第13 讲指数函数与对数函数
（知识清单+7 典例精讲+6 方法技巧+分层训练）
近3 年考查情况
题型
分值
指数对数大小比较、对数运算性质loga MN = loga M + loga N、函数定点
(1,0)
单选、填空
题
5 分
对数函数单调性、对数不等式求解log2 ( x−1)<1
单选、多选
题
5 分/6 分
复合指数函数y =2
x
2−2 x单调区间与最值
填空题
5 分
指对幂综合比大小：a=2
0.1,b= log2 0.1,c =0.1
2
单选题
5 分
对数换底公式loga b= ln b
ln a化简求值
单选、解答
题
5 分/10 分
指数型偶函数判定f ( x)=a
x+a
−x
单选题
5 分
复合对数函数y = log0.5 ( x
2−1)定义域、单调性判断
单选题
5 分
指数不等式求解2
x +1>4
x−1，同底转化单调性
单选题
5 分
【知识点01】根式
(1)一般地,如果xn＝a,那么x 叫做a 的n 次方根,其中n>1,且n∈N*.
(2)式子n√a叫做根式,这里n 叫做根指数,a 叫做被开方数.
(3)(n√a)n＝a.
当n 为奇数时,
n√a
n＝a,
当n 为偶数时,
n√a
n＝|a|＝{
a,a≥0,
−a,a<0.
【例1】化简下列根式：（1）(
3√−5)
3；（2）
4√(−2)
4
【知识点02】分数指数幂
正数的正分数指数幂：a
m
n ＝
n√a
m(a>0,m,n∈N*,n>1).
正数的负分数指数幂：a
−m
n ＝1
a
m
n
＝1
n√a
m(a>0,m,n∈N*,n>1).
0 的正分数指数幂等于0,0 的负分数指数幂没有意义.
【例2】将下列根式化为分数指数幂：（1）
5√a
3；（2）1
❑√a
【知识点03】指数幂的运算性质
aras＝a r ＋ s ；(ar)s＝a rs ；(ab)r＝a r b r (a>0,b>0,r,s∈R).
【例3】化简a
1
2 ⋅a
2
3 ÷ a
1
6
【知识点04】对数的概念
一般地,如果ax＝N(a>0,且a≠1),那么数x 叫做以a 为底N 的对数,记作x＝logaN,其中a 叫做对数的底数,N 叫做真数.
以10 为底的对数叫做常用对数,记作lg
N .
以e 为底的对数叫做自然对数,记作ln
N .
【例4】将指数式化为对数式：（1）3
4=81；（2）2
−3= 1
8
【知识点05】对数的性质与运算性质
(1)对数的性质：loga1＝0,logaa＝1,a
lo ga N＝N(a>0,且a≠1,N>0).
(2)对数的运算性质
如果a>0,且a≠1,M>0,N>0,那么：
①loga(MN)＝logaM
＋
log
aN；
②loga M
N ＝logaM
－
log
aN；
③logaMn＝n log
aM(n∈R).
(3)对数换底公式：logab＝lo gcb
lo gc a(a>0,且a≠1；b>0；c>0,且c≠1).
【例5】计算log6 12+ log6 3−log6 6
【知识点06】指数函数及其性质
(1)概念：一般地,函数y＝ax(a>0,且a≠1)叫做指数函数,其中指数x 是自变量,定义域是R.
(2)指数函数的图象与性质
a>1
0<a<1
图象
定义域
R
值域
(0,
＋
∞
)
性质
过定点(0,1),即x＝0 时,y＝1
当x>0 时,y >1
；
当x<0 时,0<
y <1
当x<0 时,y >1
；
当x>0 时,0<
y <1
增函数
减函数
【例6】比较大小：1.8
0.5与1.8
0.3
【知识点07】对数函数的图象与性质
a>1
0<a<1
图象
定义域
(0,
＋
∞
)
值域
R
性质
过定点(1,0),即x＝1 时,y＝0
当x>1 时,y >0
；
当0<x<1 时,y <0
当x>1 时,y <0
；
当0<x<1 时,y >0
增函数
减函数
【例7】求y = log2 ( x−2)的定义域与单调区间
【知识点08】反函数
指数函数y＝ax(a>0,且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0,且a≠1)互为反函数,它们的图象关于直线y ＝
x 对称.
