文档文本内容
第13 讲 函数模型及其应用 · 讲义（解析卷）
一、考情分析......................................................................................................................................1
二、知识清单......................................................................................................................................2
1. 几种常见的函数模型.........................................................................................................2
2. 解函数应用问题的步骤.....................................................................................................2
三、典题精讲......................................................................................................................................2
考点一：常见的几类确定性函数模型..................................................................................2
考点二：指数、对数与幂函数模型......................................................................................5
考点三：函数模型的综合与创新应用..................................................................................7
一、考情分析
1. 考查频次与题型
年份
题号与题
型
分值
考察
类型
考察内容与方式
2024
第6 题 单
选题
5 分
间接
以分段函数模型为载体，结合二次函数与超越函数的性
质，考察参数范围的求解
2025
-
-
-
-
2026
第6 题 单
选题
5 分
间接
给出具体的指数分式复合函数模型，利用导数工具研究
其最值并反求参数
近三年全国一卷中，以实际生活为背景的函数模型应用题出现频次相对较低，多以纯
数学形式的函数模型（如分段函数、指数型函数）为载体，结合导数、单调性等知识进行
间接考查.
2. 命题角度与特色
核心考点：侧重于对分段函数、指数型函数等常见数学模型的性质（如单调性、最
值）的深度剖析.
命题趋势：淡化了简单的代入模型计算，更加注重利用导数等高等数学工具对复杂函
数模型进行动态分析与参数求解.
试题特点：综合性强，常将函数模型与不等式、方程、导数等知识点交汇命题，对逻
辑推理和代数变形能力要求较高.
3. 备考策略
· 熟练掌握各类基础函数模型（如二次函数、分段函数、指数函数等）的图象特征与
解析式性质.
· 强化利用导数工具研究复杂函数模型单调性与最值的能力，突破参数分类讨论的难
点.
· 培养数学建模意识，遇到实际应用题时，能够准确提取关键数据，将其转化为熟悉
的函数模型并求解.
二、知识清单
1. 几种常见的函数模型
· 一次函数模型：f ( x)=ax +b(a,b为常数且a≠0)
· 反比例函数模型：f ( x)= k
x +b(k ,b为常数且k ≠0)
· 二次函数模型：f ( x)=a x
2+bx +c(a,b,c为常数且a≠0)
· 指数函数模型：f ( x)=ba
x+c(a,b,c为常数，b≠0，a>0，a≠1)
· 对数函数模型：f ( x)=b loga x +c(a,b,c为常数，b≠0，a>0，a≠1)
· 幂函数模型：f ( x)=a x
n+b(a,b为常数，a≠0)
【易错提醒】 在构建和求解实际问题的函数模型时，必须高度关注自变量的取值范围
（即函数的定义域）.实际问题中的定义域往往受到具体物理意义或生活常识的限制，不
能单纯按照代数解析式的要求来确定.
【防坑警示】 在指数函数模型 f ( x)=ba
x+c 中，底数 a 决定了模型是增长型（a>1）
还是衰减型（0<a<1）.在处理如人口增长、资金复利、放射性物质衰变等问题时，需根据
题意准确判断并求解底数.
2. 解函数应用问题的步骤
·审题：弄清题意，识别条件与结论，弄清数量关系，初步选择数学模型；
·建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用已有知识建
立相应的数学模型；
·解模：求解数学模型，得出结论；
·还原：将数学问题还原为实际问题。
三、典题精讲
考点一：常见的几类确定性函数模型
考法1：一次、二次函数模型
例1.绍兴某乡村要修建一条100米长的水渠，水渠的过水横断面为底角为120
∘的等腰梯形
(如图)水渠底面与侧面的修建造价均为每平方米100元，为了提高水渠的过水率，要使过水
横断面的面积尽可能大，现有资金3万元，当过水横断面面积最大时，水果的深度(即梯形
的高)约为
A. 0.58米
B. 0.87米
C. 1.17米
D. 1.73米
【答案】B
【思路】分析题意，引入合适的变量表示等腰梯形的底和高.利用总造价限制求出截面周长定值，
进而建立截面面积关于侧边长的二次函数模型，通过二次函数配方求得最值.
