 5 ❑√5
B. 5 ❑√6
C. 10 ❑√2
D. 10 ❑√3
【答案】B
【解析】设AB = x，并根据题意作如下示意图，由图和题意得：PH =25，BH =10，
∴tan∠BPH = BH
HP = 10
25 = 2
5，且tan∠APB = 5
31，
∴tan ∠APH = tan(∠APB+∠BPH )=
5
31 + 2
5
1- 5
31 × 2
5
= 3
5，
又tan∠APH = AH
PH = AB+ BH
PH
= x +10
25
，∴x +10
25
= 3
5，解得x =5，即AB =5，
设QH =h，h∈[0,25]，则AQ =
❑√Q H
2+ A H
2=
❑√h
2+15
2，
BQ =
❑√Q H
2+ B H
2=
❑√h
2+10
2，∴在△AQB中，
有cos∠AQB = A Q
2+ BQ
2- A B
2
2 AQ×BQ
=
h
2+150
❑√h
4+325h
2+22500
，
令m=h
2+150(150≤m≤775)，∴h
2=m-150，
∴
cos∠AQB =
m
❑√(m-150)
2+325(m-150)+22500
=
1
❑√
- 3750
m
2 + 25
m +1，
∵150≤m≤775，∴1
775 ≤1
m ≤1
150，则要使∠AQB最大，
即
cos∠AQB =
1
❑√
- 3750
m
2 + 25
m +1要取得最小值，即- 3750
m
2 + 25
m +1取得最大值，
即- 3750
m
2 + 25
m +1在1
775 ≤1
m ≤1
150取得最大值，
令t = 1
m ∈[
1
775 , 1
150]，f (t )=-3750t
2+25t +1，
∴f (t )的对称轴为：t = 1
300，∴f (t )在[
1
775 , 1
300]单调递增，在[
1
300 , 1
150]单调递减，
∴当t = 1
300时，f (t )取得最大值，即∠AQB最大，此时1
m = 1
300，即m=300，
∴h
2=150，∴h=5 ❑√6，即为获得最佳的射门角度(即∠AQB最大)，
则射门时甲离上方端线的距离为：5 ❑√6.
故选：B.
【点拨】本题综合考查解三角形与二次函数最值.利用余弦定理建立关于距离的函数，通过换元法
转化为二次函数在闭区间上的最值问题是解题核心.
4.（2026·合肥一六八·一模）某地区上年度天然气价格为2.8元/m
3，年用气量为am
3. 本年
度计划将天然气单价下调到2.55元/m
3至2.75元/m
3之间. 用户期望天然气单价为2.4元/m
3，
经调查测算，下调单价后新增用气量和实际单价与用户的期望单价的差成反比(比例系数
为k). 已知该地区天然气的成本价为2.3元/m
3.
（1）写出本年度天然气价格下调后燃气公司的收益y(单位:元)关于实际单价x(单位:元/m
3)
的函数解析式;(收益=实际用气量×(实际单价-成本价))
（2）设k =0.2a，当天然气单价最低定为多少时，仍可保证燃气公司的收益比上年度至少
增加20 %?
【答案】（1）y =(
k
x -2.4 +a)( x -2.3), x∈[2.55,2.75] （2）2.6
【解析】（1）设下调后的天然气单价为x元/m
3，y =(
k
x -2.4 +a)( x -2.3), x∈[2.55,2.75]；
（2）由题意可知要同时满足以下条件：{(
0.2a
x -2.4 +a)( x -2.3)≥1.2a(2.8-2.3)
2.55≤x ≤2.75
，
解得2.6≤x ≤2.75，即天然气单价最低定为2.6元/m
3.
【点拨】构建分式型函数模型时，需准确提取题干中的反比例关系.求解不等式时，注意结合实际
意义确定自变量的取值范围.
5.下表是某批发市场的一种益智玩具的销售价格：
一次购买件数
5-10 件
11-50 件
51-100 件
101-300 件
300 件以上
每件价格
37 元
32 元
30 元
27 元
25 元
张师傅准备用2900元到该批发市场购买这种玩具，赠送给一所幼儿园，张师傅最多可买这
种玩具（ ）
A. 116件
B. 110件
C. 107件
D. 106件
【答案】C
【解析】设购买的件数为x，花费为y元，
则y ={
37 x ,
1≤x ≤10
32 x ,
11≤x ≤50
30 x ,
51≤x ≤100
27 x ,
101≤x ≤300
25 x ,
x>300
，当x =107时，y =2889<2990，
当x =108时，y =2916>2900，∴最多可购买这种产品107件，
故选：C.
【点拨】本题考查分段函数模型的应用，根据表格数据写出分段函数解析式，再结合目标金额代
入临界值进行试算即可.
