第13 讲 函数模型及其应用 · 综合测试（解析卷）
答案速查表
1
2
3
4
5
C
C
A
D
D
6
7
8
9
10
C
B
D
ABD
ABD
11
12
13
14
15
BCD
4
37.5
ln 2
20
（1）
y =(
k
x -2.4 +a)( x
（2）2.6
16
17
18
19
（1）432
（2）4，
112
（1）
m= 40, F(h)=9h+ 12
3h
（2）16
3 ，108
（1）S = 9- x
2
4
，
L=6- 1
2 x （2）
12-3 ❑√15
（1）
θ( x)= 100+2 x
100+ x , x∈
（2）3
1.汽车在行驶中，由于惯性，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停止，一般称这段距
离为“刹车距离”. 刹车距离是分析交通事故的一个重要依据. 在一个限速为40km/h的弯道
上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了. 事后现场勘查，
测得甲车的刹车距离略超过6 m，乙车的刹车距离略超过10 m. 已知甲车的刹车距离s m与车
速v km/h之间的关系为S甲= 1
100 v
2- 1
10 v，乙车的刹车距离s m与车速v km/h之间的关系为
s乙= 1
200 v
2- 1
20 v. 请判断甲、乙两车哪辆车有超速现象
A. 甲、乙两车均超速
B. 甲车超速但乙车未超速
C. 乙车超速但甲车未超速
D. 甲、乙两车均未超速
【答案】C
【解析】对于甲车，令1
100 v
2- 1
10 v ≈6，即v
2-10 v -600≈0，
解得v ≈-20km/h（舍）或v ≈30km/h，∴甲未超速；
对于乙车，令1
200 v
2- 1
20 v ≈10，即v
2-10 v -2000≈0，
解得v ≈- 40km/h（舍）或v ≈50km/h，∴乙超速.
故选C.
【点拨】本题考查二次函数模型在实际生活中的应用，将实际问题转化为一元二次方程求解，注
意结合限速条件进行判断.
2.下表是某批发市场的一种益智玩具的销售价格：
一次购买件数
5-10 件
11-50 件
51-100 件
101-300 件
300 件以上
每件价格
37 元
32 元
30 元
27 元
25 元
张师傅准备用2900元到该批发市场购买这种玩具，赠送给一所幼儿园，张师傅最多可买这
种玩具
A. 116件
B. 110件
C. 107件
D. 106件
【答案】C
【解析】设购买的件数为x，花费为y元，
则y ={
37 x ,
1≤x ≤10
32 x ,
11≤x ≤50
30 x ,
51≤x ≤100
27 x ,
101≤x ≤300
25 x ,
x>300
.
当x =107时，y =27×107=2889<2900；
当x =108时，y =27×108=2916>2900，
∴最多可购买这种产品107件.
故选C.
【点拨】本题考查分段函数模型的实际应用，根据表格构建分段函数模型，通过代入临界值附近
的数据进行验证即可得出结论.
3.（2025·江西稳派·5 月联考）在生物界中，部分昆虫会通过向后跳跃的方式来躲避偷袭的
天敌. 已知某类昆虫在水平方向上速度为v（单位：米/秒）时的跳跃高度H（单位：米）满
足v
2=
4 H
1- H v
2，则该类昆虫的最大跳跃高度为
A. 0.25米
B. 0.5米
C. 0.75米
D. 1米
【答案】A
【解析】由v
2=
4 H
1- H v
2可知v
2- H v
4= 4 H，
∴H =
v
2
v
4+ 4
≤
v
2
2
❑√4 v
4 = 1
4 ，当且仅当v
2=2时等号成立.
于是该类昆虫的最大跳跃高度为0.25米.
故选A.
【点拨】本题考查函数模型的应用，将等式变形为关于H的表达式，利用基本不等式求最值是处
理此类有理分式函数极值的常用手段.
4.（2025·青岛·一模）近年来，家用冰箱使用的氟化物的释放等破坏了臭氧层，臭氧含量Q
与时间t（单位：年）的关系为Q =Q0e
-
t
400，其中Q0是臭氧的初始含量.臭氧消失一半所需
要的时间约为（ln 2≈0.693，精确到1年）
A. 265年
B. 266年
C. 276年
D. 277年
【答案】D
【解析】令Q =Q0e
-
t
400 = 1
2 Q0，可得e
-
t
400 = 1
2，
两边取自然对数得-
t
400 = ln 1
2 =- ln2，
∴t = 400ln2≈400×0.693=277.2≈277.