【解析】如图设横截面为等腰梯形ABCD，BE ⟂CD于E，∠BAD =∠ABC =120
∘.
要使水横断面面积最大，则此时资金3万元都用完，
则100×( AB+ BC + AD)×100=30000，解得AB+ BC + AD =3米.
设BC = x，则AB =3-2 x ,BE =
❑√3
2 x ,CE = 1
2 x，故CD =3- x，且0< x< 3
2.
梯形ABCD的面积S =
(3-2 x +3- x)×
❑√3
2 x
2
= 3 ❑√3
4
(- x
2+2 x).
当x =1时，Smax = 3 ❑√3
4
，
此时BE =
❑√3
2 ≈0.87.
即当过水横断面面积最大时，水果的深度(即梯形的高)约为0.87米.
【规律】解决几何优化问题时，关键是根据几何关系合理选取自变量，将目标量表示为自变量的
函数.若为二次函数，则利用对称轴和定义域区间求最值.
考法2：分段函数模型
例2.（2026·合肥一六八·一模）城市地铁可为市民出行带来便利，提升城市形象，更是一
张亮丽的城市名片. 安徽省合肥市于2016 年开通了地铁1 号线，该条线路通车后，列车的
发车时间间隔t（单位:分钟）满足3≤t ≤20，经市场调研测算，列车载客量与发车时间间隔
t相关，当3≤t ≤10时，载客量会逐渐增加，载客量与(10-t )
2成一次函数关系，且发车时间
间隔为3分钟时的载客量为333人，当10≤t ≤20时，列车为满载状态，载客量为480人，记
列车载客量为S(t ).
（1） 求S(t )的表达式，并求当发车时间间隔为6分钟时，列车的载客量；
（2） 若该线路每分钟的净收益为:M (t )= 4 S(t )-32t -912
t
（元），问当发车时间间隔为
多少时，该线路每分钟的净收益最大，并求出最大值.
【答案】（1）S(t )={
-3t
2+60t +180,
3≤t <10
480,
10≤t ≤20，432 （2）4，112
【思路】第一问利用待定系数法，根据已知点坐标求出二次函数解析式，并写成分段函数形式.第
二问将载客量代入净收益公式，得到净收益的分段函数，分别在各段上利用基本不等式和单调性
求出最大值，最后比较各段最大值确定全局最大值.
【解析】（1） 由题设，当3≤t ≤10时，令S(t )=k(10-t )
2+b，又发车时间间隔为3分钟时的载
客量为333人，10分钟时的载客量为480人，
∴{
333=k(10-3)
2+b
480=k(10-10)
2+b ⇒{
k =-3
b= 480，
∴S(t )=-3(10-t )
2+ 480=-3t
2+60t +180；
当10≤t ≤20时，S(t )= 480，
∴S(t )={
-3t
2+60t +180,
3≤t <10
480,
10≤t ≤20；
故t =6时，S（6）=-3×6
2+60×6+180= 432，
所以当发车时间间隔为6分钟时，列车的载客量为432人；
（2） ∵M (t )= 4 S(t )-32t -912
t
，
∴由（1）可得：M (t )={
208-(12t + 192
t ),
3≤t <10
1008
t
-32,
10≤t ≤20
；
当3≤t <10时，M (t )=208-(12t + 192
t )≤208-2❑√12t ⋅192
t
=208-96=112，
当且仅当t = 4等号成立，
则3≤t <10时，M (t )max = M （4 ）=112（元）；
当10≤t ≤20时，M (t )= 1008
t
-32在t ∈[10,20]递减，
则M (t )max = M （10）=100.8-32=68.8（元）；
综上，发车时间间隔为4分钟时，该线路每分钟的净收益最大为112元.
【规律】处理分段函数最值问题，必须分段求最值，最后作比较.在求各段最值时，常结合二次函
数性质、基本不等式或导数工具.
