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第13 讲 函数模型及其应用 · 讲义
一、考情分析......................................................................................................................................1
二、知识清单......................................................................................................................................2
1. 几种常见的函数模型.........................................................................................................2
2. 解函数应用问题的步骤.....................................................................................................2
三、典题精练......................................................................................................................................3
考点一：常见的几类确定性函数模型..................................................................................3
考点二：指数、对数与幂函数模型......................................................................................4
考点三：函数模型的综合与创新应用..................................................................................6
一、考情分析
1. 考查频次与题型
年份
题号与题
型
分值
考察
类型
考察内容与方式
2024
第6 题 单
选题
5 分
间接
以分段函数模型为载体，结合二次函数与超越函数的性
质，考察参数范围的求解
2025
-
-
-
-
2026
第6 题 单
选题
5 分
间接
给出具体的指数分式复合函数模型，利用导数工具研究
其最值并反求参数
近三年全国一卷中，以实际生活为背景的函数模型应用题出现频次相对较低，多以纯
数学形式的函数模型（如分段函数、指数型函数）为载体，结合导数、单调性等知识进行
间接考查.
2. 命题角度与特色
核心考点：侧重于对分段函数、指数型函数等常见数学模型的性质（如单调性、最
值）的深度剖析.
命题趋势：淡化了简单的代入模型计算，更加注重利用导数等高等数学工具对复杂函
数模型进行动态分析与参数求解.
试题特点：综合性强，常将函数模型与不等式、方程、导数等知识点交汇命题，对逻
辑推理和代数变形能力要求较高.
3. 备考策略
· 熟练掌握各类基础函数模型（如二次函数、分段函数、指数函数等）的图象特征与
解析式性质.
· 强化利用导数工具研究复杂函数模型单调性与最值的能力，突破参数分类讨论的难
点.
· 培养数学建模意识，遇到实际应用题时，能够准确提取关键数据，将其转化为熟悉
的函数模型并求解.
二、知识清单
1. 几种常见的函数模型
· 一次函数模型：f ( x)=ax +b(a,b为常数且a≠0)
· 反比例函数模型：f ( x)= k
x +b(k ,b为常数且k ≠0)
· 二次函数模型：f ( x)=a x
2+bx +c(a,b,c为常数且a≠0)
· 指数函数模型：f ( x)=ba
x+c(a,b,c为常数，b≠0，a>0，a≠1)
· 对数函数模型：f ( x)=b loga x +c(a,b,c为常数，b≠0，a>0，a≠1)
· 幂函数模型：f ( x)=a x
n+b(a,b为常数，a≠0)
【易错提醒】 在构建和求解实际问题的函数模型时，必须高度关注自变量的取值范围
（即函数的定义域）.实际问题中的定义域往往受到具体物理意义或生活常识的限制，不
能单纯按照代数解析式的要求来确定.
【防坑警示】 在指数函数模型 f ( x)=ba
x+c 中，底数 a 决定了模型是增长型（a>1）
还是衰减型（0<a<1）.在处理如人口增长、资金复利、放射性物质衰变等问题时，需根据
题意准确判断并求解底数.
2. 解函数应用问题的步骤
·审题：弄清题意，识别条件与结论，弄清数量关系，初步选择数学模型；
·建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用已有知识建
立相应的数学模型；
·解模：求解数学模型，得出结论；
·还原：将数学问题还原为实际问题。
三、典题精练
考点一：常见的几类确定性函数模型
考法1：一次、二次函数模型
例1.绍兴某乡村要修建一条100米长的水渠，水渠的过水横断面为底角为120
∘的等腰梯形
(如图)水渠底面与侧面的修建造价均为每平方米100元，为了提高水渠的过水率，要使过水
横断面的面积尽可能大，现有资金3万元，当过水横断面面积最大时，水果的深度(即梯形
的高)约为
A. 0.58米
B. 0.87米
C. 1.17米
D. 1.73米
考法2：分段函数模型
例2.（2026·合肥一六八·一模）城市地铁可为市民出行带来便利，提升城市形象，更是一
张亮丽的城市名片. 安徽省合肥市于2016 年开通了地铁1 号线，该条线路通车后，列车的
发车时间间隔t（单位:分钟）满足3≤t ≤20，经市场调研测算，列车载客量与发车时间间隔
t相关，当3≤t ≤10时，载客量会逐渐增加，载客量与(10-t )
2成一次函数关系，且发车时间
间隔为3分钟时的载客量为333人，当10≤t ≤20时，列车为满载状态，载客量为480人，记
列车载客量为S(t ).
（1） 求S(t )的表达式，并求当发车时间间隔为6分钟时，列车的载客量；
（2） 若该线路每分钟的净收益为:M (t )= 4 S(t )-32t -912
t
（元），问当发车时间间隔为
多少时，该线路每分钟的净收益最大，并求出最大值.