【例8】已知指数函数y =3
x过点(2,9)，求其反函数所过定点，并写出反函数解析式。
【题型一】根式与指数幂化简求值
【例1】（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）已知集合
，
，若
，则
（ ）
A．
B．2
C．
D．1
【变式1】（2026·陕西榆林·三模）已知实数
且
，
，函数
，若
，则
（ ）
A．
B．2
C．
D．3
【变式2】（2026·山西临汾·二模）已知
（
，且
），则
______．
【变式3】（2026·陕西安康·三模）若
，则
___________．（用m，n 表示）
【题型二】对数式化简与求值
【例1】（2026·河南·模拟预测）
（ ）
A．1
B．
C．
D．2
【变式1】（2026·甘肃武威·模拟预测）已知函数
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】（2026·山东泰安·模拟预测）已知
，
，则
__________．
【变式3】（2026·安徽合肥·模拟预测）已知
，则
______．
【题型三】指数、对数函数定义域求解
【例3】（2025·黑龙江·二模）已知命题
；命题
，则（ ）
A．
和
都是真命题
B．
和
都是真命题
C．
和
都是真命题
D．
和
都是真命题
【变式1】（多选）（2024·广东·模拟预测）已知函数
，则（ ）
A．当
时，
的定义域为R
B．
一定存在最小值
C．
的图象关于直线
对称
D．当
时，
的值域为R
【变式2】（2026·贵州毕节·一模）函数
的定义域为__________.
【变式3】（2025·湖北恩施·模拟预测）若函数
定义域为
，则a 的取值范围是________.
【题型四】指数函数、对数函数的值域
【例4】（2025·甘肃武威·模拟预测）如图所示的函数图象对应的函数解析式可能为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】（多选）（2026·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知函数
，设
且
，下列说法正
确的有（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】（2025·贵州·二模）已知函数
（
）的图象经过点
，
．若
，
则
______．
【变式3】（2025·陕西西安·一模）已知函数
，且函数
的图象与
的图象关于直线
对
称.
(1)求
的解析式；
(2)证明：
.
【题型五】由指数函数、对数函数的单调性解不等式
【例5】（2026·四川眉山·模拟预测）已知集合
，集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】（多选）（2025·湖北孝感·三模）已知函数
在区间
上单调递增，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】（2025·福建宁德·三模）设函数
，则满足
的
的取值范围是__________.
【变式3】（2025·河北张家口·模拟预测）已知奇函数
（
）.
(1)求a 的值；
(2)若对于任意的
，不等式
恒成立，求m 的取值范围.
【题型六】比较指数幂、对数式的大小
【例6】（2026·云南·模拟预测）已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】（2026·山东临沂·二模）已知实数x，y，z 满足
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】（2024·河北衡水·模拟预测）已知
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3】（2024·全国·模拟预测）已知命题“对于
，
”为真命题，写出符合条件的
的一个
值：______．
【题型七】反函数问题
【例7】（2026·广东广州·二模）若函数
的图象与
的图象关于直线
对称，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．9
【变式1】（2025·辽宁鞍山·一模）函数
的反函数是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】（多选）（2024·湖南怀化·二模）已知函数
的零点为
的零点为
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3】（2025·陕西宝鸡·二模）已知
分别是函数
，
的零点，则
的
值为________.