故臭氧消失一半所需要的时间约为277年.
故选D.
【点拨】本题考查指数函数模型的实际应用，根据题意建立指数方程，利用对数的运算法则求解
未知数，注意近似计算的精度要求.
5.血氧饱和度是血液中被氧结合的氧合血红蛋白的容量占全部可结合的血红蛋白容量的百
分比，即血液中血氧的浓度，它是呼吸循环的重要生理参数. 正常人体的血氧饱和度一般
情况下不低于96 %，否则为供养不足. 在环境模拟实验室的某段时间内，可以用指数模型:
S(t )= S0e
kt描述血氧饱和度S(t )（单位%）随机给氧时间t（单位: 时）的变化规律，其中S0
为初始血氧饱和度，k为参数. 已知S0=60，给氧1小时后，血氧饱和度为70，若使血氧饱
和度达到正常值，则给氧时间至少还需要小时. （参考数据:ln5=1.61,ln6=1.79,ln7 =1.95,
ln 8=2.07）
A. 1.525
B. 1.675
C. 1.725
D. 1.875
【答案】D
【解析】由题意可得，60e
k =70，60e
kt≥96，
则k = ln 70
60 = ln7- ln6，kt ≥ln 96
60 = ln 8- ln5，
∴t ≥ln 8- ln5
ln7- ln6 = 2.07-1.61
1.95-1.79 =2.875.
则使血氧饱和度达到正常值，给氧时间至少还需要2.875-1=1.875小时.
故选D.
【点拨】本题考查指数型函数模型的应用，利用初始条件求出指数模型中的参数，再根据目标值
解指数不等式，注意最后求的是“还需要”的时间.
6.（2026·嘉兴·二模）为保护环境，某发电厂对烟气进行脱碳处理．已知初始碳排放浓度
为3.6kg/m
3，每经过一次环保设备处理，碳排放浓度会减少50 %．国家排放标准规定碳排
放浓度不得超过0.08kg/m
3，若要使该发电厂烟气排放达标，则至少需要脱碳处理的次数
为
A. 4
B. 5
C. 6
D. 7
【答案】C
【解析】设脱碳处理的次数为n，则脱碳处理n次后的碳排放浓度为3.6×0.5
n.
由题意可得3.6×0.5
n≤0.08，则(
1
2)
n
≤1
45，即2
n≥45.
由于n∈N
*，所以n的最小值为6.
故至少需要脱碳处理的次数为6.
故选C.
【点拨】本题考查指数型函数模型的应用，根据每次减少的比例构建指数衰减模型，转化为解指
数不等式问题.
7.（2026·桐乡·检测）某款新能源汽车2025 年的产量为5000辆，从2026 年开始每年不断
扩大生产规模，计划到2030 年此款汽车年产量达到10000辆，那么2025～2030 年的年平
均增长率大约为（10
0.06≈1.15,lg2≈0.30）
A. 115 %
B. 15 %
C. 30 %
D. 60 %
【答案】B
【解析】设2025～2030 年的年平均增长率为x，根据题意可得5000(1+ x)
5=10000，化简得
(1+ x)
5=2.
方程两边取常用对数得5lg(1+ x)=lg2，又lg2≈0.30，
∴lg(1+ x)≈0.06.
故1+ x ≈10
0.06≈1.15，所以x ≈15 %.
即2025～2030 年的年平均增长率大约为15 %.
故选B.
【点拨】本题考查指数增长模型的应用，建立指数增长模型N = N 0(1+ p)
n，两边取常用对数是求
解底数中未知量的有效方法.
8.异速生长规律描述生物的体重与其它生理属性之间的非线性数量关系通常以幂函数形式
表示．比如，某类动物的新陈代谢率y与其体重x满足y =k x
α，其中k和α为正常数，该类
动物某一个体在生长发育过程中，其体重增长到初始状态的16倍时，其新陈代谢率仅提高
到初始状态的8倍，则α为
A. 1
4
B. 1
2
C. 2
3
D. 3
4
【答案】D
【解析】设初始状态为( x1, y1)，则x2=16 x1，y2=8 y1.
又y1=k x1
α，y2=k x2
α，即8 y1=k(16 x1)
α =k ⋅16
α x1
α.