6.某科技企业为抓住“一带一路”带来的发展机遇，开发生产一智能产品，该产品每年的
固定成本是25万元，每生产x万件该产品，需另投入成本ω( x)万元. 其中
ω( x)={
x
2+10 x ,
0< x ≤40
71 x + 10000
x
-945,
x>40 ，若该公司一年内生产该产品全部售完，每件的售价
为70元，则该企业每年利润的最大值为（ ）
A. 720万元
B. 800万元
C. 875万元
D. 900万元
【答案】C
【解析】该企业每年利润为f ( x)={
70 x -( x
2+10 x +25),
0< x ≤40
70 x -(71 x + 10000
x
-945+25),
x>40
当0< x ≤40时，f ( x)=- x
2+60 x -25=-( x -30)
2+875
在x =30时，f ( x)取得最大值875；
当x>40时，f ( x)=920-(x + 10000
x )≤920-2❑√x⋅10000
x
=720
(当且仅当x =100时等号成立)，即在x =100时，f ( x)取得最大值720；
由875>720，可得该企业每年利润的最大值为875. 故选：C
【点拨】求解分段函数最值时，需分别求出各段上的最大值，再比较大小.注意第二段利用基本不
等式求最值时需验证等号成立的条件.
7.某驾驶员喝酒后血液中的酒精含量f ( x)(毫克/毫升)随时间x(小时)变化的规律近似满足表
达式f ( x)={
5
x -2,
0≤x ≤1
3
5 ⋅(
1
3)
x
,
x>1 .《酒后驾车与醉酒驾车的标准及相应处罚》规定：驾驶员
血液中酒精含量不得超过0.02毫克/毫升此驾驶员至少要过＿＿＿＿＿＿小时后才能开车.
(精确到1小时)
【答案】4
【解析】当0≤x ≤1时，由f ( x)≤0.02得5
x -2≤0.02，
解得x ≤2+ log50.02= log50.5<0，舍去；
当x>1时，由f ( x)≤0.02得3
5 ⋅(
1
3)
x
≤0.02，即3
1- x≤0.1，
解得x ≥1- log30.1=1+ log310，
∵3<1+ log310<4，∴此驾驶员至少要过4小时后才能开车.
故答案为：4
【点拨】解指数不等式时，需根据分段函数的区间分别求解，结合对数的估算确定最终的整数时
间.
8.（2026·合肥一六八·一模）城市地铁可为市民出行带来便利，提升城市形象，更是一张
亮丽的城市名片.安徽省合肥市于2016年开通了地铁1号线，该条线路通车后，列车的发车
时间间隔t(单位:分钟)满足3≤t ≤20，经市场调研测算，列车载客量与发车时间间隔t相关，
当3≤t ≤10时，载客量会逐渐增加，载客量与(10-t )
2成一次函数关系，且发车时间间隔为
3分钟时的载客量为333人，当10≤t ≤20时，列车为满载状态，载客量为480人，记列车载
客量为S(t ).
（1）求S(t )的表达式，并求当发车时间间隔为6分钟时，列车的载客量;
（2）若该线路每分钟的净收益为:M (t )= 4 S(t )-32t -912
t
(元)，问当发车时间间隔为多少
时，该线路每分钟的净收益最大，并求出最大值.
【答案】（1）S(t )={
-3t
2+60t +180,
3≤t <10
480,
10≤t ≤20，432 （2）4，112
【解析】（1）由题设，当3≤t ≤10时，令S(t )=k(10-t )
2+b，又发车时间间隔为3分钟时的载客
量为333人，10分钟时的载客量为480人，
∴{
333=k(10-3)
2+b
480=k(10-10)
2+b ⇒{
k =-3
b= 480，
∴S(t )=-3(10-t )
2+ 480=-3t
2+60t +180
当10≤t ≤20时，S(t )= 480，
∴S(t )={
-3t
2+60t +180,
3≤t <10
480,
10≤t ≤20
故t =6时，S（6）=-3×6
2+60×6+180= 432，
∴当发车时间间隔为6分钟时，列车的载客量为432人；
（2）∵M (t )= 4 S(t )-32t -912
t
，
∴由（1）可得:M (t )={
208-(12t + 192
t ),
3≤t <10
1008
t
-32,
10≤t ≤20
当3≤t <10时，M (t )=208-(12t + 192
t )≤208-2❑√12t ⋅192
t
=208-96=112，
当且仅当t = 4等号成立，
则3≤t <10时，M (t )max = M （4 ）=112(元)，
当10≤t ≤20时，M (t )= 1008
t
-32在t ∈[10,20]递减，
则M (t )max = M （10）=100.8-32=68.8(元)
综上，发车时间间隔为4分钟时，该线路每分钟的净收益最大为112元.