考法3：分式函数模型
例3.某企业投入100万元购入一套设备，该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要
花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上
一年增加2万元．为使该设备年平均费用最低，该企业需要更新设备的年数为
A. 8
B. 10
C. 12
D. 13
【答案】B
【思路】根据等差数列求和公式计算出x年的总维护费用，然后构建年平均费用的分式函数模型，
利用基本不等式求出最小值及对应的年数.
【解析】设该企业需要更新设备的年数为x( x∈N
*)，设备年平均费用为y万元.
则x年后的设备维护费用为2+ 4 +6+⋯+2 x = x(2+2 x)
2
= x( x +1).
∴x年的平均费用为y = 100+0.5 x + x( x +1)
x
= x + 100
x + 3
2 ≥2❑√x⋅100
x + 3
2 = 43
2 （万元），
当且仅当x =10时，等号成立.
因此，为使该设备年平均费用最低，该企业需要更新设备的年数为10.
故选B.
【规律】涉及“平均费用最低”问题，通常会构建形如y =ax + b
x +c的分式函数模型.利用基本不
等式求最值时，务必检验等号成立的条件是否在定义域内.
【考点一 方法总结】
· 解决几何优化问题时，关键是根据几何关系合理选取自变量，将目标量表示为自
变量的函数.若为二次函数，则利用对称轴和定义域区间求最值.
· 构造分段函数时，要准确、简洁，不重不漏.处理分段函数最值问题，必须分段求
最值，最后作比较.在求各段最值时，常结合二次函数性质、基本不等式或导数工具.
· 涉及“平均费用最低”等问题，通常会构建形如y =ax + b
x +c的分式函数模型.利用
基本不等式求最值时，务必检验等号成立的条件是否在定义域内.
考点二：指数、对数与幂函数模型
考法1：指数函数模型
例4.（2024·华附·三模）某制药企业为了响应并落实国家污水减排政策，加装了污水过滤
排放设备，在过滤过程中，污染物含量M（单位：mg/L）与时间t（单位：h）之间的关系
为：M = M 0e
-kt（其中M 0，k是正常数）.已知经过1h，设备可以过滤掉20 %的污染物，则
过滤一半的污染物需要的时间最接近（参考数据：lg2≈0.3010）
A. 3h
B. 4 h
C. 5h
D. 6 h
【答案】A
【思路】利用初始条件代入指数衰减模型求出衰减系数，再根据目标要求列出指数方程，两边取
常用对数，结合已知对数近似值解出时间.
【解析】由题意可得，当t =1时，M 0e
-k = M 0(1-20 %)=0.8 M 0，∴e
-k =0.8= 4
5 .
设过滤一半的污染物需要的时间为t0，则M 0e
-k t0=0.5 M 0，即(e
-k)
t0=0.5.
∴(
4
5)
t0
= 1
2，两边取常用对数得t0lg 4
5 =lg 1
2，
即t0(2lg2-1)=-lg2，解得t0=
lg2
1-2lg2 ≈
0.3010
1-0.6020 = 0.3010
0.3980 ≈3.1h，最接近3h.
故选A.
【规律】求解指数型函数模型y = M 0e
kt的问题，通常分为两步：一是利用已知数据求出参数k或e
k；
二是代入目标值解指数方程，常需两边取对数进行近似计算.
考法2：对数函数模型
例5.昆虫信息素是昆虫用来表示聚集、觅食、交配、警戒等信息的化学物质，是昆虫之间
起化学通讯作用的化合物，是昆虫交流的化学分子语言，包括利它素、利己素、协同素、
集合信息素、追踪信息素、告警信息素、疏散信息素、性信息素等．人工合成的昆虫信息
素在生产中有较多的应用，尤其在农业生产中的病虫害的预报和防治中较多使用．研究发
现，某昆虫释放信息素t秒后，在距释放处x米的地方测得的信息素浓度y满足
ln y =- 1
2 lnt - k
t x
2+a，其中k ,a为非零常数．已知释放信息素1秒后，在距释放处2米的地
方测得信息素浓度为m；若释放信息素4秒后，距释放处b米的位置，信息素浓度为m
2 ，则
b=
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
【答案】B
【思路】将两次测量的浓度和距离数据分别代入对数型函数模型，得到两个等式.通过两式相减消
去未知常数，即可解出目标距离.