∴8 y1
y1
= k ⋅16
α x1
α
k x1
α
，得16
α =8，即2
4 α =2
3，解得4 α =3，α = 3
4 .
故选D.
【点拨】本题考查幂函数模型的应用，利用幂函数模型，代入两组状态的数据作商，即可消去常
数k求出指数α.
9.（2026·枣庄·一模）已知函数 f ( x)=e
x -1
e
x+1 ，则
A. f ( x)为奇函数
B. f ( x)的值域是(-1,1)
C. f ( x)有极值
D. 存在实数a,b，使得f ( x)在[a,b]上的值域为[ 1
4 a, 1
4 b]
【答案】ABD
【解析】对于A，f ( x)的定义域为R，f (- x)=e
- x -1
e
- x+1
= 1-e
x
1+e
x =- f ( x)，∴f ( x)为奇函数，故A 正
确；
对于B，f ( x)=e
x+1-2
e
x+1
=1-
2
e
x+1
，∵e
x>0，∴e
x+1>1，∴0<
2
e
x+1
<2，∴-1<1-
2
e
x+1
<1，
即f ( x)的值域是(-1,1)，故B 正确；
对于C，f
'( x)=e
x(e
x+1)-(e
x -1)e
x
(e
x+1)
2
=
2e
x
(e
x+1)
2 >0，∴f ( x)在R上单调递增，无极值，故C 错误；
对于D，∵f ( x)在R上单调递增，若f ( x)在[a,b]上的值域为[ 1
4 a, 1
4 b]，则f (a)= 1
4 a，
f (b)= 1
4 b，即a,b是方程f ( x)= 1
4 x的两个不相等的实数根.令g( x)= f ( x)- 1
4 x，则
g(- x)= f (- x)+ 1
4 x =- f ( x)+ 1
4 x =- g( x)，∴g( x)为奇函数.又g（0）=0，
g（2）= f （2）- 1
2 =e
2-1
e
2+1
- 1
2 =e
2-3
2(e
2+1)
>0，
g（3）= f （3）- 3
4 =e
3-1
e
3+1
- 3
4 =e
3-7
4(e
3+1)
>0，g（4 ）= f （4 ）-1=e
4-1
e
4+1
-1<0，由零点
存在性定理知，g( x)在(0,+∞)上至少有一个零点，设为b，由奇函数性质知-b也是g( x)的零点，
设为a，则存在实数a,b，使得f ( x)在[a,b]上的值域为[ 1
4 a, 1
4 b]，故D 正确.
故选ABD.
【点拨】本题考查函数的奇偶性、值域、单调性及零点存在性定理的综合应用.利用分离常数法求
函数值域，通过求导判断单调性，将值域区间问题转化为方程同解问题，结合零点存在性定理进
行判断.
10.（2025·青岛·一模）已知狄利克雷函数 D( x)={
1,
x∈Q ,
0,
x∉Q. 设函数 f ( x)= D( x)⋅sin πx，
则
A. f ( x)是奇函数
B. f ( x)是周期函数
C. f ( x)的值域是[-1,1]
D. f ( x)在区间[-1,1]上的有理数零点恰
有3个
【答案】ABD
【解析】对于A，D( x)的定义域为R，当x为有理数时，- x是有理数，则D(- x)= D( x)=1；当x
为无理数时，- x是无理数，则D(- x)= D( x)=0，即D( x)为偶函数.故
f (- x)=sin(- πx)⋅D(- x)=-sin πx⋅D( x)=- f ( x)，f ( x)是奇函数，故A 正确；
对于B，对于任意的整数k，当x为有理数时，x +2k也是有理数，则D( x +2k )= D( x)=1；当x为
无理数时，x +2k也是无理数，则
D( x +2k )= D( x)=0.f ( x +2k )= D( x +2k )⋅sin[ π( x +2k )]= D( x)⋅sin(πx +2kπ )= D( x)⋅sin πx = f ( x)
即函数f ( x)是周期函数，故B 正确；
对于C，函数D( x)的值域为{0,1}，当x为无理数时，f ( x)=0；当x为有理数时，f ( x)=sin πx，
由于πx不能取到一个周期内的所有实数（例如sin πx =
❑√3
2 时x无有理数解），∴f ( x)取不到
[-1,1]的全部，故C 错误；
对于D，令f ( x)= D( x)⋅sin πx =0，当x为有理数时，sin πx =0，解得x∈Z，在区间[-1,1]上有
-1,0,1这3个有理数零点，故D 正确.