【点拨】本题考查分段函数模型的构建与最值求解.第一问利用待定系数法求出二次函数解析式；
第二问将收益表示为关于时间的分段函数，利用基本不等式和单调性分别求最值.
9.（2025·江西稳派·5 月联考）在生物界中，部分昆虫会通过向后跳跃的方式来躲避偷袭的
天敌. 已知某类昆虫在水平方向上速度为v(单位:米/秒)时的跳跃高度H(单位:米)满足
v
2=
4 H
1- H v
2，则该类昆虫的最大跳跃高度为（ ）
A. 0.25米
B. 0.5米
C. 0.75米
D. 1米
【答案】A
【解析】由v
2=
4 H
1- H v
2可知v
2- H v
4= 4 H，故H =
v
2
v
4+ 4
≤
v
2
2
❑√4 v
4 = 1
4 ，当且仅当v
2=2时，等号
成立. 于是该类昆虫的最大跳跃高度为0.25米. 故选A.
【点拨】将关系式变形为关于H的表达式，利用基本不等式求最值是解题的关键.注意检验等号成
立的条件.
10.某企业投入100万元购入一套设备，该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花
费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一
年增加2万元．为使该设备年平均费用最低，该企业需要更新设备的年数为（ ）
A. 8
B. 10
C. 12
D. 13
【答案】B
【解析】设该企业需要更新设备的年数为x( x∈N
*)，设备年平均费用为y万元，
则x年后的设备维护费用为2+ 4 +6+⋯+2 x = x(2+2 x)
2
= x( x +1)，
∴x年的平均费用为y = 100+0.5 x + x( x +1)
x
= x + 100
x + 3
2 ≥2❑√x⋅100
x + 3
2 = 43
2 (万元)，
当且仅当x =10时，等号成立，
因此，为使该设备年平均费用最低，该企业需要更新设备的年数为10. 故选：B.
【点拨】根据等差数列求和公式算出总维护费，再写出年平均费用的函数解析式，利用基本不等
式求最小值即可.
11.2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事
业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器
的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格
朗日L2点的轨道运行．L2点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为M 1，月球
质量为M 2，地月距离为R，L2点到月球的距离为r，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r
满足方程：
M 1
( R+r )
2 + M 2
r
2 =( R+r ) M 1
R
3 ．设α = r
R，由于α的值很小，因此在近似计算中
3α
3+3α
4+α
5
(1+α )
2
≈3α
3，则r的近似值为（ ）
A. ❑√
M 2
M 1
R
B. ❑√
M 2
2 M 1
R
C.
3√
3 M 2
M 1
R
D.
3√
M 2
3 M 1
R
【答案】D
【解析】由α = r
R ，得r =αR
∵
M 1
( R+r )
2 + M 2
r
2 =( R+r ) M 1
R
3 ，
∴
M 1
R
2(1+α )
2 + M 2
α
2 R
2 =(1+α ) M 1
R
2 ，
即
M 2
M 1
=α
2[(1+α )-
1
(1+α )
2]= α
5+3α
4+3α
3
(1+α )
2
≈3α
3，
解得α =
3√
M 2
3 M 1
，
∴r =αR =
3√
M 2
3 M 1
R.
【点拨】将r =αR代入原方程，提取公因式并化简，结合题干给出的近似计算公式，即可解出α从
而求得r.
12.网店和实体店各有利弊，两者的结合将在未来一段时期内，成为商业的一个主要发展
方向. 某品牌行车记录仪支架销售公司从2018年1月起开展网络销售与实体店体验安装结合
的销售模式. 根据几个月运营发现，产品的月销量x万件与投入实体店体验安装的费用t万
元之间满足函数关系式x =3- 2
t +1. 已知网店每月固定的各种费用支出为3万元，产品每1万
件进货价格为32万元，若每件产品的售价定为“进货价的150 %”与“平均每件产品的实体
店体验安装费用的一半”之和，则该公司最大月利润是＿＿＿＿＿＿万元.
【答案】37.5
【解析】根据题意，得到t =
2
3- x -1,(1< x<3)，进而得到月利润的表示，结合基本不等式，即可
求解. 由题意，产品的月销量x万件与投入实体店体验安装的费用t万元之间满足x =3- 2
t +1，即
t =
2
3- x -1,(1< x<3)，∴月利润为
y =(32×1.5+ t
2 x)x -32 x -3-t =16 x - t
2 -3=16 x -
1
3- x - 5
2 = 45.5-[16(3- x)+
1
3- x]≤45.5-2❑√16=37.5
当且仅当16(3- x)=
1
3- x 时，即x = 11
4 时取等号，即月最大利润为37.5万元. 故答案为: 37.5.
【点拨】本题考查函数模型的实际应用.先将费用t表示为销量x的函数，再构建总利润函数，通过
分离常数并利用基本不等式求得最大值.原卷解析末尾“最低利润”系笔误，实为最大利润.