【解题大招01】指数、对数式快速化简技巧
技巧原理：所有根式、负指数、分数指数统一化为幂形式，对数优先统一底数，利用运算公式合并，杜绝分步
出错。
核心公式：
a
m⋅a
n=a
m+n, a
m
a
n =a
m−n,loga M + loga N = loga ( MN )
【例1】计算 log4 8+
4√16
3
【解题大招02】指对函数定义域秒杀技巧
技巧口诀：对数真数必大于0，底数大于0 且不为1，分母不为0，根式非负，多重限制联立求解。
【例2】求 f ( x)=
1
log2 ( x−1) 的定义域
【解题大招03】复合函数单调性“同增异减”秒杀法
技巧原理：设复合函数y = f (g( x))，内外层单调性相同则增，相反则减，必须优先求定义域。
单层单调性：a>1，y =a
x、y = loga x 递增；0<a<1，y =a
x、y = loga x 递减。
【例3】求 y = log 1
2
( x
2−4 x) 的单调区间
【解题大招04】指对幂数值大小比较
解题套路：找中间量 0、1 分层，先分层再精细对比。
1. 指数：a>1 底数大则值大；0<a<1 底数大则值小；
2. 对数：loga x>0( x>1),loga x<0(0< x<1)。
【例4】比较 a=3
0.2,b= log3 0.2,c =0.2
3 大小
【解题大招05】指数、对数不等式通用解法
核心规则：同底函数单调性脱壳，a>1不等号不变，0<a<1不等号反向，对数必须保留真数大于0。
【例5】解不等式 2
2 x−1>2
x +3
【解题大招06】反函数性质秒杀技巧
核心结论：y =a
x与 y = loga x 互为反函数，图象关于 y = x 对称；原函数点(m,n)，反函数必过(n,m)。
【例6】已知 y =2
x 过点 (3,8)，求其反函数定点。
【基础过关】（共8 题）
一、单选题
1．（2026·甘肃兰州·模拟预测）记
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2026·山西·二模）集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2026·河北保定·三模）已知集合
，
，则
的非空真子集的个数为（ ）
A．0
B．2
C．4
D．6
二、多选题
4．（2025·河北保定·二模）若函数
，则（ ）
A．
为减函数
B．
C．
的值域为
D．
三、填空题
5．（2026·浙江绍兴·模拟预测）已知
，则
__________．
6．（2026·云南·模拟预测）已知
，则
_______．
四、解答题
7．（2024·山东·模拟预测）计算：
(1)
；
(2)
8．（2024·广东肇庆·一模）已知函数
（其中
，
为常量，且
，
，
）的图象经过点
，
．
(1)求
，
的值
(2)若关于
的不等式
在
上有解，求
的取值范围．
【拔高选练】（共6 题）
一、单选题
1．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知集合
，集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2026·山东德州·模拟预测）在人工智能的图象识别算法优化过程中，模型的准确率提升倍数
与训练数据量
（单位：
）的关系式为
，其中
为常数.当训练数据量为
时，模型的准确率提升倍数为22.5.当准
确率提升倍数
达到135 时，模型在识别复杂图象时能达到极高的准确率，要想达到此标准，应该选择的训练数据量
约为（ ）（参考数据：
）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
3．（2026·安徽合肥·模拟预测）已知函数
，则（ ）
A．
是奇函数
B．
C．
在区间
上单调递增
D．
三、填空题
4．（2026·江苏·模拟预测）已知
两点在函数
的图象上，
两点在函数
的图象
上，且
平行于
轴，
和
平行于
轴.若线段
的长度是线段
长度的12 倍，则线段
长度为
__________.
四、解答题
5．（2025·山西吕梁·模拟预测）已知函数
．
(1)若
是偶函数，求实数
的值；
(2)解不等式
．
6．（2025·四川·模拟预测）已知函数
．
(1)若函数
有最大值为1，求
的值；
(2)对于
，使得
，求实数
的取值范围．
【错题复盘】（共5 题）
一、单选题
1．（2026·辽宁·三模）设
，
，
，则
，
，的大小关系为（ ）
2．（2026·陕西渭南·三模）若
，
，则“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
二、多选题
3．（2026·黑龙江哈尔滨·二模）以下运算正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
三、填空题
4．（2026·山东威海·二模）已知函数
为偶函数，则
________．
四、解答题
5．（2025·福建漳州·一模）已知函数
，
，
(1)当
时，设函数
的图象、
的图象与函数
的图象的交点分别为P，Q，求线段PQ 中点M 的坐标.
(2)若
对
恒成立，求实数k 的取值范围.
(3)若函数
至少有两个相异的零点，求整数k 的最大值.【答案】(1)
