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第13 讲 函数模型及其应用·综合测试
（考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分）
注意事项
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需
改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写
在本试卷上无效.
3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4. 适用地区：广东、江苏、浙江、山东、江西、河南、河北、安徽、福建、湖南、湖北.
一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
1.汽车在行驶中，由于惯性，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停止，一般称这段距
离为“刹车距离”. 刹车距离是分析交通事故的一个重要依据. 在一个限速为40km/h的弯道
上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了. 事后现场勘查，
测得甲车的刹车距离略超过6 m，乙车的刹车距离略超过10 m. 已知甲车的刹车距离s m与车
速v km/h之间的关系为S甲= 1
100 v
2- 1
10 v，乙车的刹车距离s m与车速v km/h之间的关系为
s乙= 1
200 v
2- 1
20 v. 请判断甲、乙两车哪辆车有超速现象（ ）
A. 甲、乙两车均超速
B. 甲车超速但乙车未超速
C. 乙车超速但甲车未超速
D. 甲、乙两车均未超速
2.下表是某批发市场的一种益智玩具的销售价格：
一次购买件数
5-10 件
11-50 件
51-100 件
101-300 件
300 件以上
每件价格
37 元
32 元
30 元
27 元
25 元
张师傅准备用2900元到该批发市场购买这种玩具，赠送给一所幼儿园，张师傅最多可买这
种玩具（ ）
A. 116件
B. 110件
C. 107件
D. 106件
3.（2025·江西稳派·5 月联考）在生物界中，部分昆虫会通过向后跳跃的方式来躲避偷袭的
天敌. 已知某类昆虫在水平方向上速度为v（单位：米/秒）时的跳跃高度H（单位：米）满
足v
2=
4 H
1- H v
2，则该类昆虫的最大跳跃高度为（ ）
A. 0.25米
B. 0.5米
C. 0.75米
D. 1米
4.（2025·山东青岛·一模）近年来，家用冰箱使用的氟化物的释放等破坏了臭氧层，臭氧
含量Q与时间t（单位：年）的关系为Q =Q0e
-
t
400，其中Q0是臭氧的初始含量.臭氧消失一半
所需要的时间约为（ ）（ln2≈0.693，精确到1年）
A. 265年
B. 266年
C. 276年
D. 277年
5.血氧饱和度是血液中被氧结合的氧合血红蛋白的容量占全部可结合的血红蛋白容量的百
分比，即血液中血氧的浓度，它是呼吸循环的重要生理参数. 正常人体的血氧饱和度一般
情况下不低于96 %，否则为供养不足. 在环境模拟实验室的某段时间内，可以用指数模型:
S(t )= S0e
kt描述血氧饱和度S(t )（单位%）随机给氧时间t（单位: 时）的变化规律，其中S0
为初始血氧饱和度，k为参数. 已知S0=60，给氧1小时后，血氧饱和度为70，若使血氧饱
和度达到正常值，则给氧时间至少还需要（ ）小时. （参考数据:ln5=1.61,ln 6=1.79,
ln7 =1.95,ln 8=2.07）
A. 1.525
B. 1.675
C. 1.725
D. 1.875
6.（2026·浙江嘉兴·二模）为保护环境，某发电厂对烟气进行脱碳处理．已知初始碳排放
浓度为3.6kg/m
3，每经过一次环保设备处理，碳排放浓度会减少50 %．国家排放标准规定
碳排放浓度不得超过0.08kg/m
3，若要使该发电厂烟气排放达标，则至少需要脱碳处理的
次数为（ ）
A. 4
B. 5
C. 6
D. 7
7.（2026·浙江桐乡·检测）某款新能源汽车2025 年的产量为5000辆，从2026 年开始每年
不断扩大生产规模，计划到2030 年此款汽车年产量达到10000辆，那么2025～2030 年的
年平均增长率大约为（ ）
（10
0.06≈1.15,lg2≈0.30）
A. 115 %
B. 15 %
C. 30 %
D. 60 %
8.异速生长规律描述生物的体重与其它生理属性之间的非线性数量关系通常以幂函数形式
表示．比如，某类动物的新陈代谢率y与其体重x满足y =k x
α，其中k和α为正常数，该类
动物某一个体在生长发育过程中，其体重增长到初始状态的16倍时，其新陈代谢率仅提高
到初始状态的8倍，则α为（ ）
A. 1
4
B. 1
2
C. 2
3
D. 3
4
二、选择题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分.在每小题给出的四个选项中，有多项
符合题目要求.全部选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错得0 分.
9.（2026·山东枣庄·一模）已知函数 f ( x)=e
x -1
e
x+1 ，则（ ）
A. f ( x)为奇函数
B. f ( x)的值域是(-1,1)
C. f ( x)有极值
D. 存在实数a,b，使得f ( x)在[a,b]上的值域为[ 1
4 a, 1
4 b]
10.（2025·山东青岛·一模）已知狄利克雷函数 D( x)={
1,
x∈Q ,
0,
x∉Q. 设函数
f ( x)= D( x)⋅sin πx，则（ ）
A. f ( x)是奇函数
B. f ( x)是周期函数
C. f ( x)的值域是[-1,1]
D. f ( x)在区间[-1,1]上的有理数零点恰
有3个
11.（2025·江西稳派·5 月联考）已知函数 f ( x)=e
ax- ln( x +1)(a>0)，且
A( x1, y1),B( x2, y2) 为曲线 y = f ( x) 上不同的两点，则（ ）
A. a=2时，曲线y = f ( x)在x =0处的切线方程为x + y -1=0
B. a=1时，f ( x)有最小值1
C. 若A ,B关于点(0,b)对称，则b∈(1,+ ∞)
D. 若A ,B关于点(0,b)对称，且( x1- x2)( y1- y2)≤0恒成立，则a∈(0,1]
三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分.