13.能源是国家的命脉，降低能源消耗费用是重要抓手之一，为此，某市对新建住宅的屋
顶和外墙都要求建造隔热层. 某建筑物准备建造可以使用30年的隔热层，据当年的物价，
每厘米厚的隔热层造价成本是9万元人民币. 又根据建筑公司的前期研究得到，该建筑物30
年间的每年的能源消耗费用N(单位:万元)与隔热层厚度h(单位:厘米)满足关系：
N (h)=
m
3h+ 4 (0≤h≤10)，经测算知道，如果不建隔热层，那么30年间的每年的能源消耗
费用为10万元人民币. 设F(h)为隔热层的建造费用与共30年的能源消耗费用总和，那么使
F(h)达到最小值时，隔热层厚度h=＿＿＿＿＿＿厘米.
【答案】16
3
【解析】由题意得，当h=0时，N (h)= m
4 =10，解得m= 40，
又F(h)=9h+30× N (h)=9h+30×
40
3h+ 4 (0≤h≤10)，
∴F(h)=9h+ 1200
3h+ 4 =3(3h+ 4)+ 1200
3h+ 4 -12≥2❑√3(3h+ 4)× 1200
3h+ 4 -12=108，
当且仅当3(3h+ 4)= 1200
3h+ 4 ，即h= 16
3 时，等号成立. 故答案为：16
3 .
【点拨】先利用不建隔热层时的费用求出参数m，再列出总费用函数，通过配凑项利用基本不等
式求最值.
14.迷你KTV 是一类新型的娱乐设施，外形通常是由玻璃墙分隔成的类似电话亭的小房间，
近几年投放在各大城市商场中，受到年轻人的欢迎．如图是某间迷你KTV 的横截面示意
图，其中AB = AE = 3
2，∠A =∠B =∠E =90
∘，曲线段CD是圆心角为90
∘的圆弧，设该迷你
KTV 横截面的面积为S，周长为L，则S
L的最大值为＿＿＿＿＿＿. (本题中取π =3进行计
算)
【答案】12-3 ❑√15
【解析】设圆弧的半径为x(0< x ≤3
2)，根据题意可得：BC = DE = AB - x = 3
2 - x
S = AE⋅DE +( AB - DE)⋅( AE - x)+ 1
4 π ⋅x
2= 3
2 ×(
3
2 - x)+(
3
2 - x)⋅x = 9
4 - x
2+ π x
2
4
L=2 AB+ BC + DE+ 2πx
4 =6-2 x + πx
2
∵π =3∴S = 9- x
2
4
, L=6- 1
2 x
∴S
L = 9- x
2
24 -2 x
令t =24 -2 x(21≤t <24)，则x = 24 -t
2
，∴S
L =
9-(
24 -t
2 )
2
t
=-(
t
4 + 135
t )+12
根据基本不等式，t
4 + 135
t
≥2❑√
135
4 =3 ❑√15，当却仅当t
4 = 135
t
，即t =6 ❑√15时取“=”.
6 ❑√15∈[21,24)，∴t =6 ❑√15时，(
S
L)max
=12-3 ❑√15
故答案为：12-3 ❑√15.
【点拨】将不规则图形的面积和周长表示为半径x的函数，代入π =3化简后，利用换元法将分式转
化为对勾函数形式，再利用基本不等式求最值.
15.（2025·青岛·一模）近年来，家用冰箱使用的氟化物的释放等破坏了臭氧层，臭氧含量
Q与时间t（单位：年）的关系为Q =Q0e
-
t
400，其中Q0是臭氧的初始含量.臭氧消失一半所需
要的时间约为（ ）（ln2≈0.693，精确到1年）
A. 265年
B. 266年
C. 276年
D. 277年
【答案】D
【解析】令Q =Q0e
-
t
400 = 1
2 Q0，解此方程即可.
令Q =Q0e
-
t
400 = 1
2 Q0可得e
-
t
400 = 1
2，
可得-
t
400 = ln 1
2 =- ln2，∴t = 400ln 2≈277，
故臭氧消失一半所需要的时间约为277年.
故选：D.
【点拨】根据题意列出指数方程，两边取自然对数，结合已知近似值进行计算即可.
16.（2026·嘉兴·二模）为保护环境，某发电厂对烟气进行脱碳处理．已知初始碳排放浓度
为3.6 kg/m
3，每经过一次环保设备处理，碳排放浓度会减少50 %．国家排放标准规定碳排
放浓度不得超过0.08kg/m
3，若要使该发电厂烟气排放达标，则至少需要脱碳处理的次数
为（ ）
A. 4
B. 5
C. 6
D. 7
【答案】C
【解析】设脱碳处理的次数为n，则脱碳处理n次后的碳排放浓度为3.6×0.5
n，
由题意可得3.6×0.5
n≤0.08，则(
1
2)
n
≤1
45，即2
n≥45，
∵n∈N
*，∴n的最小值为6，
故至少需要脱碳处理的次数为6.