考法3：分式函数模型
例3.某企业投入100万元购入一套设备，该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要
花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上
一年增加2万元．为使该设备年平均费用最低，该企业需要更新设备的年数为
A. 8
B. 10
C. 12
D. 13
【考点一 方法总结】
· 解决几何优化问题时，关键是根据几何关系合理选取自变量，将目标量表示为自
变量的函数.若为二次函数，则利用对称轴和定义域区间求最值.
· 构造分段函数时，要准确、简洁，不重不漏.处理分段函数最值问题，必须分段求
最值，最后作比较.在求各段最值时，常结合二次函数性质、基本不等式或导数工具.
· 涉及“平均费用最低”等问题，通常会构建形如y =ax + b
x +c的分式函数模型.利用
基本不等式求最值时，务必检验等号成立的条件是否在定义域内.
考点二：指数、对数与幂函数模型
考法1：指数函数模型
例4.（2024·华附·三模）某制药企业为了响应并落实国家污水减排政策，加装了污水过滤
排放设备，在过滤过程中，污染物含量M（单位：mg/L）与时间t（单位：h）之间的关系
为：M = M 0e
-kt（其中M 0，k是正常数）.已知经过1h，设备可以过滤掉20 %的污染物，则
过滤一半的污染物需要的时间最接近（参考数据：lg2≈0.3010）
A. 3h
B. 4 h
C. 5h
D. 6h
考法2：对数函数模型
例5.昆虫信息素是昆虫用来表示聚集、觅食、交配、警戒等信息的化学物质，是昆虫之间
起化学通讯作用的化合物，是昆虫交流的化学分子语言，包括利它素、利己素、协同素、
集合信息素、追踪信息素、告警信息素、疏散信息素、性信息素等．人工合成的昆虫信息
素在生产中有较多的应用，尤其在农业生产中的病虫害的预报和防治中较多使用．研究发
现，某昆虫释放信息素t秒后，在距释放处x米的地方测得的信息素浓度y满足
ln y =- 1
2 ln t - k
t x
2+a，其中k ,a为非零常数．已知释放信息素1秒后，在距释放处2米的地
方测得信息素浓度为m；若释放信息素4秒后，距释放处b米的位置，信息素浓度为m
2 ，则
b=
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
考法3：幂函数模型
例6.（2025·江西盟校·二联）遗忘曲线是由德国心理学家艾宾浩斯研究发现的，它描述了
人类大脑对新事物遗忘的规律.某同学根据自己记忆100个英语新单词的经历，用画图软件
拟合了自己的遗忘曲线，得到其记忆率y(记住的单词个数占总单词数的百分比)与初次记
忆经过的时间x(单位:小时)的函数关系式为y =1-0.5 x
0.06，当记住的单词仅剩25个时，则离
初次记忆经过了(参考数据:lg2≈0.30,lg3≈0.48)
A. 100小时
B. 300小时
C. 1000小时
D. 3000小时
【考点二 方法总结】
· 在解题时要合理选择模型，指数函数模型是增长速度越来越快（底数大于1）的一
类函数模型，与增长率、银行利率、放射性衰变等有关的问题多属于此类.
· 解决指数型、对数型、幂函数模型问题时，一般先通过待定系数法（代入初始条
件或已知数据）确定函数解析式中的参数，再借助函数性质或方程求解目标值.
· 求解指数型函数模型y = M 0e
kt时，常需两边取对数进行近似计算；解底数未知或
指数为小数的幂方程时，两边取常用对数将其转化为一次方程是常用的代数变形技巧.
· 对于含有多个参数的对数型或指数型模型，若只需探求变量间的相对关系，常通
过代入两组数据作差或作商的方法消去无关参数.
考点三：函数模型的综合与创新应用
考法1：几何背景下的函数模型
例7.砖雕是江南古建筑雕刻中很重要的一种艺术形式，传统砖雕精致细腻、气韵生动、极
富书卷气．如图是一扇环形砖雕，可视为扇形OCD截去同心扇形OAB所得部分．已知扇环
周长为300cm，大扇形半径OD =100cm，设小扇形半径OA = xcm，∠AOB =θ弧度.
（1） 求θ关于x的函数关系式θ( x)；
（2） 若雕刻费用关于x的解析式为w( x)=10 x +1700，求砖雕面积与雕刻费用之比的最大
值．
考法2：新定义函数模型
例8.（2025·青岛·一模）（多选）已知狄利克雷函数 D( x)={
1,
x∈Q ,
0,
x∉Q. 设函数
f ( x)= D( x)⋅sin πx，则
A. f ( x)是奇函数
B. f ( x)是周期函数
C. f ( x)的值域是[-1,1]
D. f ( x)在区间[-1,1]上的有理数零点恰有3个
【考点三 方法总结】
· 处理复杂的有理分式函数最值时，换元法是降次和分离常数的有效手段.将分母整
体换元，可将原函数转化为y = At + B
t +C的形式，进而利用基本不等式求解.
· 解决新定义函数问题，核心是剥去新定义的外衣，转化为熟悉的初等函数问题.遇
到分段特征明显的新函数，分类讨论是基本策略.