故选ABD.
【点拨】本题考查新定义函数（狄利克雷函数）的性质，理解狄利克雷函数的定义及奇偶性、周
期性，结合三角函数的性质进行综合分析是解题关键.
11.（2025·江西稳派·5 月联考）已知函数 f ( x)=e
ax - ln( x +1)(a>0)，且
A( x1, y1),B( x2, y2) 为曲线 y = f ( x) 上不同的两点，则
A. a=2时，曲线y = f ( x)在x =0处的切线方程为x + y -1=0
B. a=1时，f ( x)有最小值1
C. 若A ,B关于点(0,b)对称，则b∈(1,+ ∞)
D. 若A ,B关于点(0,b)对称，且( x1- x2)( y1- y2)≤0恒成立，则a∈(0,1]
【答案】BCD
【解析】对于A，当a=2时，f ( x)=e
2 x - ln( x +1)，f （0）=1，f
'( x)=2e
2 x -
1
x +1，
f
'（0）=1，故曲线y = f ( x)在x =0处的切线方程为y -1=1⋅( x -0)，即x - y +1=0，故A 错误；
对于B，当a=1时，f
'( x)=e
x-
1
x +1，记g( x)= f
'( x)，则g
'( x)=e
x+
1
( x +1)
2 >0，∴f
'( x)在
(-1,+ ∞)上单调递增.又f
'（0）=0，∴f
'( x)在(-1,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增，故
f ( x)有最小值f （0）=1，故B 正确；
对于C，由题意可得x1+ x2=0，由对称性不妨设x1=t ∈(0,1)，则x2=-t.又f ( x1)+ f ( x2)=2b，
即e
at +e
-at - ln(1-t
2)=2b.记F(t )=e
at +e
-at - ln(1-t
2)，则F
'(t )=a(e
at -e
-at)+ 2t
1-t
2，
∵t ∈(0,1)，a>0，∴e
at>1>e
-at，∴F
'(t )>0，∴F(t )在区间(0,1)上单调递增，
∴2b> F （0）=2，即b>1.下面证明，b∈(1,+∞)，即证∀b∈(1,+ ∞)，F(t )=2b有解.记
G(t )= F(t )-2b，则G（0）=2-2b<0，取t1=
❑√1-e
-2b，则G(t1)>- ln[1-(1-e
-2b)]-2b=0，
∴∃t2∈(0,t1)，使得G(t2)=0，∴b∈(1,+ ∞)，故C 正确；
对于D，由题意可转化为2t [ f (t )- f (-t )]≤0，即f (t )- f (-t )≤0.记h(t )= f (t )- f (-t )，则
h(t )=e
at -e
-at - ln(
1+t
1-t)，h（0）=0，h
'(t )=a(e
at +e
-at)-
2
1-t
2，h
'（0）=2a-2.设
m( x)=e
x - x -1(-1< x <1)，则m
'( x)=e
x -1，∴m( x)在区间(-1,0)上单调递减，在区间(0,1)上
单调递增，∴m( x)≥m（0）=0，即e
x≥x +1，即e
- x≥1- x，故e
x≤
1
1- x ，当且仅当x =0时取等
号.若0<a≤1，则h
'(t )≤e
at +e
-at -
2
1-t
2 ≤e
t +e
-t -
2
1-t
2 ≤1
1-t + 1
1+t -
2
1-t
2 =0，∴h(t )在区间
(0,1)上单调递减，∴h(t )<h（0）=0，符合题意.若a>1，t ∈(0,❑√1- 1
a)时，
h
'(t )>2a-
2
1-t
2 >0，∴h(t )在区间(0,❑√1- 1
a)上单调递增，∴h(
❑√1- 1
a)>h（0）=0，不符合
题意.综上所述，a∈(0,1]，故D 正确.
故选BCD.
【点拨】本题考查利用导数研究函数的切线、单调性与极值，处理对称性问题时转化为构造新函
数，结合放缩法（如e
x≥x +1）证明不等式是解决压轴选项的有效途径.