【点拨】根据每次减少的比例列出关于次数的指数不等式，化简后利用指数函数的单调性求解最
小整数.
17.2020年底，国务院扶贫办确定的贫困县全部脱贫摘帽，脱贫攻坚取得重大胜利！为进
一步巩固脱贫攻坚成果，持续实施乡村振兴战略，某企业响应政府号召，积极参与帮扶活
动．该企业2021年初有资金150万元，资金的年平均增长率固定，每三年政府将补贴10万
元．若要实现2024年初的资金达到270万元的目标，资金的年平均增长率应为(参考值：
3√1.82≈1.22,
3√1.73≈1.2)（ ）
A. 10 %
B. 20 %
C. 22%
D. 32%
【答案】B
【解析】由题意，设年平均增长率为x，则150(1+ x)
3+10=270，
∴x =
3√
26
15 -1≈1.2-1=0.2，故年平均增长率为20 %.
故选：B
【点拨】理清资金增长的复利模型，注意补贴是在三年后加入，列出方程开三次方即可求得增长
率.
18.（2026·烟台·二模）已知某数据中心的算力y（单位：EFLOPS）与芯片投入量x（单位：
万片）满足饱和增长模型：y = M (1-e
-kx)，其中M为该中心最大理论算力.已知投入2万片
芯片时，算力y = M
2 ，若要求算力y ≥3 M
4 ，则芯片投入量至少为（ ）
A. 3万片
B. 4万片
C. 5万片
D. 6万片
【答案】B
【解析】将x =2代入y = M (1-e
-kx)得M
2 = M (1-e
-2k)，即e
-2k = 1
2，∴e
-k =
❑√2
2 .
由y = M (1-e
-kx)≥3 M
4 得e
-kx≤1
4 ，即(e
-k)
x≤1
4 ，
∴(
❑√2
2 )
x
≤1
4 ，解得x ≥4.
故选：B.
【点拨】先将已知条件代入模型求出底数e
-k的值，再根据不等式要求解出指数x的范围.
19.（2024·华附·三模）某制药企业为了响应并落实国家污水减排政策，加装了污水过滤排
放设备，在过滤过程中，污染物含量M（单位：mg/ L）与时间t（单位：h）之间的关系
为：M = M 0e
-kt（其中M 0，k是正常数）.已知经过1h，设备可以过滤掉20 %的污染物，则
过滤一半的污染物需要的时间最接近（ ）（参考数据：lg2≈0.3010）
A. 3h
B. 4 h
C. 5h
D. 6h
【答案】A
【解析】由题意可得，当t =1时，M 0e
-k = M 0(1-20 %)=0.8 M 0，∴e
-k =0.8= 4
5 ，
设过滤一半的污染物需要的时间为t0，则M 0e
-k t0=0.5 M 0，即(e
-k)
t0=0.5，
∴(
4
5)
t0
= 1
2，两边取常用对数得t0lg 4
5 =lg 1
2，
即t0(2lg2-1)=-lg2，解得t0=
lg2
1-2lg2 ≈
0.3010
1-0.6020 = 0.3010
0.3980 ≈3.1h，最接近3h.
故选：A.
【点拨】利用已知条件求出衰减系数，再列出目标方程，两边取对数进行近似计算.
20.（2026·金华十校·二模）某物种繁殖能力极强，在没有外部因素干扰的前提下，其种群
数量每经过一年就会增长为原来的5倍，则该物种种群数量变成原来的1000万倍大约需要
经过（ ）（参考数据：lg2≈0.301）
A. 10年
B. 11年
C. 23年
D. 24年
【答案】A
【解析】设初始种群数量为N，经过t年后，种群数量变为5
t N.
根据题意，种群数量变为原来的1000万倍，即5
t N =10
7 N.
两边同时除以N，得5
t =10
7.
两边同时取常用对数，有：lg5
t =lg10
7⇒t lg5=7.
由于lg5=lg 10
2 =1-lg2，且lg2≈0.301，代入得：
t(1-0.301)=7⇒t ×0.699≈7，解得t ≈
7
0.699 ≈10.014.
因此该物种种群数量变成原来的1000万倍大约需要经过10年.
【点拨】根据题意列出指数方程，两边取常用对数，结合lg5=1-lg2进行化简计算即可.