12.某驾驶员喝酒后血液中的酒精含量f ( x)（毫克/毫升）随时间x（小时）变化的规律近似
满足表达式f ( x)={
5
x -2,
0≤x ≤1
3
5 ⋅(
1
3)
x
,
x>1 ，《酒后驾车与醉酒驾车的标准及相应处罚》规定：
驾驶员血液中酒精含量不得超过0.02毫克/毫升此驾驶员至少要过小时后才能开车＿＿＿＿
＿＿.（精确到1小时）
13.网店和实体店各有利弊，两者的结合将在未来一段时期内，成为商业的一个主要发展
方向. 某品牌行车记录仪支架销售公司从2018 年1 月起开展网络销售与实体店体验安装结
合的销售模式. 根据几个月运营发现，产品的月销量x万件与投入实体店体验安装的费用t
万元之间满足函数关系式x =3- 2
t +1. 已知网店每月固定的各种费用支出为3万元，产品每1
万件进货价格为32万元，若每件产品的售价定为“进货价的150 %”与“平均每件产品的实
体店体验安装费用的一半”之和，则该公司最大月利润是＿＿＿＿＿＿万元.
14.牛顿曾经提出了常温环境下的温度冷却模型：θ =(θ1-θ0)e
-kt +θ0，其中t为时间（单位：
min），θ0为环境温度，θ1为物体初始温度，θ为冷却后温度，假设在室内温度为20
∘C的情
况下，一桶咖啡由100
∘C降低到60
∘C需要20 min. 则k的值为＿＿＿＿＿＿.
四、解答题：本题共5 小题，共77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13 分）（2026·安徽合肥一六八中·一模）某地区上年度天然气价格为2.8元/m
3，年用
气量为a m
3. 本年度计划将天然气单价下调到2.55元/m
3至2.75元/m
3之间. 用户期望天然气单
价为2.4元/m
3，经调查测算，下调单价后新增用气量和实际单价与用户的期望单价的差成
反比（比例系数为k）. 已知该地区天然气的成本价为2.3元/m
3.
（1） 写出本年度天然气价格下调后燃气公司的收益y（单位:元）关于实际单价x（单位:
元/m
3）的函数解析式；（收益=实际用气量×(实际单价-成本价)）
（2） 设k =0.2a，当天然气单价最低定为多少时，仍可保证燃气公司的收益比上年度至少
增加20 %？
16.（15 分）（2026·安徽合肥一六八中·一模）城市地铁可为市民出行带来便利，提升城市
形象，更是一张亮丽的城市名片. 安徽省合肥市于2016 年开通了地铁1 号线，该条线路通
车后，列车的发车时间间隔t（单位:分钟）满足3≤t ≤20，经市场调研测算，列车载客量与
发车时间间隔t相关，当3≤t ≤10时，载客量会逐渐增加，载客量与(10-t )
2成一次函数关系，
且发车时间间隔为3分钟时的载客量为333人，当10≤t ≤20时，列车为满载状态，载客量为
480人，记列车载客量为S(t ).
（1） 求S(t )的表达式，并求当发车时间间隔为6分钟时，列车的载客量；
（2） 若该线路每分钟的净收益为:M (t )= 4 S(t )-32t -912
t
（元），问当发车时间间隔为
多少时，该线路每分钟的净收益最大，并求出最大值.
17.（15 分）能源是国家的命脉，降低能源消耗费用是重要抓手之一，为此，某市对新建
住宅的屋顶和外墙都要求建造隔热层. 某建筑物准备建造可以使用30年的隔热层，据当年
的物价，每厘米厚的隔热层造价成本是9万元人民币. 又根据建筑公司的前期研究得到，该
建筑物30年间的每年的能源消耗费用N（单位：万元）与隔热层厚度h（单位：厘米）满
足关系：N (h)=
m
3h+ 4 (0≤h≤10)，经测算知道，如果不建隔热层，那么30年间的每年的
能源消耗费用为10万元人民币. 设F(h)为隔热层的建造费用与共30年的能源消耗费用总和，
求使F(h)达到最小值时，隔热层厚度h的值.
18.（17 分）迷你KTV 是一类新型的娱乐设施，外形通常是由玻璃墙分隔成的类似电话亭
的小房间，近几年投放在各大城市商场中，受到年轻人的欢迎．如图是某间迷你KTV 的
横截面示意图，其中AB = AE = 3
2，∠A =∠B =∠E =90
∘，曲线段CD是圆心角为90
∘的圆弧，
设该迷你KTV 横截面的面积为S，周长为L，求S
L的最大值.（本题中取π =3进行计算）
19.（17 分）砖雕是江南古建筑雕刻中很重要的一种艺术形式，传统砖雕精致细腻、气韵
生动、极富书卷气．如图是一扇环形砖雕，可视为扇形OCD截去同心扇形OAB所得部分．
已知扇环周长为300cm，大扇形半径OD =100cm，设小扇形半径OA = xcm，∠AOB =θ弧度.
（1） 求θ关于x的函数关系式θ( x)；
（2） 若雕刻费用关于x的解析式为w( x)=10 x +1700，求砖雕面积与雕刻费用之比的最大
值．