12.某驾驶员喝酒后血液中的酒精含量f ( x)（毫克/毫升）随时间x（小时）变化的规律近似
满足表达式f ( x)={
5
x -2,
0≤x ≤1
3
5 ⋅(
1
3)
x
,
x>1 ，《酒后驾车与醉酒驾车的标准及相应处罚》规定：
驾驶员血液中酒精含量不得超过0.02毫克/毫升此驾驶员至少要过小时后才能开车＿＿＿＿
＿＿.（精确到1小时）
【答案】4
【解析】当0≤x ≤1时，由f ( x)≤0.02得5
x -2≤0.02，
解得x ≤2+ log50.02= log50.5<0，舍去；
当x>1时，由f ( x)≤0.02得3
5 ⋅(
1
3)
x
≤0.02，即3
1- x≤0.1，
解得x ≥1- log30.1=1+ log310.
∵3<1+ log310<4，∴此驾驶员至少要过4小时后才能开车.
【点拨】本题考查分段函数模型的应用，分段解指数不等式，利用对数的性质估算数值范围.
13.网店和实体店各有利弊，两者的结合将在未来一段时期内，成为商业的一个主要发展
方向. 某品牌行车记录仪支架销售公司从2018 年1 月起开展网络销售与实体店体验安装结
合的销售模式. 根据几个月运营发现，产品的月销量x万件与投入实体店体验安装的费用t
万元之间满足函数关系式x =3- 2
t +1. 已知网店每月固定的各种费用支出为3万元，产品每1
万件进货价格为32万元，若每件产品的售价定为“进货价的150 %”与“平均每件产品的实
体店体验安装费用的一半”之和，则该公司最大月利润是＿＿＿＿＿＿万元.
【答案】37.5
【解析】根据题意，得到t =
2
3- x -1(1< x<3)，
∴月利润为
y =(32×1.5+ t
2 x)x -32 x -3-t =16 x - t
2 -3=16 x -
1
3- x - 5
2 = 45.5-[16(3- x)+
1
3- x]≤45.5-2❑√16=37.5
当且仅当16(3- x)=
1
3- x 时，即x = 11
4 时取等号，
即月最低利润为37.5万元.
【点拨】本题考查函数模型的实际应用，根据题意构建利润函数，将变量统一后利用基本不等式
求最值.
14.牛顿曾经提出了常温环境下的温度冷却模型：θ =(θ1-θ0)e
-kt +θ0，其中t为时间（单位：
min），θ0为环境温度，θ1为物体初始温度，θ为冷却后温度，假设在室内温度为20
∘C的情
况下，一桶咖啡由100
∘C降低到60
∘C需要20 min. 则k的值为＿＿＿＿＿＿.
【答案】ln 2
20
【解析】由题意，把θ0=20，θ1=100，θ =60，t =20代入θ =(θ1-θ0)e
-kt +θ0中，
得80e
-20k +20=60，∴e
-20k = 1
2，
∴-20k =- ln2，解得k = ln 2
20 .
【点拨】本题考查指数型函数模型的应用，将已知数据代入给定的指数衰减模型，解指数方程即
可.
15.（13 分）（2026·合肥一六八中·一模）某地区上年度天然气价格为2.8元/m
3，年用气量
为a m
3. 本年度计划将天然气单价下调到2.55元/m
3至2.75元/m
3之间. 用户期望天然气单价为
2.4元/m
3，经调查测算，下调单价后新增用气量和实际单价与用户的期望单价的差成反比
（比例系数为k）. 已知该地区天然气的成本价为2.3元/m
3.
（1） 写出本年度天然气价格下调后燃气公司的收益y（单位:元）关于实际单价x（单位:
元/m
3）的函数解析式；（收益=实际用气量×(实际单价-成本价)）
（2） 设k =0.2a，当天然气单价最低定为多少时，仍可保证燃气公司的收益比上年度至少
增加20 %？
【答案】（1）y =(
k
x -2.4 +a)( x -2.3) （2）2.6
【解析】（1） 设下调后的天然气单价为x元/m
3，
则燃气公司的收益y =(
k
x -2.4 +a)( x -2.3), x∈[2.55,2.75]；.....................................................5 分
（2） 由题意可知要同时满足以下条件：
{(
0.2a
x -2.4 +a)( x -2.3)≥1.2a(2.8-2.3)
2.55≤x ≤2.75
，........................................................................................10 分
解得2.6≤x ≤2.75，即天然气单价最低定为2.6元/m
3.......................................................................13 分
【点拨】本题考查函数模型的实际应用，关键是理清题意，根据“收益=实际用气量×(实际单价-
成本价)”列出函数关系式，并解对应的不等式组.