21.近年来，天然气表观消费量从2006年的不到600×10
8m
3激增到2021年的3726×10
8m
3. 从
2000年开始统计，记k表示从2000年开始的第几年，0≤k，k ∈N. 经计算机拟合后发现，
天然气表观消费量随时间的变化情况符合V k =V 0(1+ra)
k，其中V k是从2000年后第k年天然
气消费量，V 0是2000年的天然气消费量，ra是过去20年的年复合增长率. 已知2009年的天
然气消费量为900×10
8m
3，2018年的天然气消费量为2880×10
8m
3，根据拟合的模型，可
以预测2024年的天然气消费量约为（ ）
(参考数据：2.88
2
3 ≈2.02，3.2
2
3 ≈2.17，4
2
3 ≈2.52)
A. 5817.6×10
8m
3
B. 6249.6×10
8m
3
C. 6928.2×10
8m
3
D.
7257.6×10
8m
3
【答案】B
【解析】据题意V 9=V 0(1+ra)
9=900×10
8m
3，V 18=V 0(1+ra)
18=2880×10
8m
3，
两式相除可得(1+ra)
9=3.2，
又∵V 24=V 18(1+ra)
6=2880×10
8×(3.2)
2
3 ≈6249.6×10
8m
3，
故选：B．
【点拨】利用已知年份的数据作商求出增长率的某次方的值，再将目标年份的表达式转化为已知
值的乘积进行计算.
22.某纯净水制造厂在净化水的过程中，每增加一次过滤可使水中杂质减少50 %，若要使水
中杂质减少到原来的5 %以下，则至少需要过滤（ ）
(参考数据：lg2≈0.3010)
A. 2次
B. 3次
C. 4次
D. 5次
【答案】D
【解析】设经过n(n∈N )次过滤后，水中杂质减少到原来的5 %以下，
则(1-50 %)
n<5 %，即(
1
2)
n
< 1
20，
不等式两边取常用对数得：nlg2>lg2+1，解得：n> lg2+1
lg2
≈4.3，
故至少需要过滤5次.
故选：D
【点拨】根据每次过滤的残留率列出指数不等式，两边取对数求解，注意实际次数应向上取整.
23.（2025·驻马店·3 月月考）某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物
含量P（单位：mg/ L）与时间t（单位：h）间的关系为P = P0e
-kt，其中P0,k是正的常数，
如果前10h消除了50 %的污染物，那么从消除60 %的污染物到消除80 %的污染物大约需要经
历（ ）
A. 10h
B. 4 h
C. 40h
D. 8h
【答案】A
【解析】由题意可知：0.5 P0= P0e
-10k，即0.5=e
-10k，即k = ln2
10 ，
设消除60 %的污染物对应事件为t1，即0.4 P0= P0e
-k t1，
设消除80 %的污染物对应事件为t2，即0.2 P0= P0e
-k t2，
两式相除可得：2=e
-k(t1-t2)，
即ln 2=-k(t1-t2)，
∴t2-t1=10，
即从消除60 %的污染物到消除80 %的污染物大约需要经历10h，
故选：A
【点拨】先利用初始条件求出衰减系数k，再分别列出两个目标状态的方程，作商即可求出时间差.
24.（2026·桐乡·教学测试）某款新能源汽车2025年的产量为5000辆，从2026年开始每年不
断扩大生产规模，计划到2030年此款汽车年产量达到10000辆，那么2025∼2030年的年平
均增长率大约为（ ）
（10
0.06≈1.15,lg2≈0.30）
A. 115 %
B. 15 %
C. 30 %
D. 60 %
【答案】B
【解析】设2025∼2030年的年平均增长率为x，根据题意可得
5000(1+ x)
5=10000，化简得(1+ x)
5=2，
方程两边取对数得5lg(1+ x)=lg2，又lg2≈0.30，
∴lg(1+ x)=0.06.
故1+ x =10
0.06≈1.15，
∴x =15 %，即2025∼2030年的年平均增长率大约为15 %.
【点拨】根据复利增长模型列出方程，两边取常用对数，利用已知近似值解出增长率.
25.（2026·宁波·一模）大气压强p=压力
受力面积，它的单位是“帕斯卡”（Pa），它随海拔
高度h（m）的变化规律可以近似的表示为p= p0e
-kh（其中e为自然对数的底数，p0是海平
面大气压强，k为常数）.已知宁波市海拔最高的是四明山的主峰，主峰上一处的海拔约为
1018m，大气压强为90900 Pa，宁波城区一处的海拔约为4 m，大气压强为101000 Pa.现测
得某山峰上一处的大气压强为80800 Pa，请估计该处的海拔高度（单位：m）位于以下哪
个范围内？（ ）（参考数据：lg2≈0.3010，lg3≈0.4771）
A. (2900,3200)
B. (2500,2800)
C. (2000,2300)
D. (1600,1900)
【答案】C
【解析】设城区的压强为p1，四明山的压强为p2，
由题意得p1= p0e
- 4 k =101000，p2= p0e
-1018k =90900，
两式作除法可得e
1014 k = 101000
90900 ，解得k =
ln 10
9
1014
，
对于目标点，可得p0e
-kh=80800，由已知得p0e
- 4 k =101000，
两式作除法可得e
k(h- 4)= 5
4 ，解得h=
ln 5
4
k
+ 4 =
ln 5
4
ln 10
9
⋅1014+ 4，
则
h=
ln 5
4
ln 10
9
⋅1014 + 4 =
lg 5
4
lg 10
9
⋅1014 + 4 = lg5-lg 4
lg10-lg9 ⋅1014 + 4 = 1-lg2-2lg2
1-2lg3
⋅1014 + 4 = 1-3lg2
1-2lg3 ⋅1014 + 4 = 1
1
在(2000,2300)内，故C 正确.