【解析】由题意ln m=- 4 k +a，ln m
2 =- 1
2 ln 4 - k
4 b
2+a.
∴ln m- ln m
2 =- 4 k +a-(- 1
2 ln 4 - k
4 b
2+a)，
即- 4 k + k
4 b
2=0.又k ≠0，∴b
2=16.
∵b>0，∴b= 4.
故选B.
【规律】对于含有多个参数的对数型或指数型模型，若只需探求变量间的相对关系，常通过代入
两组数据作差或作商的方法消去无关参数.
考法3：幂函数模型
例6.（2025·江西盟校·二联）遗忘曲线是由德国心理学家艾宾浩斯研究发现的，它描述了
人类大脑对新事物遗忘的规律.某同学根据自己记忆100个英语新单词的经历，用画图软件
拟合了自己的遗忘曲线，得到其记忆率y(记住的单词个数占总单词数的百分比)与初次记
忆经过的时间x(单位:小时)的函数关系式为y =1-0.5 x
0.06，当记住的单词仅剩25个时，则离
初次记忆经过了(参考数据:lg2≈0.30,lg3≈0.48)
A. 100小时
B. 300小时
C. 1000小时
D. 3000小时
【答案】C
【思路】将目标剩余单词数转化为记忆率并代入幂函数模型，化简得到幂方程.两边取常用对数，
利用对数的运算性质解出时间.
【解析】由题意得100(1-0.5 x
0.06)=25，∴1-0.5 x
0.06= 1
4 ，即x
0.06= 3
2.
两边同时取以10为底的对数，得0.06lg x =lg3-lg2≈0.48-0.3=0.18.
∴lg x =3，x =1000.
故选C.
【规律】解底数未知或指数为小数的幂方程时，两边取常用对数将其转化为一次方程是常用的代
数变形技巧.
【考点二 方法总结】
· 在解题时要合理选择模型，指数函数模型是增长速度越来越快（底数大于1）的一
类函数模型，与增长率、银行利率、放射性衰变等有关的问题多属于此类.
· 解决指数型、对数型、幂函数模型问题时，一般先通过待定系数法（代入初始条
件或已知数据）确定函数解析式中的参数，再借助函数性质或方程求解目标值.
· 求解指数型函数模型y = M 0e
kt时，常需两边取对数进行近似计算；解底数未知或
指数为小数的幂方程时，两边取常用对数将其转化为一次方程是常用的代数变形技巧.
· 对于含有多个参数的对数型或指数型模型，若只需探求变量间的相对关系，常通
过代入两组数据作差或作商的方法消去无关参数.
考点三：函数模型的综合与创新应用
考法1：几何背景下的函数模型
例7.砖雕是江南古建筑雕刻中很重要的一种艺术形式，传统砖雕精致细腻、气韵生动、极
富书卷气．如图是一扇环形砖雕，可视为扇形OCD截去同心扇形OAB所得部分．已知扇环
周长为300cm，大扇形半径OD =100cm，设小扇形半径OA = xcm，∠AOB =θ弧度.
（1） 求θ关于x的函数关系式θ( x)；
（2） 若雕刻费用关于x的解析式为w( x)=10 x +1700，求砖雕面积与雕刻费用之比的最大
值．
【答案】（1）θ( x)= 100+2 x
100+ x , x∈(0,100) （2）3
【思路】结合扇形周长公式，可将圆心角转化为关于半径的函数.进一步构建面积与费用的比值表
达式，面对复杂的分式结构，借助换元法将其转化为熟悉的对勾函数形式，进而利用基本不等式
求解最大值.