16.（17 分）（2026·合肥一六八中·一模）城市地铁可为市民出行带来便利，提升城市形象，
更是一张亮丽的城市名片. 安徽省合肥市于2016 年开通了地铁1 号线，该条线路通车后，
列车的发车时间间隔t（单位:分钟）满足3≤t ≤20，经市场调研测算，列车载客量与发车时
间间隔t相关，当3≤t ≤10时，载客量会逐渐增加，载客量与(10-t )
2成一次函数关系，且发
车时间间隔为3分钟时的载客量为333人，当10≤t ≤20时，列车为满载状态，载客量为480
人，记列车载客量为S(t ).
（1） 求S(t )的表达式，并求当发车时间间隔为6分钟时，列车的载客量；
（2） 若该线路每分钟的净收益为:M (t )= 4 S(t )-32t -912
t
（元），问当发车时间间隔为
多少时，该线路每分钟的净收益最大，并求出最大值.
【答案】（1）432 （2）4，112
【解析】（1） 由题设，当3≤t ≤10时，令S(t )=k(10-t )
2+b，又发车时间间隔为3分钟时的载
客量为333人，10分钟时的载客量为480人，
∴{
333=k(10-3)
2+b
480=k(10-10)
2+b
⇒{
k =-3
b= 480，
∴S(t )=-3(10-t )
2+ 480=-3t
2+60t +180；...................................................................................3 分
当10≤t ≤20时，S(t )= 480，
∴S(t )={
-3t
2+60t +180,
3≤t <10
480,
10≤t ≤20；...........................................................................................6 分
故t =6时，S（6）=-3×6
2+60×6+180= 432，
所以当发车时间间隔为6分钟时，列车的载客量为432人；..............................................................8 分
（2） 因为M (t )= 4 S(t )-32t -912
t
，
所以由（1）可得：M (t )={
208-(12t + 192
t ),
3≤t <10
1008
t
-32,
10≤t ≤20
；......................................................10 分
当3≤t <10时，M (t )=208-(12t + 192
t )≤208-2❑√12t ⋅192
t
=208-96=112，
当且仅当t = 4等号成立，
则3≤t <10时，M (t )max = M （4 ）=112（元）；.........................................................................13 分
当10≤t ≤20时，M (t )= 1008
t
-32在t ∈[10,20]递减，
则M (t )max = M （10）=100.8-32=68.8（元）；.......................................................................15 分
综上，发车时间间隔为4分钟时，该线路每分钟的净收益最大为112元........................................17 分
【点拨】本题考查分段函数模型的建立与最值求解.第一问利用待定系数法求出二次函数解析式；
第二问将分段函数代入收益公式，利用基本不等式和单调性分别求出各段的最大值再比较.
17.（15 分）能源是国家的命脉，降低能源消耗费用是重要抓手之一，为此，某市对新建
住宅的屋顶和外墙都要求建造隔热层. 某建筑物准备建造可以使用30年的隔热层，据当年
的物价，每厘米厚的隔热层造价成本是9万元人民币. 又根据建筑公司的前期研究得到，该
建筑物30年间的每年的能源消耗费用N（单位：万元）与隔热层厚度h（单位：厘米）满
足关系：N (h)=
m
3h+ 4 (0≤h≤10)，经测算知道，如果不建隔热层，那么30年间的每年的
能源消耗费用为10万元人民币. 设F(h)为隔热层的建造费用与共30年的能源消耗费用总和，
求使F(h)达到最小值时，隔热层厚度h的值.
【答案】（1）m= 40, F(h)=9h+ 1200
3h+ 4 （2）16
3 ，108
【解析】（1） 由题意得，当h=0时，N （0）= m
4 =10，解得m= 40；....................................3 分
又F(h)=9h+30× N (h)=9h+30×
40
3h+ 4 (0≤h≤10)；................................................................7 分
（2） F(h)=9h+ 1200
3h+ 4 =3(3h+ 4)+ 1200
3h+ 4 -12；.....................................................................10 分
≥2❑√3(3h+ 4)× 1200
3h+ 4 -12=108，..................................................................................................13 分
当且仅当3(3h+ 4)= 1200
3h+ 4 ，即h= 16
3 时，等号成立.