故选：C
【点拨】利用已知两点的数据作商求出参数k的表达式，再将目标点与已知点作商，结合对数的换
底公式和运算性质进行估算.
26.（2026·雅礼中学·5 月模拟）某海岛核污水中含有多种放射性物质，其中放射性物质
❑
3 H含量非常高，它可以进入生物体内，还可以在体内停留，并引起基因突变，但却难以
被清除. 现已知❑
3 H的质量M(kg)随时间t(年)的指数衰减规律是:M = M 0⋅2
-0.08t(其中M 0为
❑
3 H的初始质量). 则当❑
3 H的质量衰减为最初的9
16时，所经过的时间约为(参考数据:
lg2≈0.30,lg3≈0.48）（ ）
A. 20年
B. 15年
C. 12年
D. 10年
【答案】D
【解析】由题意得，9
16 M 0= M 0⋅2
-0.08t，
∴-0.08t = log2
9
16 =
lg 9
16
lg2 = 2lg3-lg16
lg2
= 2lg3
lg2 - 4 ≈0.96
0.30 - 4 =-0.8，
∴t ≈-0.8
-0.08 =10.
【点拨】根据指数衰减模型列出方程，两边取对数并利用换底公式化为常用对数进行计算.
27.血氧饱和度是血液中被氧结合的氧合血红蛋白的容量占全部可结合的血红蛋白容量的
百分比，即血液中血氧的浓度，它是呼吸循环的重要生理参数. 正常人体的血氧饱和度一
般情况下不低于96 %，否则为供养不足. 在环境模拟实验室的某段时间内，可以用指数模
型:S(t )= S0e
kt描述血氧饱和度S(t ) (单位%) 随机给氧时间t(单位: 时) 的变化规律，其中S0
为初始血氧饱和度，k为参数. 已知S0=60，给氧1小时后，血氧饱和度为70，若使血氧饱
和度达到正常值，则给氧时间至少还需要（ ）小时. (参考数据:
ln5=1.61,ln6=1.79,ln7 =1.95,ln 8=2.07)
A. 1.525
B. 1.675
C. 1.725
D. 1.875
【答案】D
【解析】由题意可得，60e
k =70,60e
kt ≥96，则k = ln 70
60 = ln7- ln 6，kt ≥ln 96
60 = ln 8- ln5，
∴t ≥ln 8- ln5
ln7 - ln 6 = 2.07-1.61
1.95-1.79 =2.875，
则使血氧饱和度达到正常值，给氧时间至少还需要2.875-1=1.875小时.
故选：D.
【点拨】先利用初始状态求出参数k，再列出达标的不等式求出总时间，最后减去已给氧的时间即
为所需时间.
28.牛顿曾经提出了常温环境下的温度冷却模型：θ =(θ1-θ0)e
-kt +θ0，其中t为时间(单位：
min)，θ0为环境温度，θ1为物体初始温度，θ为冷却后温度)，假设在室内温度为20
∘C的情
况下，一桶咖啡由100
∘C降低到60
∘C需要20min. 则k的值为＿＿＿＿＿＿.
【答案】ln2
20
【解析】由题意，把θ0=20，θ1=100，θ =60，t =20代入θ =(θ1-θ0)e
-kt +θ0中，
得80e
-20k +20=60，∴e
-20k = 1
2，
∴-20k =- ln2，解得k = ln 2
20 .
故答案为：ln2
20 .
【点拨】将已知数据直接代入冷却模型，化简后利用对数定义解出参数k.
29.当生物死亡后，它机体内碳14会按照确定的规律衰减，大约每经过5730年衰减为原来
的一半，照此规律，人们获得了生物体内碳14含量与死亡时间之间的函数关系式
k(t )=k0(
1
2)
t
5730，(其中k0为生物死亡之初体内的碳14含量，t为死亡时间(单位：年)，通过
测定发现某古生物遗体中碳14含量为1
8 k0，则该生物的死亡时间大约是＿＿＿＿＿＿年前．
【答案】17190
【解析】由题意，生物体内碳14含量与死亡时间之间的函数关系式k(t )=k0(
1
2)
t
5730，
∵测定发现某古生物遗体中碳14含量为1
8 k0，
令k0(
1
2)
t
5730 = 1
8 k0，可得(
1
2)
t
5730 = 1
8，∴
t
5730 =3，解得t =17190年.