【解析】（1） 由题意可知，∠AOB =θ，OA = x，OD =100，
∴弧AB =θ⋅x，AD = BC =100- x，弧DC =100θ.
扇环周长为弧AB+ AD+ BC +弧DC =θ⋅x +200-2 x +100θ =300，
解得θ = 100+2 x
100+ x ，x∈(0,100).
（2） 砖雕面积即为图中环形面积，记为S，
则S = S扇形DOC - S扇形AOB= 1
2 ⋅OD⋅弧DC - 1
2 ⋅OA ⋅弧AB
= 1
2 ×100×100θ - 1
2 ⋅x⋅θx =5000θ - θ
2 x
2=(5000- x
2
2 )⋅100+2 x
100+ x .
即雕刻面积与雕刻费用之比为m，
则m=
S
w( x) = (10000- x
2)(100+2 x)
2(100+ x)(10 x +1700) = (100- x)(50+ x)
10( x +170)
.
令t = x +170，则x =t -170，
∴m= (270-t )(t -120)
10t
=-t
2+390t -120×270
10t
=- t
10 - 12×270
t
+39
≤-2❑√
t
10 ⋅12×270
t
+39=-36+39=3，
当且仅当t =180时（即x =10）取等号.
∴砖雕面积与雕刻费用之比的最大值为3.
【规律】处理复杂的有理分式函数最值时，换元法是降次和分离常数的有效手段.将分母整体换元，
可将原函数转化为y = At + B
t +C的形式，进而利用基本不等式求解.
考法2：新定义函数模型
例8.（2025·青岛·一模）（多选）已知狄利克雷函数 D( x)={
1,
x∈Q ,
0,
x∉Q. 设函数
f ( x)= D( x)⋅sin πx，则
A. f ( x)是奇函数
B. f ( x)是周期函数
C. f ( x)的值域是[-1,1]
D. f ( x)在区间[-1,1]上的有理数零点恰有3个
【答案】ABD
【思路】紧扣狄利克雷函数的定义，分有理数和无理数两种情况讨论.结合三角函数的奇偶性、周
期性和值域，逐一验证各个选项.
【解析】对于A，D( x)的定义域为R，当x为有理数时，- x是有理数，则D(- x)= D( x)=1；当x
为无理数时，- x是无理数，则D(- x)= D( x)=0，即D( x)为偶函数.故
f (- x)=sin(- πx)⋅D(- x)=-sin πx⋅D( x)=- f ( x)，f ( x)是奇函数，故A 正确；
对于B，对于任意的整数k，当x为有理数时，x +2k也是有理数，则D( x +2k )= D( x)=1；当x为
无理数时，x +2k也是无理数，则
D( x +2k )= D( x)=0.f ( x +2k )= D( x +2k )⋅sin[ π( x +2k )]= D( x)⋅sin(πx +2kπ )= D( x)⋅sin πx = f ( x)
即函数f ( x)是周期函数，故B 正确；
对于C，函数D( x)的值域为{0,1}，当x为无理数时，f ( x)=0；当x为有理数时，f ( x)=sin πx，
由于πx不能取到一个周期内的所有实数（例如sin πx =
❑√3
2 时x无有理数解），∴f ( x)取不到
[-1,1]的全部，故C 错误；
对于D，令f ( x)= D( x)⋅sin πx =0，当x为有理数时，sin πx =0，解得x∈Z，在区间[-1,1]上有
-1,0,1这3个有理数零点，故D 正确.
故选ABD.
【规律】解决新定义函数问题，核心是剥去新定义的外衣，转化为熟悉的初等函数问题.遇到分段
特征明显的新函数，分类讨论是基本策略.
【考点三 方法总结】
· 处理复杂的有理分式函数最值时，换元法是降次和分离常数的有效手段.将分母整
体换元，可将原函数转化为y = At + B
t +C的形式，进而利用基本不等式求解.
· 解决新定义函数问题，核心是剥去新定义的外衣，转化为熟悉的初等函数问题.遇
到分段特征明显的新函数，分类讨论是基本策略.