所以当隔热层厚度h为16
3 厘米时，总费用F(h)达到最小，最小值为108万元.............................15 分
【点拨】本题考查函数模型在实际生活中的应用.通过代入初始条件求出待定系数，再构建总费用
函数，利用基本不等式求出最小值.
18.（15 分）迷你KTV 是一类新型的娱乐设施，外形通常是由玻璃墙分隔成的类似电话亭
的小房间，近几年投放在各大城市商场中，受到年轻人的欢迎．如图是某间迷你KTV 的
横截面示意图，其中AB = AE = 3
2，∠A =∠B =∠E =90
∘，曲线段CD是圆心角为90
∘的圆弧，
设该迷你KTV 横截面的面积为S，周长为L，求S
L的最大值.（本题中取π =3进行计算）
【答案】（1）S = 9- x
2
4
，L=6- 1
2 x （2）12-3 ❑√15
【解析】（1） 设圆弧的半径为x(0< x ≤3
2)，根据题意可得：BC = DE = AB - x = 3
2 - x.
S = AE⋅DE +( AB - DE)⋅( AE - x)+ 1
4 π x
2= 3
2 ×(
3
2 - x)+(
3
2 - x)x + 9
4 - x
2+ π x
2
4 ....................4 分
L=2 AB+ BC + DE + 2πx
4 =6-2 x + πx
2 .
∵π =3，∴S = 9- x
2
4
，L=6- 1
2 x.........................................................................................................8 分
（2） S
L = 9- x
2
24 -2 x .令t =24 -2 x(21≤t <24)，则x = 24 -t
2
，........................................................12 分
∴S
L =
9-(
24 -t
2 )
2
t
=-(
t
4 + 135
t )+12.
根据基本不等式，t
4 + 135
t
≥2❑√
135
4 =3 ❑√15，当且仅当t
4 = 135
t
，即t =6 ❑√15时取“=”.
6 ❑√15∈[21,24)，∴t =6 ❑√15时，(
S
L)max
=12-3 ❑√15..................................................................15 分
【点拨】本题考查几何图形面积与周长的计算及基本不等式求最值.关键是正确表示出面积和周长，
再通过换元法将分式转化为可利用基本不等式的形式.
19.（17 分）砖雕是江南古建筑雕刻中很重要的一种艺术形式，传统砖雕精致细腻、气韵
生动、极富书卷气．如图是一扇环形砖雕，可视为扇形OCD截去同心扇形OAB所得部分．
已知扇环周长为300cm，大扇形半径OD =100cm，设小扇形半径OA = xcm，∠AOB =θ弧度.
（1） 求θ关于x的函数关系式θ( x)；
（2） 若雕刻费用关于x的解析式为w( x)=10 x +1700，求砖雕面积与雕刻费用之比的最大
值．
【答案】（1）θ( x)= 100+2 x
100+ x , x∈(0,100) （2）3
【解析】（1） 由题意可知，∠AOB =θ，OA = x，OD =100，
∴弧AB =θ⋅x，AD = BC =100- x，弧DC =100θ............................................................................3 分
扇环周长为弧AB+ AD+ BC +弧DC =θ⋅x +200-2 x +100θ =300，
解得θ = 100+2 x
100+ x ，x∈(0,100)...........................................................................................................6 分
（2） 砖雕面积即为图中环形面积，记为S，
则S = S扇形DOC - S扇形AOB= 1
2 ⋅OD⋅弧DC - 1
2 ⋅OA ⋅弧AB
= 1
2 ×100×100θ - 1
2 ⋅x⋅θx =5000θ - θ
2 x
2=(5000- x
2
2 )⋅100+2 x
100+ x .............................................9 分
即雕刻面积与雕刻费用之比为m，
则m=
S
w( x) = (10000- x
2)(100+2 x)
2(100+ x)(10 x +1700) = (100- x)(50+ x)
10( x +170)
............................................................12 分
令t = x +170，则x =t -170，
∴m= (270-t )(t -120)
10t
=-t
2+390t -120×270
10t
=- t
10 - 12×270
t
+39
≤-2❑√
t
10 ⋅12×270
t
+39=-36+39=3，.........................................................................................15 分
当且仅当t =180时（即x =10）取等号.
所以砖雕面积与雕刻费用之比的最大值为3......................................................................................17 分
【点拨】本题考查扇形弧长与面积公式的应用以及基本不等式求最值.通过换元法将分式转化为
“对勾函数”形式是求最值的关键.