故答案为：17190年.
【点拨】将已知含量代入指数衰减模型，利用指数幂的运算法则解出时间t.
30.某地在20年间经济高质量增长，GDP的值P(单位，亿元)与时间t(单位：年)之间的关系
为P(t )= P0(1+10 %)
t，其中P0为t =0时的P值. 假定P0=2，那么在t =10时，GDP增长的速度
大约是＿＿＿＿＿＿.(单位：亿元/年，精确到0.01亿元/年) 注：1.1
10≈2.59，当x取很小的
正数时，ln(1+ x)≈x
【答案】0.52
【解析】由题可知P(t )=2(1+10 %)
t =2×1.1
t，
∴P
'(t )=2×1.1
t ln1.1，
∴P
'（10）=2×1.1
10ln1.1≈2×2.59×0.1=0.518≈0.52,
即GDP增长的速度大约是0.52.
故答案为：0.52.
【点拨】本题考查指数函数模型的导数及其物理意义.增长速度即为函数的导数，求导后代入数值
计算即可.
31.异速生长规律描述生物的体重与其它生理属性之间的非线性数量关系通常以幂函数形
式表示．比如，某类动物的新陈代谢率y与其体重x满足y =k x
α，其中k和α为正常数，该
类动物某一个体在生长发育过程中，其体重增长到初始状态的16倍时，其新陈代谢率仅提
高到初始状态的8倍，则α为（ ）
A. 1
4
B. 1
2
C. 2
3
D. 3
4
【答案】D
【解析】设初始状态为( x1, y1)，则x2=16 x1，y2=8 y1，
又y1=k x1
α，y2=k x2
α，即8 y1=k(16 x1)
α =k ⋅16
α x1
α，
8 y1
y1
= k ⋅16
α x1
α
k x1
α
，16
α =8，2
4 α =2
3，4 α =3，α = 3
4 .
故选：D.
【点拨】根据题意列出两个状态下的幂函数方程，两式作商消去常数k和初始变量，解指数方程即
可求得幂指数.
32.（2025·江西盟校·二联）遗忘曲线是由德国心理学家艾宾浩斯研究发现的，它描述了人
类大脑对新事物遗忘的规律.某同学根据自己记忆100个英语新单词的经历，用画图软件拟
合了自己的遗忘曲线，得到其记忆率y(记住的单词个数占总单词数的百分比)与初次记忆
经过的时间x(单位:小时)的函数关系式为y =1-0.5 x
0.06，当记住的单词仅剩25个时，则离初
次记忆经过了（ ）(参考数据:lg2≈0.30,lg3≈0.48)
A. 100小时
B. 300小时
C. 1000小时
D. 3000小时
【答案】C
【解析】由题意得100(1-0.5 x
0.06)=25，∴1-0.5 x
0.06= 1
4 ，即x
0.06= 3
2，
两边同时取以10为底的对数，得0.06lg x =lg3-lg2≈0.48-0.3=0.18，
∴lg x =3，x =1000.故选C.
【点拨】将剩余单词数转化为记忆率代入函数解析式，两边取常用对数，利用对数的运算性质解
出时间.
33.昆虫信息素是昆虫用来表示聚集、觅食、交配、警戒等信息的化学物质，是昆虫之间
起化学通讯作用的化合物，是昆虫交流的化学分子语言，包括利它素、利己素、协同素、
集合信息素、追踪信息素、告警信息素、疏散信息素、性信息素等．人工合成的昆虫信息
素在生产中有较多的应用，尤其在农业生产中的病虫害的预报和防治中较多使用．研究发
现，某昆虫释放信息素t秒后，在距释放处x米的地方测得的信息素浓度y满足
ln y =- 1
2 lnt - k
t x
2+a，其中k ,a为非零常数．已知释放信息素1秒后，在距释放处2米的地
方测得信息素浓度为m；若释放信息素4秒后，距释放处b米的位置，信息素浓度为m
2 ，则
b=（ ）
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
【答案】B
【解析】由题意ln m=- 4 k +a，ln m
2 =- 1
2 ln 4 - k
4 b
2+a，
∴ln m- ln m
2 =- 4 k +a-(- 1
2 ln 4 - k
4 b
2+a)，
即- 4 k + k
4 b
2=0. 又k ≠0，∴b
2=16.
∵b>0，∴b= 4.
故选：B.
【点拨】将两次测量的数据分别代入对数型函数模型，两式相减消去常数a和ln m，即可解出距离
b.
